ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ y f( x) x x z

ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ J. C. Maxwell (~86) συνόψισε τη δουλειά ως τότε για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις. q EdA Edl Νόμος Gauss Νόμος Faraday Νόμος Gauss Για μαγνητισμό d dt BdA Bdl I B Νόμος Ampere Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως μέχρι τώρα τις έχουμε συζητήσει) έχουν μια ασυμμετρία:

Νόμος του Ampere προβληματικός! Νόμος του Gauss: q EdA BdA Συμμετρία: Αμφότερα E και B υπακούουν στην ίδια μορφή εξίσωσης (διαφορά: μαγνητικό φορτίο δεν υπάρχει.) Νόμοι Ampere και Faraday:! Bdl I Edl d dt Εάν ο νόμος του Ampere ήταν σωστός, το δεξιό μέλος του νόμου του Faraday θα έπρεπε να είναι αφού δεν υπάρχει μαγνητικό ρεύμα (ροή μαγνητικών φορτίων). Συνεπώς ίσως έχει πρόβλημα ο νόμος του Ampere. Πράγματι, ο Maxwell πρότεινε μια τροποποίηση του νόμου του Ampere προσθέτοντας άλλο έναν όρο (το ρεύμα μετατόπισης ) ό στο δξί δεξί μέλος της εξίσωσης. ηλ. de Bdl I dt B

Ρεύμα Μετατόπισης Θεωρείστε φορτιζόμενο πυκνωτή: Χρησιμοποιούμε το νόμο του Ampere για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο ακριβώς πάνω από το πάνω πλακίδιο Νόμος του Ampere: Bdl I ) Κόκκινος βρόχος Ampere, I enc = I ) Πράσινος βρόχος Ampere, I = enc

Ρεύμα Μετατόπισης ρόμος P Στο δρόμο P τερματίζονται δύο επιφάνειες ο κύκλος S και η εξογκωμένη επιφάνεια S που περνά από το διάκενο των οπλισμών. Από την S περνά I και από την S. εν έχουμε ρεύμα μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή, όμως έχουμε ένα μεταβαλλόμενο πεδίο E. Μπορεί αυτό να ισοδυναμεί με ρεύμα; Q E QEA dq d E A dt dt Αυτό ονομάζεται ρεύμα μετατόπισης E I d

Εξισώσεις Maxwell q EdA Νόμος Gauss BdA Edl d dt B Νόμος Faraday Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο Bdl I d dt F qe ( vb) Νόμος Lorentz E Νόμος Ampere Maxwell Αυτές περιγράφουν όλα τα Η-Μ φαινόμενα και είναι συμβατοί με όλες τις άλλες θεωρίες π.χ. σχετικότητα. Περιγράφουν και το φως.

E(x- x/,y,z) y Εξισώσεις Maxwell περνώντας από την ολοκληρωτική στην διαφορική μορφή EdA y z q x Γύρω από ένα τυχαίο σημείο του χώρου (x,y,z) θεωρώ έναν απειροστά μικρό κύβο και υπολογίζω την ροή από την επιφάνειά του καθώς και το φορτίο που περικλείει και εφαρμόζω τον νόμο του Gauss. E(x+ x/,y,z) y z y z Ροή στην διεύθυνση x: Ε x (x+ x/,y,z) y z-ε x (x- x/,y,z) y z= Ε x y z και ομοίως κατά y: Ε y z x και κατά z: Ε z x y. Η συνολική ροή είναι το άθροισμα στις τρεις κατευθύνσεις και σύμφωνα με το νόμο του Gauss ισούται το περικλειόμενο φορτίο διαιρεμένο με το ε. Το φορτίο που περικλείεται στον όγκο είναι: ρ x y z, οπότε: x y z E ( y z xˆ) E ( z x yˆ) E ( x y zˆ ) xˆ yˆ zˆ [ xˆ yˆ zˆ] E x y z x y z E E E E

Edl E(x- x/,y,z) Εξισώσεις Maxwell περνώντας από την ολοκληρωτική στην διαφορική μορφή d dt B B z (x,y,z) y x Γύρω από ένα τυχαίο σημείο του χώρου (x,y,z) θεωρώ ένα απειροστά μικρό τετράγωνο και υπολογίζω την κυκλοφορία του ηλεκτρικού πεδίου που την εξισώνω με (-) την μαγνητική ροή από την επιφάνειά του (νόμος του Faraday). E(x,y+ y/,z) E(x,y- y/,z) Φορά διαγραφής E(x+ x/,y,z) Απειροστή διαδρομή στο επίπεδο xy: Ε x (x,y- y/,z) x + Ε y (x+ x/,y,z) y - -Ε Ε x (x,y+ y/,z) z) x -Ε Ε y (x- x/,y,z) z) y= [Ε y (x+ x/,y,z)-ε y (x- x/,y,z)] y- [Ε x (x,y+ y/,z)-ε x (x,y- y/,z)] x σχετίζεται με την μεταβολή της μαγνητικής ροής στο (Β z (x,y,z) x y)/ t E xˆ ˆ zˆ y Ex B E z y Ex B y z B x y t x y t x y z t Ex Ey E z E z Ey Bx E x E B z y y z t z x t και παρομοίως για τετράγωνα στα (yz) και (zx): E B t

E Νόμος Gauss E Εξισώσεις Maxwell (Διαφορική μορφή) B Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο B E Νόμος Faraday t B J E t Νόμος Ampere Maxwell

Εξισώσεις Maxwell Στον ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις του Maxwell ανάγονται στις εξής: Edl EdA d BdA Bdl B dt d dt E E B B E B E t t

3-D Κυματική εξίσωση για Ε, Β (στον κενό χώρο) B E E E B B tt tt EE ( ) B ( B) ( E) ( ) t t t t E ( E) ( ) E t E tt E και ομοίως: B tt B

Σύνοψη κυμάτων Κυματική εξίσωση σε μια διάσταση: (το περιγράφει μία «διαταραχή» h που διαδίδεται π.χ. πίεση για ακουστικά κύματα, E,B για Η/Μ κ.τ.λ.) έχει γενική λύση της μορφής*: : hxt (, ) h( xvt) h( xvt) h h x v t όπου h παριστά διαταραχή που οδεύει στην +x διεύθυνση και h στην -x διεύθυνση. f(x-vt); Θεωρούμε την f(x) Το f(x-vt) είναι ένα οδεύον κύμα κινούμενο προς τα δεξιά (+x)

*Απόδειξη h ( x, t ) h ( x vt ) ( x vt ) h ( x vt ) ( x vt ) h ( x vt ) h ( x vt ) x ( xvt) x ( xvt) x ( xvt) ( xvt) hxt (, ) h ( x vt ) h ( x vt ) x ( xvt) ( xvt) hxt (, ) h ( x vt ) ( xvt ) h ( x vt ) ( xvt ) h ( x vt ) h ( x vt ) v v t ( x vt) t ( x vt) t ( x vt) ( x vt) v v hxt (, ) h ( xvt ) h ( xvt ) t ( xvt) ( xvt) h h x v t

h.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5.5.5 3.5.5.5 3 λ.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3 t = t= Τ/5 t = Τ/5 Σύνοψη κυμάτων Μια ειδική λύση αφορά αρμονικά κύματα που οδεύουν στην +x διεύθυνση: h x t A x t A kx t T, sin sin A = πλάτος, T= περίοδος, f= συχνότητα, = μήκος κύματος («χωρική περίοδος»), k= κυματάριθμος («χωρική συχνότητα»), = ταχύτητα φάσης k f v f T k Τ x=.5 t = 3Τ/5.5.5.5 3 t= 4Τ/5 x από έως 3 m h -.5 -.5 -.5 t= Τ - A = = m T = sec x=3λ/5.5.5.5 3 Κάθε σημείο στο χώρο εκτελεί ακριβώς την ίδια απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ αλλά καθώς το κύμα διαδίδεται με πεπερασμένη ταχύτητα v έχουν διαφορετική φάση. ω, f, Τ, καθορίζονται από την πηγή v, λ, k, καθορίζονται από το μέσο διάδοσης t από έως 3 sec Γιατί αρμονικά κύματα; ιότι όλα μπορούν, μέσω μετασχηματισμού Fourier, να αναλυθούν σε επαλληλία αρμονικών κυμάτων.

Η κυματική εξίσωση για Ε, Β h h x v t E E B t v c Οι παραπάνω εξισώσεις περιγράφουν λοιπόν κύματα για τα ΕκαιΒπουδιαδίδονταιμε την ίδιαταχύτητα. ΕΝ είναι όμως ανεξάρτητα μεταξύ τους. Οφείλουν να είναι συμβατά με όλες τις εξισώσεις Maxwell. Αν θεωρήσουμε ότι το Ε έχει μόνον y συνιστώσα και διαδίδεται στο άξονα x οι συσχετισμοί στροφής των πεδίων απαιτούν το Β να έχει μόνον συνιστώσα κατά z και να διαδίδεται επίσης στον άξονα x. t B

-D Κυματική Εξίσωση και Η/Μ Ακτινοβολία Αμφότερα τα E & B οδεύουν ως κύματα: Ey Ey x t Bz Bz x t Συσχετίζονται αυστηρά μεταξύ τους: B t z E x y B x z E t Τα E y και το B z είναι ίδια και οδεύουν κατά μήκος του άξονα x Αν θεωρήσω: y z B E z y f( xvt) ( xvt) f( xvt) B E vb E t x x t x y E E f ( xvt ); B B f ( xvt ) E y και B z είναι τα «ίδια» όμως έχουν διαφορετικά πλάτη

Ιδιότητες ΗΜ κυμάτων Ταξιδεύουν (στο κενό) με την ταχύτητα του φωτός c v 8 3 m Σε κάθε σημείο και κάθε χρονική στιγμή τα E και B είναι σε φάση B B μεταξύ τους, με s E E c c τα E και B κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση διάδοσης (είναι εγκάρσια): ιεύθυνση διάδοσης = ιεύθυνση του EB

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Μήκος κύματος(m) Συχνότητα (Hz) Ορατό φως Υπενθύμιση: λf =c

Ενέργεια και διάνυσμα Poynting Πυκνότητες ενέργειας: ue E, um B Θεωρούμε κύλινδρο: Ενέργεια στον κύλινδρο: du ( ue um) Adz E B Acdt Ροή ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου) du c c S E B ceb EB A dt c EB EB c

ιάνυσμα Poynting και ένταση Ι ιεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος S E B ιάνυσμα Poynting Για αρμονικό κύμα θα έχουμε: E B cos ( kx t)( yˆ zˆ ) S E x ˆ ˆ cos ( kx t) cb x cos ( kx t) c Η ισχύς ανά μονάδα επιφανείας αυξομειώνεται συνεχώς. Αυτό που ανιχνεύουμε είναι η μέση τιμή της, η ένταση ακτινοβολίας Ι. Ένταση I: I E B E cb S c T cos(( kx t)) T cos ( kxt) cos ( kx t) dt d( kx t) T T T ιεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος

Ορμή Η/Μ κύματος και Πίεση ακτινοβολίας Όπως φέρει ενέργεια, η Η/Μ ακτινοβολία φέρει και ορμή: dp EB S dv c c όταν διέρχεται από επιφάνεια εμβαδού Α η ροή της θα είναι (V=c dt): dp EB S dp S dp S I A cdt c c A dt c A dt c c Πίεση ακτινοβολίας: Αν σε μία επιφάνεια η Η/Μ ακτινοβολία απορροφηθεί ή ανακλαστεί κατά % τότε η μεταβολή ορμής ανά μονάδα επιφανείας (δύναμη/επιφάνεια) ισοδυναμεί με μία πίεση, την πίεση ακτινοβολίας: p rad I c απορρόφηση Στη Γη έχουμε Ι.4kW/m και p rad 4.74 7 μpap για απορρόφηση της ακτινοβολίας. p rad I c ανάκλαση Αμελητέα μεν όπως εμφανίζεται παραπάνω, αλλά στο εσωτερικό των αστέρων διέπει την εξέλιξή ξή τους! Πρέπει να προβλέπεται στον υπολογισμό της τροχιάς των διαστημοπλοίων και αποτελεί, επίσης, σοβαρή πρόταση ως πηγή ενέργειας για την κίνηση στο διάστημα (ηλιακά ιστία (πανιά)).

Μέτωπα κύματος και ακτίνες Μέτωπα κύματος Σε ένα οδεύον επίπεδο κύμα ιδανικά καλύπτεται ολόκληρος ο χώρος. Όλα τα σημεία που έχουν την ίδια φάση (ακριβώς και όχι πολλαπλάσιο) συνιστούν ένα επίπεδο. Σε αυτό ταλαντώνονται με την ίδια φάση τα Ε και B, ενώ το κύμα διαδίδεται κάθετα σε αυτά. Τα επίπεδα χαρακτηρίζονται ως μέτωπα κύματος ενώ οι κάθετες σε αυτά όπου διαδίδεται το κύμα είναι οι ακτίνες. Από μία σφαιρικής συμμετρίας πηγή που εκπέμπει ισότροπα τα μέτωπα κύματος θα είναι σφαίρες. Καθώς η επιφάνεια είναι περιορισμένη και ίση με 4πR, η ένταση Ι θα είναι φθίνει με την απόσταση από την πηγή ακόμη και αν δεν έχουμε απώλειες ενέργειας. Αν ήταν Ι σε απόσταση R η συνολική ενέργεια και η ένταση ακτινοβολίας σε απόσταση R θα είναι: R 4 4 R E P I R I R I I Πως θα σχετίζονταν οι εντάσεις ακτινοβολίας σε μία ιδανική, γραμμική άπειρου μήκους και ισότροπης εκπομπής πηγή;

ιάδοση σε ιδανικό διηλεκτρικό Η απόδειξη για την εξίσωση Η/Μ κύματος στο κενό (διαφάνειαά της ενότητας) ) δεν αλλάζει σε τίποτα εάν το μέσο το οποίο μελετούμε δεν έχει ελεύθερα φορτία, ούτε και ρεύματα συνεπώς δεν εμφανίζει απώλειες και είναι ομογενές και ισότροπο. Στην περίπτωση αυτή απλά πρέπει να αντικαταστήσουμε ε ε και μ μ. Επιπλέον, επειδή δεν πρόκειται για μαγνητικό υλικό έχουμε μμ. Συνεπώς έχουμε ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις και λύσεις τους με τη διαφορά ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: v c c r r r r r r r Οπότε η ταχύτητα διάδοσης φάσης σε ιδανικό διηλεκτρικό είναι μικρότερη της ταχύτητας του φωτός. Καθώς όμως λ=υ/f και η συχνότητα καθορίζεται από την πηγή το μήκος κύματος θα είναι μικρότερο μέσα στο υλικό. Το κλάσμα της ταχύτητας κύματος στο κενό (c) σε σχέση με την ταχύτητα του εντός του μέσου μας δίνει τον δείκτη διάθλασης του μέσου: c c n r c n r ιασκεδασμός: Οδ.δ. n για ένα υλικό δεν είναι ο ίδιος για όλες τις συχνότητες ω (μήκη κύματος λ κενό )n=n(λ).

Η/Μ κύμα σε διαχωριστική επιφάνεια δύο ιδανικών διηλεκτρικών Γνωρίζουμε τις λύσεις δάδ διάδοσης των Η/Μ για μέσα ισότροπα, ομογενή και χωρίς αποσβέσεις (απορρόφηση). Πως αυτές συνδέονται στην διαχωριστική επιφάνεια δύο τέτοιων μέσων; s s s φ ω θ n, υ, λ n, υ, λ Ανάκλαση: Κύμα προσπίπτει με γωνία φ στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Όταν το «αριστερό» τμήμα του μετώπου κύματος βρεθεί πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια η διαταραχή θα αρχίσει να διαδίδεται και στα δύο μέσα (με διαφορετική ένταση βέβαια) και διαφορετικές ταχύτητες χαρακτηριστικές του μέσου. Η απόσταση για να φτάσει στην διαχωριστική επιφάνεια και το «δεξιό» μέρος του κύματος είναι s. Όταν και το «δεξιό» μέρος του μετώπου φτάσει στην επιφάνεια θα έχει παρέλθει χρόνος t=s/υ. Τότε η διαταραχή θα έχει φτάσει σε απόσταση s =υ t=s στο πρώτο μέσο και s =υ t=υ s/υ στο δεύτερο. Τα μέτωπα κύματος καθορίζονται από την εφαπτομένη σε όλους του κύκλους στο κάθε μέσο. Από την γεωμετρία s/sinφ=s /sinω καιs=s, οπότε φ=ω. Αντίστοιχα, s /sinθ=s/sinφ και s =υ s/υ, οπότε υ sinθ=υ sinφ. ηλαδή: ιάθλαση: n sin n sin Ο διασκεδασμός, n=n(λ), συνεπάγεται ότι διαφορετικά λ διαθλώνται σε διαφορετικές γωνίες, δηλαδή έχουμε ανάλυση του κύματος (φωτός) στις φασματικές συνιστώσες του. (πρίσματα, ουράνιο τόξο, κ.τ.λ. )

Η αρχή του Huygens Στην προηγούμενη απόδειξη θεωρήσαμε ότι κάθε απειροστό μέρος του μετώπου κύματος που φτάνει στην διαχωριστική επιφάνεια λειτουργεί ως σημειακή πηγή. Ο Huygens είχε κάνει την γενικότερη διατύπωση ότι κάθε κομμάτι ενός μετώπου κύματος (ασχέτως διαχωριστικής επιφάνειας) λειτουργεί ως δευτερεύουσα, σημειακή πηγή του κύματος. Η διατύπωση αυτή έγινε χρόνια πριν την διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell και είναι σύμφωνη με αυτές. ευτερεύουσα μέτωπα Αν έχουμε ένα επίπεδο κύμα αλλά σε πεπερασμένο χώρο π.χ. μία δέσμη λέιζερ. ζρ Τι συνέπεια έχει η παραπάνω αρχή σε σχέση με το μέγεθος της διατομή της δέσμης κατά τη διάδοσή της; Οι μεγαλύτερης ή οι μικρότερης διαμέτρου δέσμες «ανοίγουν» περισσότερο;

Ολική Ανάκλαση Όταν το φως εισέρχεται από σχετικά πυκνό οπτικά μέσο (n ) σε αραιότερο (n <n ) τότε για τη γωνία θ θα ισχύει: n sin sin n φ c φ θ n, υ, λ 9 o όμως δεν μπορεί να ισχύει για όλες τις τιμές του φ καθώς sinθ = και n /n >. Οριακά η διαθλώμενη μπορεί να είναι παράλληλη στην διαχωριστική επιφάνεια, δηλαδή θ=π/. Συνεπώς η οριακή γωνία φ c θα είναι: n sin c n για μεγαλύτερες γωνίες δεν μπορεί να υπάρξει διερχόμενη δέσμη και έτσι όλη η ενέργεια διατίθεται στην ανακλώμενη: φαινόμενο ολικής ανάκλασης. n, υ, λ Εφαρμογές: Πρίσματα 9 ο ως % ανακλαστικά κάτοπτρα και οπτικές ίνες για τηλεπικοινωνίες, ενδοσκόπια κ.τ.λ.

Πόλωση Ένα επίπεδο κύμα οδεύον στον άξονα x με το ηλεκτρικό πεδίο του να ταλαντώνεται μόνιμα στον άξονα y, λέμε ότι είναι γραμμικά πολωμένο στον άξονα y, καθώς η προβολή του σε επίπεδο κάθετο στην διεύθυνση αυτή είναι μία γραμμή. Μπορούμε να φανταστούμε την επαλληλία δύο x γραμμικά πολωμένων κυμάτων που διαδίδονται στην κατεύθυνση +x και έχουν ίσα πλάτη έντασης Ε αλλά το ένα είναι πολωμένο κατά y και το άλλο κατά z και έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης φ. wikipedia E E kx t y sin y E E kxt z z sin Γραμμικά πολωμένο, φ=, π ο λόγος των πλατών καθορίζει την κλίση. Κυκλικά πολωμένο, φ= π/ αριστερόστροφα, δεξιόστροφα πολωμένο Για λόγο πλατών γίνεται ελλειπτικά πολωμένο με μεγάλο ημιάξονα στο y ή z y z πολωμένο με μεγάλο ημιάξονα στο y ή z. Το «δεξιόστροφο» ή «αριστερόστροφο» καθορίζεται ρζ από τη φορά περιστροφής ρ του Ε κοιτώντας το κύμα να έρχεται προς τα εμάς. Ελλειπτικά πολωμένο, φ, φ π/ αριστερόστροφα, δεξιόστροφα πολωμένο Για λόγο πλατών= ο μεγάλος άξονας 45 ο για «στρίβει» σ η έλλειψη. βλέπε σχήματα α Lissajous. s Το φυσικό φως δεν έχει προτιμητέα πόλωση. Ισοδυναμεί με την παραπάνω περιγραφή όπου το φ δεν είναι σταθερό και παίρνει όλες τις τιμές τυχαία με τον χρόνο.

Πόλωση - Πολωτές Κάποια μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν ως γραμμικοί πολωτές. Στον άξονα πόλωσής τους επιτρέπουν όλο (ιδανικά) το παράλληλα πολωμένο σε αυτόν φως να περάσει ενώ στον κάθετο τον αποκόπτουν. Φυσικό φως Άξονας πολωσης Το φίλτρο απορροφά την οριζόντιας πόλωσης συνιστώσα του φωτός Το διερχόμενο κύμα είναι γραμμικά πολωμένο στην κατακόρυφο Εάν το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικά πολωμένου φωτός σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα πόλωσης γραμμικού πολωτή τότε το διερχόμενο πεδίο έχει μόνο Εcosφ συνιστώσα. Συνεπώς η ένταση ακτινοβολίας Ι: I Imax cos

Πόλωση - Πλακίδια Άλλα κρυσταλλικά μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν για την μετατροπή γραμμικά πολωμένου σε κυκλικά πολωμένο φως (και το αντίστροφο). Τα υλικά αυτά δεν απορροφούν φως αλλά παρουσιάζουν διαφορετικό δ.δ. για πόλωση στον y και στον z. Εφαρμογές: φωτογραφία/μικροσκοπία, 3D τηλεόραση κ.τ.λ. wikipedia Εάν το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικά πολωμένου φωτός σχηματίζει γωνία 45 o με τον άξονα y και z τότε για τις δύο ίσες συνιστώσες κατά την έξοδό τους από το πλακίδιο πάχους d θα έχει «συσσωρεύτει» διαφορά φάσης k n y -n z d. Αν πρόκειται για «πλακίδιο λ/4»,, δηλαδή n y-n z z d=λ/4, η διαφορά φάσης θα είναι π/ και το εξερχόμενο φως θα είναι κυκλικά πολωμένο. Αντίστοιχα, πλακίδια λ/ απλά στρέφουν το επίπεδο πόλωσης γραμμικά πολωμένου φωτός.