ΗΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος, το οποίο διαδίδεται στο κενό στη διεύθυνση του άξονα Ox, έχει χρονική εξίσωση x 0,02 2 (10 t ) (S.I.). α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, β. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου σε συνάρτηση με το χρόνο, γ. Για τη λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος χρησιμοποιείται δέκτης με ιδανικό κύκλωμα LC, το πηνίο του οποίου έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 10 μη. Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του πυκνωτή του κυκλώματος LC. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό c = 3 10 m/s και για τις πράξεις: π 2 = 10. ύση α. Συγκρίνοντας την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που δίνεται στην εκφώνηση με τη γενική μορφή της χρονικής εξίσωσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος t x E E 2 προκύπτει: Τ = l0 s = 10 Hz και E = 0,02 V/m Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: c c 3 10 10 λ = 3 m β. Η γενική μορφή της εξίσωσης της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι η: 2 t x Ισχύει E E 2 10 c B B 10 T B c 3. Επομένως: 10 2 10 x B= ημ2π (10 t ) 3 3 (S.I.) γ. Για να γίνει η λήψη του ηλεκτρομαγνητικού κύματος από το δέκτη, πρέπει η συχνότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος να ταυτίζεται με την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος LC. Δηλαδή πρέπει να έχουμε συντονισμό του κυκλώματος LC. Η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC είναι: 0 1 2 LC ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 1
Η συχνότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι H/M = 10 Hz. Επομένως: H/ M 0 1 1 C 4 L H/M 2 2 2 LC H/M C = 2,5 10 13 F ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 2
2. Η χρονική εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος, το οποίο διαδίδεται στο κενό και προς τη θετική φορά του άξονα x Οx, είναι η α. Να υπολογίσετε την περίοδο T του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. t x 4,5 10 2 T 6 (S.I.). β. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα λαμβάνεται από ραδιοφωνικό δέκτη που περιλαμβάνει ιδανικό κύκλωμα LC. γ. Εάν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 1 μη, για ποια τιμή της χωρητικότητας C του πυκνωτή συντονίζεται ο δέκτης στο συγκεκριμένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα; Όταν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα εισέρχεται από το κενό σε διαφανές υλικό, καταγράφουμε ελάττωση κατά 10% στην ταχύτητα διάδοσης του, ενώ δεν παρατηρούμε καμία μεταβολή στη συχνότητα του. δ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του κύματος στο διαφανές υλικό. Η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό είναι c = 3 10 m/s. Δίνεται για τις πράξεις: π 2 = 10. ύση α. Συγκρίνοντας τη δοθείσα εξίσωση t x 4,5 10 2 T 6 με την αντίστοιχη εξίσωση της θεωρίας B 2 t T x, προκύπτει: Β = 4,5 10 Τ και λ = 6 m. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής θεωρίας c προκύπτει: c 6 c 3 10 Τ = 2 10 s β. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση: E c E c B B E V = 13,5 m Η γενική μορφή της εξίσωσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος είναι: E E 2 t T x ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 3
Με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών στην προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε: t x E = 13,5ημ2π 10 2 6 (S.I.) γ. Για να συντονιστεί ο δέκτης στο συγκεκριμένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, πρέπει η ιδιοπερίοδος Τ 0 του κυκλώματος LC που περιλαμβάνει να γίνει ίση με την περίοδο Τ του κύματος. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει: T 4 10 T T 2 LC T C C 4 L 4 10 2 16 0 0 0 2 2 6 C = 10 11 F δ. Σύμφωνα με την εκφώνηση, η ταχύτητα διάδοσης υ του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο διαφανές υλικό είναι: υ = c 0,1c = 0,9c υ = 2,7 10 m/s. Εφόσον δεν μεταβάλλεται η συχνότητα του κύματος κατά την είσοδο του στο διαφανές υλικό, η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής γράφεται: 2,7 10 2 10 λ = 5,4m ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 4
3. Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και Π 2 βρίσκονται επάνω στον άξονα x'ox στις θέσεις Κ(x Κ = 1,7 m) και (x = + 1,7 m), αντίστοιχα. Οι δύο πηγές παράγουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα με συχνότητα = 3 10 Hz. Ανιχνευτής ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων βρίσκεται επάνω στο οριζόντιο επίπεδο xoy στη θέση Ζ, με (ΚΖ) = r 1 < (Ζ) = r 2 και ανιχνεύει μέγιστο έντασης λόγω της συμβολής των κυμάτων στη θέση αυτή. Στο ευθύγραμμο τμήμα Ζ και μεταξύ των θέσεων και Ζ υπάρχουν έξι θέσεις στις οποίες ο ανιχνευτής δεν καταγράφει σήμα. α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. β. Να υπολογίσετε το πλήθος των θέσεων που βρίσκονται ανάμεσα στις δύο πηγές και επάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Κ στις οποίες ο ανιχνευτής δεν θα κατέγραψε σήμα. γ. Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου Θ του ευθύγραμμου τμήματος Κ το οποίο βρίσκεται επάνω στην ίδια υπερβολή με το σημείο Ζ. Η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό είναι: c = 3 10 m/s. ύση α. Το μήκος κύματος λ των δύο κυμάτων υπολογίζεται με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής θεωρίας. Έχουμε: c 3 10 c 1m 3 10 β. Η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών είναι: = x Κ + x = 3,4 m Θεωρούμε σημείο Σ του ευθύγραμμου τμήματος Κ, ανάμεσα στις δύο Κ x 1 M Σ x 2 πηγές, στο οποίο ο ανιχνευτής δεν καταγράφει σήμα, δηλαδή τα κύμα- Π 2 τα συμβάλλουν στο σημείο αυτό ακυρωτικά. Έστω x 1 και x 2 οι αποστάσεις του σημείου Σ από τις πηγές και Π 2 αντίστοιχα, όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα. Για το σημείο Σ ισχύει: x1 x2 ( 2N 1 ) (1), Ν = 0, ±1, ±2,... και 2 x 1 + x 2 = (2) προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω και προκύπτει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 5
2x1 ( 2N 1) x1 x1 0,5 0,25 1,7 x1 0,5 1,95 (m) 2 2 4 2 Επίσης, πρέπει να ισχύει: 0 x1 0 0,5 1,95 3, 4 1,95 0,5 1,45 3,9 2,9 Άρα Ν = 3, 2, 1, 0, 1, 2 Επομένως, υπάρχουν 6 θέσεις επάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Κ, όπου ο ανιχνευτής δεν καταγράφει σήμα. γ. Εφόσον μεταξύ των θέσεων και Ζ υπάρχουν έξι θέσεις ακυρωτικής συμβολής (θέσεις όπου ο ανιχνευτής δεν κα- Ν = 3 Ζ r 1 Κ Ν = 2 Θ Ν = 1 r 2 Ν = 0 ταγράφει σήμα), η θέση Ζ βρίσκεται στην υπερβολή ενισχυτικής συμβολής με Ν = 2 1 Π2 3, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σύμφωνα με την εκφώνηση, το σημείο Θ ανήκει στην ίδια υπερβολή που ανήκει και το σημείο Ζ. Έτσι, εάν 1 και 2 είναι οι αποστάσεις της θέσης Θ από τις πηγές και Π 2 αντίστοιχα, ισχύει η σχέση: 2 1 = 3λ (3) Επίσης, για τις αποστάσεις 1 και 2 ισχύει: 2 + 1 = (4) 3 Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (3) και (4), προκύπτει: 22 3 2 2 3,2m 2 και 1 = 2 1 = 0,2 m. Από τις αποστάσεις αυτές από τις πηγές μπορούμε αν θέλουμε να προσδιορίσουμε και τις θέσεις του Θ πάνω στον άξονα x x, οι οποίες είναι: x 1Θ = 1,7 + 0,2 x 1Θ = 1,5 m και x 2Θ = 1,7 + 3,2 x 2Θ = 1,5 m. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 6
4. Δύο σύγχρονες πηγές ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και Π 2 βρίσκονται στη διεύθυνση του άξονα x Ox, και απέχουνε μεταξύ τους απόσταση = r 1 m, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ένας ανιχνευτής ηλεκτρομαγνητικών Π 2 κυμάτων βρίσκεται σε ημιευθεία κάθετη στην Π 2 που περνάει από την και σε απόσταση 6 m απ αυτή. Η θέση αυτή είναι η πλησιέστερη στην, όπου ο ανιχνευτής μπορεί να εντοπίσει μέγιστο έντασης λόγω της συμβολής των κυμάτων. Μεταξύ των πηγών και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π 2 υπάρχουν πέντε σημεία ενισχυτικής συμβολής. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των κυμάτων. ύση Η συμβολή των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων έχει την ίδια φυσική ερμηνεία με τη συμβολή των μηχανικών κυμάτων. Η διαφορά των δρόμων που ακολουθεί το κύμα για να φτάσει από τις δύο r 1 r 2 σύγχρονες πηγές σ' ένα σημείο είναι η αιτία της εμφάνισης ακυρωτικής ή ενισχυτικής συμβολής σ' αυτό το σημείο. Το σημείο Π 2 είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής και συνεπώς οι αποστάσεις του r 1 και r 2 από τις δύο πηγές ικανοποιούν τη σχέση: r 1 r 2 = Νλ με Ν = 0, ± 1, ±2,... Αφού έχουμε πάνω στην Π 2 πέντε σημεία ενισχυτικής συμβολής θα έχουμε δύο υπερβολές δεξιά της μεσοκαθέτου την μεσοκάθετο και δύο αριστερά της μεσοκαθέτου όπως στο σχήμα. Επειδή r 1 < r 2, θα έχουμε: Ν = 2. Άρα: r 2 r 1 = 2λ Είναι r 1 = 6 m και 2 2 r2 6 10m Επομένως: 2λ = r 2 r 1 λ = 2 m. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 6972 112 712, 6975260623 W.U. 7