ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Θεωρία Συνόλων -- ΕΡΡ: Κεφάλαιο 5 -- ROSEN: Κεφάλαιο 2 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού 4 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Σύνολα Georg Cantor: «Σύνολο είναι μια συλλογή συγκεκριμένων και διαφορετικών αντικειμένων της διαίσθησης ή της σκέψης μας που συγκροτούν μια ολότητα.» Συμβολισμοί: Ένα σύνολο αποτυπώνεται: gcantor.jpg Με καταγραφή (ψευδωνύμων) δ ύ των στοιχείων του: Σ = { α, β, γ }. Περιγραφικά (δηλαδή, με αποτύπωση μιας επιθυμητής ιδιότητας) από ένα (ήδη γνωστό) σύμπαν: Α = { κ Ν : κ 7 } B = «πρωτοετείς φοιτητές του CS.UOI» Ως επιφάνεια του επιπέδου, το οποίο αναπαριστά κάποιο σύμπαν που θεωρούμε (διάγραμμα Venn). α Σ, β Σ ή { }: Κενό σύνολο (δεν περιέχει κανένα αντικείμενο). 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παρατηρήσεις Για κάθε σύνολο Σ και κάθε στοιχείο α, ισχύει ότι είτε το α ανήκει στο Σ, ή το α δεν ανήκει στο Σ (όχι και τα δυο). Σε ένα σύνολο Σ, κάθε αντικείμενο α που περιλαμβάνεται στο Σ συνήθως έχει μια ιδιότητα Ρ (που χαρακτηρίζει το Σ). Πχ, το σύνολο Z των ακέραιων αριθμών, το { z Z : PRIME(z) = A } των πρώτων (ακέραιων) αριθμών, κ.λπ. εν έχει νόημα η επανάληψη των εμφανίσεων ενός στοιχείο στο Σ. Πχ, τα σύνολα { α, β, γ, α }, { α, β, γ } ταυτίζονται!!! Θεωρούμε τα σύνολα ως μη διατεταγμένες συλλογές αντικειμένων: Πχ, τα { α, β, γ }, { α, γ, β }, { β, α, γ }, { γ, α, β }, { β, γ, α } και { γ, β, α } αναπαριστούν το ίδιο σύνολο. Ένα σύνολο μπορεί να περιέχει ως στοιχεία του οποιαδήποτε διακεκριμένα ρμ αντικείμενα. Πχ: Α = { α, {δ,ε}, β, }, Β = { α, { α }, { { α } } }. 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μια Πρακτική «Θεώρηση» των Συνόλων Τι είναι ακριβώς τα... { α, β, γ }? β β α γ α γ { { α, β } }? α β α β {{{{ { α }, β }}}? α β α β 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Υποσύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.1: Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α, Β: Το Α είναι υποσύνολο του Β ( Α Β ), ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το Α δεν είναι υποσύνολο του Β ( Α Β ), ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ υπάρχει στοιχείο του Α που ΕΝ ανήκει στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β ( Α Β ) ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ το Α είναι υποσύνολο του Β ΚΑΙ το Β δεν είναι υποσύνολο του Α: Α Β Α Β Β Α 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Παραδείγματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.1: Εξετάστε αν ισχύουν τα εξής: 1. {α,β} { α, β, γ, δ, ε }? 2. {α,β} { α, { β, γ, δ }, ε }? ΝΑΙ ΟΧΙ 3. {α,β} {{ α, β }, γ, δ, ε }? ΟΧΙ 4. {α,β} { { α, β }, γ, δ, ε }? ΝΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.2: Είναι δυνατόν να ισχύει για δυο σύνολα Α,Β ότι: 1. Α Βκαι Α Β? ΝΑΙ: Πχ, Α = { α }, Β = { α, {α} } 2. Α Βκαι Β Α? ΟΧΙ 3. Α Βκαι Β Α? ΝΑΙ: Πχ, Α = { α }, Β = { α } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.3: Για τα σύνολα Ζ, Q, R των ακέραιων, ρητών και πραγματικών αριθμών, εξηγείστε ποιο είναι (γνήσιο ή μη) υποσύνολο ποιου συνόλου. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Ταύτιση Συνόλων και υναμοσύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.2: Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α, Β : Τα Α και Β ταυτίζονται ( Α Β ) όταν οποιοδήποτε στοιχείο ανήκει στο Α ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ ανήκει και στο Β: Α Β Χ( Χ Α Χ Β ) Το δυναμοσύνολο Ρ(Α) ( ) (ή 2 Α ) του συνόλου Α, είναι το σύνολο ΟΛΩΝ των υποσυνόλων του Α: Χ( Χ Ρ(Α) Χ Α ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.4: Ποιο είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου Α = { α, β, γ }? ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ρ(Α) ={, {α}, {β}, {γ}, {α,β}, {α,γ}, {β,γ}, {α,β,γ} β }. 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Πληθάριθμος υναμοσυνόλου ΑΣΚΗΣΗ Σ.1: Πόσα στοιχεία έχει το δυναμοσύνολο Ρ(Α) ενός συνόλου Α με Ν στοιχεία (πχ, Α = { 1, 2,..., Ν })? ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για κάθε στοιχείο του Α, ακριβώς ΥΟ επιλογές: Να το συμπεριλάβω στο υποσύνολο, ή να το παραλείψω. Πχ, για Α = { a,b,c} έχουμε: Ρ(Α) = Πλήθος φύλλων = 2 Α ΕΝΑΛΛ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Κάθε υποσύνολο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα μοναδικό στοιχείο από ένα σύνολο διαδοχικών φυσικών αριθμών. { } (000) 2 = 0 {α} (100) 2 = 4 {β} (010) 2 = 2 {γ} (001) 2 = 1 {α,β} (110) 2 = 6 {α,γ} (101) 2 = 5 {β,γ} (011) 2 =3 {α,β,γ} (111) 2 = 7 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.1: Μερικές Ιδιότητες Υποσυνόλων Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α,Β ισχύουν τα εξής: 1. Α Α 2. Α 3. Α Β αν και μόνο αν Α Β και Β Α ΑΠΟ ΕΙΞΗ: 1. Α Α = Χ( Χ Α Χ Α ) (έγκυρος τύπος) 2. Α = Χ( Χ Χ Α ) (έγκυρος τύπος: το Χ είναι αντίφαση) 3. Α Β = Χ( Χ Α Χ Β ) Χ[ (Χ Α Χ Β) (Χ Β Χ Α) ] Χ(Χ Α Χ Β) Χ(Χ Β Χ Α) Α Β Β Α 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ελέγχου Ταύτισης Συνόλων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.5: Ποια από σύνολα Α, Β, Γ ταυτίζονται? Α = { ρ : το ρείναι άρτιος μεταξύ του 1 και του 10 } Β = { ρ : ρ σ + τ σ { 1, 3, 5 } τ { 1, 3, 5 } } Γ = { 2, 4, 6, 8, 10 } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.6: Στο σύμπαν Ζ των ακέραιων αριθμών, τα υποσύνολα Α, Β, Γ, ορίζονται ως εξής: Α = { ρ : σ( ρ 2*σ ) } Β = το υποσύνολο των άρτιων ακεραίων. Γ = { ρ : σ( ρ 2*σ 2)} = { ρ : σ( ρ 3*σ + 1 ) } Τι από τα ακόλουθα ισχύει? (1) Α Β. (2) Α. (3) Α Γ. ΝΑΙ (???) (???) 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ελέγχου Ταύτισης Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.6 (συνέχεια): (2) ΟΧΙ: Αν ίσχυε η ταύτιση των Α, τότε θα έπρεπε να αληθεύει ότι Α : Κάθε άρτιος ακέραιος γράφεται σαν ο επόμενος κάποιου ακέραιου πολλαπλάσιου του 3. ηλαδή: σ( ρ 2*σ ) τ( ρ 3*τ+1 ) }. Όμως η συγκεκριμένη πρόταση διαψεύδεται για σ = 4 γιατί θα έπρεπε να ισχύει ότι τ =(2*4 1)/3 = 7/3 (ΑΤΟΠΟ) (3) ΝΑΙ: Θδο Α Γ και Γ Α. Α Γ = ρ( ( ρ Α ρ Γ ) ρ[ σ( ρ 2*σ ) τ( ρ 2*τ 2 ) ] ρ σ τ[ (ρρ 2*σ σ ) ( ρ 2*τ τ 2)] Για τυχόντα ρ,σ Ζ, (αφού αφορούν καθολικούς ποσοδείκτες), επιλέγουμε (γιατί αφορά υπαρξιακό ποσοδείκτη) το τ = σ+1 Ζ. Γ Α = ρ( ρ Γ ρ Α ) ρ[ τ( ρ 2*τ 2) σ( ρ 2*σ ) ] ρ τ σ[( ρ 2*τ τ 2) ( ρ 2*σ σ )] Για τυχόντα ρ,τ Ζ, επιλέγουμε το σ = τ 1 Ζ. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.3: Πράξεις Συνόλων (Ι) Για δυο οποιαδήποτε σύνολα Α,Β και σύμπαν Ω: 1. Ένωση Α Β των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει ΟΛΑ τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β (ή και στα δυο). 2. Τομή Α Β των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει ΟΛΑ τα στοιχεία που ανήκουν και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ (με διαγράμματα Venn): Α, Β, Ω Α Β, Ω Α Β, Ω 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Ιδιότητες Ένωσης και Τομής Συνόλων (Ι) ΕΝΩΣΗ Α Α Α Α Α Α Β Β Α ΑΝ Β Α ΤΟΤΕ Β Α Α ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΟΜΗ Α Α Α Α Α Β Β Α ΑΝ Β Α ΤΟΤΕ Β Α = Β Α (Β Γ) (Α Β) Γκαι Α (Β Γ) (Α Β) Γ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ Α (Β Γ) (Α Β) (Α Γ) και Α (Β Γ) (Α Β) (Α Γ) Εξήγηση Επιμεριστικότητας: για τυχόν στοιχείο του σύμπαντος, α Ω, α Α (Β Γ) α Α α Β Γ α Α ( α Β α Γ ) Ορισμός των, ( α Α α Β ) ( α Α α Γ ) Επιμεριστικότητα, ( α Α Β ) ( α Α Γ ) Ορισμός του α (Α Β) (Α Γ) Ορισμός του 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες Ένωσης και Τομής Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.7: Εφαρμόζοντας κατ επανάληψη την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να δείξουμε ότι: Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Με επαγωγή στο πλήθος κ των συνόλων Β κ. ΒΑΣΗ: Α (Β 1 Β 2) (Α Β 1) (Α Β 2) Επιμεριστική Ιδιότητα ΕΠ. ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω για κάποιο κ 2 ότι Α (Β 1 Β 2... Β κ ) (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) ΕΠ. ΒΗΜΑ: Α (Β 1 Β 2... Β κ Β κ+1 ) Α [(Β 1 Β 2... Β κ ) Β κ+1 ] Προσεταιριστικότητα [ Α (Β 1 Β 2... Β κ ) ] (Α Β κ+1 ) Επιμεριστικότητα [(Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ )] (Α Β κ+1 ) Επαγ. Υπόθεση (Α Β 1 ) (Α Β 2 )... (Α Β κ ) (Α Β κ+1 ) Προσεταιριστικότητα 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Πράξεις Συνόλων (ΙΙ) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.4: Για δυο σύνολα Α,Β, και σύμπαν Ω: 1. Τα Α,Β ονομάζονται ξένα σύνολα ΑΝΝ Α Β. 2. ιαμέριση του συνόλου Α ονομάζεται μια συλλογή { Γ 1 1,,Γ 2,...,Γ, κ } Ρ(Α) ( ) μη κενών υποσυνόλων του Α τ.ώ.: Γ 1 Γ 2... Γ κ Α ΚΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ α,β {1,2,...,κ}, {,,, ΑΝ α β ΤΟΤΕ Γ α Γ β 3. ιαφορά Α Β, ή Α \ Β, των Α και Β λέγεται το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του Α που ΕΝ ΑΝΗΚΟΥΝ στο Β. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ: ΞΕΝΑ ΣΥΝΟΛΑ Α,Β ΙΑΜΕΡΙΣΗ του Α ΙΑΦΟΡΑ Α Β 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.5: Πράξεις Συνόλων (ΙΙΙ) Για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β, και σύμπαν Ω: 1. Συμμετρική διαφορά Α Β των Α,Β είναι η ένωση των διαφορών τους: Α Β = (Α Β) (Β Α). 2. Συμπλήρωμα ΝΟΤ(Α) ή Α c του συνόλου Α είναι η διαφορά του σύμπαντος από το Α : ΝΟΤ(Α) ( ) = Ω Α. 3. Πληθάριθμος Α (πεπερασμένου) συνόλου Α είναι το πλήθος των στοιχείων που περιλαμβάνει το Α. ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ: Α, Β, Ω Α Β, Ω Α c A ΝΟΤ(Α) ή Α c Α 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Ιδιότητες ιαφοράς Συμπληρώματος Πληθάριθμου ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΙΑΦΟΡΑ Α Β Β Α ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΟΣ Α B Α + B Α Β (Α Β) (Α B) Πώς αποδεικνύεται??? (α) (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Α B) (β) (Α Β) (Α B) (Α Β) (Β Α) (βλ. επόμενη διαφάνεια) Α B MIN{ Α, B } Α B Α B Α Β = Α + Β - 2 Α Β ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ (Κανόνες De Morgan) (A B) c A c B c Α Β (Α B)c B Α Α c c Β Bc (A B) c A c B c 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (Ι) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πράξεις συνόλων έχουν μεγαλύτερη προτεραιότητα από τελεστές σύγκρισης συνόλων,, που έχουν μεγαλύτερη προτεραιότητα από λογικούς συνδέσμους. Πχ, Α B Γ α Β [ (Α B) Γ ] (α Β) ΤΡΟΠΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΥΠΟΣΥΝΟΛΩΝ Έστω ότι θέλουμε νδο Α Β (Α Β) (Α B). Αρκεί νδο (α) (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Α B) (β) (Α Β) (Α B) ( ) (Α Β) (Β Α) ( ) Αποδεικνύουμε το (α) ως εξής (ίδιος τρόπος και για το (β)): ΒΗΜΑ [α.1] Θεωρούμε αυθαίρετο (δηλαδή, συγκεκριμένο αλλά απροσδιόριστο) στοιχείο α (Α Β) (Β Α). ΒΗΜΑ [α.2] Αποδεικνύουμε ότι α (Α Β) (Α B). 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (ΙΙ) Απόδειξη ΒΗΜΑΤΟΣ [α.2] ΕΣΤΩ α (Α Β) (Β Α) ΤΟΤΕ α Α Β α Β Α Ορισμός ένωσης ιερευνούμε τις εξής (αμοιβαία αποκλειόμενες) περιπτώσεις: [α.2.1] ΕΣΤΩ α Α Β ΤΟΤΕ α Α α Β Ορισμός διαφοράς συνόλων ΟΜΩΣ ΑΝ α Α ΤΟΤΕ α Α Β Α Α Β ΚΑΙ ΑΝ α Β ΤΟΤΕ α Α Β Α Β Β ΑΡΑ: [α.2.2] ΕΣΤΩ α Α Β α Α Β Λ : α (Α Β) (Α Β) Ορισμός διαφοράς συνόλων α Α Β ΤΟΤΕ α Β Α ΤΟΤΕ... Όπως και στο [α.2.1] ΑΡΑ: α (Β Α) (Β Α) Λ : α (Α Β) (Α Β) Αντιμεταθετική Ιδιότητα, 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μεθοδολογία Απόδειξης Υποσυνόλων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βασικό τέχνασμα για απόδειξη ιδιοτήτων (πράξεων) συνόλων είναι η μετάβαση από τις πράξεις συνόλων στις αντίστοιχες περιγραφές τους (βάσει ορισμών) και στη συνέχεια η αξιοποίηση των νόμων της ΚΛ. Επιστρέφουμε κατόπιν και πάλι σε πράξεις συνόλων, αξιοποιώντας για μια ακόμη φορά τους ορισμούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Νδο (A B) c A c B c χωρίς διαγράμματα Venn. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (A B) c A c B c ΑΝΝ Χ[ Χ (A B) c Χ A c B c ] ΑΝΝ Χ[ (Χ A B ) (Χ A c ) (Χ B c )] ΑΝΝ Χ{ { [(Χ A) (Χ B)] (Χ A) ( ) (Χ B) ( ) } Το τελευταίο προφανώς ισχύει (N. De Morgan της ΠΛ). ΑΣΚΗΣΗ: Κατασκευάστε την απόδειξη του (β) (που λείπει) λί ) για την ιδιότητα Α Β (Α Β) (Α B). 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Ταυτότητες Συνόλων 1. (α) Α Β Β Α (β) Α Β Β Α 2. (α) (Α Β) Γ Α (Β Γ) (β) (Α Β) Γ Α (Β Γ) 3. (α) (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ) (β) (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ) 4. (α) Α Α (β) Ω Α Α 5. (α) Α Α c Ω (β) Α Α c 6. (Α c ) c Α 7. (α) Α Α Α (β) Α Α Α 8. (α) Ω Α Ω (β) Α 9. (α) (A B) c A c B c (β) (A B) c A c B c 10. (α) Α (Α Β) Α (β) Α (Α Β) Α 11. (α) Ω c (β) c Ω 21 12. Α Β Α Β c Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη Ταυτολογιών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.8: Να δειχθεί (δίχως διαγράμματα Venn) ότι ισχύουν οι νόμοι De Morgan για σύνολα: (α) (Α Β) c Α c Β c (β) (A Β) c Α c Β c ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αποδεικνύουμε το (α), ανάλογη η απόδειξη και για το (β). (Α Β) c Α c Β c ΑΝΝ [α.1] (Α Β) c Α c Β c ΚΑΙ [α.2] Α c Β c (Α Β) c [α.1] ΕΣΤΩ αυθαίρετο α (Α Β) c ΤΟΤΕ α Α Β ΤΟΤΕ [ α Α α Β ] ΤΟΤΕ (α ( Α) (α ( Β) ΤΟΤΕ α Α c α Β c ΤΟΤΕ α Α c Β c [α.2] ΕΣΤΩ αυθαίρετο α Α c Β c ΤΟΤΕ α Α c α Β c ΤΟΤΕ (α Α) (α Β) ΤΟΤΕ [ [ α Α α Β ] ΤΟΤΕ [ α Α B] ΤΟΤΕ α (Α B) c ΑΡΑ: (Α Β) c Α c Β c 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παρένθεση ως προς τη χρήση της ΚΛ Πολλές φορές στη θεωρία συνόλων εξυπηρετεί η χρήση ενός σύμπαντος που περιλαμβάνει ΚΑΙ τα αντικείμενα του Ω ΚΑΙ τα υποσύνολα ολα του Ω: Α = Ω Ρ(Ω). Προκειμένου να ελέγξουμε μια ιδιότητα δό φ(χ) για ΟΛΑ, ή για ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ αντικείμενο του Ω, μπορούμε να γράψουμε: Χ[ Χ Ω φ(χ) ] ή Χ[ Χ Ω φ(χ) ] Προκειμένου να ελέγξουμε μια ιδιότητα ψ(χ) για ΟΛΑ ή για ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ υποσύνολο του Ω, μπορούμε να γράψουμε: Χ[ [ Χ Ω ψ(χ) )]ή ή Χ[ [ Χ Ω ψ(χ) )] Ισοδύναμα: Χ[ Χ Ρ(Ω) ψ(χ) ] ή Χ[ Χ Ρ(Ω) ψ(χ) ] 23 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μοναδικότητα Κενού Συνόλου ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.2: Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου. ηλαδή: Α(Α Ω Α), όπου Ω το σύμπαν που θεωρούμε. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για χάρη της απαγωγής σε άτοπο, έστω ότι Α( Α Ω Α ) Α[ Α Ω Χ( Χ Χ Α ) ] Α Χ[ Α Ω Χ Χ Α c ] (ΑΤΟΠΟ) ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.3: ΑΝ ένα σύνολο Ε είναι υποσύνολο κάθε συνόλου Α Ω ΤΟΤΕ Ε. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Για χάρη της απαγωγής σε άτοπο, έστω ότι Ε{ Ε Ω Α[ Α Ω Ε Α ] ( Ε ) } Ε Α{ Ε Ω [ Α Ω Ε Α ] [Ε Ε ]} Η τελεταία ιδιότητα πρέπει να ισχύει για το αυθαίρετο σύνολο Ε, ΑΛΛΑ ΚΑΙ για κάθε σύνολο Α, άρα και για Α = : Ε{ Ε Ω [ Ω Ω Ε ] Ε } Ε{ Ε Ω Ε Ε } (ΑΤΟΠΟ) 24 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Απόδειξη Ιδιοτήτων με Χρήση Ταυτοτήτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.9: Νδο. χωρίς διαγράμματα Venn: (α) Χ Υ Χ Υ c (β) (Α Β) C (Α C) (Β C). ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Για αυθαίρετο στοιχείο α Ω: ANN ANN ANN α Χ Υ α Χ α Υ α Χ α Υ c α Χ Υ c (β) (Α Β) C (Α Β) C c (Α C c ) (Β C c ) (Α C) (Β C) 25 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ Σ.6: Καρτεσιανά Γινόμενα (Ι) Για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό Ν, και οποιαδήποτε (όχι απαραίτητα διακριτά μεταξύ τους) αντικείμενα Χ 1,ΧΧ 2,...,ΧΧ Ν το διατεταγμένο σύνολο (Χ 1,Χ 2,...,Χ Ν ) είναι μια συλλογή των συγκεκριμένων αντικειμένω με μια συγκεκριμένη σειρά (διάταξη). Για οποιοδήποτε ζεύγος συνόλων Α,Β, το καρτεσιανό γινόμενο ΑxBB είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων από τα Α και Β: ΑxB = { (a,β) : α Α β Β } 26 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Καρτεσιανά Γινόμενα (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς θα μπορούσε να αναπαρασταθεί το διατεταγμένο σύνολο ( α, β, α, α, β, γ, δ, α ) χρησιμοποιώντας αποκλειστικά μη διατεταγμένα σύνολα? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: { {1,α}, {2,β}, {3,α}, {4,α}, {5,β}, {6,γ}, {7,δ}, {8,α} } ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι από τα παρακάτω ισχύει? 1. (1,2) (2,1) 2. {1,2} {2,1} 3. {1,2} (1,2) 4. (3, (-2) 2, 1/2) ( 9, 4, 0.5) 5. Για τα σύνολα Α = {Χ,Υ}, Β = {1,2,3}, Γ = {α,β}, (Α x B) x Γ Α x (B x Γ) Α x B x Γ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ (3 ( 2) 2 1/2) ( 9 4 0 5) ΝΑΙ ΟΧΙ 27 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εγκλεισμός -- Αποκλεισμός Μερικά απλά συμπεράσματα για τον πληθάριθμο πεπερασμένων συνόλων που προκύπτουν από πράξεις συνόλων: ΑΝ ΤΟΤΕ Α Β = Α Β = Α ΚΑΙ Β Α = Β ΚΑΙ Α Β = Α Β = Α + Β Α -B Α B Β - Α Ω Α Β Α + Β Α Β ΜΙΝ { Α, Β } Α Β = Α + Β 2 Α Β Α Β Α Β ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ -- ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ Α Β = Α + Β Α Β 28 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Α Β Γ =??? Ενωση Περισσότερων Συνόλων? Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: Α Β = Α + Β Α Β και Α Β Γ = (Α Β) Γ Α Β Γ = = (Α Β) Γ = (Α Β) + Γ - (Α Β) Γ = Α + Β Α Β + Γ (Α Γ) (Β Γ) = Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + (Α Γ) (Β Γ) = Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ Έλεγχος μέσω διαγράμματος Venn: Α Α B Γ Β 29 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Γ Αρχή Εκγλεισμού Αποκλεισμού (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ Σ.4: Για κάθε κ 2 και για οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ = = Α 1 + Α 2 +... + Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α 3 +... + Α κ-1 Α κ ] +...+ (-1) λ-1 * [ Α 1 Α 2... Α λ-1 Α λ + Α 1 Α 2... Α λ-1 Α λ+1 + ] + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Σ.4: Με επαγωγή γή στο πλήθος των συνόλων. [ΒΑΣΗ] Για κ=2,3 (ΟΚ). [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Για κάποιο κ 1 και οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ, ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ = = Α 1 + Α 2 +... + Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α 3 +... + Α κ-1 Α κ ] +... + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θα πρέπει να δείξω ότι οποιαδήποτε σύνολα Α 1,Α 2,...,Α κ,α κ+1 ισχύει ότι: Α 1 Α 2... Α κ Α κ+1 = Α 1 + Α 2 +... + Α κ+1 [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α 3 +... + Α κ Α κ+1 ] +... + (-1) κ * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ Α κ+1. 30 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Αρχή Εκγλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Σ.4 (συνέχεια Επαγ. Βήματος): Α 1 Α 2... Α κ Α κ+1 = (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 = Α 1 Α 2... Α κ + Α κ+1 (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 // Βάση Επαγωγής = Α 1 + Α 2 +... + Α κ [ Α 1 Α 2 + Α 1 Α 3 +... + Α ] (1) 1 κ-1 Α κ +... + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ // Επαγ. Υπόθεση + Α κ+1 (Α 1 Α 2... Α κ ) Α κ+1 = Σ λ=1 κ+1 1 Α λ Σ λ,μ=1 κ: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 1 Α κ (Α 1 Α κ+1 ) (Α 2 Α κ+1 )... (Α κ Α κ+1 ) // Επιμεριστικότητα = Σ λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ-1 * Α 1 Α 2... Α κ-1 Α κ Α 1 Α κ+1 + Α 2 Α κ+1 + +... + Α κ Α κ+1 + (Α 1 Α 2 Α κ+1 )... (Α κ-1 Α κ Α κ+1 ) (-1) κ-1 * Α 1 Α 2 Α κ Α κ+1 // Επαγ. Υπόθεση = Σ + +( κ-1 λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ+1: λ μ Α λ Α μ (-1) 1 * Α 1 Α 2... Α Α κ-1 Α κ Α 1 Α κ+1 + Α 2 Α κ+1 +... + Α κ Α κ+1 + (Α 1 Α 2 Α κ+1 )... (Α κ-1 Α κ Α κ+1 ) (-1) κ-1 * Α 1 Α 2 Α Α κ Α κ+1 = Σ λ=1 κ+1 Α λ Σ λ,μ=1 κ+1: λ μ Α λ Α μ + + (-1) κ * Α 1 Α 2 Α κ Α κ+1 31 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.10: Ανάμεσα σε 30 αυτοκίνητα, 15 έχουν MP3 player, 8 έχουν κλιματισμό, 6 έχουν συναγερμό, ενώ 3 αυτοκίνητα διαθέτουν και τα τρία αξεσουάρ. Νδο τουλάχιστον 7 αυτοκίνητα δεν έχουν κανένα από αυτά τα αξεσουάρ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.10: Ω = το σύνολο των 30 αυτοκινήτων Α = { κ Ω: υπάρχει MP3 player στο κ} Α = 15 Β ={κ κ Ω: υπάρχει κλιματισμός στο κ} Β =8 Γ = { κ Ω: υπάρχει συναγερμός στο κ} Γ = 6 Γνωρίζουμε επίσης ότι Α Β Γ = 3. Ζητάμε κάτω φράγμα για το Ζ = ΝΟΤ(Α) ΝΟΤ(Β) ΝΟΤ(Γ). Ζ = Ω Α Β Γ = 30 Α Β Γ + Α Β + Α Γ + Β Γ Α Β Γ = 2 + Α Β + Α Γ + Β Γ 2 + 3* Α Β Γ // Α Β Γ Α Β, Α Β Γ Α Γ, Α Β Γ Β Γ 7 32 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.11: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε πόσοι αριθμοί του Ω δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 5 = Υποσύνολο του Ω με πολλαπλάσια του 5. 5 =? 7 = Υποσύνολο του Ωμε πολλαπλάσια του 7. 7 =? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15... 96 97 98 99 100 1234567 891011121314 11 12 13 14... 92 93 94 95 96 97 98 99 100 ΑΡΑ: 5 = 100 / 5 = 20 και 7 = 100 / 7 = 14. ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = Ω ( 5 7 ) = Ω 5 7 = Ω 5 7 + 5 7 = 100 20 14 + 5 7 5 7 =? Οι αριθμοί που διαιρούνται ΚΑΙ από το 5 ΚΑΙ από το 7 διαιρούνται και από το 5*7 7(ΓΙΑΤΙ?) ΑΡΑ: 5 7 = 100 / (7*5) = 2 και Ζ = 100 20 14 + 2 = 68 33 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.12: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε πόσοι αριθμοί από το Ω διαιρούνται με το 3, αλλά δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3 = 100 / 3 = 33, 5 = 100 / 5 = 20 και 7 = 100 / 7 = 14. ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = 3 ΝΟΤ( 5 ) ΝΟΤ( 7 ) = ΝΟΤ( ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ) = Ω ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ) = Ω ΝΟΤ( 3 3) 5 5 7 7 + NOT( 3 ) 5 + ΝΟΤ( 3 ) 7 + 5 7 ΝΟΤ( 3 ) 5 7 = 100 67 20 14 + ΝΟΤ( 3 ) 5 + ΝΟΤ( 3 ) 7 + 2 ΝΟΤ( 3 ) 5 7 ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς υπολογίζουμε τα NOT( 3 ) 5, NOT( 3 ) 7 και NOT( 3 ) 5 ΝΟΤ( 3 ) 5 7? 34 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.12: Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,...,100}. Να βρείτε: (ιι) Πόσοι αριθμοί από το Ω διαιρούνται με το 3, αλλά δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (συνέχεια) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς υπολογίζουμε τα NOT( 3 ) 5, NOT( 3 ) 7 και NOT( 3 ) 5 ΝΟΤ( 3 ) 5 7? Τα σύνολα NOT( 3 ) 5 και 3 5 διαμερίζουν το 5. ΑΡΑ: NOT( 3 ) 5 + 3 5 = 5 NOT( 3 ) 5 = 5 3 5 =20 100 / 15 =14 Παρόμοια: NOT( 3 3) 7 7 = 7 7 3 7 7 = 14 100 / 21 = 14 4 = 10 NOT( 3 ) 5 7 = 5 7 3 5 7 = 2 100 / 105 = 2 ΑΡΑ: Ζ = 100 67 20 14 + 14 + 10 + 2 2 = 23 35 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.13: Βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί μεταξύ του 1 και του 250 δεν διαιρούνται ακέραια από ΚΑΝΕΝΑΝ από τους 2,3 και 5. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.11: Ω = {1,2,3,..., Ω } Για κάθε φυσικό αριθμό Κ 1, έστω Α Κ το σύνολο των φυσικών του Ω που διαιρούνται ακέραια από το Κ. ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Α Κ = floor( Ω / Κ ) ΕΞΗΓΗΣΗ: ημιουργούμε Κ υποδοχές, που δέχονται τους αριθμούς Χ για τους οποίους Χ modulo Κ = 0 (η 1 η υποδοχή), ή Χ modulo Κ = 1 (η 2 η υποδοχή),..., Χ modulo Κ = Κ-1 (η Κ στή υποδοχή). Για κάθε ζεύγος (διαφορετικών) ΠΡΩΤΩΝ φυσικών Κ,Λ 2, Α Κ,Λ είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που διαιρούνται ΚΑΙ από το Κ ΚΑΙ από το Λ. ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Α Κ Α Λ = floor( Ω / (Κ*Λ) ) ΕΞΗΓΗΣΗ: Οι αριθμοί Χ που διαιρούνται ακέραια από δυο διαφορετικούς πρώτους αριθμούς Κ και Λ, διαιρούνται ακέραια ΚΑΙ από το Κ*Λ. Ομοίως για περισσότερους ερο ΠΡΩΤΟΥΣ φυσικούς αριθμούς. 36 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (V) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.13: Βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί μεταξύ του 1 και του 250 δεν διαιρούνται ακέραια από ΚΑΝΕΝΑΝ από τους 2,3 και 5. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σ.11 (συνέχεια): ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = ΝΟΤ(Α 2 ) ΝΟΤ(Α 3 ) ΝΟΤ(Α 5 ) = Ω Α 2 Α 3 Α 5 ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΣ--ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ: Α 2 Α 3 Α 5 = Α 2 + Α Α 3 + Α Α 5 Α 2 Α 3 Α 2 Α 5 Α 3 Α 5 + Α Α 2 Α 3 Α 5 Α 2 = floor(250/2) = 125; Α 3 = floor(250/3) = 83; Α 5 = floor(250/5) = 50 Α 2 Α 3 = floor( 250 / (2*3) ) = 41 Α 2 Α 5 = floor( 250 / (2*5) ) = 25 Α 3 Α 5 5 = floor( 250 / (3*5) ) = 16 Α 2 Α 3 Α 5 = floor( 250 / (2*3*5) = 8 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ = 250 [125+83+50 41 25 16+8] = 250 184 = 66 37 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VI) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.14: 75 παιδιά πήγαν σε ένα λούνα παρκ, όπου έχουν την επιλογή να διαλέξουν μεταξύ τριών παιχνιδιών (έστω Α, Β και Γ). 20 παιδιά δοκίμασαν (μια φορά) και τα τρία παιχνίδια, 55από αυτά πήγαν σε τουλάχιστον δυο από τα τρία παιχνίδια, ενώ κανένα παιδί δεν έπαιξε το ίδιο παιχνίδι περισσότερες από μια φορές. Η συμμετοχή σε καθένα από τα παιχνίδια κοστίζει (για κάθε παιδί) 0,50ευρώ, ενώ η συνολική είσπραξη του λούνα παρκ τελικά ήταν 70 ευρώ. Πόσα παιδιά δάδε συμμετείχαν σε κανένα παιχνίδι? ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ? Ζ = Ω Α Β Γ = Ω Α Β Γ + Α Β + Α Γ + Β Γ Α Β Γ 75 =? Ω 20 =? Α Β Γ 55 =? (Α Β) (Α Γ) (Β Γ) =? Α Β + Α Γ + Β Γ 2* Α Β Γ 140 = 70 / 0.5 =? = Α + Β + Γ ΑΡΑ: Ζ = 75 140 + 95 20 = 10 38 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VII) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.15: Ας θεωρήσουμε γνωστό ότι για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς Κ, Μ 1, μπορούμε να κατασκευάσουμε Μ Κ διαφορετικές συμβολοσειρές μήκους Καπό ένα Μ-δικό αλφάβητο. Να υπολογίσετε το πλήθος των 20-ψήφιων συμβολοσειρών στο δεκαδικό αλφάβητο Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} όπου καθένα από τα ψηφία 1, 2 και 3 ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ τουλάχιστον μια φορά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α κ : Σύνολο 20-ψήφιων συμβολοσειρών όπου το ψηφίο κ Σ ΕΝ ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ καθόλου. ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ: Ζ = ΝΟΤ(Α 1 Α 2 Α 3 ) = Ω Α 1 Α 2 Α 3 ) Α 1 Α 2 Α 3 = Α Α 1 + Α 2 + Α 3 Α Α 1 Α 2 Α Α 1 Α 3 Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Ω = 10 20 κ {1,2,3}, Α κ = 9 20 {κ,λ} {1,2,3}, Α 1 Α 2 = 8 20 Α Α Α 1 Α 2 Α 3 = 7 20 39 Τμήμα Μηχ. Ζ Η/Υ = & 10 20 Πληροφορικής 3*9 20 Παν/μίου Ιωαννίνων + 3*8 20 / ΜΥΥ204: ιακριτά 7 20 Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VIΙI) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σ.16: Σε μια δημοσκόπηση που έγινε μεταξύ των εργαζόμενων του Πανεπιστημίου, δυο φοιτητές καταμέτρησαν (ο κάθένας ξεχωριστά) τα εξής αποτελέσματα: 60% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο. 50% των εργαζομένων παίζει μπριτζ. 70% των εργαζομένων πάει για τρέξιμο. 20% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο και μπρίτζ. 30% των εργαζομένων παίζει ποδόσφαιρο και πάει για τρέξιμο. 40% των εργαζομένων παίζει μπριτζ και πάει για τρέξιμο. Οι δυο φοιτητές όμως διαφωνούν στο ποσοστό των εργαζομένων που ασχολούνται και με τις τρεις δραστηριότητες. Ο πρώτος φοιτητής ισχυρίζεται ότι 20% των εργαζομένων κάνει και τις τρεις δραστηριότητες, ενώ ο δεύτερος λέει ότι το σωστό ποσοστό είναι 15%. Ποιος από τους δυο φοιτητές έχει δίκιο? Εξηγήστε τον ισχυρισμό σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Π Μ Τ = Π Μ Τ Π Μ Τ + Π Μ + Π Τ + Μ Τ =< Ω Π Μ Τ + Π Μ + Π Τ + Μ Τ = 10, Και οι δυο φοιτητές έχουν κάνει λάθος στη μέτρηση. είτε την πλήρη απάντηση στην 2η ανάθεση του 2010. 40 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Θεωρία συνόλων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.