Διακριτά Μαθηματικά Ι
|
|
- Γάννη Σοφοκλής Ζωγράφος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Μαθηματική Επαγωγή ΕΡΡ, κεφάλαια 3-4 ROSEN, κεφάλαιο 5 3 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Αρχή Ασθενούς Μαθηματικής Επαγωγής Ένα από τα πιο σημαντικά αποδεικτικά εργαλεία λί των ιακριτών Μαθηματικών!! Έστω λογική πρόταση Π(κ) που ελέγχει την ισχύ κάποιας ιδιότητας π, που έχει ως παράμετρο κάποιον φυσικό αριθμό κ. ΑΝ Βάση (α) Μπορώ να δείξω την αλήθεια της πρότασης Π(κ 0 ), δηλαδή, για Επαγωγής μια συγκεκριμένη τιμή κ 0, την ισχύ της ιδιότητας της ιδιότητας π. (β) Καταφέρνω να δείξω ότι: ΓΙΑ ΑΥΘΑΙΡΕΤΟ κ κ 0, Υπόθεση Βήμα ΑΝ αληθεύει η Π(κ) ΤΟΤΕ αληθεύει και η Π(κ+1). ΤΟΤΕ η πρόταση Π(κ) αληθεύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ τιμή κ κ 0 της παραμέτρου!!! 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
3 Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.1: Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό ν 10 ισχύει ότι 2 ν > ν 3. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.1: Παράμετρος Επαγωγής = φυσικός αριθμός ν 10. [ΒΑΣΗ] ν=10: 2 10 = 1024 > 10 3 =1000 (ΟΚ) [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω κάποιος ΑΥΘΑΙΡΕΤΟΣ ακέραιος αριθμός κ 10 τ.ώ. 2 κ > κ 3. Χρήση Επαγωγικής Υπόθεσης [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ τον ακέραιο αριθμό κ+1. Θα δείξω ότι: 2 κ+1 > (κ+1) 3. ΠΩΣ??? 2 κ+1 = 2 * 2 κ > (1 + 1/10) 3 * 2 κ (1 + 1/κ) 3 * 2 κ > (1 + 1/κ) 3 * κ 3 = (κ+1) 3. 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.2: Νδο χρησιμοποιώντας ΜΟΝΟ χαρτονομίσματα των 20 και 50 ευρώ, μπορούμε να σχηματίσουμε οποιοδήποτε ποσό που είναι πολλαπλάσιο του 10 και μεγαλύτερο μγ ή ίσο του 40. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.2: Παράμετρος Επαγωγής? [ΒΑΣΗ] Για Λ = 4, 40 = 4*10 Ευρώ: 40 = 2*20 + 0*5 (ΟΚ) [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω ότι ΓΙΑ ΚΑΠΟΙΟ ποσό 10Λ 40 ισχύει ότι: 10Λ = 20Χ(Λ) + 50Υ(Λ) για φυσικούς αριθμούς Χ(Λ),Υ(Λ). [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ το ποσό 10(Λ+1). Θδο 10(Λ+1) = 20Χ(Λ+1) + 50Υ(Λ+1), για φυσικούς αριθμούς Χ(Λ+1),Υ(Λ+1). (α) Υ(Λ) 1: 10(Λ+1) = 10Λ + 10 = 20Χ(Λ) + 50Υ(Λ) + 10 = 20Χ(Λ) + 50[Υ(Λ)-1]+60 = 20[Χ(Λ)+3] + 50[Υ(Λ)-1] (β) Υ(Λ) = 0: Παρατηρώ ότι 10Λ = 20Χ(Λ) 40 Χ(Λ) 2. 10(Λ+1) = 10Λ + 10 = 20Χ(Λ) + 10 = 20*[Χ(Λ)-2] + 50*1. 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
4 Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.3: Να δειχθεί ότι το άθροισμα των πρώτων (στη σειρά) κ περιττών αριθμών ισούται με κ 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ο κ-στός μικρότερος περιττός αριθμός είναι ο 2κ-1, για κάθε φυσικό αριθμό κ 1. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.3: Παράμετρος επαγωγής? [ΒΑΣΗ] Προφανώς ισχύει ότι 1 = 1 2. Χρήση Επαγωγικής Υπόθεσης [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] ] Έστω για κάποιο κ 1 ότι ισχύει για τον κ-στό περιττό αριθμό 2κ-1: [2κ-1] = κ 2. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ τον (κ+1)-στό ό περιττό αριθμό, δηλαδή δή τον 2κ+1. Θδο [2κ+1] = (κ+1) 2. Πράγματι: [2κ-1] + [2(κ+1)-1] = κ 2 + 2κ + 1 = (κ+1) 2. 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.4: Κάθε σκακιέρα διάστασης 2 κ x2 κ στην οποία υπάρχει οπουδήποτε ένα ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ τετράγωνο,, μπορεί να καλυφθεί πλήρως με τριόμινα (= γωνίες από τρία εφαπτόμενα τετράγωνα) που δεν επικαλύπτονται ούτε εκτείνονται εκτός της σκακιέρας. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.4: [ΒΑΣΗ] κ=0 (τετριμμένη περίπτωση). [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] ] Έστω ότι για κάποιο κ 1 ισχύει πως μπορώ να καλύψω τη σκακιέρα 2 κ-1 x2 κ-1 με τριόμινα. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θδο ότι μπορώ να καλύψω και τη σκακιέρα 2 κ x2 κ με τριόμινα. (α) Χωρίζω τη 2 κ x2 κ σκακιέρα σε τέσσερις 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρες. (β) Η 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρα με το απαγορευμένο τετράγωνο καλύπτεται πλήρως από τριόμινα (επαγ. υπόθεση). ) (γ) Για τις 3 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρες θεωρώ ότι έχουν από ένα ψευδοαπαγορευμένο τετράγωνο, έτσι ώστε τα τρία αυτά τετράγωνα να σχηματίζουν ένα τριόμινο. Καλύπτω τα υπόλοιπα τετράγωνά τους από επαγωγική υπόθεση. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
5 Προβληματικές Χρήσεις Επαγωγής (Ι) Παράδειγμα IND.6: Όλες οι μπάλες του μπιλιάρδου έχουν ίδιο χρώμα. «ΑΠΟ ΕΙΞΗ»: [ΒΑΣΗ] [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Κάθε συλλογή από Κ 1 μπάλες είναι μονοχρωματική. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Έστω οποιαδήποτε συλλογή από Κ+1 μπάλες. ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ??? 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Προβληματικές Χρήσεις Επαγωγής (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.7: Για οποιεσδήποτε κευθείες θί στο επίπεδο που ανά δυο ΕΝ ΕΙΝΑΙ παράλληλες, ισχύει ότι ΟΛΕΣ τέμνονται σε ένα σημείο του επιπέδου. «ΑΠΟ ΕΙΞΗ» [ΒΑΣΗ] Για μια (ακόμα και για δυο ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ) ευθεία του επιπέδου, ο ισχυρισμός αληθεύει. [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω ότι ΓΙΑ ΚΑΠΟΙΟ Κ 1 οποιεσδήποτε Κ μη παράλληλες ευθείες διέρχονται από κοινό σημείο του επιπέδου. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Έστω ότι οποιεσδήποτε Κ+1 2 ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ευθείες Λ 1,Λ 2,...,Λ Κ+1 του επιπέδου. Οι Καπό αυτές Λ 1,Λ 2,...,Λ Κ πρέπει (επ. υπ.) να τέμνονται σε κοινό σημείο, έστω Ρ. Οι Κ από αυτές Λ 2,Λ 3,...,Λ Κ+1 πρέπει (επ. υπ.) να τέμνονται σε κοινό σημείο, έστω Ρ. ΑΝ Ρ Ρ ΤΟΤΕ οι (μη παράλληλες) ευθείες Λ 2,Λ 3,...,Λ Κ (που διέρχονται και από τα δυο αυτά σημεία) ταυτίζονται (ΑΤΟΠΟ) ΑΡΑ: Αφού διαφορετικές ευθείες, Ρ=Ρ!!! ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ??? 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
6 Αρχή της Ισχυρής Μαθηματικής Επαγωγής Έστω μια οποιαδήποτε μια πρόταση Π(κ) που ελέγχει την αλήθεια μιας ιδιότητας π, ως παράμετρος της τιμής κ. ΑΝ Βάση (α) Μπορώ να δείξω την αλήθεια της πρότασης Π(κ 0 ), δηλαδή, για Επαγωγής μια συγκεκριμένη τιμή κ 0 της ιδιότητας π. (β) Καταφέρνω να δείξω ότι: ΓΙΑ ΑΥΘΑΙΡΕΤΟ κ κ 0, ΑΝ ΤΟΤΕ Υπόθεση αληθεύει η Π(λ) ( ) για όλες τις τιμές μςκ 0 λ κ αληθεύει και η Π(κ+1). ΤΟΤΕ η πρόταση Π(κ) αληθεύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ στιγμιότυπο με τιμή της αριθμητικής ιδιότητας, κ κ 0!!! ΗΛΑ Η: Π(κ 0 ) ΚΑΙ... ΚΑΙ Π(κ) Π(κ+1) Βήμα 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.8 (βλ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11): Νδο το σύνολο συνδέσμων Σ4 = {, } ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω γλώσσα της ΠΛ με μόνο μια μεταβλητή, την p. Θδο ΠΑΝΤΑ ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(φ) = Α, για κάθε φ με συνδέσμους από το Σ4. Άρα είναι αδύνατον να εκφραστεί ο φ = p. [ΒΑΣΗ] Mε 0 συνδέσμους, υπάρχει ένας και μόνο τύπος Χ(0) = p, και ισχύει ότι ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(0)) = Α. [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω ότι για κάποιο Κ 0, και οποιονδήποτε τύπο χ(λ) με ακριβώς 0 Λ Κ συνδέσμους, που είναι όλοι από το Σ4, ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(λ)) = Α. [ΒΗΜΑ] Θεωρώ τυχόντα τύπο χ(κ+1) με Κ+1 συνδέσμους, μόνο από το Σ4. Τότε, χ(κ+1) = χ(λ) & χ(κ-λ) για κάποιο 0 Λ Κ, όπου & Σ4. ΕΣΤΩ α(p) = A TOTE α(χ(λ)) = α(χ(κ-λ)) = Α (ισχυρή επαγωγική υπόθεση) ΤΟΤΕ χ(λ), χ(κ-λ) {χ 1, χ 2 } p χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 2 χ 1 p ΑΡΑ: A Α Α Α A Α Ψ ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(κ+1))=α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
7 Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.9: Σε ένα δωμάτιο του παλατιού υπάρχουν Ν σύμβουλοι, που φορούν άσπρα (τουλάχιστον ένας) ) και πράσινα (τουλάχιστον ένας) ) καπέλα. Στην αίθουσα εμφανίζεται κάθε μια ώρα ο βασιλιάς, στον οποίο αναφέρονται οι σύμβουλοι που ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ότι φορούν άσπρα καπέλα, οπότε και βγαίνουν αμέσως από το δωμάτιο. Οι σύμβουλοι βλέπουν ο ένας τον άλλο, αλλά ΟΧΙ τον εαυτό τους, και ΕΝ ΣΥΝΕΝΝΟΟΥΝΤΑΙ μεταξύ τους. Νδο ΑΝ υπάρχουν ακριβώς Α άσπρα καπέλα ΤΟΤΕ όλοι οι σύμβουλοι με άσπρα καπέλα θα βγούνε ταυτόχρονα από το δωμάτιο, ακριβώς στην Α-στή επίσκεψη του βασιλιά στην αίθουσα. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙI) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.9: Επαγωγή στο πλήθος 1 Α N των συμβούλων με άσπρα καπέλα. [ΒΑΣΗ] Α=1: Την 1 η φορά ο σύμβουλος με το άσπρο καπέλο βγαίνει από την αίθουσα και κανείς άλλος δεν πρόκειται να βγει. ΓΙΑΤΙ? ΑΣΠΡΟ ΚΑΠΕΛΟ: Βλέπει μόνο πράσινα καπέλα, άρα αυτός σίγουρα άσπρο. Στην πρώτη επίσκεψη του βασιλιά, βγαίνει έξω. ΠΡΑΣΙΝΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν ένα άσπρο καπέλο που βγαίνει στην πρώτη επίσκεψη του βασιλιά, άρα εκείνος ΕΝ ΒΛΕΠΕΙ άλλο άσπρο καπέλο. Άρα, οι ίδιοι έχουν πράσινα καπέλα και δε βγαίνουν ΠΟΤΕ. [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω για τυχόν 1 Α Ν-1 και κάθε 1 Β Α ότι: ΑΝ υπάρχουν ακριβώς Β άσπροι σύμβουλοι ΤΟΤΕ θα βγούνε όλοι μαζί (και μόνο αυτοί) ) στην Β-στή επίσκεψη του βασιλιά. 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
8 Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙIΙ) Ι) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.9 (συνέχεια): [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θδο ΑΝ υπάρχουν Α+1 άσπροι σύμβουλοι ΤΟΤΕ αυτοί θα βγούνε ΑΚΡΙΒΩΣ την (Α+1)-στή ώρα: 1. ΑΣΠΡΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν (αρχικά) Α άσπρα καπέλα, άρα συμπεραίνουν ότι υπάρχουν Α ή Α+1 άσπρα καπέλα. 2. ΠΡΑΣΙΝΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν (αρχικά) Α+1 άσπρα καπέλα, άρα συμπεραίνουν ότι υπάρχουν Α+1 ή Α+2 άσπρα καπέλα. 3. Μέχρι την Α-στή ώρα, δε βγαίνει κανένας: Κανείς δεν είναι βέβαιος για το ακριβές πλήθος των καπέλων. 4. Την (Α+1)-στη ώρα βγαίνουν ΟΛΟΙ οι άσπροι και κανείς άλλος: Κανένας δε βγήκε την Α-στη ώρα Οι άσπροι καταλαβαίνουν ότι τα άσπρα καπέλα είναι Α+1: Αν ήταν Α θα έπρεπε (επ. υπόθ.) ) να είχαν βγει τη στιγμή Α. Άρα, ΚΑΙ οι ίδιοι φορούν άσπρο καπέλο. Οι πράσινοι, την (Α+1)-στη ώρα, καταλαβαίνουν ότι τα άσπρα καπέλα είναι Α+1 (αφού οι άσπροι βγήκαν έξω), άρα οι ίδιοι φορούν πράσινα καπέλα, και παραμένουν στο εξής στην αίθουσα. 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.10: Νδο κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 2, είτε είναι πρώτος αριθμός, είτε είναι γινόμενο πρώτων. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.10: [ΒΑΣΗ] Κ=2: Ο 2 είναι πρώτος αριθμός. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, ο Λ είναι πρώτος, ή ο Λ είναι γινόμενο πρώτων. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Αν ο Κ+1 είναι πρώτος, έχουμε τελειώσει. Έστω λοιπόν ότι Κ+1 = Λ*Μ για κάποιους ακέραιους 2 Λ,Μ (Κ+1) / 2. ΤΟΤΕ: Λ = Ρ 1 * Ρ 2 *...* Ρ λ, για κάποιο ακέραιο λ 1 και κάποιους πρώτους αριθμούς Ρ 1,ΡΡ 2,...,ΡΡ λ. Μ = Σ 1 * Σ 2 *... * Σ μ, για κάποιο ακέραιο μ 1 και κάποιους πρώτους αριθμούς Σ 1,Σ 2,...,Σ μ. Κ+1 1 = Ρ 1 * Ρ 2 *...* Ρ λ * Σ 1 * Σ 2 *...* Σ μ για κάποιους πρώτους αριθμούς Ρ 1,Ρ 2,...,Ρ λ,σ 1,Σ 2,...,Σ μ. 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
9 Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (V) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.12: Νδο για κάθε Ν 8, μπορούμε να στείλουμε ένα γράμμα που κοστίζει Ν Ευρώ με γραμματόσημα ΜΟΝΟ των 3 και 5 Ευρώ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.12: [ΒΑΣΗ] Κ=8: Προφανές. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 8 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 8 Λ Κ,, Λ = 3*Χ(Λ)+5*Υ(Λ), ( ), όπου Χ(Λ),Υ(Λ) ( ( ) είναι φυσικοί αριθμοί. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Εξετάζω την περίπτωση του αριθμού Κ+1: AN Κ 10 ΤΟΤΕ Κ+1 = (Κ-2) + 3 = 3*Χ(Κ-2) + 5*Υ(Κ-2) + 3 = 3*[Χ(Κ-2)+1] + 5*Υ(Κ-2) ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ // Κ = 8 ή 9... ΑΝ Κ = 8 ΤΟΤΕ Κ+1 = 9 = 3*3 ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ // Κ == 9... Κ+1 = 10 = 5*2 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (VΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.13: Έστω τουρνουά μεταξύ κ 2 παικτών, όπου παίζουν ΟΛΟΙ ΜΕ ΟΛΟΥΣ, ανά δύο. Σε κάθε αναμέτρηση ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ισοπαλία. Νδο υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία π:[κ] [κ] [ ] (κατάταξη ά ξ των παικτών), ) τ.ώ. ΓΙΑ ΚΑΘΕ 1 λ κ-1, 1 ισχύει ότι ο π(λ) νικά τον π(λ+1). Πχ, για Κ=3, ΑΝ 1 νικά 2, 2 νικά 3, 1 νικά 3, ΤΟΤΕ (1,2,3) αλλά όχι (1,3,2)... Συμβολισμός: Για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό Κ, [Κ] = {1,2,3,,Κ}. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.13: [ΒΑΣΗ] Κ=2: 2 Ο νικητής της αναμέτρησης {1,2} μπαίνει πρώτος στην κατάταξη. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, υπάρχει έγκυρη κατάταξη π:[λ] [Λ]. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Για τον παίκτη 1: Α = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΟΥΝ τον 1 και Β = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΑ ο 1 =([κ+1] {1}) Α π 1 : [ Α ] [ Α ] = Μια έγκυρη κατάταξη των παικτών του Α. π 2 : [ Β ] [ Β ] = Μια έγκυρη κατάταξη των παικτών του Β. ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ Α, π(λ) = π 1 (λ) π(1) = Α +1 ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ Β, π(λ) = 1+ Α +π 2 (λ). 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
10 Μερικά Παραδείγματα: Ισχυρή Επαγωγή? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.14: Για το τουρνουά του Παραδείγματος IND.13, έστω ότι για Κ = 4, 1 νικά 2, 3 νικά 1, 4 νικά 1, 2 νικά 3, 2 νικά 4, 3 νικά 4. Η κατάταξη (1,2,3,4),, είναι έγκυρη αλλά Α ΙΚΗ!!! Υπάρχει έγκυρη ΚΑΙ ΙΚΑΙΗ κατάταξη, όπου ο πρώτος να έχει και τις περισσότερες νίκες? ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.14: [ΒΑΣΗ] Κ=2: Ο νικητής της αναμέτρησης {1,2} μπαίνει πρώτος στην κατάταξη. Η κατάταξη εκτός από έγκυρη είναι και δίκαιη. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, υπάρχει έγκυρη και δίκαιη κατάταξη π:[λ] [λ]. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Έστω λ [κ+1] ο παίκτης με τις περισσότερες νίκες: ΑΝ ΝΙΚΕΣ(λ) == κ // Ο λ νίκησε όλους τους άλλους ΤΟΤΕ π(λ) = 1 και για κάθε μ [κ+1 {λ}, π(μ) = 1 + π 1 (μ) όπου π 1 :([κ+1]-{λ}) ([κ+1]-{λ}) μια έγκυρη και δίκαιη κατάταξη του [κ+1]-{λ} (από Επαγ. Υπόθεση). 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Παραδείγματα: Ισχυρή Επαγωγή? ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.14: ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ: // για κάθε μ [κ+1], 1 ΝΙΚΕΣ(μ) ΝΙΚΕΣ(λ) κ-1 Α = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΟΥΝ τον λ και Β = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΑ ο λ = [κ+1] ( {λ} Α ) ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΟΤΕ μ A, (1) ΥΠΑΡΧΕΙ (Επ. Υπόθ.) έγκυρη ΚΑΙ δίκαιη κατάταξη στο τουρνουά των κ παικτών χωρίς τον μ, π 1 :([κ+1]-{μ}) ([κ+1]-{μ}), με π 1 (λ)=1. (2) Πρέπει να τοποθετήσουμε στην κατάταξη π 1 και τον μ. Έστω : ν = ο τελευταίος (στην κατάταξη π 1 ) παίκτης που ΝΙΚΑ τον μ. Ν = π 1 (ν) Βάλε τον μ ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ ν: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 1 ρ Κ+1, ΑΝ ρ == μ ΤΟΤΕ π(ρ) = Ν+1 ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΝ π 1 (ρ) Ν ΤΟΤΕ π(ρ) =π π 1 (ρ) ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ π(ρ) = π 1 (ρ) Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
11 Απόδειξη Θ. Απαγωγης του ΠΛ (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.2 [Θεώρημα της Απαγωγής]: Για οποιοδήποτε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ 0 ), και οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ΑΝ Τ {φ} - ψ ΤΟΤΕ Τ - (φ ψ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω τυπική απόδειξη ψ 1, ψ 2,..., ψ Κ-1, ψ Κ = ψ που δείχνει ότι: Τ {φ} ψ. Κάνουμε επαγωγή στο πλήθος βημάτων Κ της τυπικής απόδειξης. [ΒΑΣΗ] Κ = 1. Τότε ψ = ψ 1 Α 0 Τ {φ}. (α) ψ Α 0 Τ. Τ ψ. ΑΡΑ, Τ φ ψ (ΓΙΑΤΙ???) (β) ψ = φ. Τότε Τ φ ψ (ΓΙΑΤΙ???) [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω ότι για κάθε 1 Λ Κ 11 αληθεύει ότι ΑΝ Τ {φ} ψ Λ ΤΟΤΕ Τ (φ ψ Λ ). 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη Θ. Απαγωγης του ΠΛ (ΙΙ) [ΒΗΜΑ] Θδο ΑΝ Τ {φ} ψ Κ ΤΟΤΕ Τ (φ ψ Κ ) (α) ψ Κ Α 0 Τ {φ} (βλ. ανάλογη απόδειξη με ΒΑΣΗ). (β) ψ Κ Α 0 Τ {φ}. Ο ψ = ψ Κ μπορεί να προκύψει ΜΟΝΟ από εφαρμογή του ΜΡ σε προηγούμενα βήματα της απόδειξης. ΑΡΑ: Για κάποια 1 Λ,Μ Κ-1, οι τύποι ψ Λ και ψ Μ = ψ Λ ψ Κ είναι ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ βήματα της απόδειξης που υπονοεί το Τ {φ} ψ Κ. ΤΟΤΕ: Τ {φ} ψ Λ και Τ {φ} ψ Κ ΑΡΑ: Τ φ ψ Λ και Τ φ ψ Κ (ισχυρή επαγ. υπόθ.) ΜΟΝΟ ΜΕ ΤΙΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Τ : α. φ ψ Λ Τ φ ψ Λ... β. φ ψ Μ = φ (ψ Λ ψ Κ ) Τ φ ψ Μ β+1. [φ (ψ Λ ψ Κ )] [(φ ψ Λ ) (φ ψ Κ )] ΑΣ2 β+2. 2 (φ ψ Λ ) (φ ψ Κ ) β,β+1 β 1 ΜΡ β+3. φ ψ Κ α,β+2 ΜΡ 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
12 Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (ΙΙ) (Άσκηση Επανάληψης από διαφάνειες 1 ης εβδομάδας): 7. Έστω Τ το σύνολο των τύπων (της ΠΛ) οι οποίοι είναι είτε προτασιακές μεταβλητές είτε της μορφής φ, φ ψ, φ ψ, όπου φ, ψείναι ήδη κατασκευασμένοι τύποι του Τ. Για κάθε φστο Τ, φ* είναι ο τύπος που προκύπτει από τον φως εξής: Αντικαθιστούμε κάθε προτασιακή μεταβλητή με την άρνησή της. Εναλλάσσουμε τα, μεταξύ τους (δηλαδή, ο σύνδεσμος μετατρέπεται στον και ο μετατρέπεται στον ). ίξ είξτε με επαγωγή στην πολυπλοκότητα λ των τύπων του Τότι φ φ*. 21 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (ΙΙ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων από το Τ. [ΒΑΣΗ] Τύποι πολυπλοκότητας Κ = 0 είναι προτασιακές μεταβλητές. Για φ = p, φ* = p = φ (ΟΚ) [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω για αυθαίρετο Κ 0 ότι οποιοιδήποτε τύποι χ,ψ Τ με πολυπλοκότητες 0 Λ, Μ Κισχύει ότι χ* χ και ψ* ψ. [ΒΗΜΑ] Θδο για κάθε τύπο φ Τ πολυπλοκότητας Κ+1 ισχύει: φ* φ. φ (α) φ = χ. ΤΟΤΕ: φ* = ( χ)* (χ*) ) ( χ) ( = φ. φ (β) φ = χ ψ. Χρήση Ισχυρής Επαγωγικής Υπόθεσης ΤΟΤΕ: φ* = (χ ψ)* (χ*) (ψ*) ( χ) ( ψ) (χ ψ) = φ. (γ) φ = χ ψ. ΤΟΤΕ: φ* = (χ ψ)* (χ*) (ψ*) ( χ) ( ψ) (χ ψ) = φ. 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
13 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
14 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.
15 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότερα1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.07: Ολοκληρώματα με Ριζικά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας
Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στη Φυσική Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ Ενότητα 23. Επίθεση εναντίον ζώνης Γαλαζούλας Χρήστος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε
Διαβάστε περισσότεραΜάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Ενότητα 4 η : Οι Παραγωγοί Αγροτικών Προϊόντων Χρίστος Καμενίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. 6 ο Μάθημα: Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 6 ο Μάθημα: Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών εννοιών από: Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΦυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑρχές Προγραμματισμού
Αρχές Προγραμματισμού Ενότητα: Εργαστηριακή Άσκηση 1 Παλιουράς Βασίλης, Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1. Σκοποί ενότητας----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 3: Κοντή γραμμή μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά Θεωρήματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Ενότητα 2 η : Σκοποί και Σπουδαιότητα του Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Χρίστος Καμενίδης Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι Ενότητα 5
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Ενισχυτές με FET Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3: Ενισχυτές στις χαμηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 4: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία της συνέχειας. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Σε μια τάξη Γ Λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Γραφικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Λογικοί Τελεστές Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ ΙΙ Ενότητα 20. Αμυντική συνεργασία δύο και τριών παικτών Γαλαζούλας Χρήστος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΣΗΣ Ι Ενότητα 11. Ατομική άμυνα σε αθλητές με μπάλα: Περιφερειακοί Γαλαζούλας Χρήστος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός κανονικής τ.μ.
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 11η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΘέματα υπολογισμού στον πολιτισμό
Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 6: Μοντελοποίηση υπολογισμού: Κανονικές εκφράσεις Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 5: Ακολουθίες, όρια, σειρές (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. 8 η ενότητα: Περιβαλλοντικά και μαθηματικά προβλήματα. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Προγραμματισμός Η/Υ 8 η ενότητα: Περιβαλλοντικά και μαθηματικά προβλήματα Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΔιαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου
Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες και Τεχνικές Σύνταξης Επιστημονικού Κειμένου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιδιότητες και Τεχνικές Σύνταξης Επιστημονικού Κειμένου Ενότητα 4: Μεθοδολογικές Προεργασίες Αναστασία Χριστοδούλου, αναπλ. Καθηγήτρια
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας
Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων
Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 5: ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το
Διαβάστε περισσότεραΜάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων Ενότητα 5 η : Οι Καταναλωτές Αγροτικών Προϊόντων Χρίστος Καμενίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα