Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 2
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδειες χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 4
Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιαστούν κάποιες εισαγωγικές έννοιες στο αντικείμενο της βελτιστοποίησης. 5
Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Κριτήρια και συναρτήσεις βελτιστοποίησης Ανταγωνιστικές συνιστώσες Προϋποθέσεις και παραδοχές Επίπεδα βελτιστοποίησης 6
Εισαγωγή Η εφαρμοσμένη βελτιστοποίηση ασχολείται με την ανάπτυξη μεθοδολογιών για την «καλύτερη δυνατή» σχεδίαση και λειτουργία ενός συστήματος. Οι μεθοδολογίες αυτές συνήθως καταλήγουν σε προβλήματα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης κάποιας αριθμητικής συνάρτησης με μια ή περισσότερες μεταβλητές. Αν το ακρότατο της συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο) ορίζεται σε όλο το διάστημα μέσα στο οποίο παίρνει τιμές, τότε αποτελεί το ολικό ή απόλυτο ακρότατο. Αν όμως το ακρότατο βρεθεί σε σχέση με τις γειτονικές περιοχές της συνάρτησης, τότε αποτελεί ένα τοπικό ή σχετικό ακρότατο. 7
Εισαγωγή Το απόλυτο ακρότατο είναι το πολύ ένα σημείο για το μέγιστο και ένα για το ελάχιστο. Τοπικά ακρότατα μπορεί να υπάρχουν πολλά. Οι μεταβλητές της συνάρτησης αν είναι περισσότερες της μιας, μπορεί να είναι είτε ανεξάρτητες μεταξύ τους ή να σχετίζονται με κάποιο τρόπο. Οι μαθηματικές εκφράσεις που δίνουν αυτή τη συσχέτιση αποτελούν τις περιοριστικές συνθήκες του προβλήματος βελτιστοποίησης. Οι περιοριστικές συνθήκες δίνονται συνήθως σαν μαθηματικές σχέσεις ισοτήτων ή/και ανισοτήτων. 8
Κριτήρια και συναρτήσεις βελτιστοποίησης Το σημαντικότερο για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι η κατάλληλη επιλογή του κριτηρίου βελτιστοποίησης και η εύστοχη διατύπωση του σαν μαθηματική έκφραση. Η διατύπωση των κριτηρίων συνήθως γίνεται από συναρτήσεις μιας ή περισσότερων μεταβλητών τις οποίες ονομάζουμε συναρτήσεις βελτιστοποίησης. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές των συναρτήσεων αποτελούν τις παραμέτρους ως προς τις οποίες γίνεται η βελτιστοποίηση. Τα βασικότερα κριτήρια που χρησιμοποιούνται είναι : Κριτήρια κέρδους ή κόστους Κριτήρια απόδοσης και αφορούν συνήθως είτε καθαρά οικονομικά μεγέθη είτε τεχνικά ή συνδυασμό τους. 9
Κριτήρια και συναρτήσεις βελτιστοποίησης Όταν ένα σύστημα είναι ήδη εγκατεστημένο, το κριτήριο που συνήθως χρησιμοποιείται είναι είτε η αύξηση του κέρδους ή η μείωση του κόστους. Στη γενικότερη περίπτωση αυτό που ενδιαφέρει είναι η απόδοση ενός συστήματος. Η οικονομική απόδοση εκφράζεται n ως n P A, όπου P είναι το οικονομικό κέρδος και Α είναι η οικονομική επένδυση ανηγμένη στο χρονικό διάστημα που αναφέρεται το κέρδος. Για ένα τεχνικό σύστημα, η απόδοση εκφράζεται ως n W E, όπου W είναι το ωφέλιμο έργο και Ε είναι το συνολικά καταναλισκόμενο έργο. Το κέρδος G είναι αντίστοιχα ίσο με P και W. 10
Κριτήρια και συναρτήσεις βελτιστοποίησης Θεωρώντας σταθερή ετήσια απόδοση, n, που αναμένεται από μια συνολική επένδυση Ι, για τη διάρκεια ν ετών, τότε ισχύει 1 n 1 I 1 n A n όπου Α η ανηγμένη επένδυση στη διάρκεια ενός έτους. Η ίδια σχέση ισχύει θεωρώντας ότι το απαιτούμενο κεφάλαιο επένδυσης εξασφαλίζεται από δανεισμό και αποπληρώνεται σε ετήσιες δόσεις, αντικαθιστώντας την απόδοση n με το ετήσιο επιτόκιο r. Για να έχει οικονομικό όφελος η επένδυση πρέπει να ισχύει n r. Όταν όμως το κόστος επένδυσης πρέπει να ληφθεί υπόψη, το κριτήριο βελτιστοποίησης δεν είναι πάντοτε απλό και προφανές. Μέγιστο κέρδος δεν σημαίνει κατ ανάγκη και μέγιστη απόδοση! 11
Εικόνα 1.1 Κριτήρια και συναρτήσεις βελτιστοποίησης Η καμπύλη ABCDE δείχνει τη σχέση κέρδους-επένδυσης μιας δραστηριότητας. Μέγιστο κέρδος για επένδυση Α 4 (σημείο D). Θεωρώντας ελάχιστη επιτρεπτή απόδοση n=n 0, τότε είναι προτιμότερη η λειτουργία στην περιοχή ABC. To σημείο C είναι το σημείο καμπής, πέρα από το οποίο κάθε επιπλέον επένδυση έχει μικρότερη απόδοση από την επιθυμητή. 12
Ανταγωνιστικές συνιστώσες Οι συναρτήσεις βελτιστοποίησης που περιγράφουν τα κριτήρια κόστους, συχνά περιέχουν αλληλοαναιρούμενους ή ανταγωνιστικούς μαθηματικούς όρους και συνιστώσες, οι οποίες αποτελούν τη μαθηματική έκφραση επιμέρους αλληλοαναιρούμενων ή αντίθετων διαδικασιών. Π.χ. μια βιομηχανική διεργασία μπορεί να πραγματοποιηθεί εξίσου καλά είτε από ένα πλήρως αυτοματοποιημένο είτε από ένα σύστημα με λιγότερη ή καθόλου αυτοματοποίηση (Εικόνα 1.2). Το κόστος εγκατάστασης ως συνάρτηση της αυτοματοποίησης, εκφράζεται με μια αύξουσα μη γραμμική συνάρτηση. Αντίθετα, το κόστος εργασίας είναι μια φθίνουσα συνάρτηση. Το συνολικό κόστος δίνεται ως άθροισμα των δύο προηγούμενων συνιστωσών κόστους. 13
Εικόνα 1.2 Ανταγωνιστικές συνιστώσες Το συνολικό κόστος παρουσιάζει ένα ελάχιστο για κάποιο συγκεκριμένο βαθμό αυτοματοποίησης. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην ύπαρξη δύο ανταγωνιστικών δράσεων που συνεπάγεται η αυτοματοποίηση αφ ενός στο κόστος εγκατάστασης και αφ εταίρου στο κόστος εργασίας. Το ελάχιστο αποτελεί το βέλτιστο σημείο και προτείνει τον «καλύτερο» δυνατό συνδυασμό των δύο αυτών ανταγωνιστικών δράσεων. 14
Προϋποθέσεις και παραδοχές Η πολυπλοκότητα αποτελεί ένα από τα κυριότερα χαρακτηριστικά στα προβλήματα βελτιστοποίησης. Ένα προφανές μέτρο για την πολυπλοκότητα ενός προβλήματος βελτιστοποίησης αποτελεί το μέγεθος του, που ορίζεται από τον αριθμό των μεταβλητών του και από τον αριθμό των περιοριστικών συνθηκών του. Με βάση το μέγεθος, ταξινόμηση των προβλημάτων βελτιστοποίησης σε τρεις κατηγορίες: μικρής κλίμακας, όπου μεταβλητές και συνθήκες δεν ξεπερνούν τη δεκάδα. μεσαίας κλίμακας, όπου μεταβλητές και συνθήκες μπορεί να είναι από μια δεκάδα εως μερικές εκατοντάδες. μεγάλης κλίμακας, όπου το μέγεθος τους είναι της τάξεως των εκατοντάδων ή χιλιάδων. 15
Προϋποθέσεις και παραδοχές Οι περισσότερες από τις βασικές αναλυτικές μεθόδους, που έχουν αναπτυχθεί, εστιάσθηκαν κυρίως στη διατύπωση των αναγκαίων και ικανών συνθηκών για την εύρεση της βέλτιστης λύσης παρά τον τρόπο υπολογισμού της. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν με επιτυχία για τον αριθμητικό υπολογισμό της βέλτιστης λύσης μόνο σε μικρής κλίμακας προβλήματα. Στις περιπτώσεις όπου το μέγεθος του προβλήματος δεν επιτρέπει αναλυτικές λύσεις με το χέρι, είναι απαραίτητα η χρήση αριθμητικών μεθόδων που αξιοποιούν τις δυνατότητες του υπολογιστή. 16
Προϋποθέσεις και παραδοχές Άλλη ταξινόμηση με βάση το αν υπάρχουν ή όχι περιοριστικές συνθήκες ή αν η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση και οι τυχόν συνθήκες είναι ή όχι γραμμικές. Η βελτιστοποίηση χωρίς συνθήκες είναι ένα πρόβλημα μάλλον ουτοπικό. Η πλειοψηφία των προβλημάτων βελτιστοποίησης ανήκουν στην περίπτωση βελτιστοποίησης υπό περιοριστικές συνθήκες, με δυο υποκατηγορίες προβλημάτων: προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού, στα οποία η υπό βελτιστοποίηση συνάρτηση ή/και οι εξισώσεις ή ανισότητες που περιγράφουν τις περιοριστικές συνθήκες είναι μη γραμμικές. προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, όπου τόσο η συνάρτηση βελτιστοποίησης όσο και οι περιοριστικές συνθήκες είναι γραμμικές. 17
Επίπεδα βελτιστοποίησης Το επίπεδο βελτιστοποίησης κατά φθίνοντα βαθμό πολυπλοκότητας μπορεί να αφορά: 1. Το σύνολο κάποιων διεργασιών, όπως π.χ. μια βιομηχανία. 2. Μια επιμέρους διεργασία, όπως π.χ. το λεβητοστάσιο. 3. Μια επιμέρους λειτουργία στα πλαίσια μιας διεργασίας, όπως π.χ. ο έλεγχος του κυκλώματος ατμού. 4. Μια συνιστώσα μιας λειτουργίας, όπως π.χ. η ρύθμιση της πίεσης του ατμού. Το επίπεδο βελτιστοποίησης και η πολυπλοκότητας θεωρούνται πολύ σημαντικές παράμετροι, ιδιαίτερα για επαναληπτικούς αλγόριθμους βελτιστοποίησης. Ο αριθμός των υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση ενός σημείου σε ένα δεύτερης τάξης υπερεπίπεδο n διαστάσεων είναι 1 n n 1 n 2 2 18
Επίπεδα βελτιστοποίησης Για διάφορες τιμές των διαστάσεων n n 3 5 10 20 50 N 10 21 66 231 1326 Ο διαχωρισμός ενός προβλήματος με 20 μεταβλητές σε τέσσερα προβλήματα με 5 μεταβλητές το καθένα θα μείωνε τις απαιτούμενες πράξεις στο 1/3 και ακόμα λιγότερο. Ωστόσο, ο διαχωρισμός αυτός δεν επιτρέπεται να γίνεται αυθαίρετα! Αρχή του διαχωρισμού Ένα σύστημα μπορεί να διαχωριστεί σε υποσυστήματα στα σημεία εκείνα όπου η αλληλεξάρτηση μεταξύ των υποσυστημάτων που θα προκύψουν μπορεί να θεωρηθεί σταθερή ή δεδομένη. 19
Επίπεδα βελτιστοποίησης Τότε η λύση που προκύπτει από τη βελτιστοποίηση κάθε υποσυστήματος ξεχωριστά, θα είναι η ίδια με τη λύση της βελτιστοποίησης ολόκληρου του συστήματος. Συστήματα όπου οι διεργασίες γίνονται σε σειρά ονομάζονται ακολουθιακά ή σειριακά συστήματα. Εδώ μπορεί να γίνει σειριακός διαχωρισμός σε υποσυστήματα όπου η είσοδος κάθε υποσυστήματος θα παραμένει σαν ελεύθερη παράμετρος. Αρχή της βελτιστοποίησης Κάθε υποσύστημα ενός ακολουθιακού συστήματος πρέπει να είναι βέλτιστο ανεξάρτητα με την είσοδο του. 20
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα προέρχονται από τις πανεπιστημιακές σημειώσεις με τίτλο «Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση», Αντώνης Θ. Αλεξανδρίδης, εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 22
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. 23
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αντώνιος Αλεξανδρίδης. «Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση. Ενότητα 1». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee888. 24
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 25