ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ δύο ηµιευθειών µε αρχή το ίδιο σηµείο. Οι δύο ηµιευθείες λέγονται πλευρές της γωνίας ενώ το κοινό τους σηµείο κορυφή της γωνίας. Μονάδα µέτρησης των γωνιών είναι η µια µοίρα (1 ). Μια µοίρα ισούται µε 60 πρώτα λεπτά 1 = 60 Ένα πρώτο λεπτό ισούται µε 60 δεύτερα λεπτά 1 = 60 Μηδενική είναι η γωνία που οι πλευρές της συµπίπτουν και είναι ίση µε 0. Ορθή είναι η γωνία που οι πλευρές της είναι κάθετες και είναι ίση µε 90. Ευθεία είναι η γωνία που οι πλευρές της είναι η µια προέκταση της άλλης και είναι ίση µε 180. Πλήρης είναι η γωνία που η µια πλευρά της, αφού κάνει µια πλήρη στροφή συµπίπτει µε την άλλη πλευρά και είναι ίση µε 360. Οξεία γωνία είναι κάθε γωνία που είναι µικρότερη από 90. Αµβλεία γωνία είναι κάθε γωνία που είναι µεγαλύτερη από µια ορθή και µικρότερη από 180 Κυρτή λέγεται κάθε γωνία που είναι µικρότερη από 180 ( δηλαδή αν προεκτείνουµε οποιαδήποτε πλευρά της, όλα τα σηµεία της γωνίας βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο.) Μη Κυρτή λέγεται κάθε γωνία που είναι µεγαλύτερη από 180 και µικρότερη από 360. 3. Απόσταση σηµείου από ευθεία είναι το µήκος του κάθετου τµήµατος που φέρνουµε από το σηµείο στην ευθεία 4. Εφεξής λέγονται δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, κοινή µια πλευρά και κανένα άλλο κοινό σηµείο. Οι είναι εφεξής γωνίες
5. ιαδοχικές είναι τρεις ή περισσότερες γωνίες που ανά δύο είναι εφεξής 6. Συµπληρωµατικές είναι δύο γωνίες που έχουν άθροισµα 90. 7. Παραπληρωµατικές είναι δύο γωνίες που έχουν άθροισµα 180. 8. Κατακορυφήν είναι δύο γωνίες που οι πλευρές της µιας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης. ύο κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα ίσες. 9. Στοιχεία κύκλου Ο κέντρον του κύκλου ΟΑ ακτίνα κύκλου ΒΓ χορδή Ε διάµετρος τόξο ( ένα µέρος του κύκλου ) Κυκλικός δίσκος είναι το µέρος του επιπέδου που περικλείεται από ένα κύκλο. Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους: (i) Σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα τόξα (ii) Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές. Επίκεντρη γωνία είναι η γωνία που έχει κορυφή το κέντρο του κύκλου και πλευρές δύο ακτίνες του..
Θέσεις ευθείας και κύκλου (i) Η ευθεία ε 1 είναι τέµνουσα του κύκλου και έχει δύο κοινά σηµεία µε το κύκλο (ii) Η ευθεία ε 1 είναι εφαπτοµένη του κύκλου, και έχει ένα κοινό σηµείο µε το κύκλο (iii) Η ευθεία ε 1 είναι εξωτερική του κύκλου. Β. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ - ΤΡΙΓΩΝΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ 1. ύο ευθείες του ιδίου επιπέδου που όσο και αν προεκταθούν δεν έχουν κοινά σηµεία λέγονται παράλληλες 2. Γωνίες παράλληλων ευθειών Οι γωνίες γ, δ, ε και ζ λέγονται εντός γωνίες Οι γωνίες α, β, η και θ λέγονται εκτός γωνίες Οι γωνίες α, δ, ε και θ λέγονται επί τα αυτά µέρη γωνίες Οι γωνίες β, γ, ζ και η είναι επίσης επί τα αυτά µέρη γωνίες Οι γωνίες δ και ζ, οι γ και ε, οι α και η κ.τ.λ. που βρίσκονται σε διαφορετική πλευρά της ευθείας ε1 λέγονται εναλλάξ γωνίες Ετσι: οι γωνίες δ και ζ είναι εντός εναλλάξ γωνίες οι γωνίες ε και α είναι εντός, εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες Οι εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι ίσες Οι εντός και επί τ αυτά µέρη γωνίες είναι παραπληρωµατικές 3. Όταν δύο ευθείες τέµνονται από τρίτη και σχηµατίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες ή δύο εντός εκτός και επί τ αυτά µέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τ αυτά µέρη γωνίες παραπληρωµατικές τότε είναι παράλληλες. 4. Κύρια στοιχεία τριγώνου είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του.
5. Είδη τριγώνων (α) Ανάλογα µε τις γωνίες του Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει µια γωνία ορθή (και τις δύο άλλες οξείες). Οι πλευρές που σχηµατίζουν την ορθή γωνία του τριγώνου τις λέµε κάθετες πλευρές του ενώ η πλευρά που είναι απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα του. Αµβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει µια γωνία αµβλεία (και τις δύο άλλες οξείες). β) Ανάλογα µε τις πλευρές του Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. (Οι παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες) Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει και όλες τις γωνίες του ίσες. Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει τις πλευρές του άνισες. 6. ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου ιάµεσος τριγώνου είναι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή του τριγώνου µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Το σηµείο τοµής των διαµέσων λέγεται κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο του τριγώνου. ιχοτόµος τριγώνου είναι η διχοτόµος µιας γωνίας του. Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου λέγεται έκκεντρο του τριγώνου. `Υψος τριγώνου είναι η απόσταση µιας κορυφής του τριγώνου από την απέναντι πλευρά (µήκος της κάθετης που φέρνουµε από τη κορυφή στην απέναντι πλευρά). Το σηµείο τοµής των υψών τριγώνου λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου. 7. Το άθροισµα των γωνιιών ενός τριγώνου είναι ίσο µε 180. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση µε το άθροισµα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του
8. Τετράπλευρα Το άθροισµα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360 Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες ( βάσεις του τραπεζίου) ενώ οι δύο άλλες πλευρές δεν είναι παράλληλες. Η απόσταση των βάσεων ενός τραπεζίου λέγεται ύψος του τραπεζίου. Αν οι µη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου είναι ίσες, τότε το τραπέζιο λέγεται ισοσκελές. Αν η µια µη παράλληλη πλευρά του είναι κάθετη στις βάσεις του τότε το τραπέζιο λέγεται ορθογώνιο. Παραλληλόγραµµο είναι το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι του πλευρές παράλληλες. Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών του λέγεται ύψος του παραλληλόγραµµου. Ιδιότητες παραλληλογράµµων (i) Οι απέναντι πλευρές παραλληλογράµµου είναι ίσες. (ii) Οι απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου είναι ίσες. (iii) Οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου διχοτοµούνται. (i) ΑΒ = Γ και ΒΓ = Α (ii) (iii) ΑΕ = ΕΓ και ΒΕ = Ε Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο είναι το παραλληλόγραµµο που έχει τις γωνίες του ορθές.
Ιδιότητες ορθογωνίου (i) Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου (ii) Οι διαγώνιες του είναι ίσες ΑΒΓ ορθογώνιο ΑΓ = Β Ρόµβος είναι το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες ΑΒ = ΒΓ = Γ = Α ΑΒΓ ρόµβος Ιδιότητες ρόµβου (i) Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου. (ii) Οι διαγώνιες του τέµνονται κάθετα. (iii) Οι διαγώνιες του διχοτοµούν τις γωνιές του. Τετράγωνο είναι το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες. Ιδιότητες τετραγώνου (i) Έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου (ii) Έχει όλες τις ιδιότητες του ρόµβου.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να βρείτε τη γωνία χ στα πιο κάτω σχήµατα. Όπου χρειάζεται να γραφεί εξίσωση (οι ευθείες µε βελάκι είναι παράλληλες) : 1. 2. Β και Γ διχοτόµοι 3. 4. 5. 6. 7. 8. ( Με εξίσωση )
9. 10. ΑΒΓ παραλληλόγραµµο Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σηµειωµένες: 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. ΑΓ ιχοτόµος 8. Γ. Να λύσετε τις ασκήσεις.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. (β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. εδοµένα Ζητούµενα ε 1 // ε 2 (α) Είδος τριγώνου ΑΒΓ (β)
10. 11. εδοµένα Ζητούµενα ε 1 // ε 2 ΑΓ διχοτόµος της 12. εδοµένα Ζητούµενα ΑΒΓ τετράγωνο Β = 6 cm KΓ = ; 13. εδοµένα Ζητούµενα Ε // ΒΓ Β διχοτόµος 14. εδοµένα Ζητούµενα ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ ΒΕ ύψος Ε // ΒΓ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να βρείτε τη γωνία x στα πιο κάτω σχήµατα. Όπου χρειάζεται να γραφεί εξίσωση : 1. x + x + 20 = 140 x + x = 140-20 2x = 120 x = 120 : 2 = 60 2. Β και Γ διχοτόµοι 3. φ + ω + ρ = 180 ο φ + 70 ο + 60 ο = 180 ο φ = 180 ο - 130 ο = 50 ο x + φ + 90 ο = 180 ο x + 50 o + 90 o = 180 o x = 180 o - 140 o = 40 o 4. 5. x = 108 o (εντός εκτός και επί τ αυτά)
6. x + 82 o = 180 o x = 180 o - 82 o x = 98 o 7. x + 60 o + 43 o = 180 o x = 180 o - 60 o - 43 o x = 77 o 8. (Με εξίσωση) x + x -10 + 70 o = 180 o x + x = 180 o + 10-70 o 2x = 120 x = 120 : 2 = 60 o 9. 2x + x + 30 = 180 o 3x = 180 o - 30 o 3x = 150 o x = 150 o : 3 = 50 o α = x + 30 = 50 o + 30 o = 80 o (εντός εναλλάξ) 10. ΑΒΓ παραλληλόγραµµο (απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου) Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σηµειωµένες 1. α, β β = 115 ο (εντός εκτός και επί τ αυτά) α = 180 ο - 115 ο = 65 ο 2. x, ψ ψ = 66 ο (παρά τη βάση ισοσκελούς τριγώνου) x = 180 o - 2. 66 o = 180 o - 132 o = 48 o
3. x, ψ x = 180 o - 90 o - 50 o = 40 o ψ = 180 ο - 40 ο = 140 ο 4. x, ψ ψ = 180 ο - 40 ο - 70 ο = 70 ο x = ψ + 40 ο = 70 ο + 40 ο = 110 ο 5. x, ψ, ω ψ = 30 ο (κατά κορυφή) ω = 25 ο (κατά κορυφή) x 1 = ψ = 30 ο (εντός εναλλάξ) x 2 = ω = 25 ο (εντός εναλλάξ) x = x 1 + x 2 = 30 o + 25 o = 55 o ή 6. x, ψ ψ + 140 = 180 ο ψ = 180 ο - 140 ο = 40 ο φ = 360 ο - (240 ο + ψ) = 360 ο - (240 ο + 40 ο ) = 360 ο - 280 ο = 80 ο x + φ = 180 ο x + 80 o = 180 o x = 180 o - 80 o = 100 o 7. ΑΓ διχοτόµος x, ψ, ω x = 50 o (εντός εκτός και επί τ αυτά) 2ψ = 180 ο - x = 180 o - 50 o = 130 o ψ = 130 : 2 = 65 ο ω = 180 ο - (50 ο + ψ) = = 180 ο - (50 ο + 65 ο ) = = 180 ο - 115 = 65 ο 8 x, ψ (παρά τη βάση ισοσκελούς)
Γ. Να λύσετε τις ασκήσεις. 1. α, β, γ, δ α = 60 ο (εντός εναλλάξ) γ = 48 ο (κατά κορυφή) β = 180 ο - (α + γ) = 180 ο - (60 ο + 48 ο ) = = 180 ο - 108 ο = 72 ο δ = β + 60 ο = 72 ο + 60 ο = 132 ο 2. x, ψ, ω x = 65 ο (εντός εναλλάξ) 65 ο + ψ = 110 ο ή ψ = 110 ο - 65 ο = 45 ο ω + 110 ο = 180 ο ω = 180 ο - 110 ο = 70 ο 3. x, ψ x + 130 o = 180 o x = 180 o - 130 o = 50 o ψ + 140 ο = 180 ο ψ = 180 ο - 140 ο = 40 ο 4. x φ = 80 ο (εντός εναλλάξ) x = φ = 80 ο (εντός εναλλάξ) 5. x = 4φ x, ψ, ω, φ, ρ x + φ = 140 ο <=> 4φ + φ = 140 ο <=> 5φ = 140 ο φ = 140 : 5 = 28 ο <=> x = 4φ = 4. 28 ο = 112 ο ρ = φ = 28 ο (εντός εναλλάξ) 6. ω + 28 ο + 90 ο = 140 ο <=> ω = 140 ο - 118 ο = 22 ο ψ = ω + φ (εντός εναλλάξ) <=> ψ = 22 ο + 28 ο = 50 ο φ, x, ψ, ω φ = 44 ο (εντός εναλλάξ) ω = 180 ο - (ψ + φ) = 180 ο - (28 ο + 44 ο ) = 180 ο - 72 ο = 108 ο x + 62 ο = ω ή x + 62 o = 108 o ή x = 108 o - 62 o = 46 o 7. ΓΕ = Γ α, β, γ, δ, ε α + 32 ο + 68 ο = 180 ο α = 180 ο - 100 ο = 80 ο β = α + 32 ο = 80 ο + 32 ο = 112 ο δ = Ε 1 = 56 ο (κατά κορυφή) ε + δ = 180 ο ε + 56 ο = 180 ο
8. ε = 180 ο - 56 ο = 124 ο (β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Α Α 2 = 180 ο - ( 65 ο + 50 ο ) = 180 ο - 115 ο = 65 ο Α 1 = ( εντός εναλλάξ ) ισοσκελές 9. εδοµένα Ζητούµενα ε 1 // ε 2 (α) Είδος τριγώνου ΑΒΓ (β) ω = 40 ο (εντός εναλλάξ) ψ = 180 ο - (90 ο + ω) = 180 ο - (90 ο + 40 ο ) = 180 ο - 130 ο = 50 ο φ = 64 ο (εντός εναλλάξ) x = 180 ο - (90 + 64 ο ) = 180 ο - 154 ο = 26 ο x + ψ = 26 ο + 50 ο = 76 ο 10. (κατά κορυφή) x + 30 + 3x + 50 = 180 o 4x = 180 o - 80 o = 100 o x = 100 : 4 = 25 o 11. εδοµένα ε 1 // ε 2 Ζητούµενα ΑΓ διχοτόµος της (εντός εναλλάξ) `Ωστε : ω = φ = 45 ο ή ΑΓ διχοτόµος 12. εδοµένα ΑΒΓ τετράγωνο Β = 6 cm Ζητούµενα KΓ = ; ΑΓ = Β ή ΑΓ = 6 cm
13 εδοµένα Ζητούµενα Ε // ΒΓ Β διχοτόµος (εντός εκτός και επί τ αυτά) 14. εδοµένα Ζητούµενα ΑΒ = ΑΓ ΒΕ ύψος Ε // ΒΓ ( εντός εκτός και επί τα αυτά ) φ = ψ = 20 ο ( εντός εναλλάξ )