ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

Transcript

1

2 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε μεσοκάθετη ευθυγράμμου τμήματος; 4. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές, παραπληρωματικές, εφεξής, κατακορυφήν; 5.Τι είναι οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών και τι οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών; 6. Πως θα δείξω ότι δύο ημιευθείες είναι αντικείμενες; 7. Πως θα δείξω ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά; 8. Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη, ποια σχέση συνδέει ίσες επίκεντρες γωνίες, αντίστοιχα τόξα και αντίστοιχες χορδές; 9.Τι λέμε ύψος, διάμεσο και διχοτόμο τριγώνου; 10. Τι λέμε εξωτερική γωνία τριγώνου; 11. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων; 1. Πως θα δείξω ότι δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; 13. Πως θα δείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές (5 τρόποι); 14. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος; 15. Τι λέμε απόστημα χορδής; Τι αποτελεί για τη χορδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το απόστημα; 16. Ποια σχέση συνδέει χορδές ενός κύκλου με τα αποστήματά τους; 17. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; 18. Τι λέμε γεωμετρικό τόπο; Ποιους βασικούς γεωμετρικούς τόπους γνωρίζετε; (κύκλος, μεσοκάθετος, διχοτόμος). 19. Ποια σχέση συνδέει την εξωτερική γωνία τριγώνου με κάθε μία από τις απέναντι εσωτερικές; 0. Ποια ανισότητα ισχύει μεταξύ γωνιών και απέναντι πλευρών τριγώνου; 1. Τι λέει η τριγωνική ανισότητα;. Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ καθέτου και πλαγίου τμήματος που άγονται από ένα σημείο προς μία ευθεία; 3. Ποια σχέση συνδέει δύο πλάγια που άγονται από το ίδιο σημείο

3 προς μία ευθεία; 4. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου; 5. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη ενός κύκλου σ ένα σημείο του; 6. Τι γνωρίζετε για τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από ένα σημείο προς ένα κύκλο; 7. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων και τι ισχύει για τη διάκεντρο σε κάθε περίπτωση; ΡΩΤΗΣΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ 4 και 5 8. Πως θα δείξω ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες; 9. Πως θα δείξω ότι δύο ευθείες τέμνονται; 30. Τι γνωρίζετε για γωνίες με πλευρές κάθετες ή παράλληλες; 31. Τι γνωρίζετε για το άθροισμα των εσωτ.γωνιών κυρτού ν-γώνου; 3. ε τι είναι ίση μία εξωτερική γωνία τριγώνου; 33. Τι σχέση έχουν οι διχοτόμοι δύο γωνιών που είναι εφεξής και παραπληρωματικές; 34. Τι λέμε παραλληλόγραμμο και τι ιδιότητες έχει; 35. Πως θα δείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο; 36. Τι είναι ορθογώνιο και ποιες επιπλέον ιδιότητες έχει σε σχέση με το παραλληλόγραμμο ; 37. Πως θα δείξω ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο; 38. Τι είναι ο ρόμβος και ποιες επιπλέον ιδιότητες έχει σε σχέση με το παραλληλόγραμμο ; 39. Πως θα δείξω ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος ; 40. Τι είναι τετράγωνο και ποιες ιδιότητες έχει; 41. Πως θα δείξω ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο; 4. Τι λέμε τραπέζιο, τι διάμεσο τραπεζίου και ποιες ιδιότητες έχει η διάμεσος; 43. Ποιο τραπέζιο λέγεται ισοσκελές και ποιες ιδιότητες έχει; 44. Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου; 45. Πώς αποδεικνύουμε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές; 46. Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου; 47. Τι γνωρίζετε για το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών τυχαίου τετραπλεύρου; 48. Τι ιδιότητες έχει η διάμεσος ορθογωνίου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα; 49. Πως θα δείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο (δύο τρόποι); 50. Τι γνωρίζετε για ορθογώνιο τρίγωνο με μία οξεία γωνία 30 ο ;

4 51. Ποια είναι τα αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου και ποιες ιδιότητες έχουν; 5. Πώς αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο; ΡΩΤΗΣΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ Χαρακτηρίστε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος 1. Οι διαγώνιες ενός οποιουδήποτε παραλληλογράμμου διχοτομούν τις γωνίες του.. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι παραπληρωματικές. 3. Ένα τετράπλευρο που έχει μια γωνία ορθή είναι ορθογώνιο. 4. Ένα παραλληλόγραμμο που οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες είναι τετράγωνο. 5. Οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες. 6. ν μια διάμεσος τριγώνου είναι και ύψος του το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 7. ν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι πλευρές του παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. 8. ν ή διάμεσος τριγώνου ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς της, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 9. Κάθε τετράγωνο είναι και ρόμβος. 10. Κάθε τετράπλευρο με δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. 11. ν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 1. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι ίσες. 13. ν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία τότε σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. 14. Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις διαγώνιες του ίσες. 15. ν σε παραλληλόγραμμο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ορθογώνιο. 16. ν σε τραπέζιο δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι ισοσκελές. 17. Το τετράπλευρο που έχει ίσες διαγώνιους είναι ορθογώνιο. 18. αρύκεντρο είναι το σημείο τομής των υψών. 19. H διάμεσος ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων του. 0. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 1. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα.

5 . ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη του άλλου τότε είναι ίσα. 3. Σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές. 4. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή είναι ορθογώνιο. 5. ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. 6. ύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μία ευθεία γωνία. 7.ια γωνία λέγεται επίκεντρη όταν οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου. 8.ν δύο τρίγωνα έχουν τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα. 9. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. 30. ν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες παραπληρωματικές. 31.Ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες είναι ορθογώνιο. 3.Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου λέγεται βαρύκεντρο. 33.Οι γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες 34. ν δυο κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία τότε ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου 35. Ένα τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες είναι ισόπλευρο 36. ν δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες τότε και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα 37. Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής. 38. ν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 39. Η εξωτερική γωνία εξ τριγώνου είναι μικρότερη από τη γωνία. 40. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν οι διαδοχικές του γωνίες είναι παραπληρωματικές 41. Ένας ρόμβος με μια ορθή γωνία είναι τετράγωνο 4. Σε τραπέζιο με // η διάμεσος του είναι = Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

6 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΩΡΙ ΤΡΙΩΝΩΝ Πρωτεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε: τις πλευρές α,β,γ και τις γωνίες του,,. γ β ευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζονται οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του. α ιάμεσος τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους, μα, μβ, μ γ που διέρχονται από το ίδιο σημείο (βαρύκεντρο). Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη, υα, υβ, υ γ, που διέρχονται από το ίδιο σημείο (ορθόκεντρο). ιχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με ένα σημείο της απέναντι πλευράς και χωρίζει τη γωνία του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους, δ, δ, δ που διέρχονται από το ίδιο σημείο (έγκεντρο). α β γ ίδη τριγώνων: ) Ως προς τις πλευρές: Ισόπλευρο (όλες οι πλευρές του ίσες), ισοσκελές (οι δύο μόνο πλευρές του ίσες) και σκαληνό (δεν έχει ίσες πλευρές) ) Ως προς τις γωνίες: μβλυγώνιο (έχει μια γωνία αμβλεία), ορθογώνιο (έχει μια γωνία ορθή) και οξυγώνιο (έχει όλες τις γωνίες οξείες) Κριτήρια ισότητας τριγώνων: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες μία προς μία και τις τρεις πλευρές τους, ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη σ αυτές γωνία, ή μία πλευρά και τις προσκείμενες σ αυτήν γωνίες. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων: ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες, μία προς μία, δύο oμώνυμες* πλευρές τους, ή μια πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία. ( *Ομώνυμες= με το ίδιο όνομα, δηλ. κάθετη ίση με κάθετη ή υποτείνουσα με υποτείνουσα.) Θεωρούμε τις προτάσεις: : Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. : Η M διάμεσος του τριγ.. C: Η M διχοτόμος του τριγ.. D: Η M ύψος του τριγ.. ν ισχύουν δύο από τις παραπάνω προτάσεις, τότε θα ισχύουν και οι άλλες δύο.

7 Xαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου. Τα σημεία της μεσοκαθέτου και μόνο αυτά ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος. M (ηλαδή αν M σημείο της μεσοκαθέτου τότε M = M και αντίστροφα αν M = M τότε το Σ M είναι σημείο της μεσοκαθέτου). ε (Λέμε ότι η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του.) Σε κάθε τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, διέρχονται από το ίδιο σημείο (περίκεντρο) Xαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου γωνίας. Τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας και μόνο αυτά ισαπέχουν από τις πλευρές της. (ηλαδή αν M σημείο της διχοτόμου και M Ox, M Oy,τότε M = M και αντίστροφα αν M = M τότε το M είναι σημείο της διχοτόμου) x (Λέμε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο O M ω γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της.) Θεωρούμε τις προτάσεις: y : Το M μέσο της χορδής. : Το KM κάθετο στη χορδή (απόστημα). C: Η KΣ μεσοκάθετος της χορδής. K D: Η ΚΣ διχοτόμος της γωνίαςκ. : Το Σ είναι μέσο του τόξου Σ. ν ισχύει μία από τις παραπάνω προτάσεις, M τότε θα ισχύουν και οι άλλες τέσσερις. Σ Θεωρούμε τις προτάσεις: : Τα τόξα, είναι ίσα. Ο : Οι χορδές, είναι ίσες. C: Tα αποστήματα ΟΚ,ΟΛ είναι ίσα. Λ D: Οι επίκεντρες γωνίες Ο, Ο Κ είναι ίσες. ν ισχύει μία από τις παραπάνω προτάσεις, τότε θα ισχύουν και οι άλλες τρεις. Πρόταση: ν από σημείο εκτός του κύκλου φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα,, τότε αυτά είναι μεταξύ τους ίσα 1 Κ ( = ) και η ευθεία Κ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν, 1 =. ( )

8 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία ωνίες Όποιος δεν γνωρίζει την υπέρτατη βεβαιότητα των μαθηματικών κολυμπά στην σύγχυση. Leonardo da Vinci Ι/01. Σε μία ευθεία παίρνουμε στη σειρά τα σημεία,,κ και έτσι που Κ 5 + =. είξτε ότι Κ =. Κ 5 7 Ι/0. Σε μία ευθεία παίρνουμε τα σημεία,, στη σειρά. ν + το μέσο του να δείξετε ότι: α) = β) =. της ορθής. Να βρείτε το μέτρο Ι/03. ια γωνία είναι ίση με τα 5 6 της συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής της γωνίας. Ι/04. ία οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα της συμπληρωματικής της και του μισού της παραπληρωματικής της. ρείτε το μέτρο της. Ι/05. ίας οξείας γωνίας το άθροισμα του τριπλάσιου της συμπληρωματικής της και του διπλάσιου της παραπληρωματικής της ισούται με 4 ορθές. Υπολογίστε τη γωνία. Ι/06. πό τις διαδοχικές γωνίες ˆ ˆ ˆ Ο, Ο, Ο και ˆ Ο η πρώτη είναι ορθή, η δεύτερη 60 και η τρίτη τα 5 της ορθής. Καλούμε 6 ΟΚ τη διχοτόμο της Ο. ˆ α) είξτε ότι οι ημιευθείες ΟΚ και Ο είναι αντικείμενες. β) ρείτε το μέτρο της γωνίας Ο. γ) είξτε ότι οι ημιευθείες Ο και Ο είναι κάθετες. Ι/07. Θεωρούμε τις διαδοχικές κυρτές γωνίες Ο ˆ και Ο ˆ. Το μέτρο της πρώτης είναι 30. ν Ο η διχοτόμος της γωνίας Ο ˆ και ΟΝ η διχοτόμος της Ο ˆ. ρείτε το μέτρο της ΟΝ. ˆ Ι/08. πό σημείο Ο μίας ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας της ημιευθείας Ο και Ο έτσι που οι γωνίες Ο, ˆ Ο ˆ και Ο ˆ να είναι διαδοχικές. Καλούμε Ο τη διχοτόμο της γωνίας Ο ˆ και Ο τη διχοτόμο της Ο. ˆ είξτε ότι ˆ 1 Ο = Ο ˆ Κ. δαμόπουλος

9 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/09. πό σημείο Ο μίας ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας της ημιευθείας Ο και Ο έτσι που οι γωνίες Ο, ˆ Ο ˆ και Ο ˆ να είναι διαδοχικές. ν η διχοτόμος της πρώτης και η διχοτόμος της τρίτης σχηματίζουν γωνία 108 υπολογίστε την γωνία Ο ˆ. Ι/10. πό σημείο Ο μίας ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας της ημιευθείας Ο και Ο έτσι που οι γωνίες Ο, ˆ Ο ˆ και Ο ˆ να είναι διαδοχικές. Καλούμε ΟΚ, ΟΛ και Ο τις διχοτόμους των γωνιών αυτών αντίστοιχα. ρείτε τα μέτρα αυτών των γωνιών αν οι ΟΚ και Ο είναι κάθετες και ΚΟ ˆ = 110. Ι/11. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία 40. ν η μία είναι τριπλάσια της άλλης προσδιορίστε τις. Ι/1. πό σημείο Ο μίας ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας της ημιευθείας Ο και Ο έτσι που οι γωνίες Ο, ˆ Ο ˆ και Ο ˆ να είναι διαδοχικές. ν Οx και Οy οι διχοτόμοι των γωνιών O ˆ και Ο ˆ και xoy ˆ = 40 0, υπολογίστε τη γωνία Ο. ˆ Ι/13. Θεωρούμε τις διαδοχικές γωνίες O ˆ και Ο ˆ με άθροισμα ν Οx η διχοτόμος της O ˆ και Οy η διχοτόμος της O ˆ και xoy ˆ = 30 να υπολογίσετε τις γωνίες O ˆ και O. ˆ Ι/14. ν Ο διάμετρος και σημείο του κύκλου έτσι ώστε = , βρείτε τα μέτρα των τόξων και. Ι/15. ν στο διπλανό κύκλο είναι = 3x + 30 = y + 0, = x + 40 και = 3y 10 να βρείτε τα μέτρα των τόξων,,,., O Κ. δαμόπουλος

10 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ισότητα Τριγώνων Ι/16. Να αποδειχθεί ότι οι κάθετοι που φέρονται από τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου στις απέναντί τους πλευρές είναι ίσες. Ι/17. Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της διχοτόμου της γωνίας της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου, ισαπέχει από τα άκρα της βάσης του και από τα μέσα των ίσων πλευρών. Ι/18. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=). Προεκτείνω τις ίσες πλευρές του κατά τα ίσα τμήματα και. ν το μέσο της βάσης αποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ι/19. Προεκτείνω τη βάση ισοσκελούς τριγώνου κατά τα ίσα τμήματα και. ν,ν τα μέσα των ίσων πλευρών και αντίστοιχα και οι Ν, τέμνονται στο Ρ αποδείξτε ότι το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές. Ι/0. Έστω τρίγωνο και η διάμεσός του. Φέρω τις και κάθετες στην ευθεία. είξτε ότι =. Ι/1. Στις ίσες πλευρές,, ισόπλευρου τριγώνου παίρνω τα σημεία,, αντίστοιχα ώστε: = =. ποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Ι/. Στις προεκτάσεις της βάσης ισοσκελούς τριγώνου παίρνω τα ίσα τμήματα και. είξτε ότι τι τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ι/3. Σε τρίγωνο φέρνουμε τη διχοτόμο από την κορυφή. Στις προεκτάσεις των και προς το μέρος του παίρνουμε σημεία και ώστε =. είξτε ότι =. Ι/4. ν ισοσκελές τρίγωνο και σημείο τέτοιο που =. Να αποδείξετε ότι το είναι κάθετο στη και ότι το είναι το μέσο της πλευράς. Ι/5. Έστω ισοσκελές τρίγωνο Στη προέκταση της παίρνουμε σημείο τέτοιο που = και στην προέκταση της σημείο τέτοιο που =. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Κ. δαμόπουλος

11 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/6. Στη διχοτόμο της γωνίας τριγώνου παίρνουμε τα σημεία και Ν τέτοια που = και = Ν. είξτε ότι Ν =. Ι/7. ίνεται η οξεία γωνία χ ˆΟ y και δύο σημεία και στις πλευρές τις Οχ και Οy έτσι που Ο = Ο. ν τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας να αποδείξετε ότι = και Ο ˆ = Ο ˆ. πίσης, αν η τέμνει την Ο y στο και η τέμνει την Οx στο δείξτε ότι: =. Ι/8. Έστω κυρτή γωνία χ ˆΟ y. Στην πλευρά της Οχ παίρνω τα σημεία, και στην Οy τα, έτσι που Ο = Ο και Ο = Ο. Στη διχοτόμο της γωνίας παίρνω σημείο. ποδείξτε ότι: τριγ=τριγ. Ι/9. Θεωρούμε δύο κύκλους με κέντρα ΚΛ, που τέμνονται στα σημεία και. Κ Λ είξτε ότι :) τριγκλ =τριγκλ ) Το ΚΛ είναι διχοτόμος της γωνίας Κ ) ΚΛ Ι/30. ίνεται τρίγωνο και δυο ημιευθείες Χ και Ψ κάθετες στις πλευρές ' και και τέτοιες που κάθε μια από τις γωνίες Χ ˆ και Ψ ˆ να είναι εφεξής με την ˆ. Στις Χ και Ψ παίρνουμε τα τμήματα = και =. Να δείξετε ότι =. Ι/31. Στις πλευρές μιας γωνίας xο ˆ y χ παίρνω τα σημεία,,, έτσι που Ο = Ο και Ο = Ο. Ο M ν οι και τέμνονται στο αποδείξτε ότι Ο διχοτόμος της xο ˆ y. y Ι/3. υο τρίγωνα και έχουν β = β, ˆ = ˆ και δ = δ. είξτε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. α α Ι/33. υο τρίγωνα και είξτε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. έχουν α = α, β = β και υα = υ α. ' Κ. δαμόπουλος

12 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/34. Να δείξετε ότι τα δυο οξυγώνια τρίγωνα είναι ίσα σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Ι) α = α, υβ = υ β, υγ = υ γ ΙΙ) α = α, υβ = υ β, υα = υ α ΙΙΙ) ˆ = ˆ, υβ = υ β, υγ = υ γ ΙV) ˆ = ˆ, υβ = υ β, υα = υ α Ι/35.υο ίσα ευθ. τμήματα και τέμνονται στο Κ. ποδείξτε ότι αν = τότε τα τρίγωνα Κ και Κ είναι ίσα. Ι/36. Στις ίσες πλευρές, ισοσκελούς τριγώνου παίρνω αντίστοιχα τα σημεία και έτσι που =. ν τα και τέμνονται στο να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή και ότι διχοτόμος της γωνίας. Ι/37. Σε τετράπλευρο έχω: = και ˆ = ˆ. είξτε ότι =. Ι/38. Σ ένα τεράπλευρο έχω = και ˆ = ˆ. ποδείξτε ότι ˆ = ˆ (Υποδ.: Σχεδιάστε το σαν ισοσκελές τραπέζιο και δείξτε ότι = ) Ι/39.υο τρίγωνα και έχουν: =, = και ˆ + ˆ = 180. ποδείξτε ότι υβ = υ β και υγ = υ γ. Ι/40. Έστω ισοσκελές τρίγωνο και ένα σημείο της διχοτόμου του. Η ευθεία τέμνει την στο και η τέμνει στο. ποδείξτε ότι =. Ι/41. Έστω τρίγωνο ισοσκελές ( = ). Προεκτείνω τη βάση του κατά τα ίσα τμήματα και. πό το φέρω και από το Η. Να αποδείξετε ότι αν οι, Η τέμνονται στο σημείο Ι, η Ι είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Ι Ι/4. Έστω τρίγωνο ( ) < και η διχοτόμος του. Στην ημιευθεία παίρνω τμήμα = και στην ημιευθεία τμημά =. είξτε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Υπόδ: ρκεί να δείξετε ότι γων. = 180 Ι/43. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. ε βάση τις πλευρές του κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ισόπλευρα τρίγωνα, Ν και Κ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΝΚ είναι ισοσκελές. Ι/44. ύο ίσες χορδές και ενός κύκλου με κέντρο Ο τέμνονται στο ( διαφορετικό από το Ο, > και > ). Κ. δαμόπουλος Η )

13 αθηματικά Λυκείου O Τρίγωνα -Παραλληλία Να δείξετε ότι: ) Η ημιευθεία Ο είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ ) = και =. Ι/45. Σε τρίγωνο προεκτείνω την πλευρά κατά τμήμα = και την πλευρά κατά τμήμα =. Να δείξετε ότι =. Ι/46. Έστω τρίγωνο ισοσκελές = και τυχαίο σημείο της. ( ) ν στην πλευρά πάρω σημείο Η, στην σημείο Θ ώστε Η = και Θ = και το μέσο του ΗΘ, να δείξετε ότι Η = Θ και ΗΘ. Ι/47. ν διάμεσος του τριγώνου, μέσο της και ισχύει = =. Να αποδείξετε ότι = και =. Ι/48. ν στο τετράπλευρο ισχύουν Ο = Ο και Ο = Ο (οι διαγώνιοί του διχοτομούνται) και Ο τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Ο, να αποδείξετε ότι: = και =. Ι/49. Έστω τρίγωνο ( ) <. Η διχοτόμος της γωνίας και η μεσοκάθετος της τέμνονται στο. Φέρνω και. είξτε ότι =. Ι/50. ν στο διπλανό σχήμα η ΟΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Κ ˆ και Κ = Κ, Κ να αποδείξετε ότι Ο = Ο και = Ι/51. Έστω τρίγωνο ισοσκελές ( = ) και, τα μέσα των,. Φέρουμε και Η. ποδείξτε ότι = Η και Η =. H Ο Θ Η Κ. δαμόπουλος

14 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/5. Έστω τρίγωνο ισοσκελές ( = ) και το μέσο της. Προεκτείνουμε τις πλευρές, κατά τα ίσα τμήματα,. είξτε ότι: = και =. νισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο Ι/53. ποδείξτε ότι σε κάθε τετράπλευρο έχουμε τις ισότητες: Ι) + > + ΙΙ) < + < Ι/54. Στις πλευρές,, τριγώνου παίρνω τα σημεία 3, και. ποδείξτε ότι: + + < ( + + ). Ι/55. Έστω τρίγωνο και σημείο στην. Να αποδείξετε ότι < <. Ι/56. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο. Στην προέκταση της προς το παίρνω σημείο. ρείτε τη σειρά μεγέθους των πλευρών του τρίγ. (μεγαλύτερη μεσαία μικρότερη) Ι/57. ν και Ν σημεία στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με = 90, να δείξετε ότι Ν <. Ι/58. ίνεται τρίγωνο με β τυχαίο σημείο της. Να δείξετε ότι ˆ ˆ Ι/59. ν τυχαίο σημείο της πλευράς τριγώνου και φέρουμε και, να αποδείξετε ότι: <. < γ, η διάμεσος του και Ρ < και Ρ < Ρ. Ι/60. ν διχοτόμος του τριγώνου και = : ) είξτε ότι: =. ) είξτε ότι: <. E Κ. δαμόπουλος

15 αθηματικά Λυκείου Ι/61. ν τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου, να αποδείξετε ότι: + < +. Τρίγωνα -Παραλληλία Καθετότητα Παραλληλία Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ι/6.Έστω τρίγωνο. πό την κορυφή φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά και πάνω της παίρνουμε σημείο έτσι ώστε =. είξτε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. Ι/63.Έστω τρίγωνο. πό το φέρνω κάθετες στις διχοτόμους της γωνίας και στη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας που τέμνουν την ευθεία στο και αντίστοιχα. είξτε ότι: =. Ι/64.Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό τυχαίο σημείο της φέρνω παράλληλη στην που τέμνει τις ευθείες και στα και Η. ποδείξτε ότι το τριγ.η είναι ισοσκελές. Ι/65. Έστω τρίγωνο. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο Ο. πό το Ο φέρνω παράλληλες προς τις και που τέμνουν την στα και αντίστοιχα. ποδείξτε ότι η περίμετρος του τριγ.ο είναι ίση με τη. Ι/66. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Στην παίρνω σημείο και στην προέκταση της προς το σημείο με =. είξτε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη. Ι/67. ν ΗΗ,,, διχοτόμοι των γωνιών,,, του τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι οι απέναντι γωνίες του τετραπλεύρου ΗΘ είναι παραπληρωματικές. Ι/68.ίνεται τρίγωνο με < και στην πλευρά του ˆ ˆ ˆ σημείο ώστε: =. είξτε ότι: ˆ = 90 + και ˆ =. Θ Η Κ. δαμόπουλος

16 αθηματικά Λυκείου Ι/69. Έστω τρίγωνο με ˆ Τρίγωνα -Παραλληλία > ˆ. Προεκτείνω τη προς το ˆ ˆ κατά τμήμα =. ποδείξτε ότι: ˆ = Ι/70. Έστω τρίγωνο με ˆ > ˆ και το ύψος του Η. Παίρνω στη σημείο έτσι που Η = Η. είξτε ότι ˆ = ˆ ˆ. Ι/71. ) Έστω τρίγωνο με ˆ 60 = και τις διχοτόμους του και. είξτε ότι: ˆ = ˆ. ) Έστω τρίγωνο και οι διχοτόμοι του και. ν ˆ = ˆ δείξτε ότι ˆ = 60. (ντίστροφο του προηγούμενου) Ι/7. Έστω τρίγωνο με ˆ ˆ = 90. ποδείξτε ότι η διχοτόμος του σχηματίζει με την πλευρά γωνία 45. Ι/73.ν Κ, Λ διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου και ΛΚ // να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ι/74.Έστω το ύψος ορθογωνίου τριγώνου (ˆ = 90 ) και παίρνω σημείο στην ώστε =. Φέρνω το τμήμα. ποδείξτε ότι: ˆ = ˆ. Ι/75. Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών ˆ και ˆ ορθογωνίου τριγώνου ( ˆ = 90 ) είξτε ότι: Ο ˆ = 45 Ι/76. ν Ι και Ι οι διχοτόμοι των γωνιών και τριγώνου. και από το Ι φέρω ευθεία παράλληλη στη που τέμνει τις πλευρές, στα, αντίστοιχα, δείξτε ότι: = +. Ι/77. ν,, οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου, τέμνονται στο Ο. να αποδείξετε ότι: ++= 70 Ι/78. Σε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ˆ = ˆ = ˆ. ν διχοτόμος δείξτε ότι τα τριγ. και είναι ισοσκελή.. Ι Κ. δαμόπουλος

17 αθηματικά Λυκείου x y Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/79. ποδείξτε ότι σ ένα τετράπλευρο οι διχοτόμοι δυο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των προσκείμενων εσωτερικών γωνιών. Ι/80.ποδείξτε ότι αν δυο απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε οι διχοτόμοι των δυο άλλων γωνιών του είναι παράλληλες. Ι/81. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τα ύψη του και. ποδείξτε ότι: //. Ι/8. Στο διπλανό σχήμα // ποδείξτε ότι: ε δ. ˆ = x ˆ + ˆy. Ι/83. Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα που σχηματίζονται είναι τυχόντα. είξτε ότι: ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ = 180. Ι/84. ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. Στην πλευρά παίρνω σημείο έτσι ώστε =. Να δείξετε ότι = E Z Ι/85. ίνεται τρίγωνο με ˆ = 3ˆ. ν η διχοτόμος, το μέσο της και η κάθετη από το στην τέμνει την στο να δείξετε ότι:. Ι/86. ν σε τετράπλευρο φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών του και που Ι ˆ ˆ τέμνονται στο σημείο Ι, να δείξετε ότι: ˆ Ι=. Ι/87. Σε ευθεία θεωρούμε στη σειρά τα σημεία,, έτσι που =. Προς το ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα και. ν το μέσο του δείξτε ότι = και. Ι/88. ε πλευρές τις πλευρές τριγώνου κατασκευάζουμε εξωτερικά του ισόπλευρα τρίγωνα, Ν και Ρ. είξτε ότι = Ν = Ρ. Κ. δαμόπουλος

18 αθηματικά Λυκείου Ι/89. ίνεται τρίγωνο με ˆ 45 Τρίγωνα -Παραλληλία =. ν τα ύψη του και τέμνονται στο Η αποδείξτε ότι Η =. Ι/90.ίνεται τρίγωνο και στις προεκτάσεις των πλευρών του, παίρνουμε τμήματα = και =. ν οι κάθετες στις, στα σημεία, αντίστοιχα τέμνονται στο, δείξτε ότι το τρίγ. είναι ισοσκελές. Ι/91. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ) = και τα ύψη του και. ν Λ το σημείο τομής του και φέρω τη Λ κάθετη στη, να αποδείξετε ότι η ευθεία Λ είναι μεσοκάθετος του. Ι/9. Έστω πεντάγωνο με =, = και ˆ= ˆ. ποδείξτε ότι η μεσοκάθετος της περνάει από το και είναι και διχοτόμος της γωνίας. Ι/93. Έστω ισοσκελές τρίγωνο και, τα μέσα των ίσων πλευρών του και. Φέρνω και Η. ν οι και Η τέμνονται στο Θ αποδείξτε ότι η Θ είναι μεσοκάθετος του και του Η. Ι/94. Έστω τρίγωνο με ˆ = 3ˆ. Η μεσοκάθετος της τέμνει την στο. ποδείξτε ότι τα τρίγ. και είναι ισοσκελή. Ι/95. Έστω τρίγωνο και σημείο Ρ της. Η μεσοκάθετη του Ρ τέμνει την στο εσωτερικό της σημείο και η μεσοκάθετη του Ρ τέμνει την στο εσωτερικό της σημείο. είξτε ότι Ρ ˆ =, ˆ Ρ ˆ = ˆ και Ρ ˆ = ˆ. Ι/96. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( ) = με ˆ = 10. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών και τέμνουν την στα και. είξτε ότι = =. Ι/97. Θεωρούμε ένα κύκλο (, ρ) Ο και δύο παράλληλες εφαπτόμενες το. ια τρίτη εφαπτόμενή του κύκλου αυτού τέμνει τις δύο προηγούμενες στα σημεία και. Να δείξετε ότι Ο Ο. Ι/98. Έστω τρίγωνο ( =90 ) διχοτόμος του. ν οι και τέμνονται στο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ι/99. Θεωρώ ισόπλευρο τρίγωνο. Στις πλευρές του και παίρνουμε τα σημεία, το ύψος του και η Ρ I Κ. δαμόπουλος

19 αθηματικά Λυκείου και αντίστοιχα, ώστε =. ν τα και τέμνονται στο Ι δείξτε ότι: Ι = 10. Ι/100. ν στο διπλανό σχήμα είναι = και = να αποδείξετε ότι. Ι/101. Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. Φέρνουμε το τμήμα κάθετο στην. Να αποδείξετε ότι =. Ι/10.πό σημείο εξωτερικό του κύκλου (Ο,ρ) φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ, Ρ και τη διακεντρική ευθεία ΡΟ. ποδείξτε ότι: 1. Ρ=Ρ. = 3. ΡΟ Ι/103. στω ισοσκελές τρίγωνο και τυχαίο σημείο στην προέκταση της βάσης. ν η μεσοκάθετος του τμήματος τέμνει την στο και φέρουμε το παράλληλο στην δείξτε ότι: ) =. ) =. O Τρίγωνα -Παραλληλία E E P Ι/104.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές =. Έστω το μέσο της και παίρνουμε στις, τα σημεία, ώστε =. Προεκτείνουμε τα, κατά τμήματα = και Η=. είξτε ότι: ) = ) Τα και Η ισαπέχουν από την ευθεία ) =Η Κ E Λ H Κ. δαμόπουλος

20 αθηματικά Λυκείου Τρίγωνα -Παραλληλία Ι/105. Έστω // Σ, διχοτόμος της Σ, Κ, Σ Σ και Η = 60 Υπολογίστε τις γωνίες: Κ, Κ, Κ Κ, Η.. 60 Κ Σ Ι/106. Στο τρίγωνο φέρνουμε το ύψος και η διχοτόμος. ν += : ) ρείτε τη γωνία. ) είξτε ότι το τρίγωνο είναι Ισοσκελές. ) Υπολογίστε την γωνία. ) ποδείξτε ότι =. Η Κ. δαμόπουλος

21 εωμετρία Λυκείου Θεωρία Παρ-μων ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΩΡΙ ΤΤΡΠΛΥΡΩΝ Παραλληλόγραμμο Ορισμός: Παραλληλόγραμμο ονομάζουμε το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Ιδιότητες: Ένα παραλληλόγραμμο έχει: πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες ιαγωνίους που διχοτομούνται. Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο: ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να δείξουμε ότι έχει: Τις απέναντι πλευρές του ίσες, ή Τις απέναντι γωνίες ίσες, ή ιαγωνίους που διχοτομούνται, ή ύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες. Ορθογώνιο Ορισμός: Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. (ή ισοδύναμα: ορθογώνιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές) Ιδιότητες: Ένα ορθογώνιο έχει όλες τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων και δύο επιπλέον, τις εξής: Όλες τις γωνίες του είναι ορθές και Οι διαγώνιές του είναι ίσες. Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο: ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αρκεί να δείξουμε ότι έχει τρεις γωνίες ορθές, ή ότι είναι παραλληλόγραμμο και επιπλέον έχει μια γωνία ορθή ή ίσες διαγωνίους. Ρόμβος Ορισμός: Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες. (ή ισοδύναμα: ρόμβος ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες) Ιδιότητες: Ένας ρόμβος έχει όλες τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων και τρεις επιπλέον, τις εξής: Όλες τις πλευρές του είναι ίσες, Οι διαγώνιές του τέμνονται κάθετα, Οι διαγώνιές του διχοτομούν τις γωνίες του. Κ. δαμόπουλος

22 εωμετρία Λυκείου Θεωρία Παρ-μων Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος: ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αρκεί να δείξουμε ότι έχει όλες τις πλευρές του ίσες, ή ότι είναι παραλληλόγραμμο και έχει επιπλέον δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες ή διαγωνίους που τέμνονται κάθετα ή μία διαγώνιο που να διχοτομεί μια γωνία του. Τετράγωνο Ορισμός: Τετράγωνο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. (ή ισοδύναμα τετράγωνο είναι το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του ίσες) Ιδιότητες: Ένα τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες των παρ/μων, τις δύο επιπλέον ιδιότητες των ορθογωνίων και τις τρεις επιπλέον ιδιότητες των ρόμβων. Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο: ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο αρκεί να δείξουμε ότι είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Τραπέζιο Ορισμοί Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει τις δύο μόνο απέναντι πλευρές του παράλληλες. Ισοσκελές τραπέζιο ονομάζεται το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες. ιάμεσος τραπεζίου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του. Ιδιότητες Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη στις βάσεις και ίση με το ημιάθροισμά τους. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την ημιδιαφορά τους. Στο ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοι είναι ίσες και οι γωνίες που πρόσκεινται σε οποιαδήποτε βάση του είναι ίσες. ια να δείξω ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αρκεί να δείξω ότι έχει ίσες διαγωνίους ή ότι οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. Κ. δαμόπουλος

23 εωμετρία Λυκείου Θεωρία Παρ-μων φαρμογές των παραλληλογράμμων στα τρίγωνα Θεώρημα: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι ίσο και παράλληλο με το μισό της τρίτης πλευράς. Στο σχήμα: ν M,Nτα μέσα των, τότε: Ν = / / Θεώρημα: ν μια ευθεία είναι παράλληλη σε μια πλευρά τριγώνου και διέρχεται από το μέσο μιας άλλης πλευράς, τότε θα διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς. Στο σχήμα: ν MN / / και μέσο της θα είναι και Ν μέσο της Θεώρημα: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας. (Οπότε τα δύο τρίγωνα και που δημιουργούνται είναι ισοσκελή) Στο σχήμα: ν διάμεσος και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε = ντίστροφο: ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Στο σχήμα: ν διάμεσος και = το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με = 90. έθοδος: ια να αποδείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο αρκεί να δείξω ότι έχει δύο γωνίες με άθροισμα 90 ή ότι μια διάμεσός του ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί. Θεώρημα: ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία είναι 30 τότε η απέναντι κάθετη ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Στο σχήμα: ν = 30 τότε =. ντίστροφο: ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, τότε η απέναντι οξεία γωνία είναι 30 Στο σχήμα: ν = τότε = Ν Κ. δαμόπουλος

24 αθηματικά Λυκείου Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Παραλληλόγραμμα "μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγη, τουτέστιν άδικος μηδείς παρεισερχέσθω τήδε. Ισότης γαρ και δίκαιον εστί γεωμετρία" Πλάτωνας Κ/01. Έστω παρ/μο. ια ευθεία παράλληλη προς τη διαγώνιο τέμνει τις ευθείες,, και στα σημεία, Ν, Κ, και Λ αντίστοιχα. ποδείξτε ότι Κ = ΝΛ. Κ/0. Έστω τρίγωνο και σημείο στην πλευρά. Φέρνω την παράλληλη ευθεία ε από το προς την και τις παράλληλες από το προς τις, που τέμνουν την ε στα και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τρίγ. =τρίγ.η. Κ/03. Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. είξτε ότι =. Κ/04. Έστω παρ/μο, στις πλευρές του και παίρνω τα σημεία και Η έτσι που = Η και φέρνω και ΗΘ. Να αποδείξετε ότι το ΗΘ είναι παρ/μο. Κ/05. Έστω παρ/μο και από τα και φέρνω και. Να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο. Κ/06. Έστω παρ/μο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ια ευθεία περνά από το Ο και τέμνει τις και στα Κ και Λ, ενώ μια άλλη περνά από το Ο και τέμνει τις και στα και Ν. ποδείξτε ότι το ΚΛΝ είναι παρ/μο. Κ/07. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Στην πλευρά παίρνω τυχαίο σημείο και προεκτείνω την κατά τμήμα =. Φέρνω την που τέμνει την στο. ποδείξτε ότι το είναι το μέσο της. Κ/08. Έστω παρ/μο. Προεκτείνω την προς το κατά τμήμα = και την προς το κατά τμήμα =. είξτε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. Κ/09. ίνεται τρίγωνο και σημείο Ι της πλευράς του έτσι 1 1 που Ι =. ν το μέσο της διαμέσου δείξτε ότι: Ι = //. 4 4 Κ. δαμόπουλος

25 αθηματικά Λυκείου Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Κ/10. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Φέρνουμε κάθετη στην στο που τέμνει την ευθεία στο. ν και τα μέσα των, να αποδείξετε ότι. Κ/11. Έστω τρίγωνο και τα ύψη του και. ποδείξτε ότι η μεσοκάθετος του περνά από το μέσο της. (ν το μέσο της αρκεί = ) Κ/1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μια κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας. ποδείξτε ότι το ύψος Η και η διάμεσος χωρίζουν την γωνία σε τρία ίσα μέρη. Κ/13. Σε τρίγωνο ορθογώνιο στο φέρνουμε τη διάμεσο και το ύψος Η. είξτε ότι η γωνία Η είναι ίση με την διαφορά των οξειών γωνιών του τριγώνου. Κ/14. Οι γωνίες και τετραπλεύρου είναι ορθές. ν Κ και Λ τα μέσα των διαγωνίων και, δείξτε ότι: α) Λ = Λ και β) ΚΛ. Κ/15. Έστω τρίγωνο με ˆ = ˆ, τη διχοτόμο του και το μέσο της πλευράς του. Η παράλληλος από το προς τη τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ). Κ/16. Έστω τρίγωνο και το ύψος του Η. ν και Ρ τα μέσα των πλευρών και να αποδείξετε ότι Ρ ˆ = ˆ, ΡΗ ˆ = ˆ και ΗΡ ˆ = ˆ ˆ. Κ/17. ίνεται τρίγωνο με < στο οποίο το είναι το μέσο της. πό την κορυφή φέρνουμε κάθετη στην διχοτόμο της γων. που τέμνει τη διχοτόμο στο και την πλευρά στο. είξτε ˆ ότι: ) = ) = ) ˆ = 90 + Κ/18. Έστω τετράπλευρο με = και ˆ = 90. Να αποδείξετε ότι η παράλληλη από το προς την περνά από το μέσο της. Κ/19. Έστω τυχαίο σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου και φέρω από το, // και //. είξτε ότι: + =. Κ. δαμόπουλος

26 αθηματικά Λυκείου Θ Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Κ/0.Έστω τρίγωνο και το μέσο της διαμέσου. Η ευθεία τέμνει την πλευρά στο Ν. ποδείξτε ότι Κ/1. Έστω παραλληλόγραμμο και σημεία,, Η, Θ στις πλευρές,,, έτσι που το ΗΘ να είναι παραλλ/μο. είξτε ότι: = Η και Θ =. Κ/. Σ ένα παραλληλόγραμμο έχω μέσο της αποδείξτε ότι ˆ = 90 Κ/3. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ). Ν Ν =. 4 Η =. ν το, το μέσο της, το μέσο της και το ύψος του Η. ) ποδείξτε ότι κάθε πλευρά του τριγώνου Η είναι το μισό μιας πλευράς του τριγώνου και ότι το τρίγωνο Η είναι ορθογώνιο. ) ποδείξτε ότι το τρίγωνο Η είναι ορθογώνιο. ) ν μέσο της να αποδείξετε ότι Η =. 4 Κ/4. Έστω το μέσο της πλευράς παρ/μου και το σημείο που η τέμνει τη διαγώνιο. ν η τέμνει τη στο δείξτε ότι το είναι το μέσο της. Κ/5. Έστω τετράγωνο. Στις πλευρές του και παίρνω τα σημεία και Ν έτσι που = Ν. Φέρνω τις Ν και. Να αποδείξετε ότι Ν = και Ν. Κ/6. Έστω τετράγωνο. Στην προέκταση της προς το παίρνω σημείο και στην προέκταση της προς σημείο έτσι που =. ποδείξτε ότι = και. Κ/7. Έστω τετράγωνο. Στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνω σημείο και στην προέκταση της προς σημείο Ν έτσι που Ν =. ποδείξτε ότι το τρίγ. Ν είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Κ/8. Έστω τετράγωνο και Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Παίρνω ένα σημείο του Κ. Η κάθετος από το στην τέμνει την Κ στο. ποδείξτε ότι = και =. Κ/9. Έστω τετράγωνο και ένα εσωτερικό σημείο της. Στην πλευρά παίρνουμε σημείο με =. ν το μέσο του και το Ν μέσο του. ποδείξτε ότι: Κ. δαμόπουλος

27 αθηματικά Λυκείου H Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια ) = ) Ν =. Κ/30. Έστω τετράγωνο. Έξω από αυτό κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο. Υπολογίστε τη γωνία ˆ. Κ/31. Έστω τετράγωνο. Η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τη διαγώνιο στο. ποδείξτε ότι =. Κ/3. Έστω τρίγωνο και, οι διάμεσοί του που τέμνονται στο Ο. ν Η και τα μέσα των Ο, Ο αντίστοιχα. ποδείξτε ότι το τετράπλευρο Η είναι παραλληλόγραμμο. Κ/33. Έστω τρίγωνο και η διάμεσός του. ν το μέσο της το μέσο της και Η το μέσο του, να αποδείξετε ότι το Η είναι παραλληλόγραμμο. O Z Η Κ/34. Έστω τρίγωνο Στις πλευρές του και παίρνω αντίστοιχα τα σημεία Η και Θ 1 1 ώστε Η = και Θ =. 4 4 ν, τα μέσα των, δείξτε ότι ΗΘ = //. 4 Κ/35. Έστω τρίγωνο και τα σημεία Σ,, που διαιρούν την πλευρά σε τέσσερα ίσα μέρη, δηλαδή Σ = Σ = = και μέσο του. ) είξτε ότι Σ // ) είξτε ότι το Ο είναι μέσο του. ) είξτε ότι Η Θ Σ Ο 1 Ο =. 4 Κ. δαμόπουλος

28 αθηματικά Λυκείου Κ/36.Έστω ρόμβος με = ˆ 60, το μέσο της και Ν της αντίστοιχα. ν φέρουμε το τμήμα κάθετο στην προέκταση της πλευράς να δείξετε ότι: Ν. Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Ν Κ/37.Έστω ορθογώνιο με, τα μέσα των,. Φέρουμε Η και Θ. ν οι Η, Θ τέμνονται στο Ι να δείξετε ότι το τρίγωνο ΗΙΘ είναι ορθογώνιο. (ρκεί: ΘΗΙ + ΗΘΙ = 90 ) Κ/38.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο με = 30 και το μέσο της. Φέρουμε το κάθετο στη. είξτε ότι: ) = και ) =. 3 Τραπέζια Κ/39.Έστω τραπέζιο ( // ). Η διχοτόμος της γωνίας του τέμνει την διάμεσο του στο Η. Να αποδείξετε ότι η Η είναι διχοτόμος της γωνίας. Κ/40. Έστω παρ/μο με =, το μέσο της και το κάθετο τμήμα Κ προς την ευθεία. ποδείξτε ότι Κ ˆ = 3Κ ˆ Κ/41. Έστω τραπέζιο ( // ) με Η Η Ι Θ = και Κ και Λ τα μέσα των διαγωνίων του. Προεκτείνω τις μη παράλληλες πλευρές του και αυτές τέμνονται στο Ο. ν το μέσο του Ο και Ν μέσο του Ο δείξτε ότι ΝΛΚ παρ/μο. Κ/4. Έστω τραπέζιο ( // ), το μέσο της βάσης, το μέσο της και Η το μέσο του. ποδείξτε ότι αν 3 το Η είναι παρ/μο τότε = και αντίστροφα. Κ. δαμόπουλος

29 αθηματικά Λυκείου Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Κ/43.Έστω τραπέζιο ( // ). Στη βάση παίρνω σημείο 1 τέτοιο που =. ν το μέσο της και Η το μέσο του 3 4 αποδείξτε ότι αν Η = // τότε = και αντίστροφα. 3 Κ/44. Έστω τραπέζιο ( // ) με < και τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι αν το ΛΚ είναι παρ/μο τότε = 3 και αντίστροφα. Κ/45. Έστω τραπέζιο ( // ) με = + και το μέσο Λ της διαγωνίου. είξτε ότι Λ ˆ = 90. Κ/46. Έστω τραπέζιο ( // ) με < και τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και αντίστοιχα. ν Η το μέσο του Κ και Θ το μέσο του Λ αποδείξτε ότι + 4ΗΘ = 3. Κ/47. Έστω τρίγωνο, το μέσο της και μια ευθεία ε που διέρχεται από το. Φέρνουμε τα κάθετα τμήματα και προς την ε. Να αποδείξετε ότι =. Κ/48. Έστω τρίγωνο και μια ευθεία ε που έχει προς το ίδιο μέρος όλες τις κορυφές του. ποδείξτε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών του από την ε ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων των μέσων των πλευρών του από την ε. Κ/49. Έστω τραπέζιο ( // ) με =,. ν Κ, Λ τα μέσα των διαγωνίων, αντίστοιχα Κ Λ 1 και ΚΛ =, να δείξετε ότι: ) = ) Λ ) = ) ˆ = 3ˆ. Κ/50. Έστω τρίγωνο και μια ευθεία ε που διέρχεται από το. ν Η, Θ οι προβολές των, στην ε, το μέσο του ΗΘ και Ν το μέσο της διαμέσου δείξτε ότι Ν =. Κ/51. Έστω ισοσκελές τραπέζιο ( = ) και το συμμετρικό του με Κ Λ Κ. δαμόπουλος

30 αθηματικά Λυκείου άξονα συμμετρίας την το σημείο τομής του με την και Κ. ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Να αποδείξετε ότι Κ = ) ν = δείξτε ότι το είναι ρόμβος. Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Κ/5. Έστω τρίγωνο, το ύψος του Η και η διάμεσός του. Προεκτείνουμε το Η κατά τμήμα Η = Η και την κατά τμήμα =. ποδείξτε ότι: ) = και = ) ισοσκελές τραπέζιο. Η K/53. Έστω παραλληλόγραμμο και το συμμετρικό σημείο του με άξονα συμμετρίας τη διαγώνιο. Να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. Κ/54. Σ ένα τραπέζιο που έχει τη βάση του ίση με το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του και, να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται σε σημείο της. Κ/55. Έστω τραπέζιο ( // ) με < και τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Παίρνω στο Κ τμήμα Κ = ΚΟ και στο Λ τμήμα Λ = ΛΟ. ν η Κ τέμνει τη στο Η αποδείξτε ότι: ) Η = ) Η = ΚΛ )το Η είναι παρ/μο. Κ/56. Θεωρώ τρίγωνο ορθογώνιο στο Κ και το ύψος του. Έστω, τα συμμετρικά του με άξονες τις και αντίστοιχα. ) ποδείξτε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. ) ποδείξτε ότι = 90 = ) ποδείξτε ότι το είναι τραπέζιο. Ο Η Λ Κ. δαμόπουλος

31 αθηματικά Λυκείου ) ποδείξτε ότι το είναι μέσο του. Κ/57. Θεωρούμε ένα κύκλο με κέντρο Ο, μια διάμετρός του και μία χορδή του. Φέρνουμε τα κάθετα τμήματα και προς την ευθεία. Να δείξετε ότι =. Κ/58.ύο κύκλοι με κέντρα, ΚΛ τέμνονται στα,. ν το μέσο του ΚΛ και φέρουμε τη να δείξετε ότι =. (Φέρουμε τα αποστήματα των χορδών, ) K/59.Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου με κέντρο Ο. Παίρνω στη διάμετρο τα σημεία, ώστε Ο = Ο και από αυτά φέρνω προς το ίδιο μέρος δύο παράλληλες ευθείες που τέμνουν τον κύκλο στα., είξτε ότι η είναι κάθετη στις παράλληλες ευθείες. Κ/60.ίνεται τετράγωνο και το σημείο μέσο της πλευράς του. ) ν η τέμνει τη στο σημείο Κ να αποδείξετε ότι: Κ = 3 ) ν μέσο της να αποδείξετε ότι είναι και =. Κ/61. ν, τα μέσα των πλευρών τριγώνου και προεκτείνουμε το κατά το ίσο του τμήμα, να δείξετε ότι: ) Το είναι παραλληλόγραμμο. ) ν = το είναι ισοσκελές τραπέζιο. ) ν = α υπολογίστε το. Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Κ Κ Ο E Λ Κ. δαμόπουλος

32 εωμετρία Λυκείου γγεγραμμένα σχήματα γγεγραμμένες γωνίες Ως ο γεωμέτρης που όλος βυθισμένος τον κύκλο να μετρήσει, μα δε βρίσκει στο νού του το θεμέλιο που 'χει ανάγκη, όμοια κι εγώ στο αλλόκοτο αυτό θάμμα. Ποθώ να δω μορφή πως σμίγει ανθρώπου με κύκλο Θείο και πως τοπώνει εντός του. Όμως γι' αυτό μικρές οι φτερούγες μου. άντης, Θεία Κωμωδία /01. ) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου αν = 100 και = 10. ) Υπολογίστε τις γωνίες του τετραπλεύρου αν = 100 και = 10 και = 90. ) Υπολογίστε τη γωνία αν = 100 και = 60. E ) Υπολογίστε τη γωνία Ρ αν = 100 και = 50. Ρ /0. ύο κύκλοι με κέντρα ΚΛ, τέμνονται στα,. ν το αντιδιαμετρικό του ως προς τον πρώτο κύκλο και ως προς τον δεύτερο, να δείξετε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. Κ Λ Κ Κ. δαμόπουλος

33 εωμετρία Λυκείου Σ γγεγραμμένα σχήματα /03. ε διάμετρο την ακτίνα Κ κύκλου ( Κ, ρ ) γράφω δεύτερο κύκλο. ποδείξτε ότι οποιαδήποτε χορδή του μεγάλου κύκλου διχοτομείται από το μικρό. /04. ν μέσο του, Σ τυχαίο σημείο του κύκλου και φέρω Σ να αποδείξετε ότι ) Σ = Σ ) =Σ-Σ /05.ια κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη δύο κύκλων με κέντρα Κ ΚΛ, που δεν έχουν κοινά σημεία, τέμνονται στο σημείο. Να αποδείξετε Κ Λ. /06.ν δύο κύκλοι τέμνονται στο σημείο και το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους να αποδείξετε ότι: = 90. Λ ότι /07.Έστω κύκλος κέντρου Ο, η διάμετρός του και μια χορδή που σχηματίζει με την γωνία 30. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την ευθεία στο σημείο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. /08.ύο κύκλοι (, R),(, R) Κ Λ τέμνονται στα σημεία, και ισχύει ΚΛ = R.ια ευθεία διέρχεται από το και τέμνει τον πρώτο κύκλο στο και τον δεύτερο στο Ν. είξτε ότι το τρίγωνο Ν είναι ισόπλευρο. /09.ύο κύκλοι εφάπτονται Ο Κ Λ Ν Κ Κ. δαμόπουλος Λ

34 εωμετρία Λυκείου γγεγραμμένα σχήματα εξωτερικά στο. ια χορδή του ενός προεκτεινόμενη εφάπτεται στον άλλο κύκλο στο. Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας του τριγώνου στο. /10.Έστω τρίγωνο και,, τα σημεία στα οποία ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του, και αντίστοιχα. ˆ Να αποδείξετε ότι ˆ = 90. /11.Θεωρώ δύο κύκλους που τέμνονται στα σημεία., ια τυχαία ευθεία τέμνει τους κύκλους κατά σειρά στα σημεία.,,, ποδείξτε ότι =. /1. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το μέσο του τόξου. Φέρνουμε Ν παράλληλη προς την. είξτε ότι Ν =. /13. Θεωρώ δύο κύκλους που τέμνονται στα σημεία., ν τυχαίο σημείο του ενός κύκλου και οι ευθείες, τέμνουν τον άλλο κύκλο στα, να αποδείξετε ότι αν η Ο τέμνει την στο Σ είναι Σ. /14. Έστω κύκλος διαμέτρου και στην προέκταση της προς το ένα σημείο. πό το φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου αυτού. Η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τη χορδή στο. Υπολογίστε τη γωνία ˆ. M Ν Ο Σ Κ. δαμόπουλος

35 εωμετρία Λυκείου γγεγραμμένα σχήματα /15. Έστω κύκλος κέντρου Ο και σημείο εξωτερικό του κύκλου. ν φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα, και είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του, να αποδείξετε ότι: // Ο. /16. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την προέκταση της στο Σ. ) ν διχοτόμος του τριγώνου Σ δείξτε ότι: Σ = Σ. ) ντίστροφα: ν πάρω Σ = Σ δείξτε ότι διχοτόμος του τριγώνου. /17. Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και κύκλος διαμέτρου. ν ο κύκλος τέμνει την πλευρά στο σημείο και φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει την στο, να δείξετε ότι: =. /18. Έστω κύκλος διαμέτρου και ακτίνα Ο κάθετη στην. Έστω τυχαίο σημείο της Ο και το σημείο όπου η τέμνει τον κύκλο. ν η εφαπτομένη του κύκλυ στο τέμνει την στο δείξτε ότι: =. /19. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. ν το σημείο είναι το μέσο του τόξου και Η το ύψος του τριγώνου να αποδείξετε ότι: ) διχοτόμος της. ) διχοτόμος της ΗΟ. ) Η = Ο. Η Ο Ο Ο Κ. δαμόπουλος

36 εωμετρία Λυκείου /0. Έστω κύκλος κέντρου Ο με διάμετρο και χορδή που σχηματίζει γωνία 30 με την. Φέρνω επίσης τη χορδή κάθετη στο μέσο της ακτίνας Ο. είξτε ότι: =. /1. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και Ι το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου. ) είξτε ότι μέσο του. ) είξτε ότι = Ι. γγράψιμα τετράπλευρα γγεγραμμένα σχήματα Ι /.Έστω τετράπλευρο με ˆ = 3 ˆ = 7. Υπολογίστε τη γωνία ˆ. /3.Θεωρούμε τρίγωνο και ένα εσωτερικό σημείο της πλευράς του. Στην προέκταση της προς το παίρνω σημείο και στην προέκταση της προς το σημείο.ν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και τέμνονται σε ένα δεύτερο σημείο, να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο., ˆ = 40 και /4.Να δείξετε ότι, αν οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε σχηματίζουν τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. /5.Θεωρούμε ένα τρίγωνο και τα μέσα Ν, αντίστοιχα των πλευρών του,. Η κάθετος από το προς την τέμνει την στο Ρ και η κάθετος από το Ν προς τη ΝΡ τέμνει την στο. είξτε ότι ΝΡ ˆ = ˆ. /6.Θεωρούμε ένα τρίγωνο και ένα εσωτερικό σημείο του ύψους. Ν Ρ Κ. δαμόπουλος '

37 εωμετρία Λυκείου γγεγραμμένα σχήματα Φέρνουμε το κάθετο τμήμα προς την και το κάθετο τμήμα προς την. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. /7.Έστω ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σ ένα κύκλο με κέντρο Ο. Η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνει την πλευρά στο Ρ. Να Ο δείξετε ότι τα σημεία Ο,, και Ρ είναι ομοκυκλικά Ρ. /8.Θεωρούμε ένα κύκλο, μια χορδή του, το μέσο του ενός από τα δύο τόξα με άκρα τα σημεία, και δύο εσωτερικά σημεία, του άλλου τόξου. Οι χορδές, τέμνουν τη χορδή στα και Η αντίστοιχα Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Η /9.Έστω τραπέζιο ( // ) εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Καλούμε το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να δείξετε ότι τα σημεία Ο,,, είναι Ο ομοκυκλικά. /30.Ένα τετράπλευρο που οι διαγώνιές του τέμνονται κάθετα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου αυτού στα σημεία,,, σχηματίζουν τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. Θ Ο Ι Η /31.ποδείξτε ότι σε ένα τρίγωνο τα μέσα των πλευρών του και το ίχνος ενός ύψους του είναι κορυφές εγγράψιμου τετραπλεύρου. Η Κ. δαμόπουλος

38 εωμετρία Λυκείου γγεγραμμένα σχήματα /3.Σε τρίγωνο φέρνω τα ύψη, και μετά φέρνω Η και. ποδείξτε ότι η Η είναι παράλληλη στην. /33.Έστω τρίγωνο. ύο κύκλοι διέρχονται από τα, και τέμνουν τις πλευρές, στα σημεία, και Η, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι Η //. Η /34.Έστω διάμετρος. Φέρω την εφαπτομένη του κύκλου στο και πάνω της παίρνω τυχαία σημεία Η., ν τα τμήματα, Η τέμνουν τον κύκλο στα, αντίστοιχα, δείξτε ότι το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιμο. Η /35.ν τυχαίο σημείο της διχοτόμου Ο t της γωνίας xο y και δύο κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία Ο, τέμνουν τις πλευρές Οx, Ο y στα σημεία, και, αντίστοιχα. ) δείξτε ότι = και = ) δείξτε ότι =. x Ο t y /36.Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το μέσο του. ν Κ. δαμόπουλος

39 εωμετρία Λυκείου τυχαίο σημείο του κύκλου, το σημείο τομής των και, το σημείο τομής των και αποδείξτε ότι: ) το εγγράψιμο. ) =. ) //. γγεγραμμένα σχήματα Κ. δαμόπουλος

40 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης σκήσεις πανάληψης X/01. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( = ), με = Ν και, οι προβολές των και πάνω στις και Ν αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: ) = Ν ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ν X/0.,Στο τρίγωνο φέρνουμε το ύψος Η και τη διάμεσο. Στις ημιευθείες Η και παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία, έτσι ώστε να είναι Η = Η και =. Να αποδειχθεί ότι: a. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο b. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές c. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο d. Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. X/03. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30. Παίρνουμε τα σημεία,, μέσα αντίστοιχα των,, και στην προέκταση της τμήμα Η =. Να αποδειχθεί ότι: )Το τετράπλευρο Η είναι παραλληλόγραμμο. )Το τετράπλευρο Η είναι ορθογώνιο )Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. X/04.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 60 και η διάμεσος. Φέρνουμε τις x // και y // οι οποίες τέμνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι: ) Το τετράπλευρο Ν είναι ρόμβος. ) Ν = ) Ν = 90. Η 60 Η Ν Κ. δαμόπουλος

41 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης X/05.ίνεται παραλληλόγραμμο ( < ) με = 45. πό το μέσο της φέρνουμε κάθετη πάνω στη που τέμνει τις και (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) Το είναι τετράγωνο. ) Το είναι ισοσκελές τραπέζιο. X/06.Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και ισοσκελούς τριγώνου παίρνουμε τα ίσα τμήματα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) = και = ) = και = ) ν το Ο είναι σημείο τομής των και, τα τρίγωνα Ο Ο και Ο είναι ισοσκελή. ) Η διχοτόμος της γων. διέρχεται από το Ο. X/07. Σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι = 90 είναι = και διάμεσος. α) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου. β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. γ) ν διχοτόμος της και τότε: i) είξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ii) Να υπολογίσετε την γωνία. iii) Να αποδείξετε ότι =. X/08. Στο παραλληλόγραμμο είναι = 10 και η διχοτόμος Της τέμνει την στο μέσο της. Να αποδείξετε ότι: ) = ) = όπου. (να φέρετε Η ) ) ποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. ) = 90 Κ. δαμόπουλος

42 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης X/09. Στο τραπέζιο με = = 90 τα, είναι μέσα των πλευρών και και ισχύει = =. Να δείξετε ότι: ) Το είναι ορθογώνιο. ) Το είναι παραλληλόγραμμο. ) = 60. ) (κάθετο) ) Το είναι ισοσκελές τραπέζιο. X/10. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 60. Φέρνουμε τη διχοτόμο x της και την x. x Να δείξετε ότι: ) τα τρίγωνα και είναι ίσα. ) = ) ν Ο το σημείο τομής των και x, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Ο X/11. Σ ένα τετράγωνο το σημείο είναι συμμετρικό του ως προς το. ν μέσο της και Η ή τομή των και, να δειχθεί ότι: ) Η = ) Η = ) (κάθετο) Η Ι X/1. ίνεται παραλληλόγραμμο με = και το μέσο της πλευράς. ν η τέμνει την προέκταση της στο σημείο, να αποδείξετε ότι: ) =. ). ) Το είναι ρόμβος. ) Το σημείο είναι μέσο του. Κ. δαμόπουλος

43 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης X/13.Στην προέκταση της διαμέτρου ΚΛ κύκλου παίρνουμε τα ίσα τμήματα Κ και Λ. πό τα και φέρνουμε τις εφαπτόμενες και του κύκλου. είξτε ότι: ) τριγ = τριγ. ) διάμετρος. ) ορθογώνιο. ) ΚΛ ορθογώνιο. X/14.ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (//) με =3. Ν Η διάμεσος Ν του τραπεζίου Κ Λ τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία Κ, Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) ΚΛ = ) Το τετράπλευρο ΚΛ είναι ορθογώνιο. ) Ν =. 3 ) ΚΛ = Κ = ΛΝ X/15. Έστω τρίγωνο, διάμεσος και =.πό το φέρνω. ν Ν σημείο της τέτοιο ώστε Ν = 1 4 να δειχθεί ότι Ν. X/16.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) και φέρνουμε τη διχοτόμο Κ. ν η κάθετη από το Κ προς τη τέμνει την στο Λ και την στο,να δειχθεί ότι Κ=ΚΛ (παρατηρήστε ότι το τετράπλευρο ΛΚ είναι εγγράψιμο) και Κ=Κ. X/17.Έστω τρίγωνο και φέρνουμε τη διχοτόμο Κ. ν η Η Κ τέμνει την στο Θ να δειχθεί ότι: Κ = ΚΘ. Ν Λ Κ Η Κ Κ. δαμόπουλος K Θ Λ

44 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης X/18. ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και τυχαία χορδή του.ν από το μέσο Κ του τόξου φέρνουμε Κ Ο. 1 Να δειχθεί ότι Κ =. Κ Ο X/19. Έστω τρίγωνο με = 60, =3α, =α.να δειχθεί ότι η διάμεσος του ισούται με την πλευρά. (φέρνουμε το ύψος) X/0. Έστω τρίγωνο και φέρνουμε το ύψος του. ν μέσο του και η κάθετη από το προς τη τέμνει την στο. Να δειχθεί ότι =. X/1. Έστω ισοσκελές τρίγωνο με =.ν μέσο του και στην προέκταση της πάρουμε τμήμα = τότε να δειχθεί ότι: α) = β) Το ισοσκελές τρίγωνο. X/. ίνεται τετράπλευρο με == 90. Στις πλευρές, παίρνουμε τα σημεία, τέτοια ώστε =. ν να δειχθεί ότι = και να βρεθεί η γωνία. Κ. δαμόπουλος

45 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης X/3. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και στις πλευρές και παίρνουμε σημεία,ν τέτοια ώστε = Ν. ν Ρ το σημείο τομής των Ν και, να δειχθεί ότι: ) Ν =, ) Ρ = 10. Ρ Ν X/4. ίνεται τρίγωνο με = 45. Φέρουμε τα ύψη του και. ν είναι το μέσο της να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ορθογώνιο. X/5. ίνεται κύκλος και δύο κάθετες χορδές του και που τέμνονται στο έτσι ώστε =. Ο ) είξτε ότι = ) είξτε ότι =. X/6.ίνεται τρίγωνο με = 90, = 60 και,, τα μέσα των πλευρών του. είξτε ότι: ) ορθογώνιο. ) Ο ισοσκελές τραπέζιο με 5 περίμετρο Π =. 4 1 ) Θ =. 6 X/7. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( = ), η Η είναι διχοτόμος της γωνίας Η και x //. ) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου Κ. 60 Ο Θ Κ. δαμόπουλος

46 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης ) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου. ) ποδείξτε ότι το Η είναι ύψος του τριγώνου. X/8. ίνεται το ισοσκελές οξυγώνιο τρίγωνο ( = ). Φέρουμε το ύψος και από το την κάθετη προς την η οποία συναντά την πλευρά στο και την προέκταση της στο. Να δείξετε ότι: ) = ) >. X/9. Έστω ορθογώνιο με >, τέτοιο ώστε οι διαγώνιοί του να σχηματίζουν γωνία 60. πό το φέρνουμε. Να αποδείξετε ότι: ) Το είναι το μέσο του Ο, όπου Ο είναι το κέντρο του ορθογωνίου. ) = 4. β) ν από το φέρουμε Ν, να αποδείξετε ότι το Ν είναι ισοσκελές τραπέζιο. X/30. Οξυγώνιο τρίγωνο έχει =. Φέρουμε το ύψος και παίρνουμε σημείο στο τέτοιο ώστε =. ) είξτε ότι τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. ) είξτε ότι + =. ) ν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με =, υπολογίστε τις γωνίες του. X/31. ίνεται παραλληλόγραμμο και το μέσον της. Προεκτείνουμε την προς το μέρος του κατά =. είξτε ότι ) //. ),, συνευθειακά. ) ν Ν το σημείο τομής των και τότε Ν = Ν. ) ν η προέκταση του Ν τέμνει την στο Θ, τότε Θ = Θ. X/3. ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με = 90 διάμεσος του. Κ. δαμόπουλος και η

47 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης πό το φέρνουμε την κάθετη προς τη η οποία τέμνει την υποτείνουσα στο, και το ύψος Κ το οποίο τέμνει την στο σημείο Σ. Να δείξετε ότι : ) Σ = ) Σ = ) = 3. X/33. ίνεται τετράγωνο και Η μέσον της. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο προς το μέρος του κατά τμήμα =. ν η τέμνει την προέκταση της στο να αποδείξετε ότι: ) = ) Τα τρίγωνα και Η είναι ίσα. ) // Η. δ) το τετράπλευρο Η είναι παραλληλόγραμμο. X/34. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με = 90 είναι = 30. Έστω το σημείο στο οποίο η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την. πό το φέρουμε την κάθετη στην που τέμνει την στο. ν είναι το μέσον της να αποδείξετε ότι: ) = ) = ) == ) =. X/35. ίνεται ορθή γωνία xο y. Στην πλευρά Ο x παίρνουμε τα σημεία και και στην πλευρά Ο y τα σημεία και έτσι ώστε Ο > Ο και Ο > Ο και //. ν ΚΛ, είναι τα μέσα των και αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι: ) τα σημεία ΟΚΛ,, είναι συνευθειακά ) ΚΛ =. Κ. δαμόπουλος

48 εωμετρία Λυκείου σκήσεις επανάληψης γ) αν ΣΡ, τα μέσα των και αντιστοίχως, το τετράπλευρο ΚΣΛΡ είναι ορθογώνιο. X/36. Έστω κύκλος κέντρου Ο και σημείο Ρ εξωτερικό του. πό το Ρ φέρουμε δύο τέμνουσες Ρ και Ρ του κύκλου με Ρ = Ρ. πό το κέντρο του κύκλου φέρουμε τις ΟΚ και ΟΛ. Να αποδείξετε ότι : ) Η ΟΡ είναι διχοτόμος της Ρ. ) ΟΚ = ΟΛ ) Ρ = Ρ. X/37. ίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του και Ν, που τέμνονται στο Σ και Κ το μέσο του Σ. ) ν η Κ τέμνει το Σ στο Ρ, να αποδείξετε ότι: Ρ =. 9 β) ν η Σ τέμνει την στο Λ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΣΚΛ είναι παραλληλόγραμμο. X/38. ίνεται τραπέζιο με =. ν ΚΛ,, τα μέσα των,, αντίστοιχα και Ρ το σημείο τομής των και Λ, να αποδείξετε ότι: 3 ) Κ =. ) Το Λ είναι παραλληλόγραμμο. ) Ρ = Ρ. ) Ρ = 3 ΡΛ. X/39. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και το ύψος του. Φέρουμε και Η το μέσο του τμήματος. πό το Η φέρουμε παράλληλη στη η οποία τέμνει τις και στα σημεία Κ και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) Η = ) // ) Η ευθεία Η είναι κάθετη στη. 4 Κ. δαμόπουλος