Αποδεικτικές Ασκήσεις (Version 30-8-05) Α. O παρατηρητής ΑΒ βλέπει το φως του λαμπτήρα Γ μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΔΓ, όταν είναι ΔΚ=3m, ΑΚ=m και το ύψος του παρατηρητή,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης). φ ω Επειδή φ=ω θα είναι και ΚΓ ˆ = 90 ϕ = 90 ω = ΑΚΒ ˆ Αρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΚΓ και ΑΚΒ είναι όμοια, οπότε: Γ Κ = ΑΒ ΑΚ Με αντικατάσταση των δεδομένων προκύπτει ότι: Γ 3m 5, = Γ = m Γ =,55m, 7m m Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Α. Να αποδείξετε ότι: i) δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες, ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια. i) Εστω τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΒΓ με Α = ΑΒ και Α=Α. ˆ ˆ Α ΑΒ Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές οποιουδούποτε (τυχόντος) παραλληλογράμου είναι ίσες, οπότε: ΒΓ=ΑΔ, ΒΓ =Α, ΔΓ=ΑΒ και Γ =ΑΒ. Αρα τελικά η πιο πάνω αναλογία προεκτείνεται ως εξής: Α ΑΒ ΒΓ Γ = = = Α ΑΒ ΒΓ Γ () Δηλαδή τα δύο παραλλληλόγραμμα έχουν όλες τις πλευρές τους ανάλογες. Επίσης επειδή θα είναι Γ=Γ ˆ ˆ Επιπλέον: ˆ ˆΓ=Ακαι ˆ ˆ Γ=Α ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμων και δεδομένου ότι ˆ ˆ Α=Α, Β= ˆ 80 Α= ˆ 80 Α ˆ =Β ˆ (oι ΒΑείναι ˆ, ˆ παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ και οι oι Β ˆ, Α ˆ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων Α και ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ ) = ˆ 80 Α= ˆ 80 Α ˆ = ˆ (oι Αείναι ˆ, ˆ παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΔ και οι oι ˆ, Α ˆ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και Γ που τέμνονται από την Α ) Αρα συνολικά: Α=Α ˆ ˆ Γ=Γ ˆ ˆ Β=Β ˆ ˆ () = ˆ ˆ Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Aπό () και () και σύμφωνα με τον ορισμό των όμοιων σχημάτων τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. ii) Tο τρίγωνα ΚΑΔ και ΚΑ είναι ισοσκελή οπότε οι προσκείμενες στην βάση γωνίες είναι ίσες και ειδικά: ˆ ˆ ˆ 80 Κ 80 Κ Α ˆ = = = Α Αρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΓ και ΑΓ είναι έχουν: = ˆ ˆ = 90 Επομένως είναι όμοια ( ο κριτήριο ομοιότητας) άρα θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: Α ˆ ˆ = Α Α Γ ΑΓ = = Α Γ ΑΓ. Επειδή οι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες η αναλογία μπορεί να επεκταθεί ως εξής: Α ΒΓ Γ ΑΒ = = = Α ΒΓ Γ ΑΒ Αρα τα δύο ορθογώνια έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία αφού είναι όλες ορθές και τις πλευρές τους ανάλογες επομένως σύμφωνα με τον ορισμό είναι όμοια. Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
A3.Θεωρούμε τους κύκλους ( Ο, R ) και (, R ) Ο που τέμνονται στα σημεία Α και Β.Αν οι εφαπτόμενες στο Α τέμνουν τους κύκλους στα Α και Α αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΒΑ ΒΑ Τα τρίγωνα ΑΒΑ και ΑΒΑ είναι όμοια, γιατί: Α ˆ = Α ˆ ως εγγεγραμμένη και γωνία χορδής 3 και εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επίσης: Α ˆ = Α ˆ ως εγγεγραμμένη και γωνία χορδής 4 και εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Αρα τα τρίγωνα είναι όμοια από το ο κριτήριο ομοιότητας και επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΑΒ ΒΑ ΑΑ ΒΑ ΑΒ ΑΑ = = ΑΒ = ΒΑ ΒΑ Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
Α4. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ΗΔ ΗΑ = ΗΒ ΗΕ = ΗΓ ΗΖ. Τα τρίγωνα ΗΑΕ και ΗΒΔ είναι όμοια γιατί έχουν: =Ε= ˆ ˆ 90 Η ˆ ˆ =Η ως κατακορυφήν Επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και ειδικά: Η ΗΒ = Η ΗΑ = ΗΒ ΗΕ () ΗΕ ΗΑ Τα τρίγωνα ΗΒΖ και ΗΕΓ είναι όμοια γιατί έχουν: Ζ=Ε= ˆ ˆ 90 Η ˆ ˆ 3 =Η 4 ως κατακορυφήν Επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και ειδικά: ΗΒ ΗΖ = ΗΒ ΗΕ = ΗΓ ΗΖ () ΗΓ ΗΕ Από () και () προκύπτει ότι Η ΗΑ = ΗΒ ΗΕ = ΗΓ ΗΖ Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
A5. Από το μέσο Μ του τόξου ΑΒ φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα και Ζ αντίστοιχα.να αποδειχθεί ότι: Μ Μ = ΜΖ ΜΖ Σκεπτικό: Από τα τμήματα που συμμετέχουν στην προς απόδειξη σχέση σκεφτόμαστε να εξετάσουμε αν τα τρίγωνα ΜΔΖ και Μ Ζ είναι όμοια. Φέρνουμε το τμήμα ΔΖ.Τότε τα τρίγωνα έχουν: ˆΜ κοινή. Η γωνία ˆ του τριγώνου ΜΔΖ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο επομένως το μέτρο της είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της: ˆ ΜΖ = H γωνία Ẑ του τριγώνου Μ Ζ δεν είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και έτσι θα προσπαθήσουμε να την συνδέσουμε με εγγεγραμμένες ως εξής: Φέρνουμε την χορδή ΜΒ. Η γωνία Ẑ είναι εξωτερική στο τρίγωνο Ζ ΜΒεπομένως είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών Z ˆ =Μ ˆ ˆ +Β Αρα ˆ ˆ ˆ ΒΖ ΜΑ ΒΖ ΜΒ ΜΖ Z ˆ =Μ +Β = + = + = = Αρα τα τρίγωνα ΜΔΖ και Μ Ζ (από το ο κριτήριο ομοιότητας) είναι όμοια, οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
Α6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο ( ˆΑ= ˆ = ) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων. Eπειδή το ύψος είναι το ΑΔ αρκεί να αποδείξουμε ότι Α ΑΒ = Γ Α Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΔ ισχύει: Γ ˆ = 90 ω () Επίσης ˆ ˆ + ω = 90 = 90 ω () Από () και () προκύπτει ότι: ˆΓ ˆ = Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΑΓ έχουν: Α= = ˆ ˆ 90 Γ ˆ = ˆ Aρα από ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια οπότε οι πλευρές τους είναι ανάλογες: Α ΑΒ Β = = Γ Α ΑΓ Δημήτρης Αθανασίου Μαθηματικός asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7