Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179"

Ēᾍιδης Μαρής
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς ναι (έχουν ίσες γωνίες ) ii) Ναι διότι δύο γωνίες του ενός θα είναι ίσες µε δύο γωνίες του άλλου. ύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όµοια ; πάντηση Όχι 3. Ζ Στο παρακάτω σχήµα είναι 3. Να βρεθεί ο λόγος πάντηση Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε µία από τις προσκείµενες στην βάση του γωνία είναι 70 ο. 40 ο Ζ 0 ο Στο ισοσκελές τρίγωνο Ζ κάθε µία από τις ίσες γωνίες και Ζ είναι 70 ο Τα τρίγωνα λοιπόν είναι όµοια, άρα Ζ 3 Ζ 3 4. Στο παρακάτω σχήµα να βρεθεί το µήκος του Οπότε πάντηση ίναι και και αφού η γωνία είναι κοινή των τριγώνων,, αυτά είναι όµοια.,5 5

ενός θα είναι ίσες µε δύο γωνίες του άλλου. ύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όµοια ; πάντηση Όχι 3. Ζ Στο παρακάτω σχήµα είναι 3.

2 5. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 3cm, 4cm, 5cm. Ένα τρίγωνο όµοιο µε αυτό έχει περίµετρο 4cm. Ποια είναι τα µήκη των πλευρών του ; πάντηση ν x, ψ, z είναι οι οµόλογες πλευρές των δοθέντων, τότε x ψ z x+ψ+ z 4 x και ψ και z 4 5 x 6cm, ψ 8cm και z 0cm 6. ν στο παρακάτω σχήµα το τετράπλευρο ΚΛ είναι εγγράψιµο, τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όµοια ; Ποιες είναι οι οµόλογες πλευρές τους; πάντηση Κ Λ φού ΚΛ εγγράψιµο, θα είναι Bˆ KΛ ˆ και ΛΚ ˆ ˆ Άρα τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όµοια. Οµόλογη πλευρά της είναι η Λ, της η Κ και της η ΚΛ. 7. Στο παρακάτω σχήµα οι ευθείες και είναι παράλληλες ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση ίναι Άρα πό τη ισότητα αυτή προκύπτει ότι οι πλευρές και είναι οµόλογες, οπότε οι απέναντι αυτών γωνίες ˆ και ˆ θα είναι ίσες, άρα

ν στο παρακάτω σχήµα το τετράπλευρο ΚΛ είναι εγγράψιµο, τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όµοια ; Ποιες είναι οι οµόλογες πλευρές τους; πάντηση Κ Λ φού ΚΛ εγγράψιµο, θα είναι Bˆ KΛ ˆ και ΛΚ ˆ ˆ Άρα τα

3 3 σκήσεις µπέδωσης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ). πό τυχαίο σηµείο της φέρουµε. Να αποδείξετε ότι i) τα τρίγωνα, και είναι όµοια ii).. i) Τρ. όµοιο του τρ. αφού είναι ορθογώνια µε ˆ κοινή. ii) ρκεί να αποδείξουµε ότι, που ισχύει από το i).. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούµε σηµεία και αντίστοιχα, ώστε 3 και. Να αποδείξετε ότι 3 i) τα τρίγωνα, και είναι όµοια ii) 3 i) αλλά 3 3 Άρα Τα τρίγωνα, λοιπόν,, και είναι όµοια, αφού έχουν δύο πλευρές ανάλογες και την περιεχόµενη γωνία ˆ κοινή. ii) πό (i) 3 3.

ii) ρκεί να αποδείξουµε ότι, που ισχύει από το i).. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούµε σηµεία και αντίστοιχα, ώστε 3 και.

4 4 3. Μία µεταλλική πλάκα έχει σχήµα ορθογωνίου τριγώνου µε πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερµαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά της κατά το 5 της. Θα παραµείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήµα της πλάκας; Έστω α, β, γ οι πλευρές του διασταλµένου τριγώνου. α α + 5 α 6 5 α α α 6 5 β Οµοίως β 6 5 γ και γ 6 5 α Άρα α β β γ τα δύο τρίγωνα είναι όµοια έχουν γωνίες ίσες, γ άρα και το δεύτερο τρίγωνο ορθογώνιο. 4. Ένα δένδρο ρίχνει κάποια στιγµή σε οριζόντιο έδαφος σκιά µήκους 4m. Στο ίδιο σηµείο, την ίδια στιγµή, µια κατακόρυφη ράβδος µήκους m ρίχνει σκιά µήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δένδρου. Ζ m 4m 3m Έστω και Ζ τα τρίγωνα που δηµιουργούν το δένδρο και η ράβδος µε τις σκιές τους αντίστοιχα. Τα δύο τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ, αφού Ζ σαν ακτίνες του ήλιου, άρα είναι όµοια Ζ m

α α + 5 α 6 5 α α α 6 5 β Οµοίως β 6 5 γ και γ 6 5 α Άρα α β β γ τα δύο τρίγωνα είναι όµοια έχουν γωνίες ίσες, γ άρα και το δεύτερο τρίγωνο ορθογώνιο. 4.

5 5 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι i). ii) B. iii).. i) A ˆ ˆ (οξείες µε πλευρές κάθετες) τα ορθογώνια τρίγωνα, είναι όµοια, άρα. ii) τρ. όµοιο του τρ. (ορθογώνια µε ˆ κοινή) B. iii) τρ. όµοιο του τρ ίνεται τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R) και οι ευθείες x και y που σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε τις και και τέµνουν τη και τον κύκλο αντίστοιχα στα και. Να αποδείξετε ότι... x y ρκεί να αποδείξουµε ότι ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ., το οποίο συµβαίνει διότι ˆ ˆ από υπόθεση και ˆ ˆ εγγεγραµµένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο

6 6 ποδεικτικές σκήσεις. Ο παρατηρητής βλέπει το φως του λαµπτήρα µέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίστε το ύψος του φανοστάτη, όταν είναι Κ 3m, Κ m και το ύψος του παρατηρητή,70m. (ίναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης). x.70m 3 4 3m K m Κ ˆ Κ ˆ σαν συµπληρωµατικές των 4 Κ ˆ Κ ˆ 3 ίναι και ˆ ˆ, οπότε τα τρίγωνα Κ, Κ είναι όµοια Κ Κ ,0,55m

(ίναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης). x.

7 7. Να αποδείξετε ότι i) ύο παραλληλόγραµµα είναι όµοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες ii) δύο ορθογώνια µε ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όµοια. i) Υποθέσεις: A AB A () και ˆ ˆ AB () A ˆ ˆ ˆ ˆ (παραπληρωµατικές των ˆ ˆ ) και ˆ ˆ και ˆ ˆ (απέναντι γωνίες παρ/µµου) Άρα τα, είναι όµοια. ii) A Κατά το i), αρκεί να αποδείξουµε ότι ω AB Ο ω Ο A AB πειδή ωω ˆ ˆ, τα ισοσκελή τρίγωνα Ο, Ο είναι όµοια AΟ Ο A Οµοίως τα ισοσκελή τρίγωνα Ο, Ο είναι όµοια AΟ Ο AB Άρα A 3. Θεωρούµε τους κύκλους ( Ο, R ) και (, R ) Ο θ φ Ο Ο που τέµνονται στα,. ν οι εφαπτόµενες στο τέµνουν τους κύκλους στα A, A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι AB BA. BA. ρκεί να αποδείξουµε ότι AB BA ή ότι BA AB τρ. A όµοιο του τρ. A, το οποίο συµβαίνει αφού Â ϕ και Â θ (εγγεγραµµένη από χορδή και εφαπτοµένη )

ii) A Κατά το i), αρκεί να αποδείξουµε ότι ω AB Ο ω Ο A AB πειδή ωω ˆ ˆ, τα ισοσκελή τρίγωνα Ο, Ο είναι όµοια AΟ Ο A Οµοίως τα ισοσκελή τρίγωνα Ο, Ο είναι όµοια AΟ Ο AB Άρα A 3.

8 8 4. ν,, Ζ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου, να αποδείξετε ότι Η. Η Η. Η Η. ΗΖ. Ζ Η ια την ισότητα Η. Η Η. Η, Η Η αρκεί να αποδείξουµε ότι Η Η, ή αρκεί ότι τρ.η όµοιο του τρ.η, το οποίο συµβαίνει αφού είναι ορθογώνια και έχουν Η ˆ Η ˆ. Οµοίως τρ.ηζ όµοιο του τρ.η 5. πό το µέσο Μ του τόξου φέρουµε τις χορδές Μ και ΜΖ, που τέµνουν τη χορδή στα και Ζ αντίστοιχα.. Να αποδειχθεί ότι Μ. Μ ΜΖ. ΜΖ. Ζ ω Ζ ρκεί να αποδείξουµε ότι Μ ΜΖ ΜΖ Μ ή αρκεί ότι τρ.μζ όµοιο του τρ.μζ και επειδή έχουν τη γωνία ˆΜ κοινή, αρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ ˆω. Μ ΜΖ ˆ Μ+Ζ () Μ+Ζ πό εφαρµογή στις εγγεγραµµένες γωνίες ισχύει ˆω () Και επειδή ΜΜ, τα δεύτερα µέλη των () και () είναι ίσα, άρα ˆ ˆω.

πό το µέσο Μ του τόξου φέρουµε τις χορδές Μ και ΜΖ, που τέµνουν τη χορδή στα και Ζ αντίστοιχα.. Να αποδειχθεί ότι Μ. Μ ΜΖ. ΜΖ. Ζ ω Ζ ρκεί να αποδείξουµε ότι Μ ΜΖ ΜΖ Μ ή αρκεί ότι τρ.

9 9 6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο ( A ˆ ˆ ) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι µέσο ανάλογο των βάσεων. K ρκεί να αποδείξουµε ότι ή αρκεί ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ.. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Κ ˆ συµπληρωµατική της ˆ. πό το ορθογώνιο τρίγωνο ˆ συµπληρωµατική της ˆ. Άρα ˆ ˆ τα ορθογώνια τρίγωνα, είναι όµοια.

K ρκεί να αποδείξουµε ότι ή αρκεί ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ.

10 0 Σύνθετα Θέµατα. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια µε ανάλογες βάσεις και τις προσκείµενες σε δύο οµόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες µία προς µία, είναι όµοια. A A Υποθέσεις λ () ˆ ˆ και ˆ ˆ άρα και ˆ ˆ, ˆ ˆ σαν παραπληρωµατικές ίσων. Φέρουµε και Έ τότε, Έ παραλληλόγραµµα () λ Έ λ () κόµη ˆ ˆ ˆ ˆ και επειδή ˆ ˆ τρ. όµοιο του τρ.έ Έ () λ (3) Λόγω των παρ/µµων έχουµε και Έ. Η (3) λ (4) Οι (), (), (3), (4) τα τραπέζια έχουν πλευρές ανάλογες και επειδή έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες, είναι ίσα.

είναι όµοια. A A Υποθέσεις λ () ˆ ˆ και ˆ ˆ άρα και ˆ ˆ, ˆ ˆ σαν παραπληρωµατικές ίσων.

11 . Έστω δοσµένη γωνία x ˆΟ y και σηµείο Μ. Ο τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα Ο και Μ τέµνει τις πλευρές Οx, Oy στα και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι Μ Μ d, όπου d, d είναι οι αποστάσεις του Μ από τις Οx, Oy αντίστοιχα. d Έστω ΜΚ d και ΜΛ d ρκεί να αποδείξουµε ότι τρ.μκ όµοιο του τρ.μλ και επειδή είναι ορθογώνια αρκεί η γωνία ˆB του ενός να είναι ίση µε τη γωνία ˆ του άλλου. υτό ισχύει, αφού το ΟΜ είναι εγγεγραµµένο στον κύκλο, οπότε η εσωτερική του ˆ ισούται µε την απέναντι εξωτερική ˆB. x Κ O Μ Λ y 3. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) και το ύψος του. Η διχοτόµος της γωνίας ˆ τέµνει το στο Ζ και η διχοτόµος της ˆ τέµνει τη στο. Να αποδείξετε ότι Ζ Ζ ρκεί να αποδείξουµε ότι Ζ Ζ Θεώρηµα εσ. διχοτόµου στο Ζ τρ. Ζ Θεώρηµα εσ. διχοτόµου στο τρ. Οπότε αρκεί να αποδείξουµε ότι, ή ότι τρ. όµοιο του, το οποίο ισχύει, αφού είναι ορθογώνια µε ˆ κοινή.

μλ και επειδή είναι ορθογώνια αρκεί η γωνία ˆB του ενός να είναι ίση µε τη γωνία ˆ του άλλου.

12 4. ίνεται τρίγωνο µε ˆ ˆ και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι.. ρκεί να αποδείξουµε ότι, ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ. και επειδή είναι ορθογώνια αρκεί η γωνία ˆ του ενός να είναι ίση µε τη γωνία ˆ του άλλου. Στο τρ. έχουµε ˆ εξ ˆ + ˆ ˆ + ˆ Η υπόθεση ˆ ˆ γίνεται + ˆ ˆ ˆ ˆ 5. Η διχοτόµος ενός τριγώνου τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι i) AB. A. ii). i) ρκεί να αποδείξουµε ότι, ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ.. Έχουν ˆ ˆ ( διχοτόµος) και ˆ ˆ (εγγεγραµµένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ). Άρα είναι όµοια. ii) ρκεί να αποδείξουµε ότι, ή αρκεί τρ. όµοιο του τρ.. Έχουν κοινή τη γωνία ˆ και ˆ ˆ ˆ

έχουµε ˆ εξ ˆ + ˆ ˆ + ˆ Η υπόθεση ˆ ˆ γίνεται + ˆ ˆ ˆ ˆ 5. Η διχοτόµος ενός τριγώνου τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι i) AB. A. ii).

Σχετικά έγγραφα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές