Δοµές Δεδοµένων. 17η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα. Ε. Μαρκάκης

Σχετικά έγγραφα
Δοµές Δεδοµένων. 18η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα. Ε. Μαρκάκης

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ισορροπηµένα Δέντρα Κεφάλαιο 13. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Δοµές Δεδοµένων. 14η Διάλεξη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης. Ε. Μαρκάκης

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης Κεφάλαιο 12 ( ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Δοµές Δεδοµένων. 15η Διάλεξη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης και Κατακερµατισµός. Ε. Μαρκάκης

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Εξωτερική Αναζήτηση και Β-δέντρα Κεφάλαιο 16. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Δοµές Δεδοµένων. 16η Διάλεξη Κατακερµατισµός. Ε. Μαρκάκης

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

Δοµές Δεδοµένων. 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων. Ε. Μαρκάκης

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Δομές Αναζήτησης. κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο. Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πίνακες Συµβόλων Κεφάλαιο 12 ( ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Δομές Αναζήτησης. κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο. Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου

Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισμός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε:

Δοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης

Διασυνδεδεμένες Δομές. Δυαδικά Δέντρα. Προγραμματισμός II 1

Λίστες παράλειψης (skip lists)

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ Δυαδικά Δέντρα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα

Διάλεξη 22: Δυαδικά Δέντρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης, Δένδρα AVL

Προγραμματισμός Ι (ΗΥ120)

ΟιβασικέςπράξειςπουορίζουντονΑΤΔ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες:

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΛΙΣΤΕΣ ΠΑΡΑΛΕΙΨΗΣ (SKIP LISTS)

Δοµές Δεδοµένων. 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων. Ε. Μαρκάκης

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 8-1

AVL-trees C++ implementation

Δοµές Δεδοµένων. 13η Διάλεξη Πίνακες Συµβόλων. Ε. Μαρκάκης

Διάλεξη 17: Δυαδικά Δέντρα. Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

Οι βασικές πράξεις που ορίζουν τον ΑΤ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες:

Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου. Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ουρές προτεραιότητας Κεφάλαιο 9. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

έντρα ομές εδομένων 3ο εξάμηνο ιδάσκων: Χρήστος ουλκερίδης ιαφάνειες προσαρμοσμένες από το υλικό της Μαρίας Χαλκίδη

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Κεφάλαιο 8 Ισορροπημένα Δένδρα Αναζήτησης

Δοµές Δεδοµένων. 2η Διάλεξη Αλγόριθµοι Ένωσης-Εύρεσης (Union-Find) Ε. Μαρκάκης. Βασίζεται στις διαφάνειες των R. Sedgewick K.

έντρα Πολλαπλής ιακλάδωσης και (a, b)- έντρα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Κατακερµατισµός Κεφάλαιο 14. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ιαφάνειες παρουσίασης #10 (β)

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΕΝΤΡΑ (TREES) B C D E F G H I J K L M

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ουρές προτεραιότητας Κεφάλαιο 9. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Διάλεξη 14: Δέντρα IV - B-Δένδρα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Δένδρα. Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών :

Δοµές Δεδοµένων. 12η Διάλεξη Διάσχιση Δέντρων και Ουρές Προτεραιότητας. Ε. Μαρκάκης

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Οντοκεντρικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 10 Ψηφιακά Λεξικά

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 3 ο. Συνδεδεµένες Λίστες. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση

Προγραµµατισµός Ι (ΗΥ120)

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort

9. Κόκκινα-Μαύρα Δέντρα

Διάλεξη 13: Δέντρα ΙΙΙ - Ισοζυγισμένα Δέντρα, AVL Δέντρα

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Δένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής Διακλάδωσης

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Στοιχειώδεις Δοµές Δεδοµένων Λίστες Κεφάλαιο 3 (3.3, 3.4, 3.7) Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

Διάλεξη 18: B-Δένδρα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις

Δοµές Δεδοµένων. 4η Διάλεξη Στοιχειώδεις Δοµές Δεδοµένων: Πίνακες και Λίστες. Ε. Μαρκάκης

Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Κεφ.11: Ευρετήρια και Κατακερματισμός

Διάλεξη 21η: Απλά Συνδεδεμένες Λίστες

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ EPL035: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Δομές Δεδομένων (Εργ.) Ακ. Έτος Διδάσκων: Ευάγγελος Σπύρου. Εργαστήριο 10 Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης

Αλγόριθµοι Divide-and- Conquer

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διασυνδεδεμένες Δομές. Λίστες. Προγραμματισμός II 1

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue)

διεύθυνση πρώτου στοιχείου διεύθυνση i-οστού στοιχείου T t[n]; &t[0] είναι t &t[i] είναι t + i*sizeof(t)

Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής 29 Μαΐου / 18

Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015

Γ7.5 Αλγόριθμοι Αναζήτησης. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αλγόριθµοι Ένωσης-Εύρεσης (Union-Find) Κεφάλαιο 1. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Συλλογές, Στοίβες και Ουρές

Transcript:

Δοµές Δεδοµένων 17η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα Ε. Μαρκάκης

Περίληψη Εισαγωγή Τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ (Randomized Binary Search trees) Στρεβλά ΔΔΑ (Splay trees) Καθοδικά δέντρα 2-3-4 (Top-Down 2-3-4 trees) Δοµές Δεδοµένων 17-2

Εισαγωγή Μειονεκτήµατα δέντρων Δυαδικής Αναζήτησης (ΔΔΑ) Κακή επίδοση χειρότερης περίπτωσης Εµφανίζεται σε αρκετές πρακτικές περιπτώσεις Παράδειγµα: εισαγωγή ήδη ταξινοµηµένων κλειδιών Λύση: διατήρηση των δέντρων σε ισορροπηµένη µορφή Όλοι οι εξωτερικοί κόµβοι στο ίδιο ή σε δύο διαδοχικά επίπεδα Πρόβληµα: διατήρηση ισορροπίας µετά από αλλαγές Περιοδική πλήρης ανακατασκευή private Node balancer(node h) { if ((h == null) (h.n == 1)) return h; h = partr(h, h.n/2); h.l = balancer(h.l); h.r = balancer(h.r); fixn(h.l); fixn(h.r); fixn(h); return h; } Δοµές Δεδοµένων 17-3

Εισαγωγή Διατήρηση ΔΔΑ σε ισορροπηµένη µορφή Η περιοδική ανακατασκευή µπορεί να έχει µεγάλο κόστος Χρειαζόµαστε µεθόδους τοπικής ανακατασκευής Προσεγγίσεις αποφυγής χειρότερης περίπτωσης Τυχαιοποίηση: στατιστική αποφυγή της χειρότερης περίπτωσης Εισάγουµε κάποια τυχαία απόφαση στον αλγόριθµο Παράδειγµα: τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ Απόσβεση: εκτέλεση επιπλέον εργασίας ορισµένες φορές Το κόστος αποσβένεται µετά από πολλές λειτουργίες Παράδειγµα: στρεβλά ΔΔΑ Βελτιστοποίηση: εγγυήσεις επίδοσης σε κάθε λειτουργία Χρήση πρόσθετων δοµικών πληροφοριών µέσα στα ΔΔΑ Παράδειγµα: δέντρα 2-3-4, δέντρα κόκκινου-µαύρου Δοµές Δεδοµένων 17-4

Τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ Απλή παραλλαγή των ΔΔΑ Έστω ένα ΔΔΑ µε N κόµβους Το επόµενο στοιχείο εισάγεται στη ρίζα µε πιθανότητα 1/(N+1) Αυτή είναι η πιθανότητα να είναι η ρίζα ενός τυχαίου ΔΔΑ Αναδροµική εισαγωγή σε υποδέντρο µε τον ίδιο τρόπο private Node insertr(node h, ITEM x) { if (h == null) return new Node(x); if (Math.random()*h.N < 1.0) return insertt(h, x); if (less(x.key(), h.item.key())) else h.l = insertr(h.l, x); h.r = insertr(h.r, x); h.n++; return h; } void insert(item x) { head = insertr(head, x); } Δοµές Δεδοµένων 17-5

Τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ Απόδοση τυχαιοποιηµένων ΔΔΑ Είναι ισοδύναµα µε ΔΔΑ όπου N κλειδιά εισάγονται τυχαία Παρά το ότι τα κλειδιά δεν εισάγονται τυχαία Κατασκευή: περίπου 2NlnN συγκρίσεις Αναζήτηση: περίπου 2lnN συγκρίσεις Ιδιότητες τυχαιοποιηµένων ΔΔΑ Το ΔΔΑ που προκύπτει εξαρτάται από τους τυχαίους αριθµούς Αµελητέα πιθανότητα το δέντρο να είναι µη ισορροπηµένο Παράδειγµα: ΔΔΑ που προκύπτει από κλειδιά σε αύξουσα σειρά Δοµές Δεδοµένων 17-6

Τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ Μειονεκτήµατα τυχαιοποιηµένων ΔΔΑ Οι καλές γεννήτριες τυχαίων αριθµών είναι αργές Χρήση γρήγορων αλλά όχι τόσο τυχαίων γεννητριών Απαιτείται πεδίο πλήθους κόµβων σε κάθε κόµβο Μπορεί όµως να χρησιµοποιείται και για άλλους λόγους Αφαίρεση: παρόµοια µε τα απλά ΔΔΑ Όταν ενώνουµε τα υποδέντρα παίρνουµε µια τυχαία απόφαση private Node joinlr(node a, Node b) { int N = a.n + b.n; if (a == null) return b; if (b == null) return a; if (Math.random()*N < 1.0*a.N) { a.r = joinlr(a.r, b); return a; } else { b.l = joinlr(a, b.l); return b; } } Δοµές Δεδοµένων 17-7

Τυχαιοποιηµένα ΔΔΑ Υλοποίηση ένωσης: παρόµοια µε τα απλά ΔΔΑ Τυχαία απόφαση για το ποια ρίζα θα µείνει στην κορυφή private Node joinr(node a, Node b) { if (b == null) return a; if (a == null) return b; insertt(b, a.item); b.l = joinr(a.l, b.l); b.r = joinr(a.r, b.r); return b; } public void join(st b) { int N = head.n; if (Math.random()*(N+b.count()) < 1.0*N) head = joinr(head, b.head); else head = joinr(b.head, head); } Δοµές Δεδοµένων 17-8

Στρεβλά ΔΔΑ Παραλλαγή των ΔΔΑ µε εισαγωγή στη ρίζα Λαµβάνουµε υπόψη δύο διαδοχικές περιστροφές Αν είναι προς αντίθετες κατευθύνσεις, καµία αλλαγή Αν είναι προς την ίδια κατεύθυνση, διαφοροποιούµαστε Κάνουµε πρώτα την περιστροφή στη ρίζα και µετά στο παιδί Δοµές Δεδοµένων 17-9

Στρεβλά ΔΔΑ Υλοποίηση στρεβλής εισαγωγής Διαφοροποιείται µόνο σε ζεύγη όµοιων περιστροφών Εξετάζουµε πάντα δύο επίπεδα private Node splay(node h, ITEM x) { if (h == null) return new Node(x); if (less(x.key(), h.item.key())) { if (h.l == null) { h.l = new Node(x); return rotr(h); } if (less(x.key(), h.l.item.key())) { h.l.l = splay(h.l.l, x); h = rotr(h); } else { h.l.r = splay(h.l.r, x); h.l = rotl(h.l);} return rotr(h); } else { Δοµές Δεδοµένων 17-10

Στρεβλά ΔΔΑ Υλοποίηση στρεβλής εισαγωγής else { if (h.r == null) { h.r = new Node(x); return rotl(h); } if (less(h.r.item.key(), x.key())) { h.r.r = splay(h.r.r, x); h = rotl(h); } else { h.r.l = splay(h.r.l, x); h.r = rotr(h.r);} return rotl(h); } } void insert(item x) { head = splay(head, x); } Τι κερδίζουµε µε τη στρεβλή εισαγωγή; Σε κάθε εισαγωγή µικραίνει η διαδροµή εισαγωγής Το µήκος της διαδροµής µειώνεται στο µισό Μπορεί βέβαια να αυξάνεται το µήκος άλλων διαδροµών Δοµές Δεδοµένων 17-11

Στρεβλά ΔΔΑ Απόδοση στρεβλών ΔΔΑ N εισαγωγές σε άδειο ΔΔΑ: O(NlοgN) N εισαγωγές / αναζητήσεις σε ΔΔΑ M κόµβων: O((N+M)lοg(N+M)) Γενική περίπτωση, εξειδικεύεται στο O(NlοgN) όταν M=0 Μέσο κόστος όλων των λειτουργιών Κάποιες λειτουργίες µπορεί να είναι πολύ αργές Το κόστος τους αποσβένεται σε πολλές λειτουργίες Αυτή είναι η χειρότερη, όχι η µέση περίπτωση! Τα κόστη είναι µέσα κόστη στη χειρότερη περίπτωση Βελτίωση απόδοσης στρεβλών ΔΔΑ Μπορούµε να κάνουµε εξισορρόπηση και στις αναζητήσεις Ιδιαίτερα αποδοτική για ανοµοιόµορφες προσπελάσεις Τα κλειδιά που χρησιµοποιούνται συχνά πλησιάζουν τη ρίζα Δοµές Δεδοµένων 17-12

Καθοδικά δέντρα 2-3-4 Τα δέντρα 2-3-4 έχουν τρία είδη κόµβων 2-κόµβοι: 1 κλειδί και 2 σύνδεσµοι (όπως στα ΔΔΑ) 3-κόµβοι: 2 κλειδιά και 3 σύνδεσµοι 4-κόµβοι: 3 κλειδιά και 4 σύνδεσµοι Ισορροπηµένο δέντρο 2-3-4 Όλοι οι κενοί σύνδεσµοι ισαπέχουν από τη ρίζα Η αναζήτηση είναι γενίκευση αυτής των ΔΔΑ Η εισαγωγή είναι λίγο πιο περίπλοκη Δεν αρκεί αναζήτηση και µετά εισαγωγή Θέλουµε να διατηρήσουµε την ισορροπία Τι κάνουµε όταν θέλουµε εισαγωγή σε 4-κόµβο; Δοµές Δεδοµένων 17-13

Καθοδικά δέντρα 2-3-4 Ανοδική εισαγωγή Εντοπίζουµε τον κόµβο στο τελευταίο επίπεδο Αν είναι 4-κόµβος τον σπάµε στα δύο Το µεσαίο κλειδί πηγαίνει στον πατέρα Το νέο κλειδί εισάγεται στο κατάλληλο παιδί Συνεχίζουµε αναδροµικά στον πατέρα Καθοδική εισαγωγή Όποτε βρίσκουµε έναν 4-κόµβο τον σπάµε Αυτό γίνεται σε όλα τα επίπεδα κατεβαίνοντας Εισάγουµε το µεσαίο κλειδί στον πατέρα Αν η ρίζα γίνει 4-κόµβος τη διασπάµε άµεσα Δεν περιµένουµε την επόµενη εισαγωγή Εισάγουµε το νέο κλειδί στο τελευταίο επίπεδο Δοµές Δεδοµένων 17-14

Καθοδικά δέντρα 2-3-4 Απόδοση καθοδικών δέντρων 2-3-4 Αναζήτηση: το πολύ lοgn+1 διασχίσεις κόµβων Όλοι οι κόµβοι ισαπέχουν από τη ρίζα Μόνο η διάσπαση της ρίζας αυξάνει το ύψος Όλοι οι κόµβοι είναι τουλάχιστον 2-κόµβοι Εισαγωγή: το πολύ lοgn+1 διαιρέσεις κόµβων Διαιρέσεις σε όλη τη διαδροµή Τα ανοδικά δέντρα θέλουν περισσότερες διαιρέσεις Είναι όµως πιο απλά στην υλοποίηση Υλοποίηση δέντρων 2-3-4 Η χρήση 3 ειδών κόµβων έχει αρκετό κόστος Μπορεί η επιβάρυνση να υπερβαίνει την ωφέλεια Εναλλακτική υλοποίηση: δέντρα κόκκινου-µαύρου Δοµές Δεδοµένων 17-15