Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Υποενότητα 1
Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μάθουν οι φοιτητές να ορίζουν τη γενική και την κανονική μορφή ενός μοντέλου Να μπορούν οι φοιτητές να κατασκευάζουν τον αρχικό πίνακα simplex Να μάθουν οι φοιτητές πως μπορούν να μετακινηθούν σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση 3
Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση 4
Εισαγωγή (1/2) Στη μέθοδο simplex παριστάνουμε το μοντέλο με τη μορφή ενός πίνακα και με στοιχειώδεις πράξεις μεταξύ των γραμμών του πίνακα οδηγούμαστε στη διαμόρφωση των νέων πινάκων simplex, μέχρι να φτάσουμε στον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης Κάθε ενδιάμεσος πίνακας simplex που προκύπτει κατά τη διαδικασία της επίλυσης αντιστοιχεί σε μία κορυφή της εφικτής περιοχής 5
Εισαγωγή (2/2) Η μέθοδος simplex ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων διερευνά τις βασικές εφικτές λύσεις, δηλαδή τις κορυφές της εφικτής περιοχής, και ανακαλύπτει την καλύτερη, μετακινούμενη μεταξύ γειτονικών ακραίων σημείων 6
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (1/13) Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης υπάρχουν n μεταβλητές απόφασης (ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες) και m περιορισμοί (πόροι που πρέπει να κατανεμηθούν) Συμβολίζουμε με x j, j=1,2,,n τις μεταβλητές απόφασης c j, j=1,2,,n τους συντελεστές των μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή τη συνεισφορά κάθε μεταβλητής απόφασης στο κέρδος 7
Γενική και κανονική μορφή του Συμβολίζουμε με μοντέλου (2/13) b i, i=1,2,,m τα δεξιά μέλη των περιορισμών, δηλαδή τη διαθέσιμη ποσότητα κάθε πόρου i a ij, i=1,2,,m και j=1,2,,n τους συντελεστές των μεταβλητών απόφασης στους περιορισμούς, δηλαδή την κατανάλωση του πόρου i για την παραγωγή μιας μονάδας δραστηριότητας j 8
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (3/13) Γενική μορφή μοντέλου Maximize/Minimize c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n με περιορισμούς: και a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n ή = ή b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n ή = ή b 2.. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n ή = ή b m x 1 0, x 2 0,, x n 0 9
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (4/13) Όταν όλοι οι περιορισμοί ενός προβλήματος μεγιστοποίησης είναι της φοράς και όλες οι μεταβλητές πληρούν τη συνθήκη μη αρνητικότητας, τότε έχουμε την κανονική μορφή Maximize c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2.. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n b m και x 1 0, x 2 0,, x n 0 10
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (5/13) Όταν όλοι οι περιορισμοί ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι της φοράς και όλες οι μεταβλητές πληρούν τη συνθήκη μη αρνητικότητας, τότε έχουμε την κανονική μορφή Minimize c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2.. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n b m και x 1 0, x 2 0,, x n 0 11
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (6/13) Από την κανονική μορφή μεταφερόμαστε στην τυποποιημένη μορφή μετατρέποντας όλους τους περιορισμούς σε ισότητες (με την προσθήκη βοηθητικών μεταβλητών ή με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς) Για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο simplex είναι απαραίτητο να θέσουμε το πρόβλημα στην τυποποιημένη του μορφή 12
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (7/13) Τυποποιημένη μορφή προβλήματος μεγιστοποίησης Maximize c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n + s 1 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n + s 2 = b 2.. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n + s m = b m και x 1 0, x 2 0,, x n 0, s 1 0, s 2 0,, s m 0 13
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (8/13) Τυποποιημένη μορφή προβλήματος ελαχιστοποίησης Minimize c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n - e 1 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n - e 2 = b 2.. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n - e m = b m και x 1 0, x 2 0,, x n 0, e 1 0, e 2 0,, e m 0 14
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (9/13) Όταν το πρόβλημα είναι στην τυποποιημένη του μορφή έχουμε ένα σύστημα m εξισώσεων, όσοι και οι περιορισμοί n+m άγνωστους, δηλαδή n μεταβλητές απόφασης και m βοηθητικές μεταβλητές (χαλαρές ή πλεονασμού) 15
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (10/13) Στη μέθοδο simplex δίνουμε την τιμή μηδέν σε n από τις μεταβλητές, και στη συνέχεια λύνουμε ως προς τις υπόλοιπες m μεταβλητές για να βρούμε μία εφικτή λύση Οι μεταβλητές που παίρνουν μηδενικές τιμές ονομάζονται μη βασικές, ενώ οι υπόλοιπες ονομάζονται βασικές και αποτελούν την τρέχουσα βάση 16
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (11/13) Η μέθοδος simplex αναζητά ανάμεσα στις βασικές εφικτές λύσεις, δηλαδή ανάμεσα στα ακραία σημεία που είναι κορυφές της εφικτής περιοχής, εκείνη τη λύση που δίνει την άριστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση 17
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (12/13) Θέτει διαδοχικά μηδενικές τιμές σε n μεταβλητές του προβλήματος και εντοπίζει την εκάστοτε βασική εφικτή λύση του συστήματος των εξισώσεων (δηλαδή μετακινείται από κορυφή σε κορυφή) Έτσι, με διαδοχικές μεταβολές της βάσης προχωρά στον εντοπισμό της άριστης λύσης, η οποία δίνει τη βέλτιστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση 18
Γενική και κανονική μορφή του μοντέλου (13/13) Οι βασικές μεταβλητές παίρνουν θετικές τιμές Σε εξαιρετικές περιπτώσεις, μια βασική μεταβλητή είναι δυνατό να πάρει τιμή μηδέν, οπότε τότε έχουμε μία εκφυλισμένη λύση Αυτό μπορεί να συμβεί, όταν, για παράδειγμα, από ένα ακραίο σημείο που είναι τρέχουσα λύση, διέρχεται και ένας τρίτος περιορισμός 19
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex (1/13) Για να ξεκινήσει η διαδικασία της μεθόδου simplex είναι αναγκαίο να βρεθεί μία αρχική βασική εφικτή λύση Η αρχική αυτή λύση προκύπτει από το μηδενισμό όλων των μεταβλητών απόφασης, οι οποίες είναι αρχικά οι μη βασικές μεταβλητές 20
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex (2/13) Αυτή η λύση αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων και δίνει τιμές στις χαλαρές μεταβλητές ίσες με τα δεξιά μέλη των περιορισμών Στη συνέχεια η προσπάθεια επικεντρώνεται στη μετακίνηση από την αρχική λύση σε κάποια άλλη που είναι καλύτερη 21
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex (3/13) Αυτό γεωμετρικά ισοδυναμεί σε μετακίνηση από μία κορυφή σε μία άλλη γειτονική της Η γειτονική κορυφή προκύπτει με την είσοδο μίας μη βασικής μεταβλητής στη βάση και την έξοδο μίας βασικής μεταβλητής από αυτή 22
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex (4/13) Σε κάθε μετακίνηση, που αντιστοιχεί σε μία επανάληψη της μεθόδου simplex, ελέγχεται κατά πόσο η τρέχουσα λύση είναι άριστη ή όχι Η διαδικασία ολοκληρώνεται σε πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, επειδή πεπερασμένο είναι και το πλήθος των βασικών εφικτών λύσεων 23
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Βήματα (5/13) 1. Θέτουμε το πρόβλημα στην τυποποιημένη του μορφή 2. Κατασκευάζουμε τον αρχικό πίνακα simplex, ο οποίος περιλαμβάνει 4 επιπλέον στήλες από το πλήθος των μεταβλητών και 4 επιπλέον γραμμές από το πλήθος των περιορισμών 24
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Βήματα (6/13) 3. Ξεκινώντας από την 3 η στήλη τοποθετούμε στην 1 η γραμμή τους αντικειμενικούς συντελεστές και στη 2 η γραμμή τις μεταβλητές απόφασης και στη συνέχεια τις χαλαρές. Στις επόμενες γραμμές και κάτω από κάθε μεταβλητή τοποθετούμε τους τεχνολογικούς συντελεστές των μεταβλητών 25
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Βήματα (7/13) 4. Στην 1 η στήλη με τίτλο c B, τοποθετούμε τους αντικειμενικούς συντελεστές των βασικών μεταβλητών, δηλαδή τα μηδενικά των χαλαρών μεταβλητών. Στη 2 η στήλη με τίτλο «Βάση» τοποθετούμε τις βασικές μεταβλητές, που για τον αρχικό πίνακα είναι οι χαλαρές 26
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex (8/13) Βήματα 5. Στην προτελευταία στήλη τοποθετούμε τα δεξιά μέλη των περιορισμών. Στο κελί που τέμνεται η σειρά των z j και η στήλη των δεξιών μελών τοποθετούμε την τρέχουσα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, που στον αρχικό πίνακα είναι προφανώς μηδέν. Η ποσότητα αυτή προκύπτει από το άθροισμα των γινομένων των αριθμών της 1 ης στήλης (αντικειμενικοί συντελεστές βασικών μεταβλητών) με τους αριθμούς της προτελευταίας στήλης (δεξιά μέλη) 27
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Βήματα (9/13) 6. Η τελευταία στήλη έχει τίτλο «Πηλίκο». Σε αυτή, σε κάθε βήμα της μεθόδου, βάζουμε τα πηλίκα που προκύπτουν από τη διαίρεση των δεξιών μελών (προτελευταία στήλη) δια των συντελεστών της εισερχόμενης στη βάση μεταβλητής στις εξισώσεις των περιορισμών 28
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Βήματα (10/13) 7. Στην προτελευταία γραμμή βάζουμε για κάθε μεταβλητή το ρυθμό μείωσης της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης λόγω εισόδου της στη βασική λύση. Στην τελευταία γραμμή τοποθετούμε τον καθαρό ρυθμό μεταβολής της αντικειμενική συνάρτησης από την είσοδο αυτή 29
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Υπολογισμός z j (11/13) Η ποσότητα z j, που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x j, αντιστοιχεί στη συνολική επιδείνωση που γίνεται στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής x i 30
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Υπολογισμός z j (12/13) z j = (αντικειμενικός συντελεστής της βασικής μεταβλητής του 1 ου περιορισμού) (συντελεστή της μεταβλητής x j στον 1 ο περιορισμό) + (αντικειμενικός συντελεστής της βασικής μεταβλητής του 2 ου περιορισμού) (συντελεστή της μεταβλητής x j στο 2 ο περιορισμό) + + (αντικειμενικός συντελεστής της βασικής μεταβλητής του m περιορισμού) (συντελεστή της μεταβλητής x j στον m περιορισμό) 31
Κατασκευή αρχικού πίνακα simplex Υπολογισμός c j -z j (13/13) Η ποσότητα c j -z j, που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x j, δείχνει τον καθαρό ρυθμό μεταβολής που προκύπτει για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε μονάδα αύξησης της μεταβλητής x i (αντικειμενικός συντελεστής μεταβλητής x j ) z j 32
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική Βήματα εφικτή λύση (1/10) 1. Καθορίζουμε την εισερχόμενη στη βάση μη βασική μεταβλητή 2. Εντοπίζουμε την εξερχόμενη από τη βάση βασική μεταβλητή 33
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική Βήματα εφικτή λύση (2/10) 3. Με στοιχειώδεις πράξεις μεταξύ των γραμμών του τρέχοντος πίνακα προχωράμε στον επόμενο πίνακα simplex, όπου αντικατοπτρίζονται οι αλλαγές που έγιναν εφαρμόζοντας τη μέθοδο απαλοιφής Gauss/Jordan 4. Ελέγχουμε τη νέα τρέχουσα βασική εφικτή λύση ως προς την αριστότητα. Αν είναι βέλτιστη σταματάμε, διαφορετικά επαναλαμβάνουμε τα βήματα από το βήμα 1 34
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (3/10) Είναι λογικό να επιλεχθεί για εισερχόμενη μεταβλητή εκείνη που θα αυξήσει/μειώσει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης με το μεγαλύτερο ρυθμό για κάθε μονάδα της εισερχόμενης μεταβλητής (αφού σκοπός είναι η μεγιστοποίηση/ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης) Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική στήλη 35
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (4/10) Για να εντοπίσουμε ποια μεταβλητή θα φύγει από τη βάση διαιρούμε το δεξιό μέλος κάθε περιορισμού δια του συντελεστή της εισερχόμενης μεταβλητής (εφόσον αυτός δεν είναι μικρότερος ή ίσος του μηδενός) Έτσι, βρίσκουμε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει σε κάθε περίπτωση η εισερχόμενη μεταβλητή, αν φύγει η βασική μεταβλητή που αντιστοιχεί στον κάθε περιορισμό 36
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (5/10) Από τις τιμές που βρέθηκαν η μικρότερη υποδηλώνει τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η εισερχόμενη μεταβλητή, χωρίς να παραβιάζεται κανένας από τους περιορισμούς Η γραμμή της εξερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται αξονική σειρά 37
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (6/10) Το στοιχείο που βρίσκεται στην τομή της αξονικής γραμμής και της αξονικής στήλης ονομάζεται αξονικό στοιχείο ή πιλότος ή οδηγός Αυτό το στοιχείο θα χρησιμοποιηθεί στη μέθοδο απαλοιφής Gauss/Jordan για την επίλυση του συστήματος των περιορισμών του προβλήματος, ώστε να μεταβούμε από τον τρέχοντα πίνακα simplex στον επόμενο 38
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (7/10) Οι πράξεις που γίνονται (μέθοδος απαλοιφής Gauss/Jordan) είναι οι εξής: Για την αξονική γραμμή Νέα γραμμή στη θέση της αξονικής γραμμής = (προηγούμενη αξονική γραμμή) / (αξονικό στοιχείο) Για όλες τις άλλες γραμμές Νέα γραμμή = (προηγούμενη γραμμή) (συντελεστής της εισερχόμενης στην προηγούμενη γραμμή) (νέα αξονική γραμμή) 39
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (8/10) Η μέθοδος απαλοιφής εξασφαλίζει ότι οι συντελεστές των βασικών μεταβλητών στους περιορισμούς σχηματίζουν ένα μοναδιαίο πίνακα 40
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (9/10) Απομένει το κριτήριο τερματισμού της διαδικασίας, δηλαδή ο έλεγχος αριστότητας της λύσης που βρέθηκε Υπολογισμός z j και c j -z j Αν υπάρχει κάποιο στοιχείο στη γραμμή c j -z j με αυστηρά θετικά στοιχεία τότε η λύση επιδέχεται βελτίωση Επιλέγουμε στο επόμενο βήμα για εισερχόμενη μεταβλητή στη βάση τη μεταβλητή x i που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή c j -z j 41
Μετακίνηση σε μια καλύτερη βασική εφικτή λύση (10/10) Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής Υπολογισμός πηλίκων Διαίρεση των δεξιών μελών δια των συντελεστών της εισερχόμενης μεταβλητής στις εξισώσεις των περιορισμών Η εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή της οποίας το πηλίκο είναι το μικρότερο 42
Τέλος Υποενότητας 1
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 44
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 46
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Επιχειρησιακή Έρευνα. Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 19. 47
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 48