Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να γίνει ανάλυση σε οικονομικούς όρους όπως: Τόκος Κόστος Κεφαλαίου Χρονική αξία χρημάτων Υποδείγματα χρηματορροών 4

Περιεχόμενα Τόκος Απλός τόκος Ανατοκισμός (σύνθετος τόκος) Ονομαστικό & ενεργό επιτόκιο Συνεχής τοκισμός Κόστος Κεφαλαίου Επιδράσεις φόρου εισοδήματος Πληρωμές δανείου Χρονική αξία χρημάτων Υποδείγματα χρηματο-ροών Διακριτές (ασυνεχείς) χρηματο-ροές Συνεχείς χρηματο-ροές 5

Κόστος Κεφαλαίου() Οι πιθανές πηγές κεφαλαίου για επιχειρηματικές δραστηριότητες είναι τα δάνεια, τα ομόλογα, οι μετοχές και τα κεφάλαια των επιχειρήσεων Τα κεφάλαια των επιχειρήσεων, κυρίως από συσσώρευση μη κατανεμημένων κερδών και αποσβέσει, αποτελούν συνήθως μια σημαντική πηγή κεφαλαίου για επιχειρήσεις Συχνά χρησιμοποιούνται δανειακά κεφάλαια για να καλύψουν εξ ολοκλήρου ή εν μέρει τις επενδύσεις της επιχείρησης Ο τόκος που πληρώνεται για το μέρος της επένδυσης που προέρχεται από τα δάνεια είναι ένα από τα κόστη παραγωγής ενός προϊόντος Ο τόκος που πληρώνεται για τα ομόλογα είναι άλλο ένα κόστος της επιχειρηματικής δραστηριότητας Ο τόκος για τα κεφάλαια των επιχειρήσεων και τα κέρδη που πληρώνονται για προνομιούχες ή κοινές μετοχές δεν αποτελούν κόστος, επειδή είναι ουσιαστικά μια επιστροφή στους ιδιοκτήτες χρημάτων της επιχείρησης Επιπλέον, το δανεισμένο κεφάλαιο, το οποίο αρχικά αποτελεί κέρδος, αλλά πρέπει να αποπληρωθεί, δεν είναι φορολογήσιμο ως κέρδος και η αποπληρωμή του δεν εκπίπτει ως έξοδο επιχείρησης 6

Κόστος Κεφαλαίου(2) Κατά τον αρχικό σχεδιασμό ενός έργου χρησιμοποιείται συνήθως μια από τις δύο παρακάτω μεθόδους για να ληφθεί υπόψη το κόστος του τόκου: Δεν συμπεριλαμβάνεται το κόστος του τόκου και στην περίπτωση αυτή υποτίθεται ότι όλο το απαραίτητο κεφάλαιο προέρχεται από εσωτερικά κεφάλαια της επιχείρησης, ενώ συγκρίσεις με εναλλακτικές επενδύσεις θα πρέπει να γίνονται στην ίδια βάση Ο τόκος χρεώνεται στη συνολική επένδυση κεφαλαίου ή σε ένα προκαθορισμένο κλάσμα της, με προκαθορισμένο συντελεστή τόκου, συνήθως ισοδύναμο με τους συντελεστές που χρεώνονται για τα τραπεζικά δάνεια Καθώς ο σχεδιασμός προχωρά προς το τελικά στάδια, πρέπει να μελετηθούν με λεπτομέρεια οι πηγές του νέου κεφαλαίου και μπορούν να χρησιμοποιηθούν πιο κατάλληλα κόστη τόκου Λόγω των διαφορετικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την αντιμετώπιση του κόστους του τόκου, θα πρέπει να ληφθεί μια απόφαση σχετικά με την μέθοδο που θα χρησιμοποιηθεί σε οποιαδήποτε οικονομική ανάλυση Τα κόστη του τόκου γίνονται ιδιαίτερα σημαντικά όταν γίνονται συγκρίσεις ανάμεσα σε εναλλακτικές επενδύσεις 7

Επίδραση του Φόρου εισοδήματος() Η επίδραση του φόρου εισοδήματος στο κόστος του κεφαλαίου είναι πολύ σημαντική Κατά τον υπολογισμό των φόρων εισοδήματος, ο τόκος των δανείων και των ομολόγων μπορεί να θεωρηθεί ως κόστος, ενώ η απόδοση τόσο των προνομιούχων όσο και των κοινών μετοχών δεν μπορεί να θεωρηθεί ως κόστος Αν ο επαυξητικός ετήσιος φόρος εισοδήματος είναι 35% τότε κάθε που δαπανάται για τόκο σε δάνεια ή ομόλογα έχει πραγματικό κόστος μετά φόρων μόλις 0,65 Επομένως, αφού ληφθούν υπόψη οι φόροι εισοδήματος, ένα ομόλογο που εκδίδεται με ετήσιο τόκο 5% έχει στην πραγματικότητα τόκο μόνο (5) * (65 / 00) = 3,25% Από την άλλη πλευρά, τα μερίσματα σε προνομιούχες μετοχές πρέπει να πληρώνονται από τα καθαρά κέρδη μετά φόρων Αν μια προνομιούχος μετοχή έχει ετήσιο μέρισμα 8%, το ισοδύναμο νούμερο προ φόρων εισοδήματος είναι (8) * (00 / 65) = 2.3% και μετά φόρων εισοδήματος είναι (2.3) * (65 / 00) = 8% 8

Επίδραση του Φόρου εισοδήματος(2) Στον πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα μιας σύγκρισης αντιπροσωπευτικών τιμών τόκου και μερισμάτων για πολλούς διαφορετικούς τύπους εξωτερικά χρηματοδοτούμενου κεφαλαίου Πηγή Κεφαλαίου Ενδεικτικός τόκος ή μέρισμα (%/έτος) Τόκος ή μέρισμα προ φόρων (%/έτος) Τόκος ή μέρισμα μετά φόρων (%/έτος) Ομόλογα 5 5 3.25 Τραπεζικά ή άλλα δάνεια 8 8 5.2 Προνομοιούχες μετοχές 8 2.3 8 Κοινές μετοχές (μη διαθέσιμο) n/a 5.8 9 Η επιλογή των πηγών εισοδήματος που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν για τη χρηματοδότηση ενός έργου, γίνεται συνήθως από τα ανώτατα διοικητικά κλιμάκια της επιχείρησης με βάση την πολιτική της επιχείρησης Συχνά μια επιχειρηματική δραστηριότητα βασίζεται κυρίως σε εξωτερική χρηματοδότηση, ενώ μια επιτυχημένη και καταξιωμένη επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα μεγαλύτερο ποσοστό εσωτερικών κεφαλαίων 9

Πληρωμές Δανείου() Ένας συνηθισμένος τρόπος πληρωμών, που χρησιμοποιείται για όλες σχεδόν τις υποθήκες κατοικιών και για πολλά δάνεια επιχειρήσεων, είναι αυτό που απαιτεί σταθερές πληρωμές για μια καθορισμένη περίοδο Κάθε πληρωμή καλύπτει τον τρέχοντα οφειλόμενο τόκο και αποπληρώνει ένα μέρος του παραμένοντος υπολοίπου κεφαλαίου Η συνολική πληρωμή είναι σταθερή, όμως το υπόλοιπο κεφάλαιο μειώνεται, με αποτέλεσμα το μέρος του τόκου κάθε πληρωμής να είναι μικρότερο από το προηγούμενο και το μέρος του αρχικού κεφαλαίου κάθε πληρωμής να είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο 0

Πληρωμές Δανείου(2) Το σταθερό ποσό που πρέπει να πληρωθεί κάθε περίοδο, έτσι ώστε να πληρώνεται ο απαιτούμενος τόκος και το αρχικό ποσό που δανείστηκε να επιστραφεί μέσα στη διάρκεια ισχύος του δανείου, υπολογίζεται από τη σχέση: όπου: L = I j + p j () L είναι η σταθερή πληρωμή κάθε περίοδο I j είναι η j περίοδος πληρωμών, και p j είναι η j περίοδος πληρωμής του αρχικού κεφαλαίου Ο δείκτης j ξεκινά από το, επειδή η πληρωμή γίνεται στο τέλος της περιόδου [το σύμβολο i στις εξισώσεις της παραγράφου αντιπροσωπεύει τον ενεργό ετήσιο τόκο για ετήσιες πληρωμές ή τον ονομαστικό συντελεστή ανά περίοδο (r/m) για άλλες περιόδους]

Πληρωμές Δανείου(3) Η πληρωμή τόκου είναι I j = i P j- (2) όπου: I είναι ο τόκος και P j- είναι το υπόλοιπο κεφαλαίου μετά την πληρωμή j- Το παραμένον υπόλοιπο κεφαλαίου μετά από j- περιόδους είναι P P j 0 m j p m όπου: P m είναι η m πληρωμή αρχικού κεφαλαίου P 0 είναι το αρχικό ποσό του δανείου 2

Πληρωμές Δανείου(4) Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει από την οποία προκύπτει: p L I p = L i P 0 (5) j j L i P 0 j m p m (4) και με παρόμοιο τρόπο p 2 = L i (P 0 p ) = L i [P 0 (L i P 0 )] = L ( + i) i P 0 ( + i) (6) Και p 3 = L i (P 0 p p 2 ) = L i {P 0 (L i P 0 ) [L ( + i) i P 0 ( + i)]} = L [( + i) + i ( + i)] i P 0 [ + i + i ( + i)] (7) από όπου προκύπτει η σχέση p 3 = L ( + i) 2 P 0 ( + i) 2 (8) Γενικά ισχύει p j = L ( + i) j- i P 0 ( + i) j- (9) 3

Πληρωμές Δανείου(5) Το άθροισμα όλων των πληρωμών αρχικού κεφαλαίου θα πρέπει να είναι ίσο με το αρχικό κεφάλαιο του δανείου (δηλαδή να αποπληρωθεί το αρχικό δάνειο). Αντίστοιχα: (0) λύνοντας ως προς L: () 4 N N j 0 j N j 0 N j 0 N j j i ip i L i ip i L P p N j N j 0 i i i P L

Πληρωμές Δανείου(6) Αφού υπολογιστεί ο όρος της άθροισης στην προηγούμενη εξίσωση (), η παραπάνω εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του σταθερού ποσού της πληρωμής για οποιοδήποτε ποσό δανείου, για οποιοδήποτε επιτόκιο και για οποιαδήποτε περίοδο πληρωμής Στη συνέχεια χρησιμοποιούνται οι (2) και (4) για να υπολογιστούν τα κομμάτια του τόκου και του αρχικού κεφαλαίου κάθε πληρωμής Η (3) χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το παραμένον αρχικό κεφάλαιο μετά από κάθε πληρωμή Αυτοί οι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται για κάθε πληρωμή μέχρι το τέλος της περιόδου 5

Χρονική Αξία Χρημάτων() Τα χρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αποφέρουν χρηματικό κέρδος με διάφορους τρόπους (επενδύσεις, αποταμίευση, ομόλογα, μετοχές έργα κλπ) Συνεπώς, η αξία ενός αρχικού ποσού χρημάτων που επενδύεται αυξάνεται με τον χρόνο και αυτό είναι γνωστό ως χρονική αξία χρημάτων Λόγω αυτής της ικανότητα του χρήματος, ένα ποσό χρημάτων που είναι διαθέσιμο σήμερα αξίζει ή ισοδυναμεί με ένα μεγαλύτερο ποσό στο μέλλον Η αξία των χρημάτων σε μια χρονική στιγμή στο μέλλον ονομάζεται μελλοντική αξία ή μελλοντική τιμή (future worth ή future value) Αυτή η ικανότητα των χρημάτων μπορεί να συμπεριληφθεί στην ανάλυση αποδοτικότητας των επιχειρήσεων και για τον υπολογισμό της αξίας των χρημάτων σε διαφορετικές χρονικές στιγμές είναι παρόμοιες με τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του τόκου 6

Χρονική Αξία Χρημάτων(2) Η Χρονική Αξία Χρημάτων αποτελεί μια πολύ σημαντική έννοια, όταν συγκρίνονται επενδύσεις που απαιτούν ή παράγουν διαφορετικά ποσά κεφαλαίων σε διαφορετικούς χρόνους Η χρονική αξία των χρημάτων σχετίζεται αποκλειστικά με την ικανότητα των χρημάτων να αποφέρουν χρηματικό κέδος, και δεν έχει καμία σχέση με τον πληθωρισμό Ο υπολογισμός της μελλοντικής αξίας ενός χρηματικού ποσού ονομάζεται ανατοκισμός ενώ η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή ο υπολογισμός της παρούσας αξίας ενός μελλοντικού χρηματικού ποσού ονομάζεται προεξόφληση 7

Χρονική Αξία Χρημάτων(3) Η εξίσωση για διακριτή προεξόφληση ενός μελλοντικού χρηματικού ποσού για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας του προκύπτει αναδιατάσσοντας τους όρους της αντίστοιχης εξίσωσης του ανατοκισμού ή P P F F i P/ f, Άρα ο συντελεστής προεξόφλησης διακριτών (ασυνεχών) απλών πληρωμών ή ο συντελεστής παρούσας αξίας διακριτών απλών πληρωμών είναι: n i,n P/F,i,n i n 8

Χρονική Αξία Χρημάτων(4) Ο ανατοκισμός και η προεξόφληση είναι δύο αντίστροφες διαδικασίες 9

Χρονική Αξία Χρημάτων(5) Η μελλοντική αξία ενός χρηματικού ποσού που διατίθεται στο παρόν, με συνεχή ανατοκισμό προσδιορίστηκε προηγούμενα από την σχέση rn F Pe Επομένως, η εξίσωση με την οποία προεξοφλούνται οι μελλοντικές αξίας στο παρόν είναι: P Fe rn και rn P/F,i,n e 20

Υποδείγματα Χρηματορροών() Χρηματορροή: Πρόκειται για το ποσό των κεφαλαίων που εισέρχονται στο ταμείο της επιχείρησης ως αποτέλεσμα των δραστηριοτήτων του έργου Η ετήσια χρηματορροή είναι ίση με το καθαρό (μετά φόρων) κέρδος συν τις επιτρεπτές χρεώσεις της απόσβεσης για αυτό το έτος Επειδή οι χρηματορροές ενός έργου λαμβάνουν χώρα σε όλη τη διάρκεια του έργου, χρειάζεται να μετατραπούν σε ισοδύναμες τιμές. Αυτό γίνεται είτε προεξοφλώντας μελλοντικές χρηματορροές, είτε ανατοκίζοντας προγενέστερες χρηματορροές σε ένα συγκεκριμένο σημείο στον ίδιο χρόνο Ο χρόνος που επιλέγεται δεν είναι σημαντικός, επειδή διαφορετικά ποσά παρούσας αξίας σε οποιοδήποτε χρόνο θα βρίσκονται στην ίδια σειρά και στον ίδιο λόγο με οποιαδήποτε άλλη φορά Πολλές φορές ο χρόνος που επιλέγεται δεν είναι το παρόν, αλλά κάποια στιγμή στο μέλλον Συχνά κατά τον σχεδιασμό ενός έργου επιλέγεται ο προβαλλόμενος χρόνος έναρξης, ως ο χρόνος στον οποίο υπολογίζονται όλες οι παρούσες αξίες 2

Υποδείγματα Χρηματορροών(2) Διακριτές (ασυνεχείς) χρηματορροές Ίσες χρηματορροές, που λαμβάνουν χώρα στο τέλος του μήνα για ένα έτος Άνισες χρηματορροές που λαμβάνουν χώρα στο τέλος κάθε μήνα για ένα έτος Οι χρηματορροές είναι ισοδύναμες σε προεξοφλητικό επιτόκιο i % ανά έτος, δηλαδή έχουν την ίδια αξία σε ένα συγκεκριμένο χρόνο, όταν υπολογίζονται με αυτό το προεξοφλητικό επιτόκιο, είτε αυτή η αξία υπολογίζεται σε χρόνο μηδέν, είτε σε 2 μήνες, είτε σε οποιοδήποτε άλλο χρόνο 22

Υποδείγματα Χρηματορροών(3) Συνεχείς χρηματορροές Συνεχής χρηματορροή είναι εκείνη στην οποία τα έσοδα και οι δαπάνες γίνονται συνέχεια σε όλο τον χρόνο Έτσι, στην περίπτωση μιας συνεχούς χρηματορροής, η χρηματορροή επανεπενδύεται συνεχώς, μόλις λαμβάνεται Αν ο τόκος ανατοκίζεται συνεχώς, ο ρυθμός κερδοφορίας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή αποτελείται από δύο όρους Ένα συνεχή, σταθερό ρυθμό χρηματορροής, σε / περίοδο (συνήθως ένα έτος) Το σύνθετο (ανατοκιζόμενο) ρυθμό κερδοφορίας στο συσσωρευμένο κεφάλαιο M που έχει επενδυθεί με επιτόκιο r 23

Υποδείγματα Χρηματορροών(4) Τα παραπάνω εκφράζονται από την σχέση dm P rm dθ Αναδιατάσσοντας τους όρους και ολοκληρώνοντας προκύπτει όπου το F είναι η μελλοντική αξία της χρηματορροής συν τα κέρδη στα τέλη μιας περιόδου ενός έτους Ολοκληρώνοντας προκύπτει και σε εκθετική μορφή Λύνοντας ως προς F, η παραπάνω σχέση γίνεται F 0 dm P rm r j j dθ P rf ln P P rf P j r e j F e P r r 24

Υποδείγματα Χρηματορροών(5) Αν όρος (e r )/r πολλαπλασιαστεί με τον ρυθμό χρηματορροής P, προκύπτει το ποσό των κεφαλαίων που συσσωρεύονται στο τέλος του έτους από από μια συνεχή, σταθερή χρηματορροή ενός έτους που επενδύεται με επιτόκιο r. Και εκφράζεται ως συντελεστής ανατοκισμού σε συναρτησιακή μορφή ANSI: Ο συντελεστής μελλοντικής αξίας Ν στο τέλος του έτους για μια τέτοια χρηματορροή είναι r e N j F/P,r, j e Η παρούσα αξία μιας συνεχούς, σταθερής χρηματορροής ενός έτους, που ξεκινά από το τέλος του έτους j- και τελειώνει στο τέλος του έτους j με συνεχή προεξόφληση προκύπτει: P e r r F/P,r, j r r e P e r r j 25

Υποδείγματα Χρηματορροών(6) Ο συντελεστής παρούσας αξίας είναι: r e r j P/P,r,N e Ο όρος (e r )/r αντιπροσωπεύει τα κέρδη από την χρηματορροή που επενδύθηκαν όταν λήφθηκαν κατά την διάρκεια του έτους Ο όρος αυτός διακρίνει τον συντελεστή προεξόφλησης συνεχούς χρηματορροής, συνεχούς τόκου από το διακριτό, συνεχούς επιτοκίου, συντελεστή χρηματορροής στο τέλος του έτους [e -rn ] Ο όρος e-rj προεξοφλεί την αξία των συσσωρευμένων στο τέλος του έτους κεφαλαίων σε χρόνο μηδέν Ο συντελεστής μελλοντικής αξίας για μιά χρηματορροή που πραγματοποιείται σε μια περίοδο Ν ετών, ξεκινώντας από το έτος μηδέν, είναι rn e F/A,r,N r rn e rn Ο συντελεστής παρούσας αξίας είναι P/A,r,N e r r 26

Υποδείγματα Χρηματορροών(7) Ο ανατοκισμός χρηματορροών μπορεί να είναι διακριτός (ασυνεχής) ή συνεχής, οπότε υπάρχουν τέσσερεις δυνατοί συνδυασμοί τύπων χρηματορροών και τόκων: () Ετήσιος (ετήσια, τέλος του έτους συνεχής), (2) Συνεχής (ετήσια, τέλος του έτους συνεχής) Ως περίοδος ανατοκισμού μπορεί να ληφθεί οποιοδήποτε χρονικό διάστημα, ενώ μια διακριτή χρηματορροή μπορεί να λάβει χώρα σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Απλά υποδείγματα χρηματορροών: Χρηματορροή απλού ποσού Χρηματορροή ομοιόμορφης σειράς 27

Πίνακες() Όνομα συντελεστή, περιγραφή μονάδες Προεξόφληση Όνομα συντελεστή, περιγραφή, μονάδες Ανατοκισμός Σύμβολο Τύπος Σύμβολο Τύπος Απλό ποσό στο τέλος του έτους j Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσο σε χρόνο Ν. Αδιάστατος (F/P, i, N-j) (+i) N-j Παρουσία αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Αδιάστατος (P/F, i,j) (+i) -j Σειρά ίσων ποσών από το χρόνο σε χρόνο Ν Ομοιόμορφη σειρά Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μια σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο Ν. Έτη (F/Α, i, N) ((+i) N ) / i Χρεωλυτικού Κεφαλαίου. Πολλαπλασιάζει ένα ποσό σε Ν για να δώσει την ετήσια τιμή μια σειράς ν ίσων ποσών. (Ετη) - (Α/F, i, N) i / ((+i) N - Σειρά ίσων ποσών από το χρόνο σε χρόνο Ν. Ομοιόμορφη σειρά Ανάκτηση κεφαλαίου. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν για δώσει την ετήσια τιμή μιας σειράς Ν ίσων ποσών. (Ετη) - (A/P, i, N) (i (+i) N ) / (+i) N - Παρούσα αξία. (A/P, i, N) Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μιας σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Έτη (P/A, I, N) ((+i) N ) / i(+i) N 28

Πίνακες(2) Απλό ποσό στο τέλος του έτους j Σειρά ίσων ποσών από το χρόνο σε χρόνο Ν Ομοιόμορφη σειρά Σειρά ίσων ποσών από το χρόνο σε χρόνο Ν. Ομοιόμορφη σειρά Όνομα συντελεστή, περιγραφή μονάδες Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσο σε χρόνο Ν. Αδιάστατος Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μια σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο Ν. Έτη Ανάκτηση κεφαλαίου. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν για δώσει την ετήσια τιμή μιας σειράς Ν ίσων ποσών. (Ετη) - Προεξόφληση Σύμβολο Τύπος Όνομα συντελεστή, περιγραφή, μονάδες (F/P, i, N-j) e r(n-j) Παρουσία αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Αδιάστατος (F/Α, i, N) e rn -/e r - Χρεωλυτικού Κεφαλαίου. Πολλαπλασιάζει ένα ποσό σε Ν για να δώσει την ετήσια τιμή μια σειράς ν ίσων ποσών. (Ετη) - (A/P, i, N) e rn (e r - ) / e rn - Παρούσα αξία. (A/P, i, N) Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μιας σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Έτη Ανατοκισμός Σύμβολο (P/F, i,j) Τύπος e -r j (Α/F, i, N) e r - / e rn - (P/A, I, N) e rn - / e rn (e r - ) 29

Πίνακες (3) Απλό ποσό στο τέλος του έτους j Σειρά ίσων ποσών από το χρόνο σε χρόνο Ν Ομοιόμορφη σειρά Σειρά συνεχών σταθερών ετήσιων ποσών από το χρόνο μηδέν στο χρόνο Ν. Όνομα συντελεστή, περιγραφή μονάδες Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσο σε χρόνο Ν. Αδιάστατος Μελλοντική αξία. Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μια σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο Ν. Έτη Προεξόφληση Σύμβολο Τύπος (F/P, r, N-j) e r - * e r(n-j) / r Όνομα συντελεστή, περιγραφή, μονάδες Παρουσία αξία. Πολλαπλασιάζει ένα απλό ποσό σε χρόνο j, για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Αδιάστατος (F/Α, r N) e rn -/ r Χρεωλυτικού Κεφαλαίου. Πολλαπλασιάζει ένα ποσό σε Ν για να δώσει την ετήσια τιμή μια σειράς ν ίσων ποσών. (Ετη) - (A/P, r, N) r*e rn /( e rn - ) Παρούσα αξία. (A/P, i, N) Πολλαπλασιάζει την ετήσια τιμή μιας σειράς Ν ίσων ποσών για να δώσει ένα απλό ποσό σε χρόνο μηδέν. Έτη Ανατοκισμός Σύμβολο (P/F, i,j) Τύπος (e r - / r) * e- rj (Α/F, i, N) r/ e rn - (P/A, r, N) e rn - *e rn / r 30

Τέλος Ενότητας 3

Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Σκόδρας Γεώργιος. «Τεχνοοικονομική Μελέτη». Έκδοση:.0. Κοζάνη 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https:// eclass.uowm.gr/courses/mech245/ 32

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 33

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 34