رياضى ششم دبستان ۱۳۹١
وزارت آموزش و پرورش سازمان پژوهش و برنامه ريزی آموزشی برنامهريزی محتوا و نظارت بر تا ليف: دفتر تا ليف کتابهای درسی ابتدايی و متوسطه نظری نام کتاب: رياضی ششم دبستان ۳۴/۶ مو ل فان: خسرو داودی آرش رستگار احمد شاهورانی و وحيد عالميان آمادهسازی و نظارت بر چاپ و توزيع: ادارهی کل چاپ و توزيع کتابهای درسی مدير امور فنی و چاپ: سي د احمد حسينی مدير هنری: مجيد ذاکری يونسی طراح گرافيک و صفحهآرا و طراح جلد: ندا عظيمی تصويرگر: ندا عظيمی عکاس: اعظم لاريجانی ندا عظيمی رسام: حميد ثابت کلاچاهی مريم دهقان زاده فاطمه ري يسيان فيروزآباد و ندا عظيمی حروفچين: فاطمه باقری مهر زهرا ايمانی نصر مصحح: علی نجمی رعنا فرج زاده دروي ی امور آماده سازی خبر : فاطمه پزشکی امور فنیرايانهای: حميد ثابت کلاچاهی پيمان حبيبپور ناشر: ادارهی کل چاپ و توزيع کتابهای درسی تهران:خيابان ايرانشهرشمالی ساختمان شمارهی ٤ آموزش و پرورش (شهيد موسوی) تلفن: ۹ ۸۸۸۳۱۱۶۱ دورنگار: ۸۸۳۰۹۲۶۶ کدپستی: ۱۵۸۴۷۴۷۳۵۹ وب سايت: www.chap.sch.ir چاپخانه: شرکت افست «سهامی عام» (WWW.Offset.ir) سال انتشار و نوبت چاپ: چاپ او ل ۱۳۹١ حق چاپ محفوظ است. شابک ۲۰۴۲-۰ ٩٧٨-۹۶۴-۰۵-978-964-05-04-0 ISBN
يکی از نوه های امام گفته است: من يک بار رفتم توی اتاق پيش امام سلام کردم و دست ايشان را بوسيدم و نشستم بعد ايشان پرسيدند: «د رس ت را خوب می خوانی» من گفتم: بله. گفتند: «اگر می خواهی برای خودت چيزی ياد بگيری و کار خوبی داشته باشی و در آخرت زندگی خوبی داشته باشی درس بخوان و درس را هيچ موقع ترک نکن و با علاقه ی زياد بخوان تا بتوانی به چيزهايی که می خواهی برسی.»
1 كسر متعارفى كسر و عدد مخلوط... مقايسه و ساده كردن كسرها... 6 جمع و تفريق... 1 ضرب و تقسيم... 16 عددهاي اعشاري نمايش اعشاري عددها... جمع تفريق و ضرب عددهاى اعشارى... 6 تقسيم يك عدد بر عدد طبيعى... 3 تقسيم يك عدد بر عدد اعشارى... 36 00/5 1 3 اندازه گيرى طول و زاويه اندازه گيرى طول... 4 فاصله... 46 مقايسه و اندازه گيرى زاويه ها... 5 انواع زاويه ها... 56 60 نيم ساز 4 عدد هاى تقريبى تقريب زدن - قطع كردن... 6 گرد كردن... 66 نمايش عدد هاى تقريبى روى محور... 7 محاسبه هاى تقريبى و ترتيب انجام عملي ات... 76
5 ساعت دقيقه نسبت تناسب و درصد جدول تناسب... 8 مقدارهاى تناسب... 86 تسهيم به نسبت... 9 درصد و رياضي ات مالي... 96 1 60 75 ا مار و احتمال 6 جمع ا ورى و نمايش داده ها... 10 نمودار ها و تفسير نتيجه ها... 106 مفهوم احتمال... 11 احتمال تجربى و رياضى... 116 اندازه گيرى سطح و حجم 7 مقايسه و اندازه گيرى سطح... 1 مساحت شكل هاى هندسى... 16 مقايسه و اندازه گيرى حجم... 13 حجم شكل هاى هندسى... 136 8 س ك ل م ن مختص ات و عدد هاى صحيح محور هاى مختص ات... 14 تقارن و مختص ات... 146 عدد هاى صحيح... 15 كاربرد عددهاى صحيح در جمع و تفريق... 156
با دانش ا موز سخنى درس رياضی يکی از درس های مهم و بنيادی دوران تحصيل شماست. شما با آموختن آن روش درست انديشيدن برای حل مساي ل را فرا می گيريد و با محاسبه های عددی موردنياز در ساير دروس و محيط پيرامونی آشنا می شويد. به ياد داشته باشيد همان طور که با ديدن شنای شناگران نمی توان شنا ياد گرفت و برای شناگر شدن بايد وارد آب شد برای يادگيری رياضی نيز خواندن و شنيدن مطالب رياضی کافی نيست. لذا مو ل فان اين کتاب با توج ه به برنامه ی تنظيمی توسط شورای برنامه ريزی رياضی مطالب را طوری تدوين کرده اند که شما بتوانيد با انجام فع الي ت هايی در کلاس به مفاهيم رياضی پی ببريد و قاعده ها را کشف کنيد. بر اين اساس: ١ کتاب حاضر بر مبنای فع الي ت دانش آموز تنظيم شده است و کار و فع الي ت شما دانش آموزان در کلاس در آموزش آن نقش اساسی دارد. سعی کنيد تمامی اين عملي ات را انجام دهيد و مطمي ن باشيد خواهيد توانست مفاهيم را به خوبی ياد بگيريد. ٢ مطالب بيان شده در درس در قالب فع الي ت هايی با عنوان «کار در کلاس» تمرين می شوند. اگر توج ه کنيد هنگام انجام اين فع الي ت ها اگر به اشکالی برخورديد می توانيد به متن درس و فع الي ت های همان جلسه در کتاب مراجعه کنيد و اگر باز هم متوج ه نشديد از معل متان سو ال کنيد. ٣ اگر به درس هر جلسه و تمرين های «کار در کلاس» خوب توج ه کرده باشيد می توانيد تمرين های پايان هر درس را که به عنوان تکليف منزل درنظر گرفته شده است انجام
دهيد. اگر در اين زمينه با اشکال مواجه شديد می توانيد مجد دا متن درس همان بخش را بخوانيد و آن چه را در «فع الي ت ها» و «کار در کلاس» مربوطه انجام داده ايد مرور کنيد. اگر از ديگران کمک می گيريد از آن ها بخواهيد که درس را مجد دا برايتان توضيح دهند ام ا تمرين ها را خودتان حل کنيد. ٤ هر فصل به آموزش يک راهبرد حل مسي له پرداخته است. در قسمت حل مسي له روش حل مسي له در کتاب درسی توضيح داده شده است و معل م آن را مجد دا برايتان بيان می کند. هدف از اين قسمت آشنا کردن شما با راهبردهای حل مسي له و راه های فکر کردن در مورد حل مسي له است. به طوری که پس از آشنايی با راهبردها می توانيد از آن ها برای حل مسي له های بعدی استفاده کنيد. ٥ «مرور فصل» به مرور مفاهيم کل فصل و بازبينی مجد د فرايند آموزش آن ها می پردازد. سخن گفتن در مورد مطالب رياضی و نوشتن نقشه ی مفهومی آن موجب تقوي ت يادگيری شما می شود. در خاتمه لازم است از همه ی همکارانی که در برنامه ريزی اصلاح و آموزش معل مان ما را ياری نموده اند تشکر کرده و اعلام نماييم منتظر پيشنهادها و انتقادهای سازنده ی شما جهت بهبود کتاب هستيم. مو لفان
Email talif@talif.sch.ir
فصل م رف ر
م و ر ر ر م ر ر ر ر رر مصر ر م ر م و م ر و رو ر ر م ر و ر ر ر ر و م م و و ر ر ر ر ر ر م فع الی ت و ر ر ر و ف ر ل ر م و ر ر ر م ل ر رو و م کار درکالس 4 ل ر و م و ر ر و ر م و ل ر ر م ر ر م و ل ر
ر ر ر مصر ر م ر م ر ر ر ر و م ر ر و ر ر ر م ل م رو ر ر ر م فع الی ت برای تبدیل کسر به عدد مخلوط ابتدا کار درکالس کسرها و عددهای مخلوط دو نمایش مختلف از یک چیز هستند. برای نوشتن یک کسر بزرگ تر از واحد به صورت عدد مخلوط باید تعداد واحد های کامل را تشخیص دهید و کسری از واحد کامل را نیز تعیین کنید. ر رو رو ل ر 4 م ر م و م ر ر ر ر مل و م ر م ر و م ر و م ر ر ر تعداد واحد کامل کسری از واحد کامل م ر ر ل م ر ر ر ر ر مل و ر ر م ر ر ر ر ر ر و ر رو ر ر ر مل و ر ل ر ر ر ر ل مل و ر ر ر عدد مخلوط 3
هر نقطهی روی محور را میتوان با یک عدد بیان کرد. هر عدد کسری را هم میتوان روی محور عددها نشان داد. و ر م و و ر م ر و ر م م ر رو ر ر فع الی ت تمرين ر م ر ر رو رو ل م ر ر ر ل ر ر ر م ر ر م ر ر ر و م ص ل م ر ر ر ر ر ر ر م ص ر و ر م ور م ص م ص ر ر ر ر رر ر ر م م و و ر ر و ر ر و ر م ر ر ر 4
ر ر م ر ر ر ر ر ر رر ر ر ر ر رف ر و ر م و ر ر م ر ر ر ر ر 1 3 5 7,,,,,, 1 1 1 1 م ر ر 1 3 4,,,,,, 3 4 5 و مل ر ر ل ر ر ر و م ر ر م ر م ر رو م م ر م ل ر ر 5
م و ر ر ر رو ر و م ر ر ر ر م ر ر م و و ر فع الی ت م و ر ر ر ر ر ر ر م م و ر ر 1 = 1 6 1 1 = 1 1 ر م م ر و ل ر ر ر ر«م و ر م ر م و ر ر ر ر ر ر» کار درکالس 4 ر«م و ر ر م و ر ر ر م ر ر» 6
شكل هاى زير چگونگى به دست ا وردن كسر هاى مساوى را نشان مى دهد. نوشتن كسرهاى مساوى را ادامه دهيد و روش كار خود را توضيح دهيد. = 3 4 = = = = = = 6 6 9 = 3 18 = 3 36 9 = 3 9 3 3 با توج ه به تساوى هاى بالا جاهاى خالى را كامل كنيد. = 3 5 4 = 6 16 4 تساوى روبه رو يك روش ساده كردن كسر را نشان مى دهد. كسر هاى داده شده را ساده كنيد. 48 = 56 9 = 3 9 4 = 36 = 9 7 = 108 36 = 9 4 = 54 9 6 فع الي ت 1 عددهاى 1 و 17 را روى محور عددهاى زير نشان دهيد. ا يا مىتوانيد با توج ه به جاى 7 5 اين دو نقطه بگوييد كدام عدد بزرگتر است 0 1 3 براى پيدا كردن نقاط روى محور و مقايسه ى اين دو عدد با چه مشكلى روبه رو شديد مىتوانيد كسرهاى مساوى با ا نها را بنويسيد. و 3 7 براى مقايسهى دو كسر = 5 3 = 7 = 10 15 = = = = = = 5 0 5 30 35 كدام كسرها را براى مقايسه انتخاب مى كنيد چرا = = = = = = = 14 1 8 35 7
برای مقایسه ی کسر هایی با مخرج های نابرابر بهتر است از کسر های مساوی با مخرج های برابر 3 و 7 5 استفاده کنید. ام ا مخرج مشترک دو کسر را چگونه پیدا می کنید برای مثال در مقایسه ی مخرج مشترک دو کسر چه عددی بود رف ر ر م و م ر م ر و ر م و ر م مل ر ر ر م م ر ر ر م و ر م م ر م ر ر ر ر ر ر ر م ر م و ر ر م ر ر ر و ر و م ر م ر م م ر م ر م ر ر م ر م ر ر ر 18 1 7 1 36 1 ر ر م ر ر و ر رو م و ر م ر ر ر ر ر کار درکالس ر م ر م ر ر ر و م ر م ر ر م و ر ر ر و و 4 و و ر و ر رو رو ل م م ر و ل ر ر و ر رو رو ل 8
ر ر م تمرين ر مر م ر و و ر ر ر م و ر ر ر ر ر م رو و ر ر رو ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر م ر ر و ر و م ر ر ر ر ر م ل م ر و ر 9
حل مسي له كشيدن يك شكل مناسب مى تواند به حل مسي له كمك كند و يا مسي له را به طور كامل حل كند طورى كه ديگر نيازى به نوشتن محاسبه هاى رياضى نباشد. 1 على ا قا كشاورز است. او نيمى از زمين خود را گندم كاشت و نيم ديگر را سه قسمت كرد. او در يك قسمت جو و در يك قسمت يونجه كاشت. قسمت سوم را هم نصف كرد و در يك قسمت ا ن سبزيجات كاشت. على ا قا چه كسرى از زمين خود را سبزيجات كاشته است زمين على ا قا را با يك مستطيل نشان مى دهيم. با توج ه به صورت مسي له ا ن را دو قسمت كرده و در يك قسمت مى نويسيم گندم. مسي له را دوباره بخوانيد و شكل را كامل كنيد تا پاسخ مسي له به دست ا يد. گندم مسي ول پرداخت دستمزد كارگران در مصر باستان با يك مسي له روبه رو شده است. او از همان نان را به كارگر ديگر يك نان را به عنوان دستمزد به يك كارگر و 1 4 مىخواهد 1 3 بدهد. او بايد نان خود را به چند قسمت تقسيم كند چند قسمت از نان تقسيم شده را به كارگر او ل بدهد به كارگر دوم چند قسمت بدهد پر ششد. باك ماشينى بنزين دارد. در پمپ بنزين ليتر بنزين زده شده و باك 3 1 گنجايش باك اين ماشين چند ليتر است 1 0
برای کشیدن شکل مناسب الزم نیست نق اشی شما خوب باشد یا شکل هایی بکشید که نشان دهنده ی موضوع مسئله باشد. برای نمونه در مسئله ی صفحه ی پیش نیازی نیست یک باک بنزین نق اشی کنید رسم یک مستطیل به جای باک کافی است. ر ل رو ر و و و مر رو م ر ر ر و و مر و و مر م ر ر م ر م ر م ر ر م م ف ر ر ر ف ر ر و ر ف ر و ل رو ف و رو و رو م ر ر ف ر و رو ر رو م ف و رو و رو م ف و ف ر رو م 1 1
ر و ور ر ر ر و ل م ر فع الی ت م و و م ر و ر ر م و ر م ر و ر ر م ر و م ر ر م ر م ر ر ور م ر ر کار درکالس 4 1
کار درکالس برای جمع و تفریق عدد های مخلوط ابتدا قسمت های صحیح را با هم و قسمت های کسری را با هم جمع یا از هم کم کنید. سپس حاصل این دو قسمت را با هم جمع کنید تا پاسخ عبارت به دست آید. در پایان جواب را تا جایی که ممکن است ساده کنید. ور م ر ر و ل فع الی ت و ر ر ل ور ر 4 واحدی که باز شده است 1 واحد باز شده است 1 3
ور ر ر و ل ر و ر رو ر ر و ر م ر م کار درکالس 4 فع الی ت ر ر ر ر م ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر م ر ل مر ل ل م ر ر ر 7 1 3 1 1 4
م م و ر و م م تمرين?? مر ر ر ر ر ر ر ر ر و ر ر ر م و ر ر م ر و ر م ر ر ور و ل و رو ر و م ر م ر ر ر ر رو م م ر ر م ر ص ور ر ر و ل 1 5
و ر م ر ر ل ر و مر م ور فع الی ت ر م و ر ر 1 1 1 = 3 1 1 1 1 1 1+ 1+ 1 + 1 + 1 + = 3 3 ر م ر و ر ر ر ر 1 1 7 3 1 = = 3 3 3 1 ر 3 4 م 1 6
ر ر م ر ر ر ر ر ر ر م ر ر ر ر م ر فع الی ت ر ر ر م ر و ر ر ل ر و ر م ر ر و ر ر ف ر م و ر م ر ر ل ر ر ص ور ر ر م ر ر و ل 1 7 3 1 9 4 = = 4 3 1 1 م م و 3 4 ر م ر 1 3 3 ر ر 4 ر 4 1 ر 4 ر ر 1 ر ل ر ر م ر ر ر و ر
برای محاسبه ی تقسیم دو کسر با مخرج غیر مساوی ابتدا آن ها را هم مخرج می کنیم. 4 5 = 4 7 3 5 = 4 7 = 4 7 3 7 3 7 3 7 3 5 3 5 چون مخرج ها برابر است می توانیم صورت ها را بر هم تقسیم کنیم. جواب به دست آمده را می توانیم به ضرب دو کسر تبدیل کنیم. با توج ه به تساوی باال توضیح دهید که چگونه تقسیم کسر ها را به ضرب دو کسر تبدیل می کنیم. م ر ر ر ر ر ل ور م ر ل م 3 6 6 4 1 = 35 7 5 35 7 4 = 3 10 4 3 = 7 5 3 15 5 1 = = 5 49 7 5 15 = 36 48 3 3 4 1 = 8 4 = = = 3 3 3 7 5 = ل ر ر م 4 8 = 3 = 4 5 1 1 3 1 = 3 3 5 3 ور ر ر ل ر ر ر 3 3 1 1 = ( 3 ) ( 1 1 ) 1 1 1 1 3 3 3 ور ر ل ر ر ر ر 1 1 1 = 1 3 5 = کار درکالس 4 فع الی ت 1 8
م م و ر و م م تمرين?? ور ر ر ر 1 1 1 1 1 = 5 6 1 1 ( 1 ) = 3 3 4 1 3 1 1 3 1 3 1 + 1 3 = 1 1 1 = 1 1+ و ر و ر و ر ر ر ر 6 35 = 8 5 = م م ر ر 3 و ر ر م 3 5 م ور ر م رمر و ر ور 1 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل 13 7 = ر م ر ل رو 1 = ر ر م ل رو 5 3 7 ر وم م ر ر و م رو, 8 6 ر ر و م ر م ر ر رو 1 1 + 3 = 3 م ر م و 1 1 4 1 = 3 ر و ر م و ر ر 1 1 1 = 3 7 ر ر م و رو 3 3 1 1 1 1 3 = ر رو رو ر م مر ل 0
ر فصل
ر ر ر ل م و ر ر فع الی ت ر ر م و ر ر م ر رو م ر ر م ل ر و ر ر ر ل م ر م م ل ر ر ف م ر و ر و ر ر يك واحد يا عدد يك ر ر ر ر ر ر ر ر
ر ر ر ر کار درکالس 4 م و ر ر ر ر ر ر ر ر ر م ر ر م و ر م ر ر ر عددهای اعشاری نمایشی از عددهای کسری یا عددهای مخلوطاند که مخرجشان عددهای 1 1 یا 1 است. برای نمونه کسر 15 بهصورت اعشاری 15/ نوشته میشود. به نظر شما نمایش 1 کسری بهتر است یا نمایش اعشاری ر عدد های اعشاری را نیز در جدول ارزش مکانی نمایش می دهیم. در جدول زیر عدد 13/71 مشخ ص شده است. 3
فع الی ت و ر ر ل ر و ر ر و و م ر ر ر م و ر و مل م ر ر رر کار درکالس ر ر ر ر 4 ر ر ر ر 4
تمرين م ر و ر ر م ر رو م ص ر ر ر م م ر ر ر م م ر ر ر ف ر رو ف ر ر ر 3.301= 947.858= ف ر ر ر م ر م رو ر ر 5
ر و ر ر م ل ور ر ر و م ر و مل و م و ر و فع الی ت ور ر و م ل ر ر ر 6
ر ر و م ر و ر ر ر ر و و رو ر ر کار درکالس 4 م ر ر م ر ر و ر و و ر ر م و مر مل ر م م ر ر ر رو و فع الی ت ر رو ر ر و ر ر ر ر ر رو ر ر 7
ر و ر ر ل ر ر و فع الی ت ر رو ر و ر ر ر ر ل ر م ر م ر و ر ر ور ر ر ر ل کار درکالس 4 ور ر ر ر ل م م 8
ر ر م ر و م ر ر و ر ر تمرين ر ر ر ل و ر رو و 1/ 5 1 5 1/ 5 + 36/ 4 + 36 + 4 + 36/ 4 48 / 67 48 67 48 / 67 م ر رو و ر ر ر ر ر ر رو و 36/ 3 36 3 36/ 3 1/ 11 1 11 1/ 11 ر ر ر و ر ر ر ر ر ر ور ر ر ر م ر ر م ر ر م ر ر ر م و ر ر م ر ر ر ر 9 ر ر ر ر ر ر م
در بعضی مسئله ها بین عدد ها یا شکل ها رابطه هایی وجود دارد. کشف این رابطه ها به ل م حل مسئله کمک می کند. راهبرد الگویابی یکی از راهبردهای کشف رابطه هاست. ور م ر ر ر م م و ر ر ر ر ر ر ر رو ر ر رر ر ر م ر ر و ر رر ور م ر ر م م و ر ر ر ر ر رو ر ر رر ر ر م ر ر و ر رر 3 0
بیش تر الگوهایی که در مسئله های ریاضی با آن ها روبه رو می شویم به دو گونه هستند الگوهای عددی و الگوهای هندسی. در یکی به دنبال کشف رابطه ای بین عددها و در دیگری به دنبال کشف رابطه ای بین شکل ها هستیم. در بعضی مسئله ها نیز ترکیبی از دو الگوی عددی و هندسی وجود دارد. ر ر ر ر و ر ر ر ر ر ر ر و ر ر ر رو ر ر ر ر ر و ر ر و ر ر ر ر ر ر م ل ر م ر ر ل ر 3 1
ر م و ل ر ر و م فع الی ت 745 3 و ر ر مر ل ر ر 459 7 ر ر م ر ر رو ر ر م م ر م ر ر م ل ر م ر ر ر م م ر م ر ر ر م و ر م م ر ر و > از روی شکل می توان فهمید که عدد 745 به 3 دسته ی 48 تایی تقسیم شده است و یکی باقی مانده است. پس می نویسیم: ر و م ر ر ر ر ر 3
م ر ر ر ر و ل م ر م م ر ر و ل ر ر م مل و ل م م ر م م ر ور م ر ر ر ر م ر م ر کار درکالس 4 م م ر ر ر م ر ر م ر ر ور رو ر م ر ر ل و فع الی ت م ر ل ر و ر 4 / 37 3 ر م مل و ر م م و و م ل م رو ر م ر ر 3 3
م م م رو ر م ر م م م ر ر و م و ر ر ر ر 35 98 1 1 1/ 71 14 9 14 7 8 1 0 07 به مراحل تقسیم 35/98 بر 1 توجه کنید: ابتدا خط ممی ز را میکشیم این خط نمایندهی ممی زهای همهی عددهاست. اکنون تقسیم را شروع میکنیم. در 35 یک 1 وجود دارد. رقم 9 را پایین میآوریم. چرا ام ا به مرز ممی ز رسیدیم پس در خارج قسمت ممی ز میگذاریم. چرا تقسیم کردن را ادامه میدهیم. کار درکالس 75 / 3 4 45 / 7 16 18 / 75 31 4 م ر م ر رو ر ر ر ر م ر و ر ر م ر ر ر 1/ 00 3 7 9 7/ 3 3 4
تمرين 1 پاسخ تقسیم های زیر را تا رقم اعشار به دست آورید. 37 / 45 7 89/ 94 3 43 / 4 9 تقسیم های زیر را تا 3 رقم اعشار در خارج قسمت ادامه دهید. 14 / 700 17 35 / 5 3 / 5 7 3 در همه ی تقسیم های باال چه رابطه ای بین تعداد رقم های اعشار خارج قسمت و باقی مانده برقرار است 4 ضخامت 00 برگ کاغذ 1 میلی متر است. ضخامت یک برگ چند میلی متر است )پاسخ را تا رقم اعشار به دست آورید.( 5 وقتی یک چرخ روی زمین یک دور می زند به اندازه ی یک محیط خود جلو می رود. یک چرخ 60 دور چرخیده و 113/04 متر روی زمین به جلو رفته است محیط چرخ را تا رقم اعشار حساب کنید. محیط چرخ 6 نمره های یک دانش آموز به صورت زیر است. معد ل او را حساب کنید. 15/75 16/5 17/5 18/5 19/5 3 5
ر ر فع الی ت م ر ر ر م و م ر ر 7 3 70 30 700 300 م و م ر ر ر ر ر ر م و ر ر م ف ر ر ر ر م و م ر م م 9 4 45 0 11 3 77 1 ر م ر ر ل م و م ر ر ر م 14 / 0/ 1 17 0/ 7 3 6
کار درکالس 4 1 با توج ه به تقسیم انجام شده خارج قسمت و باقیماندهی تقسیم دیگر را بدون تقسیم 4/ 3 0/ 7 10 43 7 39 11 کردن بیابید. 1950 550 4 6 33 3 1 6 45 8 40 5 5 450 80 7 / 3 0/ 11 73 11 65 8 با توج ه به این ویژگی تقسیم می توانیم تقسیم هایی را که مقسوم علیه اعشاری دارند به تقسیم نوع او ل )تقسیمی که مقسوم علیه صحیح دارد( تبدیل کنیم. نمونه ی زیر را ببینید. 14 / 5 0/ 19 0/ 003 76/ 3 100 100 133 76/ 3 114 14500 19 10 60 57 03 انتقال جواب ما کار درکالس چرا مقسوم و مقسوم علیه در 100 ضرب شده است توضیح دهید که چگونه پاسخهای تقسیم او ل را از روی پاسخهای تقسیم دوم بهدست میآوریم. 1 تقسیم های زیر را تا یک رقم اعشار در خارج قسمت ادامه دهید. 100 10 38 / 9 / 15 389 15 38 1/ 8 380 18 4 تقسیم های زیر را تا رقم اعشار انجام دهید. 7 0/ 3 5 / 7 1/ 4 3 7
4 6 = = = = = = = = = 3 6 9 3 3 فع الی ت 1 نوشتن کسرهای مساوی را ادامه دهید. 3 توضیح دهید که کسر های مساوی مثال زیر چگونه به دست آمده اند. 0 00 000 = = = 3 30 300 3000 در فع الی تهای پیش دیدید که اگر مقسوم و مقسوم علیه را در یک عدد ضرب کنیم خارجقسمت تغییری نمیکند. چه ارتباطی بین این مطلب و نوشتن کسرهای مساوی میبینید توضیح دهید. 10 / 7 3 / 1 7 31 / 7 7 7 / 31 / = = 3 / 1 31 3 با توج ه به تساوی های باال پاسخ تقسیم ها را مانند نمونه پیدا کنید. 10 7 / 7 7 / 09 / = = = 8 0/84 /1= 09 / 9 6/3 0/09 = 0/8 0/04 = 4 همچنین میتوانیم عددهای اعشاری را به کسر تبدیل کرده و از راه تقسیم کسرها پاسخ را بهدست آوریم. 7 8 7 / 7 9 7 = 10 = = 0/ 9 9 10 10 10 10 9 = 8 10 0/ 84 = 1 / 100 1 / = 0/ 07 0/ 34 = 17 / 1 1 / = 10 0/ 07 0/ 34 = 17 / کار درکالس پاسخ تقسیم ها را از دو روش پیدا کنید. 4 3 8
ر ر ر ر و ر ر م ر تمرين م ر م ر و م ر ر م ر ر ر ر ر ر م ر ور ر ر ر ور و ر ر و ر رو م ر ر م و م ر ر م ر ر ر م ر و م ر م م لم ر ر رو ر ر ر رو ل و ر ر ور ر ر ر 3 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل م ل ر ر ر 7 = 0 م ل ر ر ر ر ر ل و ر م ر ر م ل ر = 7 م م ر ر و ر رو رو رر ل ر ر و ر و م رو م ر ر ر ر و م ر ر م ل م ر م و ر و ر 4/ 307 / ور رو و ر رو رو 4 0
و و ر فصل
ر فع الی ت مل ر ر و م ر ر ر و ر ب س د رو ر ر آ مل ر ر و م ر ر ر ر ر ب س د آ رو ر ر م ر رو م ر استفاده از روش های باال همیشه ممکن نیست. برای مقایسه ی طول های زیاد یا دور از دسترس به واحد اندازه گیری نیاز داریم. هر چیزی می تواند واحد اندازه گیری طول باشد. برای مثال می توان طول ها را با یک پاره خط مشخ ص اندازه گیری کرد. و ر ر ر م فع الی ت ر ر م ر ر ر و و م ر ر ر ر ر م ر ر ر ر ر ر و م و م ر ر م ر و ر 4
کار درکالس ر و ر و ر م 4 ر و ر و م و ر ر ر و ر ر ر ر م و ر و ر ر برای این که طول هر چیز اندازه ی معی نی داشته باشد و برای همه شناخته شده باشد واحدهای استاندارد را به کار می بریم. واحد استاندارد اندازه گیری طول متر است. مانند فع الی ت های باال برای دقیق تر شدن اندازه گیری ها نیاز داریم که واحد استاندارد را نیز به قسمت های مساوی کوچک تر تقسیم کنیم. به همین دلیل واحد متر را به 1 قسمت مساوی تقسیم کرده اند. به هر کدام از این قسمت ها سانتی متر می گویند. برای دقیق تر شدن اندازه گیری ها واحد سانتی متر را نیز به 1 قسمت مساوی تقسیم کرده اند. به هر کدام از آن ها یک میلی متر می گویند. طول های خیلی زیاد را با واحد بزرگ تری به نام کیلومتر اندازه می گیرند. هر کیلومتر برابر 1 متر است. فع الی ت ر ر و ر ر م ر م ر م م ر رف م ر و و ر ر ل و م ر م ر م و 4 3
كار دركلاس بايد تصو ر درستى از هريك از واحدهاى اندازه گيرى داشته باشيم. براى هريك از اندازه هاى زير يك نمونه بنويسيد كه به ا ن اندازه باشد. طول يك پاككن: 5 سانتى متر ----- :1 سانتى متر ----- : 1 ميلى متر ----- 1: متر ----- 1: كيلومتر ----- 3: متر ----- 30: سانتى متر ----- 5: ميلى متر ----- : 0 سانتى متر فع الي ت هر كدام از ابزارهاى اندازه گيرى مانند خط كش متر خي اطى يا فلز ى كيلومترشمار و... براى اندازه گيرى بعضى از طول ها مناسب اند. براى اندازه گيرى هر طول علاوه بر ا ن كه بايد ابزار مناسب را تشخيص دهيم بايد واحد مناسبى را نيز انتخاب كنيم. هم چنين بايد بتوانيم واحدها را به يكديگر تبديل كنيم. 1- با توج ه به جدول تناسب زير جاهاى خالى را كامل كنيد. 1 5 1 كيلو متر سانتى متر متر 100 100 10 7 10 متر ميل متر سانتى متر 1 1000 500 1000 براى موارد زير نيز جدول تناسب بكشيد و پاسخ را پيدا كنيد. 3/1 متر چند سانتى متر است 47 ميلى متر چند سانتى متر است - با الگويى كه در حركت مميز در عددهاى اعشارى زمانى كه در عددهاى 100 10 و 1000 ضرب و يا بر ا ن ها تقسيم مى شدند پيدا كرديد و هم چنين به كمك جدول تناسب پاسخ پرسش هاى زير را به دست ا وريد. 43/7 سانتى متر چند متر است 3/71 سانتى متر چند ميلى متر است 4 4
ر م و ر ر ر م م ر م ر تمرين ر م ر ر ر و ف م ر ر ر ر و ر ف رو م م ر و ف ر و ر ر ر و ر م ر م و ر ر ر م ر و ر م ر م ر م ر م ر ر م ر م م ر م ر م م ر م ر م ر م م ر م ر م ر م ل ر ر 4 5 م ر ر ر. ر م ر م ل ر
ف ر ر م ر آ و ب و ر ر ر ر م ر و ر ر م ر ر و فع الی ت آ ر ر ف م و ف ر فاصله ی بین دو نقطه طول پاره خطی است که دو نقطه را به هم وصل می کند. کار درکالس ر ر م ر ب ج ف آ م ر ور ر م و ر آ = ب ج = آ ج = آ ب 4 ب ب ج ب م و ف ر آ م ر ج م ر ر ف = ب ج = آ ب = ب د = آ ج آ ج = ج د = آ د د ر مل ر و ر ر ر و ر م ر ف م و د ج ب آ آ ب ج د 4 6
و ل م رو رو ل ر ر و ر ر ر ر فع الی ت م کار درکالس ر م و ل و رف ر ر رو م ر ر ر مر ف ر کوتاه ترین فاصله ی هر نقطه تا یک خط فاصله ی عمود است. با کمک گونیا می توانید از یک نقطه بر خط عمود رسم کرده سپس طول پاره خط عمود را اندازه بگیرید. ر ف ر ل ر 4 فع الی ت آ ر ر ر ب ج ر آ ر ف م ر آ آ ب ب ج ج م ب ج ر ر ر ل ر ر 4 7
ر و آ ر م ل آبجد ر ر ر ف ر آ ر م ل ر ب کار درکالس آ د 4 ج ر م ل ر ر ر ف رو رو م ر آ تمرين ب ج فم و ل ن ر و ر ر ر و و م ر آ ج د م ب م د و ن ر و آ ب و آ ج ر و م ر ر و ر م ر ر ر دن و ج ب ر ر م آ آ ج ب ب ج 4 8
م ر ر م م و و م و ر ر و ر و ر ر ر و م و ل ر و م رو ف م ر و ور ر ف ر ر ر رو ر و و م م ر رر ر و ر ر ر م ر ر ر م م م ر ر ر ر ر ور م م ر رر م م ر م م ر و ر ر رر ر آ ج ب 4 9
در حل بعضی از مسئله ها باید با نظم و ترتیب خاص ی عمل کنیم تا چیزی از قلم نیفتد. تفک ر نظام دار کمک می کند تا بتوانیم همه ی حالت های ممکن برای مسئله را در نظر بگیریم. م ل ر ل ر م ر م ر ر م آب آج ب د و ج د. ر ل ر ه ج د ب آ آ رو ر ل ر آ ر ر ر ل ر ر ر ر ب آ د ج ه ر ر ر ر ر ر ر و رو ر ر ر ر ر ر ل ر ر ر ر م ر ر ر ر و 5 0
وقتی حالت های مورد نظر مسئله را پیدا می کنید مطمئن هستید که همه ی حالت ها را در نظر گرفته اید و حالتی از قلم نیفتاده است. ر ر و ل و ل ر ر م ر م و وم و ل ر م و ر م رو م ر ر ر ر ر ر آ ط ر ر ل ر ر ر ر و ی ر ر ب س ج د ح ر ه م و ل ر م ر ل ر ر م و 5 1
م و و ر و ر ر ر رو م ر و و ر مل فع الی ت ن م م و و ن و م مر ر ل ر ل ر ر رو م ر و ر ر م مل ر و ر ن م م ر رو و م ر استفاده از روش های باال همیشه ممکن نیست. برای مقایسه و اندازه گیری زاویه ها نیز به واحد اندازه گیری نیاز داریم. هر زاویه ای می تواند واحد اندازه گیری باشد. ر و ر و ر ر و ر ر و ر ر کار درکالس 4 ر و و و و ر ر ر م ر ر ر م ر ر و م ر ل ر و ر و 5
کار درکالس ر م ر ر رو رو و م ر و ر و و ر و و 4 ر ر ر ر ر و رر ر ر و ر ر برای اینکه هر زاویه اندازهی معی نی داشته باشد و برای همه شناخته شده باشد از واحد استاندارد استفاده میکنیم. یکی از واحدهای اندازهگیری زاویه درجه است. در گذشتههای دور ستارهشناسان یک دایرهی کامل را 36 درجه در نظر گرفتند. بنابراین یک یک دایرهی کامل است. دلیل انتخاب عدد 36 این بود که اگر از روی کرهی زمین به 1 درجه 36 دو طرف کرهی خورشید نگاه کنیم این زاویهی باز شده یک درجه است. یعنی اگر 36 تا خورشید را کنار هم قرار دهیم یک دور کامل زده میشود. بنابراین یک درجه مقدار زاویهای است که رأس آن روی کرهی زمین است که در دو طرف خورشید قرار میگیرند. ر ر م ر برای اندازه گیری زاویه ها از نق اله استفاده می کنیم. ر ر ر و کار درکالس 4 5 3
ر ر ر و ر رو ر و م ر و ر ر و فع الی ت ر ر ر ر ر و ر ر م ر ر م و م ور ر ر و م ر و ر و ر و رر ر ل م ل ر ر م و ر و رو ر رو ر ر و ر ر و ر م ر و ر م ور ر و م کار درکالس 4 ر ر و ور م ر 5 4
رو ر ر و ر و رر ر و م ر ر و ر م ر و ر م ر تمرين و ر و ر ر ر و م ر ل ر م ر م و و ر ل ر ر م ر ر م ر و م و ر ل ر ر ر م و ر م ر م و رو رو ل ر ر م ر 5 5
انواع زاويه ها فع الي ت 1- در شكل زير انواع زاويه ها نشان داده شده است. زاويه ى تند زاويه ى راست زاويه ى باز زاويه ى نيم صفحه زاويهها را اندازه بگيريد و جاهاي خالي را پر كنيد. - زاويهى تند از زاويهى راست (قاي مه) ----- و زاويهى باز از زاويهى راست ----- است. - زاويهى باز از زاويهى نيمصفحه ----- است. - زاويهى نيمصفحه برابر زاويهى ----- است. - نيمساز زاويه زاويه را نصف مي كند. حالا اندازهى زاويههاي خواسته شده را پيدا كنيد. نيم ساز نيم ساز نيم ساز 40 0 40 0 3- وقتي دوخط همديگر را قطع مي كنند 4 زاويه درست مىشود كه زاويههاى روبهرو 3 دوبهدو متقابل به را س ناميده ميشوند. 1 زاويههاي 1 و و زاويههاي 3 و 4 در شكل روبهرو متقابل به را س هستند. 4 اندازهى زاويههاى مشخ ص شدهى شكلهاى زير را با نق اله بيابيد. چه نتيجه اي مي گيريد 4- ا يا زاويه هاي مشخ ص شده ى زير متقابل به را س هستند چرا دو زاويه بايد چه ويژگي هايي داشته باشند تا به ا ن ها متقابل به را س بگوييم 5 6
كار دركلاس با توج ه به ا ن چه كه تاكنون درباره ى زاويه ها ياد گرفته ايد اندازه ى زاويه ى مورد نظر را محاسبه كنيد. راه حل خود را بنويسيد و دليل كار خود را توضيح دهيد. 1 3 30 1= = 3= نيم ساز 80 0 نيم ساز 40 0 60 0 نيم ساز فع الي ت 1- در هريك از شكل هاي زير زاويه هاي 1 و را با نق اله اندازه بگيريد و مجموع ا ن ها را به دست ا وريد. 1 1 1 به هر دو زاويه كه مجموع ا ن ها 90 درجه باشد دو زاويه ى متم م مي گويند. - در هر يك از شكل هاي زير زاويه هاي 1 و را با نق اله اندازه بگيريد و مجموع ا ن ها را به دست ا وريد. 1 1 1 به هر دو زاويه كه مجموع ا ن ها 180 درجه باشد دو زاويه ى مكم ل مي گويند. 5 7
ر و و ر م ر م ل م و ر ل ر ر ر و ر ر کار درکالس 4 1 + = 90 1 + = 180 ر ر م ر و م و م فع الی ت ر م و ر ل ر رف ر ر 5 8
ر ر ر ل و م ر تمرين رر ل و و ر ل ر م ر ر ر و ف ر و م رو رو ل ر ر و و م ر ر ر م ر ر م ر و رر و ر ر و ر ر 5 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل م ر م ر م ل ر و ر ر ر ر رو ر ر ر و ف و ف ن م ور ر ر ف ف م و ر ر ر و رو ر ر و ل ر ر ر م ل و و و ل ر ر م ل و م و و و 6 0
ر فصصلل فصل
تقریب زدن - قطع کردن دامپروری علی آقا بیش از 500 رأس گاو دارد. کیک خورده شده است. 5 قد سارا از 1/7 متر کمتر است. در جمله های باال عدد های به کار رفته تقریبی هستند. یعنی گاو های دامپروری ممکن است 511 رأس باشد ام ا برای آن که بزرگی دامپروری مشخ ص شود عدد 500 کافی است. هیچ کس کیک را قبل و بعد از خوردن وزن نمی کند. میزان کیک خورده شده اهمی ت چندانی ندارد. قد سارا با واحد متر به این صورت بیان شده است. با واحد های سانتی متر و میلی متر عدد های دقیق تری به دست می آید. در زندگی روزمر ه و متناسب با موضوع هایی که با آن ها سر و کار داریم به جای مقدار های واقعی و دقیق عدد های تقریبی را به کار می بریم. فع الی ت فع الی ت در هر یک از مثال های زیر مشخ ص کنید عدد بیان شده تقریبی است یا دقیق. دلیل خود را بنویسید. من فرزند دارم. وزن من 3/1 کیلوگرم است. 1 3 زمین کشاورزی گندم کاشته شده است. هر کدام از ابزار های اندازه گیری تا حد ی می توانند عدد های دقیق را بیان کنند. برای نمونه دق ت خط کشی که فقط واحد های سانتی متر را دارد 1 سانتی متر است. یعنی این خط کش کم تر از یک سانتی متر را مشخ ص نمی کند. 1 طول زنبور با این خط کش تقریبا چند سانتی متر است طول زنبور با این خط کش تقریبا چند سانتی متر است 3 روی خط کش یک ذر ه بین گذاشته ایم. حاال بگویید زنبور چند سانتی متر است 6
ر ر ر ر ر ر کار درکالس 4 م ر م ر ر م ر ر م ر م ر ر ر ور م ر م ر م و ر و ر ر و ر ر ف و م ر ر ر و م م ر و م ر ر ر ر م ر م ر ر ر م ر ف ر ر ر ر همان طور که مالحظه کردید اندازه گیری را با تقریب های متفاوتی انجام می دهیم. برای بیان تقریب مورد نظر عبارت»با تقریب کم تر از «استفاده می کنیم و به جای جای خالی عدد هایی را مانند 1 1 1 و یا دهم صدم و هزارم می نویسیم. برای مثال وقتی می گوییم با تقریب کم تر از 1 یعنی رقم های مرتبه های کم تر از دهگان ارزش زیادی ندارند و نیازی به بیان آن ها نیست. به این ترتیب رقم های یکان دهم صدم هزارم و... را حذف کرده و به جای آن ها صفر می گذاریم. به این روش تقریب زدن قطع کردن می گویند. حاال پاسخ پرسش 3 را با به کار بردن این عبارت دوباره بیان کنید. م ر ر ر و ر رو م و ر ر ر ر ر ر ر کار درکالس 4 ر و م و ر ر و م و ر 6 3
0 1 3 فع الی ت 1 کسر 3 را روی محور نمایش دهید. 4 0 1 3 روی محور باال 3 واحد را به 4 قسمت مساوی تقسیم کنید. برای این کار ابتدا 3 واحد را نصف کنید. چه نقطه ای وسط 3 واحد را نشان می دهد حاال هر قسمت را دوباره نصف کنید تا 3 واحد به 4 قسمت مساوی تقسیم شود. او لین قسمت چه کسری را نشان می دهد 3 توضیح دهید چرا تساوی 3 4 3 = درست است 4 با توج ه به فع الی ت باال با تقسیم صورت بر مخرج هر کسر می توان آن را به صورت یک عدد اعشاری نشان داد. وقتی می گوییم تقسیم را تا یک رقم اعشار ادامه دهید یعنی با تقریب کم تر از 0/1 تقسیم کنید. وقتی می گوییم تقسیم را تا رقم اعشار ادامه دهید یعنی با تقریب کم تر از 0/01 به دست آورید. 1 کسر را در نظر بگیرید. با انجام تقسیم تا 3 رقم اعشار مقدار تقریبی کسر را با تقریب های مختلف پیدا کنید. با تقریب کم تر از 0/001 با تقریب کم تر از 0/01 با تقریب کم تر از 0/1 3 / 000 3 0 / 48 7 3 7 3 7 کار درکالس 4 یک کسر بنویسید که تقریبا برابر 3 باشد و صورت آن یک رقمی باشد. 7 به این ترتیب میتوانید هر کسر کوچکتر از واحد را با یک کسر به صورت یک رقمی تقریب بزنید. به کمک ماشین حساب برای کسر های زیر یک کسر تقریبا مساوی بنویسید که صورت آن یک رقمی باشد. 13 7 41 53 1 7 3 مخرج همه ی این کسر های تقریبی چه عددی است 6 4
تمرين 1 محیط هر دایره برابر است با قطر آن دایره ضرب در عدد π. مقدار عدد π به روش های مختلف محاسبه می شود. غیاث الد ین جمشید کاشانی دانشمند بزرگ و مسلمان ایرانی این عدد را تا 10 رقم اعشار محاسبه کرد. عدد π تا 6 رقم اعشار برابر است با: 3/14159 مقدار عدد π را با تقریب های خواسته شده و با روش قطع کردن بنویسید. با تقریب کم تر از 0/001 π با تقریب کم تر از 0/01 π حاال کسر را با تقسیم کردن تا 3 رقم اعشار در خارج قسمت بهدست آورید و تساویهای 7 7 / 000 زیر را کامل کنید. با تقریب کم تر از 0/001 با تقریب کمتر از 0/01 7 7 پاسخ های این دو قسمت را مقایسه کنید. در مورد عدد های و 7 چه می توان گفت دانش آموزی مقدار تقریبی عدد 17/5 را به صورت زیر نوشته است. اشتباه او چیست با تقریب کم تر از 1 10 17/5 3 یک عدد طبیعی با تقریب کم تر از 10 به روش قطع کردن 370 شده است. مقدار این عدد قبل از تقریب زدن چه عدد هایی می توانست باشد 4 تقسیم زیر را 3 رقم اعشار ادامه داده به پرسش ها پاسخ دهید. سپس پاسخ ها را با پرسش ها مقایسه کنید. 355 113 355 با تقریب کمتر از 0/1 113 355 با تقریب کمتر از 001/ 113 در مورد عددهای 355 و 113 چه میتوان گفت 5 محیط دایرهای به شعاع 1/4 را محاسبه کنید. عدد π را 3/1 در نظر بگیرید. 6 مساحت دایره ای به شعاع /7 سانتی متر را به دست آورید. عدد π را 3 در نظر بگیرید. 6 5
گرد كردن 4 16 37 45 فع الي ت 1 0 10 0 30 40 50 گوى عدد 16 به سمت 10 مىرود يا 0 گوى عدد 4 به سمت صفر مىرود يا 10 گوى عدد 45 به سمت 40 مىرود يا 50 گوى عدد 37 به سمت 40 مىرود يا 30 حالا با رسم گوى در جاى مناسب (با توج ه به محور عددها) به پرسشهاى زير پاسخ دهيد. گوى عدد 34 به سمت 30 مىرود يا 40 گوى عدد 6 به سمت 0 مىرود يا 30 اگر عدد 1 را به روش قطع كردن و با تقريب كم تر از 10 قطع كنيم عدد 0 به دست مى ا يد. در اين صورت عدد تقريبى با عدد واقعى 1 واحد اختلاف دارد. 1= 0 1 عدد هاى زير را به روش قطع كردن با تقريب كم تر از 10 قطع كنيد و هر بار مقدار خطا (اختلاف با عدد واقعى) را به دست ا وريد. 43 57 6 35 3 عدد 57 به 50 نزديك تر است يا به 60 اگر به جاى عدد 57 مقدار تقريبى 60 را بنويسيم چه قدر خطا كرده ايم عدد 6 به 0 نزديك تر است يا به 30 اگر به جاى عدد 6 مقدار تقريبى 30 را بنويسيم چه قدر خطا كرده ايم براى اين كه در استفاده از عدد هاى تقريبى خطاى كم ترى داشته باشيم از روش گرد كردن استفاده مى كنيم. در اين روش با توج ه به تقريب مورد نظر عدد تقريبى اى را انتخاب مى كنيم كه به مقدار واقعى نزديك تر باشد. براى مثال مقدار عدد تقريبى 371 به روش گرد كردن و با تقريب كم تر از 100 برابر 400 مى شود چون عدد 400 بهتر از 300 به مقدار واقعى نزديك تر است. 6 6
كار دركلاس 1 با توج ه به تقريب داده شده مانند نمونه تعيين كنيد هر عدد بين كدام دو عدد قرار مى گيرد. دور عدد نزديك تر به مقدار واقعى خط بكشيد. با تقريب كم تر از 37/3 0/1: 37/8 37/ با تقريب كم تر از 100 : 300 85 00 با تقريب كم تر از 0/1 : 0/86 با تقريب كم تر از 100: 1734 با تقريب كم تر از 0/01: 1/437 با تقريب كم تر از 10: 498 با توج ه به تمرين هاى بالا روش گرد كردن را توضيح دهيد. 3 با روشى كه توضيح داديد عدد هاى زير را با تقريب كم تر از 100 گرد كنيد. 16/9 5 در روش گرد كردن بايد به مرتبه ى بعد از تقريب مورد نظر توج ه كنيم. در جدول ارزش مكانى زير وقتى تقريب كم تر از 10 مورد نظر است رقم دهگان را در نظر مى گيريم. صدگان دهگان يکان دهم صدم 8 9 6 0 3 0 1 0 چون رقم بعد از دهگان بيش تر از ) يا مساوى ( 5 است رقم هاى كم تر از دهگان را حذف و به جاى ا ن ها صفر مى گذاريم ام ا يك واحد به رقم دهگان اضافه مى كنيم. با تقريب كم تر از 86/31 90 10 فع الي ت مقدار تقريبى داده شده را با تقريب كم تر از 100 به دو روش بنويسيد. مقدار تقريبى به روش گرد كردن مقدار تقريبى به روش قطع كردن عدد 374 3540 1673/8 در چه مواقعى مقدار تقريبى از هر دو روش يكى مى شود 6 7
كار دركلاس 1 عددهاى اعشارى 3/14 و /761 را با تقريب هاى كم تر از 0/01 و 0/1 به دو روش تقريب بزنيد. در كدام عدد ها پاسخ هر دو روش يكى شد 3/14 از 0/01 3/14 با تقريب كمتر /761 /761 با تقريب كمتر از 0/1 در يك مسابقه ى دو براى بيان ركورد دوندگان روش قطع كردن مناسب تر است يا گرد كردن كدام يك براى اندازه گيرى بهتر است كدام يك دق ت بيش ترى دارد فع الي ت عددهاى داده شده را بهصورت تقريبى روى محور پيدا كنيد. به كمك ا ن مقدار تقريبى عدد به روش گرد كردن را پيدا كنيد. مانند نمونه محور را با توج ه به تقريب مورد نظر تقسيمبندى كنيد. (در بعضى موارد لازم نيست صفر محور را نمايش دهيم.) 34 0 100 00 300 400 با تقريب كمتر از 00 100 34 0 10 0 با تقريب كم تر از 10 47/ با تقريب كم تر از 100 357/ 50 51 5 53 54 55 با تقريب كمتر از 1 53/8 با تقريب كم تر از 10 748/5 با تقريب كم تر از 0/1 4/3 6 8
تمرين 1 جرم يك گوسفند با تقريب كم تر از 10 گرد شده و 50 كيلوگرم اعلام شده است. جرم اين گوسفند چه عدد هايى مى توانست باشد مقدار تقريبى عدد 8/49 را با تقريب هاى خواسته شده به دست ا وريد. كم تر از 0/01 8/49 كم تر از 0 /1 8/49 كم تر از 1 8/49 3 مقدار تقريبى عدد هاى زير را با تقريب كم تر از 0/01 به روش گرد كردن به دست ا وريد. 34/68 3/61 8/49 4 چرا مقدار تقريبى عدد π تا رقم اعشار با روش هاى قطع كردن و گرد كردن فرقى نمى كند اما با تقريب كم تر از 0/001 فرق مى كند = 3/14159 π 5 در شكل هاى زير با توج ه به واحد اندازه گيرى طول هر پاره خط را به نزديك ترين عدد صحيح گرد كنيد. طول طول طول طول 6 اندازه ى قد چند دانش ا موز با واحد سانتى متر نوشته شده است. اندازه ى قد ا ن ها را با تقريب كم تر از 10 گرد كنيد. 147 153 16 171 ا يا تقريب كم تر از 100 براى اندازه گيرى قد مناسب است چرا 6 9
حل مسئله بعضی از مسئله ها در نگاه او ل دشوار و پیچیده به نظر می رسند ام ا اگر مسئله را ساده کنیم یا در حالت خاص و ساده شده به بررسی آن بپردازیم راه حل مسئله آشکار می شود. یکی از روش های ساده کردن مسئله استفاده از عدد های تقریبی به جای عددهای کسری و اعشاری است. 1 5 4 1 در یک کارخانه لوله هایی به طول تولید می کند. در این کارخانه روزی چند متر لوله تولید می شود متر تولید می شود. این کارخانه هر روز 48 لوله اگر تشخیص راه حل مسئله برای شما دشوار است مسئله را با عدد های تقریبی دوباره بخوانید. به جای متر از عدد 5 و به جای 48 از عدد 00 استفاده کنید. حاال بگویید راه حل مسئله چیست اگر راه حل را متوج ه شده اید مسئله ی اصلی را حل کنید. ضخامت هر برگ کاغذ 0/06 میلی متر است. ضخامت یک دفتر 10 برگ چه قدر است 1 1 3 عدد چند برابر عدد 1 است 7 3 مسئله ی ساده تر: عدد 14 چند برابر عدد 7 است برای پاسخ به این سؤال چه عملی را انجام می دهید 3 4 چه عددی از 4/5 برابر 7 سه و بیست و هشت صدم بیشتر است 4 مسئله ی ساده تر: چه عددی از برابر بیش تر است 7 0
م ل ر گاهی وقت ها حل مسئله در حالت کل ی یا با عددهای بزرگ و غیر معمول ناممکن به نظر می رسد. در این صورت بهتر است مسئله با تعداد حالت های کم تر حل شود و پس از آن با کمک الگویابی مسئله ی ساده شده به مسئله ی اصلی مرتبط شود. و و ل و ر و و و ر ر ر ر این مسئله را برای حالتی که علی نفر سوم صف باشد حل کنید. سپس مسئله ی اصلی را پاسخ دهید. ور ر ر ر ل عالمت یعنی نوشتن کسر ها به همین ترتیب ادامه دارد. ابتدا مسئله را برای حالت ساده شده ی زیر حل کنید. 1 3 4 98 99 = 3 4 5 99 100 1 3 4 = 3 4 5 ر و م 7 1
ر رو م ر رو و م ر ر ر ر ر و ر ر م ر رو ر ر ر ر ر فع الی ت 3 = 19 5 7 = 13 5 = 7 15 = ر ر ر م ر رو ر ر ر م ر ر ر ر ر 3 ر ر ر ر ر ر 7 ر ر ر 3 7 7 = ر ر 3 7 ر ر ر م م ر رو ر ر ر 7 ر ر م ر ر ر ر ر ر ل کار درکالس 4 م ر م ر ر م 7 7 7 ر ر ر ر ر ر 7 ر رو م ر 7
1 مقدار کسرهای 1 3 1 و 1 6 را تا یک رقم اعشار پیدا کنید. 1 / 1/ 3 1/ 6 فع الی ت برای هر کدام یک کسر تقریبی با مخرج برابر 10 بنویسید. 1 1 3 1 6 کار درکالس 3 آیا مجموع این سه کسر با مجموع سه عدد تقریبی برابر است حاصل جمع هر دو تقریب را پیدا کنید. همان طور که می بینید پاسخ محاسبه های تقریبی با پاسخ واقعی فرق دارد. این تفاوت ها در اندازه گیری های مختلف مثل اندازه گیری طول نیز خود را نشان می دهد. 1 طول پاره خط های آبی قرمز و کل پاره خط با تقریب کم تر از 1 سانتی متر با روش قطع کردن چه قدر است 1/7 7/8 4 = طول کل پاره خط = قرمز = آبی با استفاده از عددهای تقریبی بیان کنید چه کسری از کل پاره خط قرمز است چه کسری آبی است مجموع این دو کسر را پیدا کنید. چرا مجموع این دو کسر برابر یک نشد طول پاره خط با تقریب کم تر از 1 سانتی متر با روش قطع کردن چند سانتی متر است سه برابر این طول به صورت تقریبی چند سانتی متر می شود 6/8 حاال با کمک پرگار پاره خط را سه برابر و اندازه گیری کنید. طول پاره خط تقریبا چه قدر می شود چرا دو عدد به دست آمده برای طول پاره خط سه برابر شده متفاوت است 7 3
1 اگر عدد هاى مربوط به فع الي ت قبل را با روش گرد كردن مى نوشتيد ا يا اين تفاوت به وجود مى ا مد اگر عدد 4/5 را با تقريب كم تر از يك بنويسيد حاصل ضرب زير چند مى شود 4 4/5 كار دركلاس با توج ه به شكل زير توضيح دهيد كه حذف 0/5 چه تا ثيرى در 4 برابر شدن ا ن عدد دارد. 4 = فع الي ت 1 استفاده از عدد هاى تقريبى مى تواند تصو ر خوبى از پاسخ هاى عملي ات مختلف بدهد. پاسخ تقريبى عملي ات زير را با استفاده از عدد هاى تقريبى به دست ا وريد. 34/ 11/ 30 10= 4/3+16/7-11/4 1 7 4 + 3 5 11 8 19 09 / 4/ 07 / 3 1/ 4 7 14/ 4 8/ 9 83 / 1 بهتر است قبل از انجام عملي ات پاسخ را تقريب بزنيد. در صورتى كه پاسخ عملي ات شما با عدد تقريبى به دست ا مده فاصله ى زيادى داشته باشد بهتر است دوباره راه حل خود را بررسى كنيد تا دليل اين اختلاف و اشتباه خود را بيابيد. 7 4
ر ر ر ر ر ر ر م م ر رو ر 3476 301 143 987 53 317 34 473 کار درکالس 4 ر ر ر ر م ر ر ر ر ر ر ر ر رو ر م ر ر ر ر ر ر ر م ر ر ر ر ر ر ص ر و رو ر و ر ر ر ر ر ل ور ر ر ل ر ر ر ر ر و و م ر ر ر م ر ر م ر 1 7 13 9 14 8 3 19 4 + 18 19 0 7 5
م ر و ر فع الی ت ر ر ر و و ل ر ور ر ر ر و ر ر ر م ر و ر ر م ر ر ر رو ر ر ر م رو روش گردکردن پاسخ را به مقدار واقعی نزدیک تر می کند و خطای محاسبه را کاهش می دهد. ر ر ر و ر ر رو ر ر و و ور ر ر و ل م ر ر م ر کار درکالس 4 ر ر ر ر ر ر ر م رو 7 6
م رو و ر ر ر ر ر ر ل فع الی ت رو و ر ر ل ر ور رو و ل ر ر ر ر ر رو و ر ر ر ر رو و ر ر رو و ل ر ر ور ر ر رو و ر ر ر ل ر رو و رو و ر و ر ر و ر و ر و در انجام محاسبه های تقریبی باید مراقب بود که مقدار خطا های استفاده از عددهای تقریبی روی هم جمع نشود و فاصله ی عدد حاصل از مقدار واقعی اش زیاد نشود. 7 7
ر ر ر ر م ر م ر ر ر فع الی ت مل ر م م ر و ر ر و ر م ر ر ر ر ل ر ر ر ر و ور ر ر ر ل رر ر و و و ر ر رو ر ر ور ر ر ر ل کار درکالس 4 1 1 4 + 1 = 3 5 3 1 1 1+ 1 1 = 7 6 7 8
تمرين 1 حاصل عبارت های زیر را با تقریب کم تر از 1 به دست آورید. روش مناسب تقریب زدن را انتخاب کنید. در هر مورد خطای محاسبه را به دست آورید )خطای محاسبه یعنی اختالف پاسخ تقریبی و پاسخ واقعی(. 4/31+7/9-6/8= 3/8 9/7= 1 5 1/1-8/8= 13 1 = 4 6 با رعایت ترتیب انجام عملی ات حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. 13/1-1/ 10 = 10-0/1 )4/7-3/5( = 3 1 1 = 5 5 0/0-0/5 = 3 حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. هر بار تصمیم بگیرید که بهتر است قسمت کسری را به اعشاری تبدیل کنید یا قسمت اعشاری را به صورت یک کسر ساده شده بنویسید. 1 3 + = 3 4 43 / + 1 = 3 1 3 1/ 17 = 4 3 01 / = 7 1 4 میدانیم:... 33333 = 0 / با توج ه به این مطلب حاصلضرب زیر را با تقریب کمتر از 3 0/1 بهدست آورید. 7/ 0 3 حاال با تقسیم 7 بر 3 مقدار 7 را تا یک رقم اعشار بهدست آورید. 3 چرا پاسخهای این دو روش محاسبه اختالف دارند 7 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل م ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر رو ر ر ر رو م ر ر و ر رو ر م ر م ر ر 735 ر رو م ر 845 م ر م و م م ر ر ر ر ر م م و رو ل م و ر ر م ر ر ر و ر ل ر ر رو و و ر ر 8 0
فصل 5 نسبت تناسب و درصد
و رو ر رو رو م ر ر م م ر و ر ر م ر م ل ر ر ر 1 و م 3 رو رو ر و ر ر م م مل ر و ل ر کار درکالس م ر 4 م مر ر مر ر رو ر 8
گاهی نسبت ها به طور واضح بیان نمی شوند و تشخیص نسبت ها به محاسبه نیاز دارد. م و م ر ر فع الی ت م = 3 4 م = 5 6 ر ر ر ر ر ر ل 3 ر م س ر ر ن و ر م س ر ک ل 7 5 ر ر کار درکالس 4 و م ر ر م ر ور ل ر ر 8 3
ر ر ر و ر ر ر ر و ر ر ر ر ر ر ر فع الی ت مقایسه ی نسبت ها به مقایسه ی کسر ها تبدیل می شود. در نوشتن کسر به واحد عدد ها توج ه شود. ر ر رف ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر م ر و ر ر کار درکالس 4 و م و م ر م و م ر ر و ر م ل فع الی ت 1 و 1 3 ر م ل و ف ر ر ف ر ر ر و ر ر ر ر 1 1 3 8 4
ر ر م مر ر ر ر ر مر م ر رر ر ر م تمرين ر ر م م و م ر رو رو م ل ر ر م ر م ر ب ور ر و ر ر م ن س ن س ب م س ن س ب ن ب م س ب س ر ر ر رو رو م و م ر و م ر ر و م ر و ر و م ر ف ر ر ر م ر و ر ر ر مر ر ر ر ور ر ر ر ر ر ص ر ر م مر ل ل ل ل ل ل رف ر ر ل ص ر ر 8 5
م ر م رو ر رو ر رو ر ر و و م ر ر ر فع الی ت 1 3 ر ر ر ر رر ر ر ر ر مر و ر مل ر ر و م و ر 1 5 هرگاه دو مقدار طوری تغییر کنند که نسبت )حاصل تقسیم( آن ها مقدار ثابتی باشد )یعنی کسر های نسبت ها با هم مساوی باشند( به آن دو مقدار مقدار های متناسب می گویند و جدول این نسبت ها را جدول تناسب می گویند. در مثال باال تعداد نیمکت ها و تعداد دانش آموزان با هم متناسب هستند. ر مر ر مل ر ل ر و و و کار درکالس 4 م ر 1 3 8 6
م ر 1 4 م ر م و ل فع الی ت ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر م م ر م ر ر و ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر م م ر ر ر م ر ر ر ر 8 7
ر ر ر کار م ل و درکالس 4 800 1 800 = = = 640 15 1 15 م م م ر ر م ر ر ل م ل ر رو ل ر ر م و ر ف ر ر ر ر ل و ر ر م ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر تمرين ر م م ر ف ر ر م ر ر ف ر ر ر ر ر ر م م و و ر ر ر ر م ر م ر ر ر ر ر ر و ر ر م ر ر ر ر م ر 8 8
م ر م ر م ر ر ر م ر ر م م ر م ر م ر م ر ر م ر م ر م ر م ر ر رو ر ر ر م ر م فرو م م رف رف ر ر ر ر م 1 75 15 1 = = = 1 = 1 = 1/ 5 60 75 60 60 4 60 75 1 / 5 ر ر ر م م و 45 1 60 و ر و ر ر ر ر مل ر ر ر ر ر ر 8 9
بسیاری از مسئله های پیچیده را می توان به مسئله های ساده و مرحله ای تبدیل کرد. وقتی مسئله های ساده و مرحله ای حل می شوند مسئله ی اصلی و پیچیده نیز به جواب خواهد رسید. کافی است زیر مسئله ها را تشخیص دهید. م ل م م و رف م و ر م م ر ر رف م و ر م م و م ر و ر ر م م الف( ابتدا باید قیمت 8 دفترچه را حساب کنید. ب( بعد از خرید دفترچه چه قدر پول برایش باقی می ماند ج( با این پول باقی مانده چند مداد 3 تومانی می توان خرید د( چه قدر پول باقی مانده است ر و مرو ر رو ف ر ر م ر مصر ر ر ر ر ر ر ف م ر ر ور ر م ر مر ل ر م ر و ل م ل ر م ر ر ور م ل م ر ر و ر ر ر فرو ر م فرو ر م م و ر م ر ر م 9 0
زیرمسئله قبل از حل کردن مسئله فهرست و ترتیبی از زیرمسئله ها تهی ه کنید. این کار به فکر شما نظم می دهد و حل مسئله را برایتان آسان تر می کند. 3 5 = 1 1 1 5 11 1 حاصل کسر روبه رو را به دست آورید. الف( محاسبه ی صورت کسر ب( محاسبه ی مخرج کسر ج( تقسیم صورت بر مخرج مراحل محاسبه ی کسر زیر با رسم خط های کسری مشخ ص شده است.هر خط کسری نشان دهنده ی یک عملی ات است. با انجام مراحل این عملی ات مرحله های حاصل را پیدا کنید. 1 1 1+ = 1+ = 1+ = 1 1+ 3 فاطمه 1 پولش را کتاب و 1 3 پولش را دفتر خرید. اگر برای فاطمه 5000 تومان باقیمانده باشد کل پول فاطمه چهقدر بوده است این مسئله را در فصل او ل با رسم شکل حل کرده اید. حاال با حل آن به روش زیرمسئله پاسخ آن را به دست آورید. الف( چه کسری از پول فاطمه خرج شده است ب( چه کسری باقی مانده است ج( اگر این کسر باقی مانده 5000 تومان باشد کل پول چه قدر است 9 1
مل ر و م م و ر مر م ر و ر م ر م م ر فع الی ت 3 1 ر ر ر ر ر م و ر مر ر ر م ر ر م ر و ر م ر ر م ر ر مر ر ر ف م ر م ل و م و مر م ر و ر ر مل ر ر ر ر ر م م ر م م ر مر 3 9 م ر ر ل م ر ر مر ر و ر ر ف م ر م ل و ر ر ر م م ر ر ر ر ر مل ر مر و ر ر ر ر ر م ر ر و ر ر ر م ر ر ر ر م ر ر ف ر ر م و 9
کار درکالس مانند فع الی ت صفحه ی قبل با چند مثال توضیح دهید که چه ردیف های جدیدی را می توان به جدول تناسب اضافه کرد. به عبارت دیگر آیا ردیف مورد نظر با مقدار های داده شده متناسب است یا نه م ر م م ر ف 4 م م و ر ر م ر ف و م ل ر م ل ر ر و ل ر و ر ر ر م م ر ر ر ر و م ر ر م ر ر ر ر تسهیم به نسبت یعنی پرداخت پول هرکس به نسبت سهم آن فرد از کل )مجموع( سهم ها. با توج ه به مثال های باال ردیف مجموع )کل ) را می توان به ردیف نسبت ها اضافه کرد. م ر ر ر م م و ر ر ر و ر رر ر ر رف م م م ر ر م ر م ر م و ف ل ر م فع الی ت ر ر ر ر ر ر م 9 3
و م ر ر م ر ر ر م ر و م ر ر ر م و ل کار درکالس م ر م و م ر 4 ر ر ر و م ر 3 = 7 8 = 4 = 7 8 = م و ل م ر ر ر ر م م و ل و ر ر ر ف ر ر رو رو م ف ر ر ر و مص ر ر و مص ر و ر ر ر ر ر و ر رم ر ر م م و ر م رو ر ر م ر ر رو ر تمرين ر ف و رو ر ر ر م و م ر ر ر ر ر مصر ر ر ر ر ر 9 4
ر رو و م ر رو ر ر ر ر و م ر ر ر ر مر ر ر م ر ر ر مر م ر م ر م ر م ر م م و م ل ل م ر و م م رمر ر م م و ر ف ف ر م م ر ر و ر ر م ر ر ر ر ر ل ر و ر م م ر م ر ر ر 3 ر و ر 1 ر ر ر ر ر ر م م ر ر ر و م ر ر م م و ر 3 و ر و ر 9 5
درصد و ریاضی ات مالي فع الی ت علی آقا کاسب است. او از فروش هر یخچال 1 000 000 تومانی 50 000 تومان سود می برد. فروش هر ماشین لباسشویی به قیمت 700000 تومان برای او 40000 تومان سود دارد. او با فروش هر تلویزیون 900000 تومانی 45000 تومان سود می برد. با این حساب او از فروش کدام جنس نسبت به قیمت آن سود بیش تری می برد در این مسئله 3 نسبت با هم مقایسه می شود. برای سادگی کار با استفاده از جدول های تناسب زیر می توان پایه ی مقایسه ی هر سه نسبت را عدد 100 قرار داد تا به این ترتیب مقایسه ساده تر شود. جدول ها را کامل کنید. )برای محاسبه ی جاهای خالی از ماشین حساب کمک بگیرید و عدد ها را با تقریب کم تر از 1 گرد کنید.( 50000 سود یخچال 40000 سود تلویزیون سود ماشین لباسشویي 45000 1000000 قیمت یخچال 100 700000 قیمت تلویزیون 100 قیمت ماشین لباسشویي 900000 100 کار درکالس کسرها را میتوان با مخرج 100 نوشت و تقریب زد. صورت چنین کسرهایی را با نماد % نمایش میدهند و به صورت درصد میخوانند. برای مثال اگر از هر 100 نفر در مدرسه 95 نفر نمرهی انضباط کامل گرفته باشند 95 یا % 95 آنها نمرهی انضباط کامل گرفتهاند. 100 اگر مدرسه ای 67 نفر دانش آموز داشته باشد چند نفر نمره ی انضباط کامل گرفته اند )جواب را باید تقریب بزنید.( 4 5 % از شیر چربی است. این موضوع را می توان به صورت های مختلف بیان کرد. در هر 100 گرم شیر 5 گرم چربی است. در هر 100 کیلوگرم شیر 5 کیلوگرم چربی است. در هر 100 لیتر شیر 5 لیتر آن چربی است. 10 % تخفیف یک کادو یعنی از 100 تومان 10 تومان آن گرفته نمی شود و 90 تومان آن گرفته می شود. به همین ترتیب در حل یک مسئله درصد های بیان شده را برای خود معنا کنید. 9 6
مالیات از منابع مهم درآمد دولت هاست. یکی از مالیات هایی که در هنگام خرید و فروش محاسبه می شود مالیات بر ارزش افزوده است. هر فروشنده هنگام فروش کاال و یا ارائه ی خدمات مالیات مربوط را محاسبه و به قیمت آن کاال اضافه و از مشتری دریافت می کند. وف ر ر م ر رو فرو رو فرو ر ر م فرو ر ر م م م ر ر فع الی ت م ر م و ر رف فرو ر ر و م ر ر ر ر ص م و ر م ر ر و ر و ر ر ر ر و % وف ر ر وم م در صورتی که کسری بزرگ تر از واحد باشد درصد آن بیش تر از 1 می شود. برای مثال اگر قیمت یک کاال به دلیل تور م از 5 تومان به 15 تومان برسد در واقع می توان گفت که 75 تومان به آن اضافه شده است. کسر 75 را به درصد تبدیل میکنیم. 5 75000 100 75000 = = = 150 % 50000 100 50000 مانند باال هر کسر یا عدد اعشاری را میتوان به صورت درصد نمایش داد. 9 7
1 0/ 5 = = 50 % = =0 % = = 3 مل م ر و کار درکالس 4 1 = = 4 % ر م و ر م م م ر ر ر ر و رم م م ر و م ر ر ر 4000 = 1000000 3000 = 700000 ر ر ر ر و ر ر ر ر رف ر ر م ف ر تمرين رو ر رو و 4 5 1 5 ر ر ر رو رو ل ر م رور و ور رو % ر م رور 9 8
% ر % ر م ر رم % ر ر م ر م و رم ر ر ر ر ر ف ور % ر م ر م ر ور ر ل م % م م ر ر % فرو ر ر م ر 9 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل ر م رو ر م ر و م م ر ر ل ر م ر ر م ر و م ل و و م ر ر م ر و ر ف ر و م ر ر م مر مر م و م ر م فرو ر م و م ر ر ر ر م ر ر ر ر م 1 0 0
فصل و م ر
ور و م ور م ر م ر م ور ر م ر ر ور ر م ر و م و م م فع الی ت جواد رنگ مورد نظر همه ی دانش آموزان را پرسید و پاسخ های زیر را دریافت کرد. سبز آبی زرد زرد بنفش زرد قرمز زرد قهوه ای قهوه ای قهوه ای سبز زرد آبی سبز بنفش قرمز قهوه ای قهوه ای آبی زرد سبز قهوه ای زرد زرد زرد قرمز زرد زرد قرمز قهوه ای قهوه ای و سبز. محم د به روش دیگری اط العات را جمع آوری کرد. او 3 رنگ را تعیین کرد و از همه ی دانش آموزان خواست یکی از این سه رنگ را انتخاب کنند. او پاسخ های زیر را دریافت کرد. سبز قهوه ای قهوه ای سبز زرد زرد زرد سبز قهوه ای زرد سبز قهوه ای سبز زرد زرد سبز قهوه ای زرد سبز زرد زرد قهوه ای سبز زرد قهوه ای زرد سبز قهوه ای سبز زرد قهوه ای قهوه ای و زرد. رو ر م و م و م ر ور رو و ر رر و ر م ور رو ر م ر ر م علم آمار علم جمع آوری اط العات سازماندهی و بررسی آن ها است. اط العات جمع آوری شده را داده های آماری می گویند. 1 0
کار درکالس ر ر ور م ر م و رر ر و ر ر و م ر م ر ر م ر و ر ر ر و م ر ر ر ر ر ر 4 ر ور و ر م ور و م ر ر ور م و ر ر م ر م و و و و و ر م ر ر م و و و ر ر ر م ر ر برای مقایسه و بررسی بهتر داده های آماری از انواع نمودار ها استفاده می کنند. هرنمودار با توج ه به موضوعی که داده های آن جمع آوری شده است و نوع اط العات به دست آمده کارایی دارد. برای مثال نمودار میله ای برای مقایسه ی تعداد پیدا کردن بیش ترین و کم ترین داده به کار می رود. در حال حاضر نرم افزار های زیادی برای رسم انواع نمودار ها وجود دارند. آن چه اهمی ت دارد رسم نمودار نیست بلکه انتخاب نمودار مناسب برای موضوع مورد نظر و هم چنین بررسی و تفسیر نمودار و استخراج نتایج مناسب برای تصمیم گیری هاست. 1 0 3
م ر ور ر ر و م ل م ر ر و فع الی ت ر ر ر ر م م ر و م ر ر ر ور و ر م ر ر ر م و م و م ر ر و ر ر ر ر م ر م ر ر م ور ر ر ر ر م م ف ر ر ر ر ر ر ر فر م در کتاب های درسی دیگر خود یا در روزنامه ها و مجل ه ها جست وجو کنید و نمودار های آماری را پیدا کنید. هر دانش آموز یک نمودار را به کالس بیاورد و در مورد آن توضیح دهد و بگوید که از مشاهده ی این نمودار چه چیزی فهمیده است. 1 0 4
ر ر م ر ر ر ر ر م م ر م ر و تمرين فرور ر ر ر مر ر ر م ر ر ر م م ر و ر و ر ر م ر ر م م ر ر م ر ر و ر م مل رر فصل م ر ر ر و م ر م م ر ر ر م ر و م ر ر ر ر ر م ر م ر ر ر ر و ور رو و ر و م ر مر ر ر م م ر م 1 0 5
نمودار ها و تفسير نتيجه ها فع الي ت 1 ميانگين دماى هواى يزد در 1 ماه يك سال در جدول زير ا مده است. اسفند مهر ا بان ا ذر دى بهمن شهريور خرداد تير مرداد ارديبهشت فروردين ماه 1 دما 3 30 31 34 7 4 15 10 8 10 1 مقدار ميانگين دما در هر ماه را روى شكل زير مانند نمونه با يك نقطه نشان دهيد. با وصل كردن اين نقطه ها به هم نمودار خط شكسته ى اين مسي له را رسم كنيد و به پرسش هاى زير پاسخ دهيد. 40 35 30 5 0 15 10 5 0 اسفند بهمن دى ا ذر ا بان مهر شهريور مرداد تير خرداد ارديبهشت فروردين نمودار خط شكسته چه چيزى را بهتر از جدول داده نشان مى دهد 3 گرم ترين و سردترين ماه را در اين شهر پيدا كنيد. 4 بيش ترين تغيير دما بين كدام دو ماه پشت سر هم بوده است 5 ميانگين دماى سالانه را به دست ا وريد. نمودار خط شكسته براى نمايش تغييرها كاربرد دارد. بنابراين در موضوع هايى كه تغييرها اهمي ت دارد از اين نمودار استفاده مى شود. براى نمونه تغييرها در بازار هاى مالى قيمت طلا نفت سهام و... را با اين نمودار نشان مى دهند. گاهى وقت ها به جاى داده هاى واقعى از مقدار تقريبى ا ن ها استفاده مى كنيم. در برنامه ريزى هاى كلان به عدد هاى واقعى و دقيق نياز نداريم. براى مثال مقدار توليد گندم يك استان را به صورت چند هزار تن بيان مى كنند يعنى مقدار كم تر از 1000 تن يا يك ميليون كيلوگرم در اين بررسى اهمي ت ندارد. 1 0 6
م ر ر ر ر و ر فع الی ت ر ر ر ر رم م ر ر ر ر ر ر ر ر م ر م ر ر ر ر ر رص ر ر ر ر ر ر ور م ر رص ر ر رر م ر ر ر بعضی از آمار و اط العات جمع آوری شده مشخ ص می کند که یک مقدار مشخ ص به چه نسبتی به بخش های کوچک تر تقسیم شده است. در این موارد می توان تقسیم شدن را روی یک شکل مثل دایره نشان داد و سهم هر بخش را روی دایره مشخ ص کرد. در نمودار دایره ای به طور معمول نسبت و سهم هر بخش را به صورت درصد محاسبه کرده و سپس روی نمودار نمایش می دهند. چرا بعد از محاسبه ی درصد ممکن است نیاز باشد از عدد های تقریبی استفاده کنیم 83 % را با کسری با مخرج 1 تقریب بزنید. 1 0 7
رف م م ر م ر م ر ر مل ر و م ر و و م ر رر مل ر ر ر م ر ر فع الی ت ر م ر ر م ر ر % % ر ر م ر ور م ر ر مر ر ر ر م ر م ر ر م ر ر م ر ر ر ر و ر م ر ر ر ور م ر ر تمرين ر و رو رو و م ر ر م ر ف ر ر فرو م ر م ر 1 0 8
ر ر ر م ر و و و م مل ر ر رص و ر ر م ر و و و و مل ر و ر ر ر ر ر ر ر م ر رر ر م ر ر ر م ر مر ر م ف ر ر فصل ور ر ر ر ر و م ر م م ر ر م ر ر ر و و و و م ر ر 1 0 9 و و ر ر و و م ر
بعضی از مسئله ها روش و راه حل مستقیمی ندارند یا رسیدن به پاسخ از روش های معمول طوالنی و دشوار است. ام ا می توان با یک روش منطقی و منظم پاسخ مسئله را با حدس زدن و آزمایش کردن پیدا کرد. م ل رو و و مر رو م ر ر ر و و مر و و مر م ر ر این مسئله را در فصل او ل با روش رسم شکل حل کردید. حاال می خواهیم پاسخ مسئله را با حدس زدن پیدا کنیم. جدول زیر مرحله های حدس زدن آزمایش کردن و نتیجه گیری منطقی برای حدس مرحله ی بعدی را نشان می دهد. مر و ر م ر و ر ر و و ر و م و ر ر الف( چرا برای حدس او ل سن حسن را 1 سال گرفتیم ب( اگر حسن 1 سال داشته باشد چرا پدرش 35 سال خواهد داشت ج( جدول را کامل کنید. ر ر م م ر 1 1 0
و م حدس زدن و آزمایش کردن را ه حل خوبی است به شرط آن که شما بتوانید روش مناسبی برای نوشتن حدس ها وآزمایش های خود پیدا کنید. سپس با بررسی نتیجه ی هر حدس حدس بعدی را تعیین کنید تا به طور منطقی و منظم به پاسخ برسید. ر ر و و ر ر ر ر ر م و ر م و رر ل م ر ر ر ر م ر ر ر و م ر مر ل ر ر ر م و ر ر ل ر ر ر ر ر و م ر و ر ر ر ر م ر ر ل ر ل 1 1 1
م فع الی ت ر ر و م ف رو م و م ر ر م ر ر ر ر رو ر م ر فر ر ر و رم ر م ر م ر ور ر ر رو رو رو ر ر ر م ر م م رو م ف ر م ر ر و م ر م م ر ر ر رو ر م م ر رم م ر م م ر م ر ر ر م و م ر م مر ر م رف رو ر ر ر رف ر ر ر م 1 1
كار دركلاس 1 براى هر عبارت گزينه ى مناسب را انتخاب كنيد. در مورد دليل انتخاب خود با هم كلاسى ها يتان گفت وگو كنيد. قطعا اتفاق مى افتد امكان ندارد احتمال دارد الف) نمره ى امتحان رياضى فرداى من 0 مى شود. ب) اگر بذر گندم بكاريم جو سبز مى شود. ج) اگر خوب تمرين كنم قهرمان المپيك مى شوم. د) اگر اين دارو را بخورم سرماخوردگى من فردا خوب مى شود. ه) اگر توپ را به سمت حلقه ى بسكتبال بيندازم گل مى شود. و) اگر انسان نيكوكارى باشيم پاداش نيكو مى گيريم. يكى از جمله هايى را كه در اخبار روزنامه يا مجل ه ديده يا شنيده ايد و در ا ن عبارت «احتمال دارد» استفاده شده است بنويسيد. ----------------------------------------------------------- فع الي ت بعضى از پيشامد ها به احتمال زياد ات فاق مى افتد ولى احتمال وقوع بعضى از ا ن ها كم است. در رياضيات احتمال را با يك كسر كوچك تر از يك بيان مى كنيم يعنى اگر پيشامدى قطعا ات فاق بيافتد ا ن را با عدد 1 و اگر امكان نداشته باشد كه ات فاق بيافتد ا ن را با عدد صفر نشان مى دهيم. در هر مورد احتمال ات فاق افتادن پيشامد را مانند نمونه عددى بين 0 تا 1 انتخاب كنيد. توضيح دهيد كه به چه دليل اين عدد را انتخاب كرده ايد. پاسخ هايتان را با دوستانتان مقايسه كنيد. 0 1 احتمال اين كه فردا معل م بيمار شود و به مدرسه نيايد. 0 1 احتمال اين كه در فصل تابستان هوا ا فتابى باشد. 1 1 3
ر م ر م ور و و بعضی وقت ها احتمال ات فاق افتادن دو پیشامد برابر می شود. م ر ر ر ر م ر م ر ر م و ر م م رو ر رو م ر ر کار درکالس 4 فر و م ر و م ر م ر م رو م ر و ور رو رم م ر رو ر رو ر رو ر رو ر رو ر رو ر 1 1 4
ر ر م ل ر ر ر ر ر ر ل ر تمرين ر ر رو ر ل ر ر م ر ر ر م م ر ر ر ر م ر و ر ر م رو م ر ف ر و م ر ف ر ر ر ر م ر ور رو ور ر و ل م > < م ر ر و و ر فر و 1 1 5
ر و ر رو م ر ر و ر و م ر رم م ر ر ور و ر ر م ر ر رو رو و ر ر مل ر و و ر ر ر ر و م ر م ر م ر فع الی ت ر و م و ر و رو م ر رو ر ر م رو ر م ر ر م ر ر و ر ر رو م ف ر رو م ر مل ر ر و و ر ر و ر م رو و م و ر و ر رو ر ر ر ر ر ر م ف ر ر م و ر رو رف ر ر 1 1 6
ر رو رو ل م ر مل ر و و ر ر ر مر کار درکالس 4 ر م و ر و ر ر ر ور م ر ر رم م ر و م ر ر مل ر ر و و فع الی ت ر ر ر رم ر و ر و ر ر رم مل ر و و ر م ر ر ر ر 10 رم ر 10 ر ر ر مر م ر ر ر رم ر 0 0 ر م ف ر ر م ف ر ر م 1 1 7
م ر ور م ر م ر ر و و مل ر فع الی ت ر ر 10 رم ر 10 م و ر ر مل ر و و ر ر 0 0 0 0 0 0 م ر ر م ر م ر ر ر م ف ر ر ر م و م رو مر ر ر م م ر ر 1 1 8
تمرين ر ر ر ر ر ر ر مر رو ر م ر رو م ر ر ر ر رر ر م ر ر ر ر م ر م رو ر ر م م ر ر ر ر ر م م و ر ر رر ر ر ل ر و ر ر ر ر ر ر رم ر رو ر ر ر 1 1 9
ر ر ر فصل رف مرور فصل ر رر ررم و ور ر م ر ور و م ر رر م ر ر ر ر رر م ر ر ر رو م ر و رص ر ف م م و 1 0
و ر فصل
م و ر م ر رو رو و ر ر ل فع الی ت م و م ر ر رو استفاده از روش های باال همیشه ممکن نیست. برای مقایسه ی سطح ها به واحد اندازه گیری نیاز داریم. هر سطحی را می توان به عنوان واحد اندازه گیری به کار برد. ر ر و ور ر رو ر ر و و ر ر ر ر ور م ل و و ر ر و ر فع الی ت و ر و ر و ر ر و ر رو رو م ل و ر ر و ر 1
و ر م ر و ر ر ر ر و ر و ر م کار درکالس 4 و ر و ر ر ر و ر ر م و ر ر ر م و ر و ر ر برای این که هر سطح اندازه ی معی نی داشته باشد و برای همه شناخته شده باشد واحد های استاندارد را به کار می بریم. واحد استاندارد اندازه گیری سطح مترمرب ع است. برای دقیق تر شدن اندازه گیری ها از واحد های کوچک تر مانند دسی مترمرب ع سانتی مترمرب ع و میلی مترمرب ع استفاده می کنیم. م ر ل ر ر و م فع الی ت م ر م رمر م ر م ر م ر م ر مر م ر مر م ر م ر م ر م ر م ر مر م ر م رمر م ر م ر م ر م ر م رمر 1 3
فع الی ت تبدیل واحد ها را با جدول تناسب انجام دهید. 150 1? = = 100 ---- مترمرب ع =150 دسی متر مرب ع مترمرب ع دسی مترمرب ع 1 100 150 1 مترمرب ع 10000 سانتی مترمرب ع ---- سانتی مترمرب ع= 0/1 متر مرب ع = ---- = ---- سانتی مترمرب ع= 3/1 دسی مترمرب ع = ---- = 1 دسی مترمرب ع سانتی مترمرب ع کار درکالس 1 برای اندازه گیری هریک از موردهای زیر کدام واحد سطح مناسب تر است مساحت یک زمین کشاورزی : مساحت یک برگه ی کاغذ: مساحت یک کشور: مساحت یک فرش: 4 با توج ه به موضوع و عدد نوشته شده واحد مناسب را انتخاب کنید. برای جلد کردن کتاب ریاضی ---------------- 875 نایلون مصرف شد. مساحت یکی از اتاقهای خانهی ما 1050---------------- است. یک گلیم سطحی به اندازهی ---------------- 18700 را پوشانده است. 3 برای هریک از اندازههای زیر یک نمونه بیاورید که چنین سطحی داشته باشد. 6/5 مترمرب ع: 600 سانتی مترمرب ع: 131/7 مترمرب ع: 0 دسی مترمرب ع: 4500 مترمرب ع: 3500 سانتی مترمرب ع: 1 4