ΑΡΧΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ενεργειακές Ζώνες και Στατιστική Φορέων Φορτίου Required Text: Microelectronic Devices, Keith Leaver (2 nd Chapter) Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων Η εισαγωγή προσμίξεων σε ημιαγωγό προσθέτει επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες. Σε n- τύπου ημιαγωγό το επιπλέον ηλεκτρόνιο του δότη κατέχει ενέργεια (E D ) 0.05eV λιγότερη από την ελάχιστη ενέργεια της ζώνης αγωγιμότητας (E C ). Σε p- τύπου ημιαγωγό η αντίστοιχη επιτρεπτή ενεργειακή στάθμη (E A ) βρίσκεται 0.05eV πάνω από την υψηλότερη στάθμη της ζώνης σθένους (E V ). Προσμίξεις άλλων στοιχείων, όπως τα μέταλλα, προσθέτουν και αυτές επιπλέον επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες μέσα στο ενεργειακό χάσμα. 2 1
Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων 3 Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων n type 4 2
Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων n type P type 5 Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων n type P type other impurities 6 3
Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων Το ενεργειακό διάγραμμα δεν δίνει πληροφορίες, ούτε εξηγεί γιατί οι πρόσθετες επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες είναι κενές. Το ερώτημα που εγείρεται είναι ποιο είναι το ποσοστό κατάληψης των ενεργειακών. Ενα τέτοιο ερώτημα απαιτεί στατιστική αντιμετώπιση με τη βοήθεια της θεωρίας των πιθανοτήτων. 7 Ενεργειακές στοιβάδες προσμίξεων Θεωρούμε ότι: f(e)=πιθανότητα κατάληψης από ηλεκτρόνιο ενεργειακής στάθμης με ενέργεια E. N C =αριθμός ενεργειακών καταστάσεων ανά m 3 των ελεύθερων ηλεκτρονίων με ενέργεια E C. τότε n=n C f(e C ) εκφράζει την συγκέντρωση ελεύθερων ηλεκτρονίων. Στην περίπτωση οπών, η πιθανότητα άδειων ενεργειακών στη ζώνη σθένους είναι [1- f(e V )]. Αντιστοίχως, p=n V [1- f(e V )] εκφράζει την συγκέντρωση διαθέσιμων οπών. 8 4
Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Θεωρητικά τα ηλεκτρόνια σε ελεύθερη κίνηση, χωρίς κανένα περιορισμό θα είχαν την ίδια πιθανότητα κατάληψης μιας ενεργειακής στάθμης. Στην πραγματικότητα υπόκεινται στους ακόλουθους περιορισμούς: Η συνολική ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι πεπερασμένη για μια θερμοκρασία (θερμική ενέργεια του συστήματος). Στην ίδια ενεργειακή στάθμη μπορούν να διευθετηθούν μέχρι δύο ηλεκτρόνια (Απαγορευτική αρχή του Pauli). Για να γίνουν αντιληπτοί οι περιορισμοί αυτοί παρουσιάζονται δύο αριθμητικά παραδείγματα. 9 Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 1: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 3 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 5 μονάδες 10 5
Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 1: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 3 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 5 μονάδες Κατάληψη μέχρι 4 η στάθμη Δύο κατανομές 11 Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 1: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 3 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 5 μονάδες Κατάληψη μέχρι 4 η στάθμη Δύο κατανομές Οποιαδήποτε αμοιβαία αλλαγή ηλεκτρονίων μεταξύ επιτρεπτών καταστάσεων δεν οδηγεί σε άλλη κατανομή. Πιθανότητα εμφάνισης της αντίστοιχης κατανομής 50%. 12 6
Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 2: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 11 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 62 μονάδες 13 Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 2: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 11 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 62 μονάδες Κατάληψη μέχρι 17 η στάθμη Δεκαπέντε κατανομές 14 7
Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Παράδειγμα 2: Συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων: 11 Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίων: 62 μονάδες Κατάληψη μέχρι 17 η στάθμη Δεκαπέντε κατανομές Η πιθανότητα κατάληψης μιας ενεργειακής στάθμης εκφράζεται σε δέκατα πέμπτα 15 Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Γενικεύοντας τα προηγούμενα, Για να προσδιοριστεί η πιθανότητα κατάληψης (f(e i ))μιας ενεργειακής στάθμης E i, πρέπει να ληφθούν υπόψη τα εξής: ι = 1 ι = 1 f ( E ) = 1 ( ) όπου Ν=αριθμός ηλεκτρονίων και W=συνολική ενέργεια αυτών. Τότε αποδεικνύεται ότι η μορφή της f(e i ) είναι η ακόλουθη: f( E) = Οπου E F =ενέργεια Fermi i E W i f Ei = N 1 1+ e E E F 16 8
Πιθανότητα κατάληψης ενεργειακών Η ενέργεια Fermi E F, ορίζεται ως η ενέργεια για την οποία f(e)=0.5. Για Τ=0Κ, είναι η ενέργεια της υψηλότερης κατειλημμένης ενεργειακής στάθμης 17 Υπολογισμός ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ενδογενή ημιαγωγό Με δεδομένα τα ακόλουθα: f(e C )=πιθανότητα κατάληψης της ενεργειακής στάθμης E C. N C =συγκέντρωση ενεργειακών καταστάσεων των ηλεκτρονίων με E C. Τότε η συγκέντρωση ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ημιαγωγό, όπου E C - E F =0.5eV (=0.025, T=300K), θα δίνεται από τη σχέση: NC n = N f( E ) = N e C C C EC EF C 1+ e EC E F 18 9
Υπολογισμός ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ενδογενή ημιαγωγό Αύξηση ενέργειας ηλεκτρονίων κατά 2 μειώνει τη συνάρτηση Fermi κατά περίπου 10 φορές και συνεπώς περιορίζει τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας σε ενέργειες πολύ κοντά στην E C. Αρα, η συνολική συγκέντρωση ελεύθερων ηλεκτρονίων θα είναι προσεγγιστικά: n N e C C EC E F κτ 19 Υπολογισμός ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ενδογενή ημιαγωγό Με αντίστοιχο σκεπτικό μπορούμε να υπολογίσουμε τη συγκεντρωση οπών. [1- f(e V )]=πιθανότητα άδειας ενεργειακής στάθμης E V. N V =συγκέντρωση ενεργειακών καταστάσεων των ηλεκτρονίων με E V. Τότε η συγκέντρωση οπών σε ημιαγωγό, όπου E V - E C <1 (E V - E C <<=0.025, T=300K), θα δίνεται από τη σχέση: 1 pv = NV [ 1 f( EV) ] = NV 1 = EV EF 1+ e EV EF e NV N E V e V EF 1+ e EF EV 20 10
Υπολογισμός ελεύθερων ηλεκτρονίων σε ενδογενή ημιαγωγό Οι διαθέσιμες οπές θα φέρουν τα αντίστοιχα ηλεκτρόνια σε ενέργειες πολύ κοντά στην E V. Αρα, η συνολική συγκέντρωση οπών θα είναι προσεγγιστικά: p N e V V EF E V Από τα προηγούμενα συνάγεται ότι σε ενδογενή ημιαγωγό n=p όπως έχει ήδη προβλεφθεί, επιβεβαιώνοντας την υπόθεση ότι η E F βρίσκεται στο μέσον του ενεργειακού χάσματος. 21 11