Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34

Transcript

1 Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ Ιούλιος 8 Θέµα ο (Μονάδες:.5) ΣΥΓΧΡΟΝΗ ιάρκεια: λεπτά Για x η κυµατοσυνάρτηση πρέπει να µηδενίζεται λόγω απειρισµού του δυναµικού. Από τη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στο σηµείο x x / C ψ () Be B Από την εξίσωση του Shroedinger για x> ħ d ψ ( x) + V ( x) ψ ( x) Eψ ( x) m dx Aħ x e x + + mω x Ae E Axe C m C x / C x / C x / C ħ ħ ħ ħ A mω x + A E x C C mc mc m ω mω όπου χρησιµοποιήσαµε d x / C d x / C x x / C ψ ( x) ( Axe ) A e e dx dx C x x x x / C A x x / C A + e x e + C C C C C και το γεγονός ότι για να µηδενίζεται το πολυώνυµο του x για οποιαδήποτε τιµή του x θα πρέπει να µηδενίζονται όλοι οι συντελεστές των δυνάµεων του x. Η αρνητική ρίζα στο C απορρίπτεται γιατί θα έδινε κυµατοσυνάρτηση που απειρίζεται στο x +. Επίσης για την ενέργεια βρίσκουµε ħ E ħ ω mc Η σταθερά Α µπορεί να προσδριοριστεί από την κανονικοποίηση + + / / x / C πc 8 mω dxψ ( x) A dx x e A A / 8 πc π h Β) + + x / C C C x dxxψ ( x) A dx x e A 8 π ħ π mω όπου χρησιµοποιήσαµε τα ολοκληρώµατα από το τυπολόγιο των θεµάτων.

2 Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 Θέµα ο (Μονάδες:.5) Οι ενέργειες των καταστάσεων του τρισδιάστατου κουτιού δίνονται από τη σχέση (7.8) του βιβλίου των Serway&Moses h Enm l ( n + m + l ), n, m, l,,, Λαµβάνοντας υπόψιν ότι τα ηλεκτρόνια είναι φερµιόνια και σύµφωνα µε την απαγορευτική αρχή του Pauli, µπορούµε να τοποθετήσουµε το πολύ δύο, µε αντιπαράλληλα σπιν, σε κάθε ενεργειακή κατάσταση του πηγαδιού σύµφωνα µε το Σχήµα. (,,) Εποµένως η ολική ενέργεια του συστήµατος στη βασική κατάσταση ισούται µε h h E ( E+ E + E + E) + E ( ) + ml h L.5µ m me Θέµα (Μονάδες:.) Α) Το µέτρο της στροφορµής δίνεται από τη σχέση L l( l+ ) ħ l( l+ ) ( L / ħ ). Με αντικατάσταση βρίσκουµε l l( l+ ) l + l l Προφανώς η αρνητική λύση απορρίπτεται και άρα o κβαντικός αριθµός περιστροφής είναι l. Η ολική ενέργεια του µορίου λόγω ταλάντωσης και περιστροφής δίνεται από τη σχέση (.) του βιβλίου των Serway&Moses ħ Erot vib { l( l+ ) } + ν + ħ ω () Icm Εφόσον µας δίνεται η ολική ενέργεια της διεγερµένης κατάστασης, για να υπολογίσουµε τον κβαντικό αριθµό ταλάντωσης ν, πρέπει να υπολογίσουµε τη ροπή αδράνειας mcmo u 6u Icm µ R R R u R m + m u+ 6u () C O E nm h 9 6 (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) Icm (. ) kg m.5 kg m και τη συχνότητα ταλάντωσης (,,) (,,) (,,)

3 Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 K 86 ω rad ω.6 rad/s µ u m kg () Από τις (), () υπολογίζουµε την ενέργεια ταλάντωσης Evib Erot vib Erot.9.9 ev.99 ev και κάνοντας χρήση της () βρίσκουµε.99 ν + ħ ω.99ev ν +.5 ν Β) Αφού το µόριο αποδιεγείρεται, οι κανόνες επιλογής είναι ν, l±. Άρα οι κβαντικοί αριθµοί των σταθµών στις οποίες είναι δυνατόν να αποδιεγερθεί το µόριο είναι {ν, l} και {ν, l}. Θέµα (Μονάδες:.) Α) Το ιόν του Li + έχει µόνο ένα ηλεκτρόνιο, άρα συµπεριφέρεται σαν υδρογονοειδές άτοµο µε Ζ και η ενέργεια της στάθµης n δίνεται από τη σχέση (7.) του βιβλίου των Serway, Moses, Moyer ke Z Z En (.6eV), n,,,... a n n Άρα η ενέργεια της ακτινοβολίας που εκπέµπεται κατά τη µετάβαση από µια διεγερµένη κατάσταση µε κβαντικό αριθµό n στην θεµελιώδη ( n ) είναι: E En E hf (.6 ev ) n n.6 n Εφόσον n, οι δυνατές τιµές του κβαντικού αριθµού της στροφορµής είναι l,. Όµως επειδή οι ατοµικές µεταβάσεις υπακούουν στους κανόνες επιλογής l± και m l, ±, συµπεραίνουµε ότι ο κβαντικός αριθµός της στροφορµής γι αυτή τη διεγερµένη κατάσταση είναι l. Το ακτινικό µέρος της κυµατοσυνάρτησης σε αυτή την περίπτωση θα είναι (πίνακας 7. του βιβλίου των Serway&Moses) / r r / a R( r) e a a όπου a.59 Å η ακτίνα του Bohr. Β) Η πιο πιθανή απόσταση είναι η τιµή του r που κάνει την ακτινική πυκνότητα r r / a πιθανότητας P( r) r R( r) e µέγιστη. Τα ακρότατα βρίσκονται a a από r r 9r r / a r r / a dp( r) / dr e r e r a / a a a a r+

4 Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 Παρατηρούµε ότι η πρώτη λύση µηδενίζει την ακτινική πυκνότητα πιθανότητας P( r ) και άρα πρόκειται για ελάχιστο. Ελάχιστο έχουµε επίσης στο r + και συνεπώς στο σηµείο r a / έχουµε µέγιστο καθώς P( r). Άρα η πιο πιθανή απόσταση ηλεκτρονίου-πυρήνα είναι r a /.75A Θέµα 5 (Μονάδες:.5) Α) Η πιθανότητα καταλήψεως δίνεται από την κατανοµή Fermi-Dirac (σελ του βιβλίου των Serway&Moses) f ( E) + e E E F Εποµένως η πιθανότητα µια στάθµη να είναι µην είναι κατειληµµένη είναι -f(e). Άρα: + e f ( EF ε ) ε ε ε f ( EF + ε ) + e + e e + Β)Λύνοντας ως προς Ε έχουµε f ( E) ln E E F E EF f () + e ίδεται f %., T (7+7) K K 5 Άρα E EF 8.67 ( ev / K) K ln.ev. Γ)Σύµφωνα µε το ερώτηµα (Α) και αφού 99% -%, η ακατάληπτη στάθµη κείται. ev κάτω από τη στάθµη Fermi, πράγµα που επαληθεύεται και από την () µε f.99. Θέµα 6 (Μονάδες:.5) Η σταθερά διάσπασης είναι λ.589 T/.75 y εποµένως σύµφωνα µε τη σχέση (.7) του βιβλίου των Serway&Moses λ t +λ t (.6 s )(.6 y)(.56 s y) o o o e e e.69 o 85 ε. y Έχουµε + : ολικός αριθµός ατόµων ρουβιδίου τη χρονική στιγµή t (δηµιουργία του ηλιακού συστήµατος) : ολικός αριθµός ατόµων ρουβιδίου τη χρονική στιγµή t.6 y (σήµερα). Προφανώς ισχύει και διότι το ισότοπο 85 Rb είναι σταθερό: δεν αποδιεγείρεται αλλά και δεν δηµιουργούνται νέα άτοµα 85 Rb κατά τη διάσπαση του Rb ( Rb Sr +β ), δηλαδή Ν<Ν. Η ζητούµενη ποσότητα είναι λοιπόν

5 Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/ x () Από τα δεδοµένα:.78, () και µε αντικατάσταση στην (): x.9 9.% που είναι το ποσοστό των ατόµων Rb κατά τη δηµιουργία του ηλιακού συστήµατος. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ + + dx x e dx x e a x a x a π a 5