ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα να είναι ένα νεογέννητο αγόρι είναι ½. Αν ένα αντρόγυνο κάνει δύο παιδιά, ποια η πιθανότητα να κάνει α πρώτα ένα αγόρι και μετά ένα κορίτσι, β ένα αγόρι και ένα κορίτσι ανεξαρτήτως σειράς, γ δύο αγόρια ή δύο κορίτσια.. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, 4 μαύρες και κόκκινες μπάλες. Εάν πάρουμε δύο μπάλες χωρίς επανάθεση από το κουτί να υπολογιστεί η πιθανότητα α και οι δύο να είναι άσπρες β και οι δύο να είναι κόκκινες γ τουλάχιστον μια να είναι άσπρη δ το πολύ μια να είναι άσπρη ε ακριβώς μια να είναι άσπρη στ καμία κόκκινη ζ καμία άσπρη 3. α Δείξτε ότι δύο γεγονότα Α, Β ξένα μεταξύ τους με Α>, > δε μπορεί να είναι ανεξάρτητα. β Αν Α, Β ανεξάρτητα γεγονότα και Α>, >, τότε δε μπορεί να είναι ξένα. γ Θεωρείστε τα γεγονότα Α, Β, και Γ με =,5, =,4, Γ=,3, και Γ= ΒΓ=,. Αν Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, υπολογίστε τις πιθανότητες i Α αλλά όχι Γ ii Α ή Β iii Γ αλλά όχι Α και όχι Β iv όχι Α ούτε Β ούτε Γ 4. % των φυτών ενός πληθυσμού αναπτύσσεται σε έδαφος πλούσιο σε θρεπτικά συστατικά, ενώ τα υπόλοιπα αναπτύσσονται σε έδαφος φτωχό σε θρεπτικά συστατικά. Για τα φυτά που αναπτύσσονται σε πλούσιο έδαφος, υπάρχει % πιθανότητα να μολυνθούν από κάποιο μύκητα, ενώ για τα φυτά σε φτωχό έδαφος υπάρχει % πιθανότητα να μολυνθούν από το μύκητα. α Ποιο ποσοστό του πληθυσμού μολύνεται από το μύκητα? β Δεδομένου ότι βρήκαμε ένα μολυσμένο από το μύκητα φυτό, ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται σε πλούσιο έδαφος? γ Τι ποσοστό των μη μολυσμένων φυτών αναπτύσσεται σε πλούσιο έδαφος? 5. Σε ένα εργαστήριο προσπαθούν να χρωματίσουν πολλά κύτταρα. Τα νεαρά κύτταρα χρωματίζονται σωστά στο 9% των περιπτώσεων ενώ τα πιο μεγάλα σε ηλικία κύτταρα χρωματίζονται σωστά στο 7% των περιπτώσεων. α Αν 3% των κυττάρων είναι νεαρά, ποια είναι η πιθανότητα ένα κύτταρο να χρωματιστεί σωστά; Τυχαία επιλέγεται ένα κύτταρο, ποια είναι η πιθανότητα το κύτταρο να είναι νεαρό αν είναι σωστά χρωματισμένο; β Αν 7% των κυττάρων είναι νεαρά, ποια είναι η πιθανότητα ένα κύτταρο να χρωματιστεί σωστά; Τυχαία επιλέγεται ένα κύτταρο, ποια είναι η πιθανότητα το κύτταρο να είναι νεαρό αν είναι σωστά χρωματισμένο; γ Τι θα συμβεί αν όλα τα κύτταρα είναι νεαρά;. Επιπλέον έρευνα στη χρώση των κυττάρων έδειξε ότι : Νεαρά κύτταρα μικρότερα της μιας μέρας χρωματίζονται σωστά με πιθανότητα,95, μιας μέρας κύτταρα χρωματίζονται σωστά με πιθανότητα,9, δύο ημερών κύτταρα χρωματίζονται σωστά με πιθανότητα,8 και κύτταρα τριών ημερών χρωματίζονται σωστά με πιθανότητα,5. Έστω ότι νεαρό κύτταρο=,4, κύτταρο μιας μέρας=,3, κύτταρο ημερών=,, και κύτταρο 3 ημερών=,. α Βρείτε την πιθανότητα ένα κύτταρο να χρωματιστεί σωστά.
β Το εργαστήριο βρίσκει ένα τρόπο να απομακρύνει από την καλλιέργεια τα πιο μεγάλα κύτταρα μεγαλύτερα των τριών ημερών. Ποια είναι η πιθανότητα της σωστής χρώσης; γ Το εργαστήριο βρίσκει ένα τρόπο να απομακρύνει από την καλλιέργεια όλα τα κύτταρα που είναι μεγαλύτερα των δύο ημερών. Ποια είναι η πιθανότητα της σωστής χρώσης; δ Το εργαστήριο βρίσκει ένα τρόπο να απομακρύνει από την καλλιέργεια όλα τα κύτταρα που είναι μεγαλύτερα της μιας μέρας. Ποια είναι η πιθανότητα της σωστής χρώσης; 7. Ένα είδος πουλιών υπάρχει σε τρία χρώματα, κόκκινο, μπλε και πράσινο. Το % των πουλιών είναι κόκκινα, το 3% μπλε και το 5% πράσινα. α Έστω ότι τα θηλυκά πουλιά προτιμούν τα κόκκινα αρσενικά από τα μπλε και τα μπλε από τα πράσινα, αλλά ζευγαρώνουν με το πρώτο αρσενικό που συναντούν. Ποια είναι η πιθανότητα ένα θηλυκό να ζευγαρώσει με ένα κόκκινο αρσενικό; Με ένα μπλε αρσενικό; Με ένα πράσινο αρσενικό; β Τα θηλυκά προτιμούν τα κόκκινα από τα μπλε και τα μπλε από τα πράσινα, αλλά διαλέγουν το καλύτερο από τα δύο πρώτα αρσενικά που συναντούν. Ποια είναι η πιθανότητα ένα θηλυκό να ζευγαρώσει με ένα πράσινο αρσενικό; Με ένα μπλε αρσενικό; Με ένα κόκκινο αρσενικό; Υποθέστε ότι ένα θηλυκό πουλί συναντά τα αρσενικά ανεξάρτητα. 8. Η henylketonuria KU είναι μια γενετική ασθένεια που οφείλεται σε δύο υποτελή αλληλόμορφα. Τα άτομα αυτά παρουσιάζουν νοητική καθυστέρηση. Αναπτύχθηκε ένα τεστ για την ετεροζυγωτία, αλλά το τεστ δεν είναι τέλειο. Όταν το τεστ γίνεται σε άτομα με γνωστό γονότυπο, το τεστ αναγνωρίζει σωστά την παρουσία του αλληλόμορφου α στις 8% των περιπτώσεων. Ενώ όταν το τεστ γίνεται σε άτομα με γνωστό γονότυπο ΑΑ, το τεστ δείχνει την πιθανή παρουσία του αλληλόμορφου α στις % των περιπτώσεων. Στο παρακάτω γενεαλογικό δένδρο είναι γνωστό ότι το άτομο ΙΙ- δεν έχει την ασθένεια. Αν με συμβολίσουμε το γεγονός το τεστ δείχνει ότι το αλληλόμορφο α είναι παρόν, να βρεθεί η πιθανότητα για το άτομο ΙΙ-. Ι ετερόζυγοι ΙΙ? 9. Άτομα με γονότυπο ΑΑ έχουν μια γενετική ασθένεια, άτομα με γονότυπο δεν έχουν την ασθένεια, και 8% των ατόμων με γονότυπο έχουν την ασθένεια. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το γενεαλογικό δένδρο για την ασθένεια. α Δοθέντος ότι η Μαρία δεν έχει την ασθένεια να βρεθεί η πιθανότητα η Μαρία να έχει γονότυπο. β Να βρεθεί η πιθανότητα το παιδί της να έχει την ασθένεια.
Δηλώνει ότι έχει την ασθένεια? Μαρία? Συμβολισμός θηλυκά αρσενικά άγνωστο φύλλο Άτομα που έχουν κάποιο γενετικό χαρακτηριστικό φορείς ζευγάρωμα αδέλφια 3
4 Απαντήσεις. α /4, β /, γ /.. Πλήθος των δυνατών συνδυασμών: 5!!! Έστω Α i ={το δείγμα έχει i άσπρες μπάλες}, Μ i ={το δείγμα έχει i μαύρες μπάλες}, Κ i ={το δείγμα έχει i κόκκινες μπάλες}. α και οι δύο να είναι άσπρες,375 45 β και οι δύο να είναι κόκκινες,8 4 K γ τουλάχιστον μια να είναι άσπρη,875 5 i δ το πολύ μια να είναι άσπρη,5 5 i ε ακριβώς μια να είναι άσπρη,5 στ καμία κόκκινη,758 9 4 K ζ καμία άσπρη,5 5
3. B α, β B γ i ii iii iv,5,4,9 B,5,,4 B B,3,,, B B B B,5,4,3,, 4. Π={το φυτό αναπτύσσεται σε έδαφος πλούσιο σε θρεπτικά συστατικά } Μ={το φυτό μολύνεται από το μύκητα } Από το πρόβλημα γνωρίζουμε τις πιθανότητες: Π=,, Π =,8 Μ Π=,, Μ Π =,. Από αυτές προκύπτουν ότι: Μ Π=- M Π=,8. α M M M,,,,8,5 Το 5% του πληθυσμού μολύνεται από το μύκητα. M,, β M, 77 M,5 M,8, γ M M,48 3 Το /3 των μη μολυσμένων φυτών αναπτύσσεται σε πλούσιο έδαφος. 5. Έστω Α το γεγονός νεαρό κύτταρο και Β το γεγονός σωστός χρωματισμός. Από τις υποθέσεις του προβλήματος γνωρίζουμε ότι: B =,9, B =,7. α =,3 και =,7. Από το νόμο της ολικής πιθανότητας, B B,9,3,7,7,7 Από το θεώρημα του Bayes B,9,3,355,7 β =,7 και =,3. Από το νόμο της ολικής πιθανότητας, B B,9,7,7,3,84 Από το θεώρημα του Bayes B,9,7,75,84 5
γ =, και =,. Από το νόμο της ολικής πιθανότητας, B B,9,,7,,9. Έστω Β το γεγονός σωστός χρωματισμός, Α το γεγονός κύτταρο μικρότερο της μιας μέρας, Α το γεγονός μεταξύ και ημερών, Α 3 το γεγονός μεταξύ και 3 ημερών, και Α 4 το γεγονός μεγαλύτερα των 3 ημερών. α Από το νόμο της ολικής πιθανότητας, B B B 33 B 4 4,95,4,9,3,8,,5,,8 β Αφού απομακρυνθούν από την καλλιέργεια τα πιο μεγάλα κύτταρα, οι πιθανότητες είναι,4444,,3333, 3,. Επομένως, B B B 33,95,4444,9,3333,8,,9 γ Αφού απομακρυνθούν από την καλλιέργεια όλα τα κύτταρα που είναι μεγαλύτερα των δύο ημερών, οι πιθανότητες είναι,57,,43. Επομένως, B B,95,57,9,43,985 γ Μόνο νεαρά κύτταρα έχει η καλλιέργεια. Επομένως,,95. 7. α Έστω Κ το γεγονός ζευγαρώνει με κόκκινο, Μ το γεγονός ζευγαρώνει με μπλε, και Π το γεγονός ζευγαρώνει με πράσινο. Τότε K=,, Μ=,3, και Π=,5. β Έστω Κ i, M i, και Π i το i αρσενικό που συναντά είναι αντίστοιχα κόκκινο, μπλε, και πράσινο. Ένα θηλυκό πουλί θα ζευγαρώσει με ένα πράσινο αρσενικό μόνο αν και τα δύο πουλιά που συναντά είναι πράσινα. Η πιθανότητα είναι Π Π,5,5,5 Ένα θηλυκό πουλί θα ζευγαρώσει με ένα μπλε αρσενικό αν συναντήσει μπλε αρσενικά ή ένα μπλε και ένα πράσινο. Η πιθανότητα είναι M M M,3,3,5,3,3,5,39 Η πιθανότητα να ζευγαρώσει με ένα κόκκινο είναι -,5-,39=,3. Ή διαφορετικά, K K K K M K K Π Π K,,,,3,3,,,5,5,,3 8. Ο γονότυπος του ατόμου ΙΙ- είναι ή ΑΑ. Η άτομο ΙΙ- είναι =/3. Από το πρόβλημα είναι γνωστό ότι α=,8 και =,. Επομένως,,8 /3 /3 ΑΑ,,533,7,
Από το παραπάνω δενδρόγραμμα, βρίσκουμε την πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό a a,. Άρα, a a,533 a,89, 9. Έστω Β το γεγονός δεν έχει την ασθένεια. Από το πρόβλημα είναι γνωστό ότι 8% των ατόμων με γονότυπο έχουν την ασθένεια, επομένως B α =,. α Η πιθανότητα η Μαρία να έχει γονότυπο δεδομένου ότι δεν έχει την ασθένεια είναι: B " a" " a" " a". Για το γενεαλογικό δένδρο του προβλήματος όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, B " a" " a" B " " " ",5,,5,, / / Β Β,,5, Επομένως, B " a" " a", " a", β Δοθέντος ότι η Μαρία είναι φυσιολογική, μπορεί να έχει γονότυπο με πιθανότητα / ή με πιθανότητα 5/. Ο άνδρας της Μαρίας έχει γονότυπο και δεν έχει την ασθένεια. Επομένως, / Μαρία Σύζυγος της Μαρία /4 / /4 ΑΑ /4 / /4 5/ / / 5/ 5/ Αν με Α, Α και Α 3 συμβολίσουμε τα γεγονότα το παιδί τους έχει γονότυπο ΑΑ, και αντίστοιχα, τότε από το παραπάνω δενδρόγραμμα πιθανοτήτων προκύπτει ότι Α =/4, Α =/ =/ 5/ και Α 3 =/4 =/45/. Επειδή άτομα με γονότυπο δεν έχουν την ασθένεια, η πιθανότητα το παιδί τους να έχει την ασθένεια είναι C C C 8 53 B B B,44 4 7