ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΧΑΛΥΒΑ-ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΜΜΙΚΤΕΣ ΠΛΑΚΕΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΧΑΛΥΒΑ-ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΜΜΙΚΤΕΣ ΠΛΑΚΕΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ ΤΣΑΛΚΑΤΙ ΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Α.Π.Θ. Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε µια κοινωνία που καθηµερινά εξελίσσεται, οι ερευνητικές δραστηριότητες από τα µέλη που την απαρτίζουν, αποτελεί ζητούµενο. Για το Πανεπιστήµιο, τα Εργαστήρια των Σχολών είναι κυρίως οι καταλληλότεροι χώροι που µπορούν να υποστηρίξουν τις ερευνητικές προσπάθειες και αναζητήσεις των νέων ερευνητών, ώστε να παράγουν «ερευνητικά προϊόντα» που να συµβάλουν στην αναβάθµιση της κοινωνίας διότι διαθέτουν και την ανάλογη υποδοµή και το σηµαντικότερο, ιδακτικό Ερευνητικό Προσωπικό µε θεωρητική κατάρτιση και τεχνογνωσία. Στο πλαίσιο της δικής µου ερευνητικής προσπάθειας, που ξεκίνησε πριν περίπου πέντε χρόνια, ο καθηγητής κ. Άρης Αβδελάς, ήταν εκείνος που µου ανέθεσε να εκπονήσω διδακτορική διατριβή µε θέµα: Αριθµητική και πειραµατική µελέτη της διεπιφάνειας χάλυβα-σκυροδέµατος στις σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Σήµερα, η αποτύπωση της ερευνητικής µου προσπάθειας, βρήκε ως θέση της, τις σελίδες αυτής της εργασίας. Το αντικείµενο της διατριβής µου προτάθηκε από τον καθηγητή κ. Άρη Αβδελά. Για την καθοδήγηση, τη βοήθεια και την ενθάρρυνση σε κάθε βήµα µου, για τις εύστοχες και καίριες παρατηρήσεις του στην επιστηµονική προσέγγιση του θέµατος της διατριβής, τις βελτιωτικές του προτάσεις στην οργάνωση και στη διάταξη του υλικού και την εν γένει συµβολή του σε όλα τα στάδια της εργασίας µου, τον ευχαριστώ θερµά. Ωστόσο, για τυχόν λάθη και ατέλειες στην εργασία µου, η ευθύνη ανήκει αποκλειστικά σε µένα. Στο προλογικό µου σηµείωµα επιθυµώ να εκφράσω επίσης τις ειλικρινείς µου ευχαριστίες και στα δύο άλλα µέλη της τριµελούς εισηγητικής µου επιτροπής, τους κ.κ. καθηγητές Χαράλαµπο Μπανιωτόπουλο για την υποστήριξη της προσπάθειάς µου και τις χρήσιµες συµβουλές και υποδείξεις του κατά την εκπόνηση της εργασίας µου και Μιχάλη Ζυγοµαλά. για τη συµβολή του στην πραγµάτωση των πειραµάτων µου και κυρίως για την κριτική επεξεργασία των πορισµάτων τους. Χωρίς τη βοήθειά τους δεν θα µπορούσε να ολοκληρωθεί αυτή η εργασία. Πολύτιµη υπήρξε η αρωγή του καθηγητή κ. Γεώργιου Μάνου στην υλοποίηση των δοκιµών, µε τη µακρόχρονη εµπειρία που διαθέτει και την υπευθυνότητα που τον I

χαρακτηρίζει καθώς και του διδάκτορα κ. Βλαδίµηρου Κουρτίδη. Τους ευχαριστώ θερµά. Τα πειράµατα πραγµατοποιήθηκαν στο Εργαστήριο Πειραµατικής Αντοχής Υλικών και Κατασκευών του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Ευχαριστώ ακόµη και τα άλλα µέλη της επταµελούς επιτροπής, τους καθηγητές κ.κ. Χρήστο Μπίσµπο, Κίµωνα Θωµόπουλο και Κοσµά-Αθανάσιο Στυλιανίδη, που µελέτησαν µε προσοχή την εργασία µου, καθώς και τον καθηγητή του ηµοκρίτειου Πανεπιστηµίου Θράκης κ. Αστέριο Λιώλιο για την επίλυση κάποιων αποριών µου που είχαν σχέση µε το θέµα µου. Επιθυµώ, επίσης, να ευχαριστήσω όλο το διδακτικό προσωπικό του εργαστηρίου για τη φιλική και συνεργατική ατµόσφαιρα που µου πρόσφεραν, καθώς και την Εταιρεία Αφοί Κάµτση Α.Ε. επεξεργασίας και εµπορίας χαλυβδόφυλλων, που υποστήριξε µε προµήθεια χαλυβδόφυλλων µορφής τα πειράµατά µου. Οφείλω να ευχαριστήσω για την οικονοµική υποστήριξη του έργου, τη Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας του Υπουργείου Ανάπτυξης (25% των συνολικών πόρων) και το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο της Ευρωπαϊκής Ένωσης (75% των συνολικών πόρων). Η παρούσα διδακτορική διατριβή εντάσσεται στο Γ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης-Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Ανταγωνιστικότητας και συγκεκριµένα στη δράση ΠΕΝΕ 2003 στο θεµατικό τοµέα Αστικό περιβάλλον και κατασκευές, έργο 769. Ο τίτλος του ερευνητικού έργου είναι: «Υπολογιστική προσοµοίωση και πειραµατική τεκµηρίωση ιδιοτήτων σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής». Τέλος, χρωστάω ένα ευχαριστώ στους γονείς µου, στην αδελφή µου Μαρίνα και στη φίλη µου Βάσω Τσουκαλαδέλη για την αγάπη τους και την ηθική υποστήριξη που µου πρόσφεραν καθόλη τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας µου. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος 2008 II

ΠΡΟΛΟΓΟΣ... I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... III ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... VII ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... XI ΕΙΣΑΓΩΓΗ...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΜΜΙΚΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ...6 1.1 Ιστορική αναδροµή...6 1.2 Ορισµός-Τύποι σύµµικτων κατασκευών...7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΜΜΙΚΤΕΣ ΠΛΑΚΕΣ...13 2.1 Περιγραφή...13 2.2 Χαλυβδόφυλλο µορφής...15 2.3 Τρόποι επίτευξης σύµµικτης λειτουργίας...19 2.4 Σύνδεσµοι διάτµησης...21 2.5 Συµπεριφορά σύµµικτων πλακών...24 2.6 Τύποι αστοχίας σύµµικτων πλακών...25 2.7 Σηµερινό γνωστικό υπόβαθρο στις σύµµικτες κατασκευές...27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ...34 3.1 Σκυρόδεµα...34 3.2 οµικός χάλυβας...36 3.3 Ιδεατοί νόµοι υλικών χάλυβα-σκυροδέµατος...37 3.4 Σύνδεσµοι διάτµησης...38 3.5 Χάλυβας οπλισµών...38 3.6 Χάλυβας χαλυβδόφυλλων µορφής...39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ...40 4.1 Αρχή των δυνατών έργων-γενική κατηγοριοποίηση προβληµάτων µηχανικής...40 III

4.2 Κατηγορίες ανισοτικών προβληµάτων...40 4.2.1 Κυρτά ανισοτικά προβλήµατα...41 4.2.2. Μη κυρτά ανισοτικά προβλήµατα...43 4.3 Περιγραφή προβλήµατος επαφής σύµµικτης πλάκας...45 4.4 Μαθηµατική έκφραση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας...46 4.4.1 Μη µονότονος νόµος επαφής...46 4.4.2 Μόρφωση ανισότητας ηµιµεταβολών...48 4.5 Επίλυση δισδιάστατου προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χρήση του προγράµµατος MATLAB...52 4.6 Συµπεράσµατα...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ...59 5.1 Γενικά στοιχεία...59 5.2 Προετοιµασία πειραµατικών δοκιµίων...60 5.3 Περιγραφή πειραµατικής διάταξης...62 5.4 Συνθήκες στήριξης...65 5.5 Συνθήκες φόρτισης...65 5.6 Μέθοδοι σχεδιασµού σύµµικτων πλακών...68 5.6.1 Μέθοδος m-k...68 5.6.2 Μέθοδος µερικής διατµητικής σύνδεσης (PSC)...70 5.7 Παρουσίαση πειραµατικών αποτελεσµάτων...74 5.8 Επεξεργασία µε τη µέθοδο µερικής διατµητικής σύνδεσης...82 5.9 Παραδείγµατα πειραµάτων από τη διεθνή βιβλιογραφία...83 5.10 Αξιολόγηση της πειραµατικής διαδικασίας...85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ...86 6.1 Εισαγωγή...86 6.2 Στοιχεία µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων...86 6.3 Στοιχεία µη γραµµικής ανάλυσης...87 6.3.1 Μη γραµµικότητα υλικού...89 IV

6.3.2 Γεωµετρική µη γραµµικότητα...92 6.3.3 Επαφή...92 6.4 Περιγραφή υπολογιστικού προσοµοιώµατος...92 6.4.1 Γενικά στοιχεία...92 6.4.2 Πεπερασµένο στοιχείο χαλυβδόφυλλου µορφής...94 6.4.3 Πεπερασµένο στοιχείο σκυροδέµατος...96 6.4.4 Πεπερασµένα στοιχεία επαφής...98 6.5 Νόµοι υλικών χάλυβα και σκυροδέµατος...100 6.6 Συνθήκες επαφής...103 6.7 Συνθήκες στήριξης και φόρτισης...106 6.8 Τεχνικές σύγκλισης...107 6.9 Ανάλυση...109 6.10 Αποτελέσµατα...110 6.11 Παρουσίαση υπολογιστικών µοντέλων από τη διεθνή βιβλιογραφία και αξιολόγηση του προτεινόµενου υπολογιστικού µοντέλου...115 6.11.1 Υπολογιστικά µοντέλα σε δύο διαστάσεις από τη διεθνή βιβλιογραφία...115 6.11.2 Υπολογιστικά µοντέλα σε τρεις διαστάσεις από τη διεθνή βιβλιογραφία...116 6.11.3 Αξιολόγηση προτεινόµενου υπολογιστικού προσοµοιώµατος...118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ Ή ΧΩΡΙΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ...119 7.1 Γενικά στοιχεία...119 7.2 Περιγραφή υπολογιστικών µοντέλων...119 7.3 Νόµοι υλικού χάλυβα και σκυροδέµατος...121 7.4 Συνθήκες στήριξης και φόρτισης...122 7.5 Αποτελέσµατα...123 7.6 Σύγκριση µε πειραµατικά αποτελέσµατα...125 7.7 Συµπεράσµατα...126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...128 V

8.1 Συµπεράσµατα...128 8.2 Αξιολόγηση-µελλοντικοί στόχοι...135 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...136 SUMMARY...147 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...149 VI

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σχήµα 1.1. Σύγχρονο σύµµικτο κτίριο...6 Σχήµα 1.2. Σύµµικτα δοµικά µέλη...8 Σχήµα 1.3. Λεπτοµέρεια σύµµικτου κτιρίου υπό κατασκευή...8 Σχήµα 1.4. Σύγκριση σύµµικτης µε µεταλλική δοκό ιδίων χαρακτηριστικών...9 Σχήµα 1.5. Μορφές διατµητικών συνδέσµων...11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σχήµα 2.1. Τυπική µορφή σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής...13 Σχήµα 2.2. Κατασκευαστικά παραδείγµατα σύµµικτων πλακών...14 Σχήµα 2.3. Χαλυβδόφυλλα µορφής υποσκαφής...15 Σχήµα 2.4. Χαλυβδόφυλλα τραπεζοειδούς µορφής...16 Σχήµα 2.5. Τυπικό χαλυβδόφυλλο µορφής υποσκαφής...17 Σχήµα 2.6. Τυπικό χαλυβδόφυλλο τραπεζοειδούς µορφής...18 Σχήµα 2.7. Χαλυβδόφυλλα διάφορων µορφών σε σύµµικτες δοκούς...18 Σχήµα 2.8. Κατακόρυφη και διαµήκης διάτµηση...19 Σχήµα 2.9. Τρόποι ενίσχυσης διατµητικού δεσµού σε σύµµικτη πλάκα...20 Σχήµα 2.10. Σύνδεσµοι διάτµησης σε σύµµικτη κατασκευή...21 Σχήµα 2.11. Τυπικός σύνδεσµος διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής...22 Σχήµα 2.12. Τύποι συνδέσµων διάτµησης...22 Σχήµα 2.13. ιαδικασία συγκόλλησης συνδέσµων διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής...23 Σχήµα 2.14. Σύγκριση απουσίας, µερικής και πλήρους διατµητικής σύνδεσης σε σύµµικτη πλακοδοκό...24 Σχήµα 2.15. Κρίσιµες διατοµές αστοχίας σύµµικτων πλακών...25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Σχήµα 3.1. Μηχανικές ιδιότητες σκυροδέµατος...35 Σχήµα 3.2. Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα...36 Σχήµα 3.3. Ιδεατές µηχανικές ιδιότητες χάλυβα και σκυροδέµατος...37 VII

Σχήµα 3.4. Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα συνδέσµων διάτµησης...38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Σχήµα 4.1. Νόµος µονόπλευρης επαφής των Signorini-Fichera και το αντίστοιχο υπερδυναµικό...42 Σχήµα 4.2. Νόµος τριβής του Coulomb και το αντίστοιχο υπερδυναµικό...43 Σχήµα 4.3. Μη µονότονοι καταστατικοί νόµοι: α) υλικό συγκόλλησης, β)νόµος τριβής οπλισµού-σκυροδέµατος και γ) fuzzy νόµος...44 Σχήµα 4.4. Ο εφαρµοσµένος µη µονότονος νόµος τριβής...47 Σχήµα 4.5. ιακριτοποιηµένη επιφάνεια, συνοριακές συνθήκες και φόρτιση του υπό µελέτη συστήµατος δύο σωµάτων...49 Σχήµα 4.6. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων και παραµορφωµένη κατάσταση...53 Σχήµα 4.7. Μέγεθος και θέση εµφάνισης δυνάµεων επαφής...55 Σχήµα 4.8. ιάγραµµα φόρτισης-βύθισης...57 Σχήµα 4.9. ιάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης...57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σχήµα 5.1. Μορφές αστοχίας σύµµικτης πλάκας...60 Σχήµα 5.2. α) Το υπό µελέτη χαλυβδόφυλλο µορφής και β) λεπτοµέρεια των εντυπωµάτων του...62 Σχήµα 5.3. Τυπικό πείραµα κάµψης σύµµικτης πλάκας ενός ανοίγµατος σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4...62 Σχήµα 5.4. Πειραµατική διάταξη...63 Σχήµα 5.5. Σκυροδέτηση δοκιµίων...64 Σχήµα 5.6. Επικάλυψη δοκιµίων...64 Σχήµα 5.7. Στατικό πείραµα...66 Σχήµα 5.8. Κυκλικό πείραµα...67 Σχήµα 5.9. Μέθοδος συντελεστών m-k...70 Σχήµα 5.10. Θεωρητική καµπύλης µερικής διατµητικής σύνδεσης...71 Σχήµα 5.11. Αστοχία σύµµικτης πλάκας...74 Σχήµα 5.12. Ολίσθηση στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος...75 Σχήµα 5.13. Λεπτοµέρεια ρωγµής σύµµικτης πλάκας...75 VIII

Σχήµα 5.14. Λεπτοµέρεια αποκόλλησης χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος...76 Σχήµα 5.15. Τυπική αλληλουχία αστοχίας σύµµικτης πλάκας...76 Σχήµα 5.16. Τυπικές µορφές διαγραµµάτων φόρτισης-βύθισης σύµµικτης πλάκας, ανάλογα µε την µορφή αστοχίας, σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4: 1) αστοχία λόγω κάµψης και 2) αστοχία λόγω διαµήκους διάτµησης...77 Σχήµα 5.17. ιάγραµµα φόρτισης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο...77 Σχήµα 5.18. ιάγραµµα ροπής κάµψης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο...78 Σχήµα 5.19. Συγκριτικό διάγραµµα φόρτισης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο και κυκλικό φορτίο...79 Σχήµα 5.20. Συγκριτικό διάγραµµα ροπής κάµψης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο και κυκλικό φορτίο...79 Σχήµα 5.21. ιάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης...80 Σχήµα 5.22. Θεωρητική καµπύλη µερικής διατµητικής σύνδεσης...82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Σχήµα 6.1. Μέθοδος Newton-Raphson...89 Σχήµα 6.2. Τυπικός µη γραµµικός νόµος τάσεων-παραµορφώσεων...90 Σχήµα 6.3. Κριτήριο διαρροής von Mises...91 Σχήµα 6.4. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων υπολογιστικού µοντέλου...93 Σχήµα 6.5. Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του πεπερασµένου στοιχείου SHELL 43...94 Σχήµα 6.6. Γεωµετρικές ιδιότητες χαλυβδόφυλλου µορφής...96 Σχήµα 6.7. Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του πεπερασµένου στοιχείου SOLID 65...96 Σχήµα 6.8. Εντοπισµός επαφής δύο σωµάτων στο πρόγραµµα ANSYS...99 Σχήµα 6.9. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων επαφής...99 Σχήµα 6.10. Νόµος υλικού για τον χάλυβα...100 Σχήµα 6.11. Κριτήριο αστοχίας William-Warnke...101 Σχήµα 6.12. Καρτέλα υλικού για το σκυρόδεµα...101 Σχήµα 6.13. Καρτέλα ορισµού τιµής συντελεστή τριβής...102 IX

Σχήµα 6.14. Καρτέλα επιλογής τύπου ανάλυσης επαφής...103 Σχήµα 6.15. Καρτέλα επιλογής τιµών παραγόντων FKN, FTOLN και συµπεριφοράς ζεύγους στοιχείων επαφής...105 Σχήµα 6.16. Συνθήκες στήριξης και φόρτισης σύµµικτης πλάκας...107 Σχήµα 6.17. Παραµορφωµένη κατάσταση µοντέλου πεπερασµένων στοιχείων...111 Σχήµα 6.18. Παραµορφωµένη και αρχική κατάσταση µοντέλου πεπερασµένων στοιχείων (πλάγια όψη)...111 Σχήµα 6.19. Βύθιση της σύµµικτης πλάκας υπό µέγιστο φορτίο...112 Σχήµα 6.20. ιαµήκης διατµητική τάση επαφής στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας...112 Σχήµα 6.21. Ολική τάση επαφής στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας...113 Σχήµα 6.22. Τάση τριβής στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας...113 Σχήµα 6.23. ιάγραµµα φόρτισης-βύθισης...114 Σχήµα 6.24. ιάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης...114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Σχήµα 7.1. Κάνναβος πεπερασµένων στοιχείων υπολογιστικού µοντέλου...120 Σχήµα 7.2. Γεωµετρικές ιδιότητες χαλυβδόφυλλου µορφής...120 Σχήµα 7.3. Συνθήκες στήριξης και φόρτισης σύµµικτης πλάκας...122 Σχήµα 7.4. Βυθίσεις της σύµµικτης πλάκας κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος: α)σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης, β) σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης...123 Σχήµα 7.5. Ποσοστό ανάπτυξης της τάσης διαρροής σε χάλυβα και σκυρόδεµα κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος: α)σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης, β) σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης...124 X

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πίνακας 3.1. Ποιότητες σκυροδέµατος κατά τους Ευρωκώδικες 2 και 4 [MPa]...34 Πίνακας 3.2. Κατηγορίες αντοχής δοµικού χάλυβα...36 Πίνακας 3.3. Κατηγορίες αντοχής χάλυβα οπλισµών...39 Πίνακας 3.4. Κατηγορίες αντοχής χάλυβα χαλυβδόφυλλων µορφής...39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Πίνακας 5.1. Ίδια βάρη [kn] βοηθητικών στοιχείων πειραµατικής διάταξης...63 Πίνακας 5.2. Φορτία θραύσης και µέγιστες ροπές κάµψης δοκιµίων σύµµικτης πλάκας υπό κυκλικό φορτίο...80 Πίνακας 5.3. Συγκεντρωτικά αποτελέσµατα σύµµικτης πλάκας µε διαστάσεις µήκος 2.2 m, πλάτος 0.6 m, και ύψος 0.175 m...81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Πίνακας 7.1. Φορτία [Ν/mm2] έναρξης ολίσθησης και αστοχίας της σύµµικτης Πλάκας...125 Πίνακας 7.2. Βύθιση στο µέσο [mm] κατά την έναρξη της ολίσθησης...125 Πίνακας 7.3. Συγκεντρωτικά αποτελέσµατα πειραµατικής και υπολογιστικής προσέγγισης [mm]...126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Πίνακας 8.1. Σύγκριση αποτελεσµάτων κεφαλαίων 4, 5 και 6...129 XI

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα διδακτορική εργασία έχει τον τίτλο «Αριθµητική και πειραµατική µελέτη της διεπιφάνειας χάλυβα-σκυροδέµατος στις σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο µορφής» και εντάσσεται στο χώρο των σύµµικτων κατασκευών, δηλαδή των κατασκευών των οποίων τα δοµικά στοιχεία µορφώνονται από δοµικό χάλυβα και οπλισµένο σκυρόδεµα. Τα υλικά αυτά έχουν συµπληρωµατικές ιδιότητες, αφού ο χάλυβας έχει σηµαντική αντοχή σε εφελκυσµό ενώ το σκυρόδεµα σε θλίψη µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία δοµικών στοιχείων µε περιορισµένα φαινόµενα αστάθειας. Το κρίσιµο σηµείο σε αυτής της µορφής τις κατασκευές αποτελεί η συνεργασία των δύο υλικών, δηλαδή η σύµµικτη λειτουργία τους, που εκφράζεται είτε µε την χηµική συνάφεια µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος είτε µε µηχανικό δεσµό µεταξύ των υλικών, είτε µέσω της δύναµης τριβής που αναπτύσσεται στη διεπιφάνειά τους κατά την φόρτιση. Φυσικά, στην πλειονότητα των περιπτώσεων στις σηµερινές κατασκευές υπάρχει συνδυασµός όλων των παραπάνω τεχνικών επίτευξης σύµµικτης λειτουργίας ενώ είναι εκτεταµένη η χρήση ειδικών στοιχείων που συνεισφέρουν στη βελτίωση της συνεργασίας µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος και τα οποία ονοµάζονται σύνδεσµοι διάτµησης. Πρέπει να σηµειωθεί, ότι οι περιοχές επαφής χάλυβα και σκυροδέµατος δεν είναι εκ των προτέρων γνωστές µε αποτέλεσµα η µελέτη του προβλήµατος να γίνεται πιο περίπλοκη. Ο κυρίαρχος στόχος της διατριβής είναι η µελέτη της αλληλεπίδρασης χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες. Θα µελετηθεί, δηλαδή, η αντοχή και η συµπεριφορά του διατµητικού δεσµού που αναπτύσσεται µεταξύ των δύο υλικών στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας: i) µε µαθηµατική µόρφωση του προβλήµατος βασιζόµενη στη θεωρία των ανισοτήτων ηµιµεταβολών, ii) πειραµατικά σε δοκίµια µεγάλης κλίµακας κατά τον Ευρωκώδικα 4. Η επεξεργασία των αποτελεσµάτων της πειραµατικής προσέγγισης της σύµµικτης πλάκας πραγµατοποιήθηκε µε την µέθοδο της µερικής διατµητικής σύνδεσης. Η συγκεκριµένη µέθοδος σχεδιασµού, αν και εντάχθηκε στο κυρίως κείµενο του Ευρωκώδικα 4 από το 2001 (προηγούµενα αποτελούσε µέρος του παραρτήµατος Ε), δεν έχει χρησιµοποιηθεί από µεγάλο αριθµό ερευνητών µε συνέπεια την ύπαρξη περιορισµένου αριθµού 1

ερευνητικών αποτελεσµάτων. Η παρούσα διδακτορική εργασία αξιολογεί την µέθοδο της µερικής διατµητικής σύνδεσης και προτείνει την προσεκτική εφαρµογή της, για τον ορθότερο σχεδιασµό σύµµικτων πλακών και κατά επέκταση ασφαλέστερων σύµµικτων κατασκευών και iii) µε υπολογιστική προσοµοίωση του προβλήµατος µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων µε το λογισµικό πακέτο ANSYS. Η διατριβή προτείνει µία τρισδιάστατη µοντελοποίηση της σύµµικτης πλάκας που µπορεί να χρησιµοποιηθεί, επικουρικά µε τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4, στο σχεδιασµό σύµµικτων πλακών. Η διατριβή αποτελείται από οκτώ κεφάλαια και ακολουθεί σύντοµη περιγραφή του περιεχοµένου κάθε κεφαλαίου. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας, πραγµατοποιείται ιστορική αναδροµή στην εµφάνιση των σύµµικτων κατασκευών και των πρώτων κανονιστικών διατάξεων για σύµµικτες γέφυρες και κτίρια. Η σύµµικτη κατασκευή ορίζεται σαν κατασκευή της οποίας τα δοµικά στοιχεία µορφώνονται από δοµικό χάλυβα και οπλισµένο σκυρόδεµα. Ακολουθεί η παρουσίαση των τύπων των σύµµικτων κατασκευών που απαντώνται σήµερα καθώς και των σταδίων κατασκευής σύµµικτων δοµικών έργων. Στο δεύτερο κεφάλαιο της διδακτορικής διατριβής, παρουσιάζονται οι σύµµικτες πλάκες ως απαραίτητο δοµικό στοιχείο της σύµµικτης κατασκευής. Περιγράφεται η µέθοδος κατασκευής σύµµικτων πλακών καθώς και η πληθώρα των µορφών που εµφανίζονται στη σύγχρονη πρακτική. Παρατίθενται τα διάφορα µέτρα επιβολής σύµµικτης δράσης, οι τύποι των χαλυβδόφυλλων µορφής και γίνεται ειδική αναφορά στους συνδέσµους διάτµησης. Παρουσιάζεται η συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών υπό φόρτιση µέχρι την αστοχία τους. Στη συνέχεια, δίνονται οι επικρατέστερες µορφές αστοχίας των σύµµικτων πλακών. Στις τελευταίες παραγράφους του κεφαλαίου γίνεται αναφορά στο σηµερινό γνωστικό υπόβαθρο στην περιοχή των σύµµικτων κατασκευών και ειδικότερα των σύµµικτων πλακών. Η ανασκόπηση της υφιστάµενης ελληνικής και διεθνούς βιβλιογραφίας στο γνωστικό πεδίο των σύµµικτων και µεταλλικών κατασκευών έγινε µε ιδιαίτερη έµφαση στο πρόβληµα της επαφής των υλικών στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται οι στόχοι της διδακτορικής διατριβής και η καινοτοµία που απορρέει από τις διάφορες προσεγγίσεις του προβλήµατος. Στο τρίτο κεφάλαιο, δίδονται οι ιδιότητες των υλικών κατασκευής των σύµµικτων πλακών κατά τους Ευρωκώδικες 3 και 4. Παρουσιάζονται οι διαφορετικοί 2

τύποι χάλυβα που χρησιµοποιούνται στην παραγωγή των επιµέρους στοιχείων της σύµµικτης πλάκας. Στο τέταρτο κεφάλαιο, περιλαµβάνεται η µαθηµατική αντιµετώπιση του προβλήµατος της σύµµικτης πλάκας. Αρχικά, πραγµατοποιείται παρουσίαση των διαφορετικών κατηγοριών προβληµάτων επαφής. Το φαινόµενο της αλληλεπίδρασης µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος κατατάσσεται στην κατηγορία των προβληµάτων µονόπλευρης επαφής, όπου οι περιοχές επαφής των στοιχείων δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων και έχουµε µη κυρτότητα και µη µονότονους νόµους υλικών. Το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας εντάσσεται, λοιπόν, στα µη κυρτά ανισοτικά προβλήµατα. Για την αντιµετώπισή του προτείνεται η χρήση της θεωρίας των ανισοτήτων ηµιµεταβολών. Κατόπιν, περιγράφονται οι συνθήκες επαφής στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας και µε κατάλληλες µαθηµατικές αναγωγές µορφώνεται η γενική ανισότητα ηµιµεταβολών του προβλήµατος. Στο δεύτερο τµήµα του κεφαλαίου παρουσιάζεται µια δισδιάστατη µοντελοποίηση του προβλήµατος της αλληλεπίδρασης του χαλυβδόφυλλου µορφής και του σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος µε τη βοήθεια του προγράµµατος MATLAB. Το µοντέλο αποτελεί πρακτική εφαρµογή της µαθηµατικής µόρφωσης του προβλήµατος. Στο πέµπτο κεφάλαιο της διατριβής, περιγράφεται η πειραµατική προσέγγιση του προβλήµατος της επαφής χάλυβα και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες φυσικού µεγέθους, σύµφωνα µε τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4. Συγκεκριµένα, παρουσιάζεται µε αναλυτικό τρόπο η κατασκευή των πειραµατικών δοκιµίων, η προετοιµασία της διάταξη του πειράµατος καθώς και οι επιβαλλόµενες συνθήκες στήριξης και φόρτισης. Τα δοκίµια των σύµµικτων πλακών που κατασκευάζονται είναι µεγάλης κλίµακας και υποβάλλονται σε στατικό και δυναµικό φορτίο µέχρι την θραύση τους. Παρατίθενται, επίσης, οι προδιαγραφές του χαλυβδόφυλλου, (µορφή διατοµής, ανοχές διαστάσεων) και οι αντοχές του (όριο διαρροής και οριακή αντοχή σε εφελκυσµό). Στην επόµενη παράγραφο παρουσιάζονται οι δύο καθιερωµένες µέθοδοι επεξεργασίας πειραµατικών αποτελεσµάτων, η µέθοδος m-k και η µέθοδος µερικής διατµητικής σύνδεσης. Η αστοχία των πλακών αποτυπώθηκε σε σειρά φωτογραφιών. Τα αποτελέσµατα του πειράµατος περιλαµβάνουν διαγράµµατα φόρτισης-βύθισης, ροπής κάµψης-βύθισης και φόρτισης-ολίσθησης. Στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου πραγµατοποιείται επεξεργασία των πειραµατικών αποτελεσµάτων µε την µέθοδο της µερικής διατµητικής 3

σύνδεσης και εύρεση της αντοχής του διατµητικού δεσµού τραπεζοειδούς χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος. Στο έκτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται αναλυτικά η υπολογιστική προσέγγιση του προβλήµατος της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Για την υλοποίηση της τρισδιάστατης µοντελοποίησης του προβλήµατος έγινε χρήση του προγράµµατος πεπερασµένων στοιχείων ANSYS. Στην αρχή του κεφαλαίου παρατίθενται συνοπτικά µερικά θεωρητικά στοιχεία για τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων και την µη γραµµική ανάλυση. Ακολουθεί η περιγραφή του υπολογιστικού προσοµοιώµατος και των πεπερασµένων στοιχείων του λογισµικού πακέτου που χρησιµοποιήθηκαν. Παρουσιάζονται, επίσης, οι νόµοι υλικού του χαλυβδόφυλλου µορφής και του σκυροδέµατος που αποτελούν τα δύο στοιχεία της υπό µελέτη σύµµικτης πλάκας. Κατόπιν, αναλύονται οι συνθήκες επαφής και φόρτισης του µοντέλου καθώς και οι τεχνικές σύγκλισης για την εύρεση λύσης. Η µη γραµµική επίλυση του προβλήµατος και τα αποτελέσµατα της υπολογιστικής διαδικασίας παρουσιάζονται στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου. Στο έβδοµο κεφάλαιο, παρουσιάζεται συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσµάτων δύο υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς διατµητικούς συνδέσµους. Από την σύγκριση προκύπτει ό,τι η σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης πλεονεκτεί σε φέρουσα ικανότητα από την αντίστοιχη που δεν έχει διατµητικούς συνδέσµου ενώ εµφανίζεται και πιο πλάστιµη. Τα αποτελέσµατα των υπολογιστικών προσοµοιωµάτων συγκρίνονται µε πειραµατικά από τη διεθνή βιβλιογραφία και εξάγονται πολύτιµα συµπεράσµατα, που παρουσιάζονται στην τελευταία παράγραφο. Στο όγδοο κεφάλαιο, που ολοκληρώνει τη διδακτορική διατριβή, διατυπώνονται τα συµπεράσµατα και παρατηρήσεις, που προέκυψαν από την ερευνητική δραστηριότητα και από τη συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσµάτων των διαφορετικών προσεγγίσεων του προβλήµατος επαφής χάλυβα και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες. Από τα συµπεράσµατα προκύπτει η αξιοπιστία και η αποτελεσµατική χρήση της σύµµικτης πλάκας ως δοµικό στοιχείο. Η εργασία ολοκληρώνεται µε παράρτηµα, στο οποίο περιλαµβάνονται χρήσιµα στοιχεία από τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4 και αναλυτικός υπολογισµός της σύµµικτης πλάκας. Παρατίθενται, ακόµη, στοιχεία της µαθηµατικής θεωρίας που 4

χρησιµοποιήθηκε στο πέµπτο κεφάλαιο καθώς και σειρά φωτογραφιών και διαγραµµάτων που αποτυπώνουν την πειραµατική διαδικασία. Η τρισδιάστατη υπολογιστική προσοµοίωση µε χρήση πεπερασµένων επιφανειακών στοιχείων επαφής, η µαθηµατική έκφραση των συνθηκών επαφής στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος της σύµµικτης πλάκας βασισµένη σε πρωτότυπη θεωρία και η επεξεργασία των αποτελεσµάτων του πειράµατος µε δηµιουργία της θεωρητικής καµπύλης µερικής διατµητικής σύνδεσης, αποτελούν τα καινοτόµα στοιχεία της ερευνητικής προσπάθειας και σε συνδυασµό µε τα υπόλοιπα κεφάλαια της εργασίας ολοκληρώνουν τον αυτοτελή της χαρακτήρα. 5

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΣΥΜΜΙΚΤΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 1.1 Ιστορική Αναδροµή Η εκτεταµένη χρήση σύµµικτων στοιχείων σε κτιριακές κατασκευές έχει τις ρίζες της στην Ιαπωνία και τον Καναδά από τη δεκαετία του 1930. Πρωτοεµφανίζεται στην Ευρώπη και συγκεκριµένα στη Γερµανία στα τέλη της δεκαετίας του 1940, σε εποχή έλλειψης δοµικού χάλυβα ενώ µόλις το 1956 εκδίδεται ο πρώτος σχετικός κανονισµός για τα σύµµικτα κτίρια, ο DIN 4239 Φύλλο 1. Σύµµικτες δοκοί σε κτίρια και Φύλλο 2. Παρατηρήσεις και επεξηγήσεις. Προϋπήρχε (1955) ο κανονισµός DIN 1078 Φύλλο 1. Σύνθετες οδοφόρες γέφυρες οδηγίες για τον υπολογισµό και την κατασκευαστική διαµόρφωση και Φύλλο 2. Παρατηρήσεις και επεξηγήσεις, για τις σύµµικτες γέφυρες. Η ραγδαία όµως εξάπλωση των σύµµικτων κατασκευών σε κτιριακά έργα πραγµατοποιείται τη δεκαετία του 1980 στην Ευρώπη κυρίως στη Μεγάλη Βρετανία- ενώ ακολουθούν οι Η.Π.Α. και η Ιαπωνία (Βάγιας, 1997). Σχήµα 1.1. Σύγχρονο σύµµικτο κτίριο 6

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής Σήµερα σηµαντικό ποσοστό των πολυώροφων επαγγελµατικής χρήσης κτιρίων (Slessor, 1997), των βιοµηχανικών κτιρίων καθώς και γεφυρών έχουν κατασκευαστεί και εξακολουθούν να κατασκευάζονται µε τη µέθοδο των σύµµικτων κατασκευών. Παράλληλα, οι σύµµικτες κατασκευές όλο και σε µεγαλύτερη συχνότητα απαντώνται ακόµη και σε ιδιωτικές κατοικίες (Καντεράκης, 2002) ή συγκροτήµατα κατοικιών. Στο σχήµα 1.1 φαίνεται η κύρια όψη του νοσοκοµείου Nuffield στο Leeds της Μ. Βρετανίας, που αποτελεί δείγµα σύγχρονου σύµµικτου κτιρίου. 1.2 Ορισµός-τύποι σύµµικτων κατασκευών Με τον όρο σύµµικτες κατασκευές αποδίδονται οι κατασκευές εκείνες των οποίων τα δοµικά στοιχεία µορφώνονται από δοµικό χάλυβα και οπλισµένο σκυρόδεµα (Eurocode 4, 1994). Τα δύο αυτά υλικά εµφανίζουν υψηλό βαθµό συµβατότητας και έχουν συµπληρωµατικές ιδιότητες (Βάγιας, 1997). Έχουν σχεδόν τον ίδιο βαθµό θερµικής διαστολής ενώ το σκυρόδεµα προστατεύει τα χαλύβδινα στοιχεία από διάβρωση και ανάπτυξη υψηλών θερµοκρασιών (θερµική µόνωση). Επίσης, η ύπαρξη του σκυροδέµατος ενισχύει λεπτές µεταλλικές διατοµές προκειµένου να αποφευχθούν φαινόµενα τοπικού ή στρεπτοκαµπτικού λυγισµού. Στόχο του συνδυασµού αυτού αποτελεί η βέλτιστη εκµετάλλευση των ιδιοτήτων κάθε συνεργαζόµενου δοµικού υλικού µε παραλαβή των θλιπτικών δυνάµεων από το σκυρόδεµα και των εφελκυστικών από τα χαλύβδινα µέλη. Στο σχήµα 1.2 απεικονίζονται οι συνηθέστεροι τύποι σύµµικτων δοµικών µελών (Eurocode 4, 1994/ ESDEP, 1994). Σύµµικτες δοκοί µε εγκιβωτισµένη ή µη εγκιβωτισµένη µεταλλική διατοµή στο σκυρόδεµα Σύµµικτα υποστυλώµατα µε διάφορους τύπους µεταλλικής διατοµής εγκιβωτισµένης ή µη στο σκυρόδεµα Σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο τραπεζοειδούς µορφής ή µορφής χελιδονοουράς (σχήµα 1.3) 7

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής Σχήµα 1.2. Σύµµικτα δοµικά µέλη Σχήµα 1.3. Λεπτοµέρεια σύµµικτου κτιρίου υπό κατασκευή 8

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής Τα σύµµικτα δοµικά στοιχεία εµφανίζουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα αλλά σε κάποιες περιπτώσεις µειονεκτούν έναντι των πιο συµβατικών κατασκευαστικών µεθόδων (ESDEP, 1994/ Bode, 1998). Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των σύµµικτων δοµικών στοιχείων είναι: Πλεονεκτήµατα Ταχύτητα κατασκευής σε σύγκριση µε στοιχεία από οπλισµένο σκυρόδεµα Υψηλή δυσκαµψία και µεγάλα ανοίγµατα κατασκευής Χρήση µικρότερων διατοµών από τις αντίστοιχες αποκλειστικά µεταλλικές κατασκευές που συνεπάγεται οικονοµία υλικών και χαµηλότερο βάρος (σχήµα 1.4), Ύπαρξη προσωρινών υποστηρίξεων ή πλήρης απουσία υποστηρίξεων Υψηλότερη δυσκαµψία και αντοχή της σύµµικτης διατοµής από την καθαρή µεταλλική διατοµή Υψηλή ποιότητα κατασκευής λόγω των µικρών κατασκευαστικών ανοχών Ικανοποιητική πυροπροστασία µε τοποθέτηση πρόσθετου οπλισµού (έως δείκτη πυρασφάλειας F90) ηµιουργία συνεχών δοκών-ανακατανοµή ροπών Σχήµα 1.4. Σύγκριση σύµµικτης µε µεταλλική δοκό ιδίων χαρακτηριστικών 9

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής Μειονεκτήµατα Απαραίτητη η χρήση διατµητικών συνδέσµων για τη διασύνδεση των επιµέρους διατοµών χάλυβα και σκυροδέµατος Ανάγκη εξειδικευµένου συνεργείου κατασκευής Τάση της σύµµικτης πλάκας να ρηγµατώνεται πρόωρα στη θέση των προσωρινών υποστηρίξεων και γύρω από τα υποστυλώµατα Οι σύµµικτοι φορείς παρουσιάζουν αρκετές ιδιαιτερότητες που πρέπει να λαµβάνονται σοβαρά υπόψη από τον πολιτικό µηχανικό κατά τον σχεδιασµό τους. Συνοπτικά: Η ύπαρξη διατοµών αποτελούµενων από διαφορετικά υλικά κατασκευής µε διαφορετική συµπεριφορά στις επιβαλλόµενες φορτιστικές καταστάσεις. Η σηµαντική διαφορά στις τιµές των µέτρων ελαστικότητας καθώς και των εφελκυστικών και θλιπτικών αντοχών χάλυβα και σκυροδέµατος έχει ως συνέπεια τη διαφορετική απόκρισή τους στην εκάστοτε φόρτιση. Η διαπίστωση αυτή, σε συνδυασµό µε την συµπεριφορά του σκυροδέµατος σε βάθος χρόνου (ερπυσµός και συστολή ξηράνσεως), οδηγεί σε ανακατανοµή των διατµητικών τάσεων στη σύµµικτη διατοµή, καθοριστικής σηµασίας κυρίως σε ό,τι αφορά το σχεδιασµό των σύµµικτων γεφυρών. Η χρήση διατµητικών συνδέσµων για τη σύνδεση χάλυβα και σκυροδέµατος. Προκειµένου να επιτευχθεί επαρκής αντοχή σε διάτµηση κρίνεται απαραίτητη η τοποθέτηση ειδικών διατµητικών συνδέσµων στη διεπιφάνεια των δύο συνεργαζόµενων δοµικών υλικών (Bode, 1998). Οι δυνάµεις συνάφειας που εµφανίζονται στην επιφάνεια επαφής χάλυβα και πλάκας σκυροδέµατος θεωρούνται αµελητέες και δεν λαµβάνονται υπόψη κατά το σχεδιασµό. Υπάρχουν διάφορες µορφές διατµητικών συνδέσµων, όπως φαίνονται στο σχήµα 1.5, µε κυριότερες τις ακόλουθες (ESDEP, 1994): i. Μεταλλικοί σύνδεσµοι, όπως ήλοι κεφαλής, που συγκολλώνται στα χαλύβδινα µέλη 10

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής ii. iii. iv. Σύνδεσµοι τριβής ιάτρητα ελάσµατα συγκολληµένα στο άνω πέλµα της µεταλλικής δοκού Αυλακώσεις, νευρώσεις και διαµορφωµένα εξογκώµατα (οδοντώσεις) στην επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής Σχήµα 1.5. Μορφές διατµητικών συνδέσµων Η κατασκευή σύµµικτων φορέων µε χρήση ή χωρίς χρήση βοηθητικής υποστήριξης. Στην περίπτωση που κατά τη διάρκεια της κατασκευής χρησιµοποιηθούν ικριώµατα έχουµε εξαρχής σύµµικτη δράση. Μετά τη σκλήρυνση του σκυροδέµατος αποµακρύνονται οι προσωρινές υποστηρίξεις και γίνεται παραλαβή του συνολικού ιδίου βάρους χάλυβα και σκυροδέµατος από τη σύµµικτη διατοµή (Eurocode 4, 1994). Στην αντίθετη περίπτωση η µεταλλική δοκός αναλαµβάνει την παραλαβή του βάρους της και του βάρους του νωπού σκυροδέµατος κατά τη διάστρωσή του ενώ µετά τη σκλήρυνση του σκυροδέµατος και την συνεργασία των υλικών η σύµµικτη πλέον 11

Κεφάλαιο 1: Η σύµµικτη µέθοδος κατασκευής διατοµή αναλαµβάνει τα πρόσθετα µόνιµα φορτία (π.χ. επιστρώσεις, δάπεδα κ.τ.λ.). Πάντως έχει αποδειχθεί ότι ανεξάρτητα από τη χρήση ή µη βοηθητικής υποστήριξης η τελική φέρουσα ικανότητα του σύµµικτου φορέα που επιτυγχάνεται και µε τις δύο µεθόδους κατασκευής έχει την ίδια τιµή. Η επιλογή κατάλληλης µεθόδου διαστασιολόγησης. Στην επιλογή της µεθόδου διαστασιολόγησης παίζει ρόλο και ο τύπος της κατασκευής. Ενώ δηλαδή για σύµµικτα κτιριακά έργα πρωταρχικό ρόλο έχει η τελική αντοχή του φορέα κατά την οριακή κατάσταση αστοχίας και η πλαστική ανάλυσή του, στις σύµµικτες γέφυρες δίνεται ιδιαίτερη σηµασία στην ελαστική ανάλυση και την απόκριση της κατασκευής στα φορτία λειτουργίας της. Η ποιότητα κατασκευής. Καθοριστική σηµασία στην ανάπτυξη υψηλού βαθµού σύµµικτης δράσης σε έναν σύµµικτο φορέα και στο κόστος κατασκευής του, έχει η εφαρµογή τεχνολογικά άρτιων µεθόδων σύνδεσης και η ύπαρξη εξειδικευµένων συνεργείων κατασκευής. Επίσης, κρίνεται σκόπιµη η διάκριση των σύµµικτων κατασκευών από τις µικτές κατασκευές, όπου δεν έχουµε πραγµατική συνεργασία δοµικών υλικών, όπως π.χ. στα κτίρια µε χαλύβδινο σκελετό που ενισχύονται µε πυρήνα σκυροδέµατος για αύξηση της δυσκαµψίας τους. 12

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΜΜΙΚΤΕΣ ΠΛΑΚΕΣ 2.1 Περιγραφή Οι σύµµικτες πλάκες αποτελούνται από ψυχρής κατεργασίας µεταλλικά στραντζαριστά χαλύβδινα φύλλα (χαλυβδόφυλλα µορφής) και οπλισµένο σκυρόδεµα, όπως φαίνεται στο σχήµα 2.1. Τα χαλυβδόφυλλα µορφής στερεώνονται επάνω σε χαλύβδινες δοκούς και η κατασκευή της σύµµικτης πλάκας µπορεί να γίνει είτε µε έγχυση σκυροδέµατος στην επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου επί τόπου στο εργοτάξιο είτε µε εργοστασιακά προκατασκευασµένα στοιχεία προς τοποθέτηση (Eurocode 4, 1994). Το σκυρόδεµα οπλίζεται σε αρκετές περιπτώσεις µε ελαφρύ πλέγµα προκειµένου να µειωθούν οι ρηγµατώσεις του στις περιοχές των στηρίξεων (Βάγιας, 1997). Οι διαστάσεις των σύµµικτων πλακών ποικίλουν. Το µήκος των σύµµικτων πλακών κυµαίνεται από 600 µέχρι 6000 mm, µε πιο συνήθη και λειτουργικά τα µήκη µεταξύ 2700 και 3600 mm. Το συνολικό ύψος της σύµµικτης πλάκας πρέπει να είναι τουλάχιστον 80 mm και το ύψος της στρώσης σκυροδέµατος επάνω από το µεταλλικό προφίλ τουλάχιστον 40 mm (Eurocode 4, 1994). Σχήµα 2.1. Τυπική µορφή σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 13

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες πλακών. Στο σχήµα 2.2 παρουσιάζονται κατασκευαστικές διαµορφώσεις σύµµικτων Σχήµα 2.2. Κατασκευαστικά παραδείγµατα σύµµικτων πλακών Υπάρχουν πολλές εταιρείες σε παγκόσµια κλίµακα που παράγουν χαλυβδόφυλλα µορφής µε κυριότερες τις Holorib, Hoesch, Arbed, Elcom System και Ward (Bode, 1998). Στο πειραµατικό τµήµα της παρούσας διδακτορικής διατριβής υπήρξε συνεργασία µε την εταιρία επεξεργασίας και εµπορίας χαλυβδόφυλλων µορφής Αφοί Κάµτση Α.Ε., µε έδρα τη Βιοµηχανική Περιοχή Σίνδου Θεσσαλονίκης. 14

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες 2.2 Χαλυβδόφυλλο µορφής Το χαλυβδόφυλλο µορφής µιας σύµµικτης πλάκας επιτελεί διάφορες λειτουργίες αφού λειτουργεί ως ξυλότυπος για το έγχυτο σκυρόδεµα, χρησιµοποιείται ως κατάστρωµα εργασίας κατά την φάση της κατασκευής του έργου ενώ ταυτόχρονα αποτελεί και τον κάτω οπλισµό της πλάκας σκυροδέµατος (Eurocode 4, 1994). Υπάρχουν ποικίλα είδη µεταλλικών προφίλ κατάλληλα για σύµµικτες κατασκευές µε διαφορετική γεωµετρία, πάχος και µορφολογία χαλύβδινης επιφάνειας µε ύπαρξη ή όχι νευρώσεων για ενίσχυση του δεσµού χαλυβδόφυλλου-πλάκας σκυροδέµατος (Eurocode 4, 1994/ Βάγιας, 1997). Σχήµα 2.3. Χαλυβδόφυλλα µορφής υποσκαφής 15

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Κυριότεροι τύποι χαλυβδόφυλλων είναι τα χαλυβδόφυλλα µορφής υποσκαφής (χελιδονοουράς) και τα χαλυβδόφυλλα τραπεζοειδούς µορφής. Τα δεύτερα είναι ιδιαίτερα διαδεδοµένα στις Η.Π.Α. ενώ στην Ευρώπη χρησιµοποιούνται και οι δύο τύποι µε την ίδια σχεδόν συχνότητα (Bode, 1998). ιάφοροι τύποι από χαλυβδόφυλλα µορφής υποσκαφής και από χαλυβδόφυλλα τραπεζοειδούς µορφής φαίνονται στα σχήµατα 2.3 και 2.4 αντίστοιχα. Σχήµα 2.4. Χαλυβδόφυλλα τραπεζοειδούς µορφής 16

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Η τοποθέτηση κατάλληλα διαµορφωµένων εξογκωµάτων ή νευρώσεων στην άνω επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής συντελεί στην καλύτερη συµπεριφορά του σε διατµητικές δυνάµεις και κατ επέκταση στην πιο όλκιµη απόκριση της σύµµικτης πλάκας (Owens and Knowles, 1996). Σηµαντική κρίνεται ακόµη η αδιάκοπη ερευνητική προσπάθεια για την βελτίωση των χαρακτηριστικών των χαλυβδόφυλλων µορφής η οποία έχει σαν αποτέλεσµα την εµφάνιση νέων προϊόντων χαλυβδόφυλλων µορφής στο εµπόριο. Οι µελλοντικές σύµµικτες κατασκευές καθίστανται έτσι ασφαλέστερες ενώ ανοίγονται νέοι ορίζοντες στον σχεδιασµό τους. Τα χρησιµοποιούµενα χαλυβδόφυλλα είναι λεία, γαλβανισµένα ή επιχρισµένα και προέρχονται από την εν ψυχρώ εξέλαση ταινιών χάλυβα, όπως στα σχήµατα 2.5 και 2.6. Τα πάχη τους κυµαίνονται συνήθως από 0.5 έως 2 mm. Τα συνήθη ύψη των χαλυβδόφυλλων είναι µικρά 60 mm. Η επιλογή υψηλότερων προφίλ (µέχρι και 190 mm) κρίνεται αναγκαία µόνο σε πολύ µεγάλα ανοίγµατα (Eurocode 4, 1994/ Bode, 1998). Κυριότερες ποιότητες χάλυβα που χρησιµοποιούνται στην κατασκευή χαλυβδόφυλλων µορφής είναι οι S 275 και S 320. Σχήµα 2.5. Τυπικό χαλυβδόφυλλο µορφής υποσκαφής 17

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Σχήµα 2.6. Τυπικό χαλυβδόφυλλο τραπεζοειδούς µορφής Η άνω επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής, που αναµένεται να αποτελέσει την επιφάνεια επαφής µε το σκυρόδεµα, πρέπει να είναι επιµελώς καθαρισµένη από λιπαντικές ουσίες, σκόνη και τυχόν άλλες ακαθαρσίες. Επίσης, δεν βάφεται η συνολική επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής αλλά µόνο αυτή που δεν θα έρθει σε επαφή µε το διαστρωµένο σκυρόδεµα. Σχήµα 2.7. Χαλυβδόφυλλα διάφορων µορφών σε σύµµικτες δοκούς 18

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Το χαλυβδόφυλλο στερεώνεται επάνω στην µεταλλική δοκό µε ήλους εκτόνωσης, κοχλίες ή σηµειακές συγκολλήσεις µε τις νευρώσεις του παράλληλες ή κάθετες στη δοκό (σχήµα 2.7). Η επιλογή του καταλληλότερου τύπου χαλυβδόφυλλου καθορίζεται από διάφορα κριτήρια όπως το µέγιστο φορτίο που θα φέρει, το άνοιγµα της κατασκευής, η ηχοµόνωση καθώς και τυχόν απαιτήσεις πυροπροστασίας (Johnson, 1994). 2.3 Τρόποι επίτευξης σύµµικτης λειτουργίας Βασική προϋπόθεση για την επίτευξη σύµµικτης λειτουργίας ενός φορέα είναι η συµβατότητα και συνεργασία των υλικών κατασκευής του µε καθοριστικό στοιχείο την αποτελεσµατική παραλαβή των διατµητικών δυνάµεων που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια χαλύβδινης διατοµής και σκυροδέµατος (Johnson, 1994). Οι διατµητικές δυνάµεις αναλύονται σε κατακόρυφη και διαµήκη διάτµηση, όπως φαίνεται στο σχήµα 2.8. Η πρώτη εξασφαλίζει την ισορροπία της κατασκευής στον κατακόρυφο άξονα και η δεύτερη παραλαµβάνεται από τους διατµητικούς συνδέσµους σε συνδυασµό µε τον εγκάρσιο οπλισµό της πλάκας από οπλισµένο σκυρόδεµα. Σχήµα 2.8. Κατακόρυφη και διαµήκης διάτµηση Υπάρχουν πολλοί τρόποι ενίσχυσης του διατµητικού δεσµού µεταξύ πλάκας σκυροδέµατος και χαλυβδόφυλλου µορφής, σχήµα 2.9, όπως: α) µε κατεργασία 19

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες (διαµόρφωση) της επιφάνειας του χαλυβδόφυλλου µε εγκοπές και αυλακώσεις, πράγµα που αυξάνει τη δύναµη τριβής µεταξύ τους, β) µε τοποθέτηση µεταλλικών ελασµάτων (ειδικών προεξοχών) στο χαλύβδινο προφίλ, γ) µε χρήση ήλων κεφαλής (συνδέσµων διάτµησης) συγκολληµένων στην µεταλλική δοκό δια µέσω του χαλυβδόφυλλου µορφής και δ) µε αγκυρώσεις τοποθετηµένες στα άκρα της σύµµικτης πλάκας (ESDEP, 1994/ Eurocode 4, 1994/ Burnet and Oehlers, 2001). Σχήµα 2.9. Τρόποι ενίσχυσης διατµητικού δεσµού σε σύµµικτη πλάκα Ο αριθµός και η πυκνή διάταξη των µέσων ενίσχυσης της σύµµικτης δράσης µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα, επηρεάζει ευθέως την αντοχή της σύµµικτης πλάκας 20

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες και πρέπει να λαµβάνεται σοβαρά υπόψη κατά την φάση σχεδιασµού (Owens and Knowles, 1996/ Calixto et al., 1998). Συνήθως, επιλέγεται η τοποθέτηση συνδέσµων διάτµησης κατόπιν διαµόρφωσης της άνω επιφάνειας του χαλυβδόφυλλου για αύξηση της συνάφειας και της πρόσφυσης χάλυβα και σκυροδέµατος (Wright et al., 1987/ Kalfas et al., 1995/ Kalfas et al., 1997). Η λύση αυτή εξασφαλίζει την απρόσκοπτη σύµµικτη δράση στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας χωρίς πολύπλοκες κατασκευαστικές διατάξεις. 2.4 Σύνδεσµοι διάτµησης Οι πλέον συνηθισµένοι σήµερα διατµητικοί σύνδεσµοι είναι ήλοι συγκολληµένοι στο άνω πέλµα των χαλύβδινων δοκών ανά τακτά διαστήµατα, (βλέπε σχήµα 2.10), οι οποίοι εµποδίζουν την ανύψωση της πλάκας σκυροδέµατος και την αποκόλλησή της από τη χαλύβδινη δοκό. Η ονοµασία τους σχετίζεται άµεσα µε τον ρόλο ύπαρξής τους, δηλαδή την παραλαβή διατµητικών δυνάµεων. Σχήµα 2.10. Σύνδεσµοι διάτµησης σε σύµµικτη κατασκευή 21

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Κυκλοφορούν στο εµπόριο σε ποικίλες διαστάσεις, µε διάµετρο κεφαλής από 9.5 µέχρι 22 mm και ύψος από 50 µέχρι 525 mm (Αβδελάς, 1998). Η γεωµετρία των συνδέσµων διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής φαίνεται στο σχήµα 2.11. Τύποι συνδέσµων διάτµησης απεικονίζονται στο σχήµα 2.12. Σχήµα 2.11. Τυπικός σύνδεσµος διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής Σχήµα 2.12. Τύποι συνδέσµων διάτµησης 22

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Οι µηχανικές και χηµικές ιδιότητες του υλικού κατασκευής τους διαφέρουν ελάχιστα από τον κοινό δοµικό χάλυβα των οπλισµών. Κατασκευάζονται, συνήθως, από εν ψυχρώ εξηλασµένους χάλυβες κυκλικής διατοµής µε σύνηθες όριο θραύσης 450 N/mm 2 και πρεσσαριστές κεφαλές. Στην περίπτωση που θα τοποθετηθούν σε έντονα διαβρωτικό περιβάλλον οι σύνδεσµοι διάτµησης προέρχονται από την κατεργασία ανοξείδωτων χαλύβων. Στις κτιριακές κατασκευές ενδιαφέρει πρωτίστως η ολκιµότητα των ήλων διάτµησης σε αντίθεση µε τη γεφυροποιία όπου θεωρείται εξέχουσας σηµασίας η αντοχή των ήλων (Johnson, 1994). Οι σύνδεσµοι διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής τοποθετούνται στα σηµεία επαφής της χαλύβδινης δοκού µε το χαλυβδόφυλλο µορφής κατά µήκος της χαλύβδινης δοκού µε την µέθοδο συγκόλλησης ηλεκτρικού τόξου, όπως δείχνει το σχήµα 2.13. Σε περίπτωση που η νεύρωση του χαλυβδόφυλλου µορφής έχει µεγάλο πλάτος δύναται να τοποθετηθεί ζεύγος συνδέσµων διάτµησης ανά πλάτος νεύρωσης. Σχήµα 2.13. ιαδικασία συγκόλλησης συνδέσµων διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής 23

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες 2.5 Συµπεριφορά σύµµικτων πλακών Οι σύµµικτες κατασκευές και ειδικότερα οι σύµµικτες πλάκες, ικανοποιούν την σύγχρονη απαίτηση για µεγαλύτερα ανοίγµατα στις κατασκευές µε ταυτόχρονα µικρότερα βέλη κάµψης και ευκολία ενσωµάτωσης µηχανικών συστηµάτων (π.χ. δίκτυα εξαερισµού) σε αυτές (Bode, 1998). Εποµένως, κρίνεται χρήσιµη η λεπτοµερής µελέτη της συµπεριφοράς τους. Στην περίπτωση που οι σύνδεσµοι διάτµησης παραλαµβάνουν το σύνολο της διαµήκους διάτµησης, οπότε δεν εµφανίζεται ολίσθηση µεταξύ χαλύβδινης δοκού και πλάκας σκυροδέµατος, έχουµε περίπτωση πλήρους διατµητικής σύνδεσης. Στην πλήρη διατµητική σύνδεση καθοριστικό ρόλο έχει η καµπτική και όχι η οριζόντια διατµητική αντίσταση της σύµµικτης διατοµής. Αν ο αριθµός των συνδέσµων διάτµησης είναι µικρότερος από τον απαιτούµενο για πλήρη διατµητική σύνδεση εµφανίζεται σχετική ολίσθηση µεταξύ χαλύβδινης δοκού και πλάκας σκυροδέµατος, οπότε η κατάσταση αυτή ονοµάζεται µερική διατµητική σύνδεση. Στην τελευταία περίπτωση δεν εξαντλείται η φέρουσα ικανότητα της σύµµικτης πλάκας σε κάµψη, (βλέπε σχήµα 2.14) (Wright et al., 1987/ ESDEP, 1994/ Eurocode 4, 1994/ Bode, 1998). Σχήµα 2.14. Σύγκριση απουσίας, µερικής και πλήρους διατµητικής σύνδεσης σε σύµµικτη πλακοδοκό 24

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής τοποθετείται µεταξύ των δύο ακραίων προαναφερθέντων καταστάσεων (Βάγιας, 1997). Το χαλυβδόφυλλο µορφής µε ελάσµατα και αγκυρώσεις, συµπεριφέρεται σαν οπλισµός της πλάκας σκυροδέµατος, παραλαµβάνοντας τις εφελκυστικές δυνάµεις που αναπτύσσονται, ενώ από την άλλη πλευρά είναι ένα δοµικό στοιχείο µε καµπτική δυσκαµψία παρόµοια µε τις χαλύβδινες δοκούς. Υπόκειται σε καµπτικές δυνάµεις που οδηγούν σε θλίψη του κορµού και των νευρώσεων καθώς και σε διατµητικές δυνάµεις κυρίως κοντά στις στηρίξεις. 2.6 Τύποι αστοχίας σύµµικτων πλακών Οι κυριότερες θέσεις αστοχίας των σύµµικτων πλακών παρουσιάζονται στο σχήµα 2.15 (ESDEP, 1994/ Eurocode 4, 1994): ιατοµή I-I: Αστοχία από υπέρβαση της καµπτικής αντοχής στην περιοχή θετικών ροπών. Καθοριστική µόνο για πλήρη διατµητική σύνδεση. ιατοµή II-II: Αστοχία από υπέρβαση της καµπτικής αντοχής στην περιοχή αρνητικών ροπών. ιατοµή III-III και IV-IV: Αστοχία λόγω υπέρβασης της κατακόρυφης διατµητικής αντοχής της σύµµικτης πλάκας κοντά στην στήριξη. Καθοριστική σε σύµµικτες πλάκες µικρών ανοιγµάτων. ιατοµή V-V: Αστοχία λόγω διαµήκους διάτµησης. Εµφανίζεται στη διεπιφάνεια χάλυβα και σκυροδέµατος µε υπερβολική σχετικά ολίσθηση των δύο διακριτών τµηµάτων της σύµµικτης διατοµής. εν επιτυγχάνεται το σύνολο της φέρουσας καµπτικής αντοχής της σύµµικτης πλάκας. Σχήµα 2.15. Κρίσιµες διατοµές αστοχίας σύµµικτων πλακών 25

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες Από τους πλέον καθοριστικούς παράγοντες για τον τύπο αστοχίας µιας σύµµικτης πλάκας είναι το µέγεθος του διατµητικού ανοίγµατός της. ιατµητικό άνοιγµα θεωρείται η απόσταση της θέσης επιβολής του κατακόρυφου φορτίου από τον άξονα της στήριξης της πλάκας. Προκύπτει, λοιπόν, ότι στις σύµµικτες πλάκες µε µικρό διατµητικό άνοιγµα κυριαρχεί η αστοχία λόγω υπέρβασης της κατακόρυφης διατµητικής αντοχής ενώ στις σύµµικτες πλάκες µε µεγάλο διατµητικό άνοιγµα κυριαρχεί η καµπτικού τύπου αστοχία. Στην πλειονότητα των περιπτώσεων που το µέγεθος του διατµητικού ανοίγµατος έχει µια µέση τιµή επικρατεί η αστοχία της σύµµικτης πλάκας λόγω διαµήκους διάτµησης. Η συνήθης διαδικασία αστοχίας της σύµµικτης πλάκας αποτελείται από τέσσερα στάδια που παρατίθενται µε τη σειρά εµφάνισής τους (ESDEP, 1994/ Bode, 1998): i. Απώλεια της χηµικής συνάφειας χάλυβα και σκυροδέµατος και ρηγµάτωση του σκυροδέµατος. ii. Υπέρβαση της δύναµης τριβής και σχετική ολίσθηση των δύο υλικών στη διεπιφάνειά τους. iii. Αστοχία του µηχανικού δεσµού ο οποίος δηµιουργείται µεταξύ του σκυροδέµατος και των διατµητικών συνδέσµων καθώς και µεταξύ του σκυροδέµατος και των αγκυρώσεων στα άκρα τις σύµµικτης πλάκας (συνηθέστερος τρόπος δηµιουργίας διατµητικής σύνδεσης των υλικών). iv. θραύση του χαλυβδόφυλλου µορφής λόγω καµπτικών (πλήρης διατµητική σύνδεση) ή διατµητικών (µερική διατµητική σύνδεση) δυνάµεων. Η ψαθυρή ή η όλκιµη αστοχία της σύµµικτης πλάκας σχετίζεται µε την ανθεκτικότητα της µηχανικής σύνδεσης στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος. Έχει παρατηρηθεί πειραµατικά, ότι στην περίπτωση που το χαλυβδόφυλλο µορφής φέρει νευρώσεις στην επιφάνεια που έρχεται σε επαφή µε το σκυρόδεµα, εµφανίζει όλκιµη συµπεριφορά σε διατµητική φόρτιση της σύµµικτης πλάκας (De Andrade et al., 2004). Στην αντίθετη περίπτωση η σύµµικτη πλάκα συµπεριφέρεται ψαθυρά µε απότοµη πτώση της τιµής της διατµητικής αντίστασης. Παράλληλα, ιδιαίτερη σηµασία έχει η αποφυγή πρόωρων ρηγµατώσεων στο σκυρόδεµα µε κατάλληλο αερισµό του και ρύθµιση της υγρασίας του µε ψεκασµό νερού. Ταυτόχρονα απαγορεύεται η χρήση πρόσµικτων ουσιών στην παρασκευή του 26

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες σκυροδέµατος λόγω αλληλεπίδρασής τους µε τον ψευδάργυρο του γαλβανισµένου χαλυβδόφυλλου µορφής. Επιπρόσθετα, η καµπτική αντοχή των σύµµικτων πλακών εκδηλώνεται κατά τη διεύθυνση των προφίλ του χαλυβδόφυλλου µε συνέπεια οι σύµµικτες πλάκες να εµφανίζουν διέρειστη και όχι τετραέρειστη λειτουργία. 2.7 Σηµερινό γνωστικό υπόβαθρο στις σύµµικτες κατασκευές Το σηµερινό γνωστικό υπόβαθρο στον τοµέα των σύµµικτων κατασκευών και ειδικότερα στο πρόβληµα της επαφής των υλικών κατασκευής τους αποτελεί δικαίωση της επίµονης ερευνητικής δραστηριότητας πλήθους επιστηµόνων τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό. Η δραστηριότητα αυτή περιλαµβάνει θεωρητικές, υπολογιστικές και πειραµατικές προσεγγίσεις των προβληµάτων που σχετίζονται µε την σύµµικτη µέθοδο κατασκευής. Οι ερευνητές κρίνουν σε πολλές περιπτώσεις τους ισχύοντες κανονισµούς και προτείνουν αλλαγές-βελτιώσεις σε αυτούς, στηριζόµενοι σε νέα επιστηµονικά αποτελέσµατα. Αρχικά, οι Porter και Ekberg (1976), πραγµατοποιούν µια εκτεταµένη πειραµατική έρευνα σε σύµµικτες πλάκες µε ψυχρής έλασης χαλυβδόφυλλα µορφής σύµφωνα µε τον Αµερικάνικο Κανονισµό για τις σύµµικτες κατασκευές. Οι συγγραφείς θεωρούν ότι η αντοχή της σύµµικτης πλάκας καθορίζεται ευθέως από την αντοχή του διατµητικού δεσµού χάλυβα και σκυροδέµατος, µε συνέπεια να αποτελεί βασικό στοιχείο σχεδιασµού των σύµµικτων πλακών. Η έρευνα περιλαµβάνει σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος και στοχεύει στην πειραµατική απόδειξη των θεωρητικών ευρηµάτων των συγγραφέων. Τα πειραµατικά εξαγόµενα αποδεικνύουν την σηµασία ενός ισχυρού διατµητικού δεσµού στην διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας στη επίτευξη όλκιµης συµπεριφοράς και υψηλής αντοχής της σύµµικτης πλάκας. Κρίνεται, λοιπόν, σκόπιµο να καταγραφούν οι κυριότερες παράµετροι που επηρεάζουν την αντοχή του διατµητικού δεσµού χάλυβα-σκυροδέµατος, όπως η γεωµετρία του χαλυβδόφυλλου µορφής, η ύπαρξη ή µη συνδέσµων διάτµησης και οι διαµορφώσεις στην επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου που θα έρθει σε επαφή µε το σκυρόδεµα. Ο Wright και άλλοι (1987), ανέπτυξαν επίσης σηµαντική πειραµατική δραστηριότητα µε πάνω από 200 πειράµατα 27

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες σε σύµµικτες πλάκες µε σύγκριση των πειραµατικών αποτελεσµάτων µε αντίστοιχα αριθµητικά σύµφωνα µε τον Βρετανικό Κανονισµό. Ο Wright (1990), ερευνά το πρόβληµα της συνάφειας και συνεργασίας χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες και προτείνει τρόπους ενίσχυσης του διατµητικού δεσµού χάλυβα και σκυροδέµατος. Προκειµένου να επιτευχθεί αποτελεσµατικότερη µεταφορά διατµητικών τάσεων µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος ο συγγραφέας προκρίνει την χρήση µεταλλικών οδοντώσεων στην επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής. Με αυτόν τον τρόπο αυξάνεται σηµαντικά η σύµµικτη δράση των δύο υλικών. Η συνεισφορά των µεταλλικών οδοντώσεων που συγκολλώνται στη επιφάνεια του µεταλλικού προφίλ προσοµοιώνεται θεωρητικά από τον Wright µε το µοντέλο της πτυχωτής πλάκας µε εφαρµογή επιβεβληµένης ολίσθησης των δύο υλικών στην αρχή της ανάλυσης. Οι Poh και Attard (1993), εξετάζουν την αστοχία των σύµµικτων πλακών ως επακόλουθο της αστοχίας οποιασδήποτε διατοµής τους. Με την κατασκευή µαθηµατικού και υπολογιστικού µοντέλου απλά εδραζόµενων σύµµικτων πλακών περιγράφουν την συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών και υπολογίζουν κρίσιµα στοιχεία, όπως τη σχετική ολίσθηση στη διεπιφάνεια επαφής χάλυβα-σκυροδέµατος, τη βύθιση στο µέσο του ανοίγµατος και την αντοχή της σύµµικτης πλάκας. Στην ανάλυση λαµβάνεται υπόψη και η συµµετοχή των δυνάµεων τριβής. Το αναλυτικό µοντέλο των συγγραφέων µπορεί να χρησιµοποιηθεί επικουρικά στο σχεδιασµό σύµµικτων πλακών, αρκεί να αποκλεισθεί η περίπτωση αστοχίας τους από λυγισµό των χαλυβδόφυλλων µορφής. Οι Chien και Ritchie (1993), εξετάζουν τις περιπτώσεις µερικής και πλήρους διατµητικής σύνδεσης σύµµικτων πλακών και αποσκοπούν στην εύρεση της πλέον κατάλληλης για τις τυπικές σύµµικτες κατασκευές. Κατόπιν εκτεταµένης έρευνας στις σύµµικτες κατασκευές της χώρας τους (Καναδάς), προκρίνεται ως ορθότερος τρόπος επιβολής σύµµικτης δράσης σε σύµµικτες πλάκες η περίπτωση της µερικής διατµητικής σύνδεσης. Προτείνεται, ακόµη, από τους ερευνητές, η χρήση καµπτικού οπλισµού στο σκυρόδεµα έτσι ώστε να ελεγχθεί το µέγεθος των ρωγµών που εµφανίζει αυτό λόγω κάµψης, συστολής και διαµήκους διάτµησης. Επίσης, συνιστάται η τοποθέτηση των νευρώσεων στο χαλυβδόφυλλο µορφής παράλληλα µε την χαλύβδινη δοκό για αύξηση του στατικού ύψους της σύµµικτης πλάκας. Σύµφωνα µε τους συγγραφείς η επιλογή 28

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες χρησιµοποίησης σύµµικτων πλακών σε κτίρια µε µεταλλικό σκελετό είναι ώριµη αλλά επιβάλλεται η προσεκτική κατασκευή τους, προκειµένου να επιτευχθεί η ενδεδειγµένη συνεργασία µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος. Θεωρούν ακόµη ότι πολλές χώρες µπορούν να επωφεληθούν από την κατασκευαστική εµπειρία των Καναδών µηχανικών στον σχεδιασµό και την κατασκευή άρτιων σύµµικτων έργων. Οι Davies και Jiang (1997), αναζητούν εναλλακτικούς τρόπους σχεδιασµού των σύµµικτων πλακών. Θεωρούν ανεπαρκείς τους υπάρχοντες κώδικες σχεδιασµού οπότε προτείνουν τον σχεδιασµό των σύµµικτων πλακών µε ελαστοπλαστική ανάλυση, µε βάση το µέγεθος της καµπτικής ροπής αντίστασης στις εσωτερικές στηρίξεις τους. Με δηµιουργία κατάλληλου υπολογιστικού προσοµοιώµατος πεπερασµένων στοιχείων υπολογίζουν την σχέση ροπής-στροφής στις εσωτερικές στηρίξεις συνεχών σύµµικτων πλακών και µε δηµιουργία πλαστικών αρθρώσεων πραγµατοποιούν ανακατανοµή της ροπής µεταξύ του µέσου του ανοίγµατος και των στηρίξεων. Προτείνουν, τελικά, µια ψευδο-πλαστική µέθοδο σχεδιασµού των σύµµικτων πλακών στηριζόµενη σε µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων. Οι Wright και Anwar Hossain (1997), επιχειρούν να αποτυπώσουν µε κατάλληλα αναλυτικά µοντέλα την εντός επιπέδου διατµητική συµπεριφορά του χαλυβδόφυλλου µορφής σε σύµµικτα κτίρια. Οι συγγραφείς θεωρούν απαραίτητη την κατανόηση των συνθηκών επαφής των δύο υλικών και αποδίδουν την έλλειψη συνεργασίας µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος σε ακατάλληλες επιβαλλόµενες συνοριακές συνθήκες κατά τον υπολογιστικό σχεδιασµό των σύµµικτων πλακών. Η λανθασµένη εκτίµηση των συνοριακών συνθηκών, οδηγεί σε εκτεταµένα πεδία τάσεων στην επιφάνεια έδρασης του χαλυβδόφυλλου τα οποία µε την σειρά τους συντελούν στην απώλεια της γεωµετρίας του µεταλλικού προφίλ. Τα προτεινόµενα αναλυτικά µοντέλα περιγραφής των πραγµατικών συνθηκών επαφής στις σύµµικτες πλάκες αξιολογούνται θετικά κατόπιν σύγκρισης µε αποτελέσµατα πειραµάτων µικρής κλίµακας και µοντέλων πεπερασµένων στοιχείων. Οι Tenhovuori και Leskelä (1998), συνδέουν την µέγιστη καµπτική ροπή της σύµµικτης πλάκας µε την αντοχή του διατµητικού δεσµού χάλυβα και σκυροδέµατος. Θεωρούν ως αποτελεσµατικό τρόπο ενίσχυσης του δεσµού στην διεπιφάνεια επαφής των σύµµικτων πλακών, την αύξηση του πάχους της σύµµικτης πλάκας και τη µείωση του διατµητικού ανοίγµατός της. Οι συγγραφείς εξετάζουν διαφορετικές σύµµικτες 29

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες πλάκες και επεξεργάζονται τα δεδοµένα µε µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων και µη γραµµική ανάλυση. Επίσης, αναλύουν τις υπάρχουσες µεθόδους υπολογισµού της αντοχής διατµητικού δεσµού σε σύµµικτες πλάκες σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4 και προτείνουν τρόπους βελτίωσής τους. Οι Calixto και άλλοι (1998), ερεύνησαν πειραµατικά διάφορους παράγοντες που επηρεάζουν τις σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος όπως το πάχος του χαλυβδόφυλλου µορφής, τον τύπο των συνδέσµων διάτµησης, το συνολικό ύψος και το διατµητικό άνοιγµα της σύµµικτης πλάκας. Βρέθηκε πως όλες οι σύµµικτες πλάκες αστόχησαν λόγω διαµήκους διάτµησης ενώ καθοριστική για την επίτευξη σύµµικτης δράσης κρίθηκε η ύπαρξη διατµητικών συνδέσµων. Τα αποτελέσµατα αξιολογήθηκαν συγκρινόµενα µε αντίστοιχα της µεθόδου µερικής διατµητικής σύνδεσης του Ευρωκώδικα 4. Οι Mäkeläinen και Sun (1999), αναζητούν έναν καινούργιο τύπο χαλυβδόφυλλου µορφής που να κατασκευάζεται εύκολα και να εµφανίζει υψηλή αντοχή σε διαµήκη διάτµηση. Κατόπιν πειράµατος µικρής κλίµακας µε δύο σειρές χαλυβδόφυλλων, ακολουθώντας τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4, προτείνουν ένα νέο προφίλ χαλυβδόφυλλου που ανταποκρίνεται στις υψηλές απαιτήσεις της σύµµικτης κατασκευής. Το καινούργιο προφίλ προσφέρει διαµήκη διατµητική αντίσταση στην σύµµικτη πλάκα της τάξης των 0.6 N/mm 2. Προκειµένου να ενισχυθεί η διατµητική σύνδεση στη διεπιφάνεια των σύµµικτων πλακών, τα ερευνητικά αποτελέσµατα υποδεικνύουν ως την ενδεδειγµένη λύση, την χρήση µεταλλικών τεµαχίων ικανοποιητικού βάθους, που τοποθετούνται µε πρέσα στην επιφάνεια του µεταλλικού φύλλου. Οι Burnet και Oehlers (2001), διερευνούν τρόπους αύξησης της συνάφειας χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες. Πραγµατοποιώντας νέου τύπου push-test, βρίσκουν την συνεισφορά διαφόρων τύπων µεταλλικών εντυπωµάτων (οδοντώσεων), συγκολληµένων στην επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου, στην ικανότητα µεταφοράς του διατµητικών δυνάµεων στο σκυρόδεµα όσο και την καµπτική αντοχή της σύµµικτης πλάκας. Προτείνουν ως πλέον κατάλληλα τα χαλύβδινα προφίλ µε άκρες σε σχήµα φτερού ενώ αποδεικνύουν ότι ο χηµικός δεσµός µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος οφείλεται στο σχήµα των νευρώσεων και όχι στην συνάφεια των δύο υλικών. Επίσης, θεωρούν ότι τα µεταλλικά ανάγλυφα στις νευρώσεις 30

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες του χαλυβδόφυλλου αυξάνουν ουσιαστικά την αντοχή του όταν οι νευρώσεις έχουν τραπεζοειδή µορφή. Αποδεικνύουν ότι η αύξηση του πάχους της σύµµικτης πλάκας δρα θετικά στην αντοχή του διατµητικού δεσµού χάλυβα και σκυροδέµατος. Οι Clubley, Moy και Xiao (2003), αποσκοπούν στην όσο το δυνατό λεπτοµερή µοντελοποίηση και ανάλυση των συνθηκών επαφής χάλυβα και σκυροδέµατος σε σύµµικτα δοµικά στοιχεία. Για το λόγο αυτό δηµιουργούν ένα υπολογιστικό προσοµοίωµα κατάλληλο για να περιγράψει µε ακρίβεια την διεπιφάνεια επαφής σύµµικτων πλακών από χαλυβδόφυλλο µορφής και σκυρόδεµα. Κατόπιν εύρεσης των δυνάµεων που ασκούνται στο εσωτερικό των σύµµικτων δοµικών στοιχείων επιτυγχάνουν να µοντελοποιήσουν, µε χρήση πυκνού και αραιού καννάβου δοµικών πεπερασµένων στοιχείων, την φυσική συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας υπό φόρτιση. Οι συγγραφείς λαµβάνουν υπόψη την παρουσία της δύναµης τριβής. Προσοµοιάζουν τις σύµµικτες πλάκες µε µορφή σάντουιτς (που αποτελούνται από ένα στρώµα σκυροδέµατος ανάµεσα σε δύο µεταλλικές πλάκες) µε κατανεµηµένα πεπερασµένα στοιχεία επαφής σε όλο το µήκος των δύο διεπιφανειών και χρησιµοποιούν µεµονωµένα ραβδωτά στοιχεία στη θέση των συνδέσµων διάτµησης. Με την χρήση κατανεµηµένων πεπερασµένων στοιχείων επαφής πετυχαίνουν αξιοσηµείωτη µείωση του αριθµού των απαιτούµενων πεπερασµένων στοιχείων. Συγχρόνως, µε κατάλληλα διακριτά-µεµονωµένα στοιχεία αυξάνουν την ακρίβεια προσοµοίωσης και την αξονική δυσκαµψία στις θέσεις των συνδέσµων διάτµησης. Το τελικό υπολογιστικό µοντέλο αποτελεί οδηγό για την ακριβή απεικόνιση της πραγµατικής κατάστασης στην διεπιφάνεια επαφής σύµµικτων στοιχείων και µπορεί να χρησιµοποιηθεί στον σχεδιασµό των σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής και διατµητικούς συνδέσµους. Ο Chen (2003), παρουσιάζει µια ολοκληρωµένη σειρά πειραµάτων σε σύµµικτες πλάκες ενός και δύο ανοιγµάτων µε χαλυβδόφυλλο µορφής και συνδέσµους διάτµησης. Σκοπός της πειραµατικής έρευνας αποτελεί η κατανόηση και επεξήγηση της λειτουργίας του διατµητικού δεσµού χάλυβα και σκυροδέµατος. Ο συγγραφέας θεωρεί ότι η αστοχία των σύµµικτων πλακών οφείλεται στην ανάπτυξη διατµητικής ολίσθησης µεταξύ χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας. Για τον περιορισµό, λοιπόν, αυτής της ολίσθησης προτείνει την αγκύρωση των συνδέσµων διάτµησης στα άκρα των σύµµικτων πλακών και τη χρησιµοποίηση όπου είναι εφικτό 31

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες συνεχών σύµµικτων πλακών αντί πλακών ενός ανοίγµατος. Οι συνεχείς σύµµικτες πλάκες εµφανίζουν, όπως αποδεικνύεται και πειραµατικά, µεγαλύτερη δυνατότητα ανάληψης φορτίου. Επίσης, ο συγγραφέας κρίνει απαραίτητη την ύπαρξη καµπτόµενου οπλισµού στις περιοχές αρνητικής κάµψης για την αποτελεσµατικότερη µεταφορά των εφελκυστικών δυνάµεων στη διεπιφάνεια των δύο υλικών. Κατόπιν πειραµατικής αποτίµησης της συµµετοχής των συνδέσµων διάτµησης στις σύµµικτες πλάκες, προτείνει την χρήση τους σύµφωνα µε τις διατάξεις των κανονισµών. Οι Crisinel και Marimon (2004), προτείνουν µια νέα µέθοδο σχεδιασµού της οποίας στόχο αποτελεί η πρόβλεψη της στατικής συµπεριφοράς των σύµµικτων πλακών. Η µέθοδος αυτή καταργεί τα χρονοβόρα και πολυδάπανα πειράµατα µε δοκίµια φυσικού µεγέθους που δυσχεραίνουν το έργο του µελετητή µηχανικού. Αντίθετα, συνδυάζει τα εξαγόµενα από συνήθη τεστ υλικών και τεστ µικρής κλίµακας µε ένα απλοποιηµένο αριθµητικό µοντέλο. Ενδιάµεσο εξαγόµενο της µεθόδου είναι το διάγραµµα ροπών στροφών για την κρίσιµη διατοµή της σύµµικτης πλάκας. Μετά την καταγραφή των τριών διαφορετικών φάσεων του διαγράµµατος ροπών στροφών για την κρίσιµη διατοµή της σύµµικτης πλάκας, ο µελετητής εισάγει τα δεδοµένα στο απλοποιηµένο µοντέλο, µε τελικό αποτέλεσµα την φέρουσα ικανότητα της σύµµικτης πλάκας. Το προτεινόµενο, από τους συγγραφείς, αριθµητικό µοντέλο ονοµάζεται Νέα Απλοποιηµένη Μέθοδος. Για την ορθή χρήση της νέας απλοποιηµένης µεθόδου θεωρείται απαραίτητη µόνο η γνώση των διαστάσεων, των νόµων υλικού και των συνθηκών επαφής της διεπιφάνειας της σύµµικτης πλάκας. Οι De Andrade και άλλοι (2004) αποσκοπούν µε την εργασία τους να τονίσουν τα οικονοµικά πλεονεκτήµατα των σύµµικτων κατασκευών και να παρουσιάσουν ένα καινοτόµο σύστηµα σύµµικτης πλάκας. Μέσα από σειρά αναλυτικών και πειραµατικών αποτελεσµάτων αποδεικνύουν την υψηλή αντοχή και την όλκιµη συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών ενώ επισηµαίνουν την ευκολία κατασκευής τους. Ακολουθεί η παρουσίαση ενός πρωτοποριακού συστήµατος κατασκευής σύµµικτων πλακών που αποτελείται από πλάκα Styrofoam και χαλυβδόφυλλο µορφής µε ενδιάµεσο στρώµα από ελαφρό σκυρόδεµα. Το σύστηµα κατασκευής αφορά κατασκευές µε µικρό κόστος. Κατόπιν διεξαγωγής πειραµάτων σε δοκίµια φυσικού µεγέθους αποδεικνύεται η ικανοποιητική αντοχή του συστήµατος σε στατικά και δυναµικά φορτία. Καθοριστικό κριτήριο για την µείωση του κόστους σε σύµµικτες πλάκες αποτελεί, σύµφωνα µε τους 32

Κεφάλαιο 2: Σύµµικτες πλάκες συγγραφείς, η βελτιστοποίηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του χαλυβδόφυλλου µορφής σε συνάρτηση µε την σύµµικτη κατασκευή στην οποία θα χρησιµοποιηθεί. Οι Akhand και άλλοι (2004) πραγµατοποιούν πειραµατική έρευνα σε σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο µορφής κατασκευασµένο από ισχυρής αντοχής-χαµηλής ολκιµότητας χάλυβα. Ο νέος αυτός τύπος χαλυβδόφυλλου µορφής δεν έχει ερευνηθεί αρκετά, µε αποτέλεσµα να είναι υπό αµφισβήτηση οι πραγµατικές µηχανικές ιδιότητες του και η συνολική στατική συµπεριφορά του. Οι συγγραφείς, στηριζόµενοι στα πειραµατικά τους ευρήµατα και κάνοντας χρήση της θεωρίας πεπερασµένων στοιχείων, προτείνουν ένα υπολογιστικό µοντέλο που προβλέπει µε ικανοποιητική ακρίβεια την σχέση ροπών-στροφών του νέου τύπου χαλυβδόφυλλου µορφής. Οι Marciukaitis και άλλοι (2006), ερευνούν πειραµατικά και υπολογίζουν το µέγεθος των βυθίσεων των σύµµικτων πλακών ανάλογα µε την επιβολή των εξωτερικών φορτίων. ιακρίνουν τρεις φάσεις κατά την πειραµατική διαδικασία, ανάλογα µε το βαθµό επιβολής της φόρτισης, από το αρχικό στάδιο µέχρι την αστοχία της σύµµικτης πλάκας. Η µέθοδος υπολογισµού των βυθίσεων χαρακτηρίζεται από ακρίβεια και λαµβάνει υπόψη τις πρόωρες ρηγµατώσεις και τις πλαστικές παραµορφώσεις του σκυροδέµατος. Επικουρικά µε την πειραµατική έρευνα οι µελετητές παρουσιάζουν και ένα απλό υπολογιστικό µοντέλο προσδιορισµού της εξέλιξης των βυθίσεων κατά µήκος της σύµµικτης πλάκας. Οι Marimuthu και άλλοι (2007), διεξάγουν πειράµατα σε σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος διαφόρων διαστάσεων υπό στατική και κυκλική φόρτιση. Αντικείµενο της πειραµατικής διαδικασίας αποτελεί η διερεύνηση της διατµητικής συµπεριφοράς των σύµµικτων πλακών και η εύρεση των κατάλληλων τιµών για τους συντελεστές m και k, σύµφωνα µε την αντίστοιχη µέθοδο του Ευρωκώδικα 4. Οι µισές υπό εξέταση σύµµικτες πλάκες έχουν µικρό διατµητικό άνοιγµα και οι υπόλοιπες µεγάλο διατµητικό άνοιγµα. Το χαλυβδόφυλλο µορφής των σύµµικτων πλακών είναι τραπεζοειδούς γεωµετρίας µε εντυπώµατα ενίσχυσης του διατµητικού δεσµού χάλυβα-σκυροδέµατος. Οι συγγραφείς επιβεβαίωσαν και πειραµατικά ότι οι σύµµικτες πλάκες µε µικρό διατµητικό άνοιγµα αστοχούν λόγω διαµήκους διάτµησης ενώ οι σύµµικτες πλάκες µε µεγάλο διατµητικό άνοιγµα λόγω υπέρβασης της καµπτικής αντοχής. Τελικά, εξάγονται ξεχωριστά ζεύγη τιµών για τους συντελεστές m και k, ανάλογα µε τον τύπο του χαλύβδινου προφίλ. 33

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ 3.1. Σκυρόδεµα Το σκυρόδεµα αποτελεί το πλέον διαδεδοµένο δοµικό υλικό. Προκύπτει από την απλή ανάµιξη τσιµέντου, αδρανών και νερού και µορφοποιείται εύκολα. Εµφανίζει υψηλή τιµή αντοχής σε θλιπτικές δυνάµεις και χαµηλή σε εφελκυστικές. Ανάλογα µε τη σύστασή τους διακρίνονται πολλές ποιότητες σκυροδέµατος. Η ποιότητα του σκυροδέµατος καθορίζεται από δύο τιµές: τη χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή κυλινδρικού δοκιµίου σκυροδέµατος 28 ηµερών f ck και τη χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή κυβικού δοκιµίου σκυροδέµατος 28 ηµερών f ck,cube. Για παράδειγµα η ποιότητα C20/25 αντιστοιχεί σε αντοχή κυλίνδρου 20 MPa και αντοχή κύβου 25 MPa. Για λόγους απλότητας στους Ευρωκώδικες 2 και 4, η ποιότητα του σκυροδέµατος καθορίζεται αποκλειστικά από τη χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή κυλινδρικού δοκιµίου όπως φαίνεται και στον πίνακα 3.1 που ακολουθεί. Οι συµβολισµοί f ctm, f ctk 0.05 και f ctk 0.95 αντιστοιχούν στην µέση εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, στην χαρακτηριστική τιµή της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος µε ποσοστηµόριο 5% και στην χαρακτηριστική τιµή της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος µε ποσοστηµόριο 95% (Βάγιας, 1997/ Bode, 1998). Ποιότητα σκυροδέµατος C C C C C C C C C 12/15 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 f ck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 f ctm 1.1 1.3 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 2.7 4.1 f ctk 0.05 1.6 1.9 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 3.8 2.9 f ctk 0.95 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3 E cm 10-3 26 27.5 29 30.5 32 33.5 35 36 37 Πίνακας 3.1. Ποιότητες σκυροδέµατος κατά τους Ευρωκώδικες 2 και 4 [MPa] 34

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών Άλλες χαρακτηριστικές ιδιότητες του σκυροδέµατος αποτελούν η αντοχή σε καθαρό εφελκυσµό f ct που προκύπτει από τη χαρακτηριστική αντοχή του σε µονοαξονική θλίψη µέσω της σχέσης: f ct = 0.3* f, το επιβατικό µέτρο 2/ 3 ck ελαστικότητας E cm που δίνεται από τη σχέση: E cm 1/3 = 9.5*( f + 8), ο λόγος του Poisson ν που στην περιοχή των ελαστικών παραµορφώσεων λαµβάνεται ίσος µε 0.2 και η πυκνότητα του άοπλου σκυροδέµατος που ισούται µε ρ =2400 kg/m 3 ενώ του οπλισµένου µε ρ =2500 kg/m 3. Μετά τη ρηγµάτωση του σκυροδέµατος ο λόγος του Poisson ν λαµβάνεται ίσος µε 0. O συντελεστής θερµικής διαστολής του σκυροδέµατος λαµβάνεται ίσος µε a =10-5 / 0 C (Βάγιας, 1997). Ο Ευρωκώδικας 4 επιτρέπει τη χρήση ελαφροσκυροδέµατος κατά την κατασκευή των σύµµικτων στοιχείων. Σε αυτή την περίπτωση οι ιδιότητες του σκυροδέµατος καθορίζονται από την ξηρή πυκνότητά του ρ (π.χ. το µέτρο ελαστικότητας προσδιορίζεται από τη σχέση E = 2 ( ρ / 2400) (Eurocode 4, 1994). Οι µηχανικές ιδιότητες του σκυροδέµατος απεικονίζονται στο σχήµα 3.1. ck Σχήµα 3.1. Μηχανικές ιδιότητες σκυροδέµατος 35

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών 3.2 οµικός χάλυβας Ο χάλυβας είναι σιδηρούχο δοµικό υλικό και συγκεκριµένα κράµα σιδήρου µε άνθρακα σε περιεκτικότητα που κυµαίνεται από 1.7 µέχρι 2.0 %. Χρησιµοποιείται ευρέως σε όλους τους τύπους των κατασκευών. Ο πίνακας 3.2 που ακολουθεί παρουσιάζει τις κατηγορίες δοµικού χάλυβα κατά DIN EN 10025 και EC3 (Eurocode 3, 1992). Οι τιµές δίνονται σε MPa. Πάχος προϊόντος EN 10025 EC3 t 40 mm 40 mm <t 100 mm f y f u f y f u S 235 Fe 360 235 360 215 340 S 275 Fe 430 275 430 255 410 S 355 Fe 510 355 510 335 490 S 275 N Fe E275 275 390 255 370 S 355 N Fe E355 355 490 335 470 Πίνακας 3.2. Κατηγορίες αντοχής δοµικού χάλυβα Σχήµα 3.2. Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα Στις περιπτώσεις προϊόντων δοµικού χάλυβα µε πάχη µεγαλύτερα από 100 mm, οι αντίστοιχες τιµές θα λαµβάνονται από τα κείµενα των κανονισµών. 36

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών Οι ονοµαστικές τιµές της τάσης διαρροής σε εφελκυσµό f y και της οριακής τάσης σε εφελκυσµό f u καθορίζονται όπως φαίνεται και στον πίνακα 3.2, από την κατηγορία του χάλυβα. Οι µηχανικές ιδιότητες του χάλυβα φαίνονται στο σχήµα 3.2. Βασικές ιδιότητες του δοµικού χάλυβα αποτελούν η σκληρότητα, η ικανότητα ανάπτυξης σηµαντικών παραµορφώσεων, η ολκιµότητα, η ελατότητα, η ευτηκτότητα καθώς και η σηµαντική θερµική και ηλεκτρική αγωγιµότητα. Το µέτρο ελαστικότητας του δοµικού χάλυβα καθορίζεται σε Ea=210 GPa, ο λόγος του Poisson σε ν=0.3, η πυκνότητα σε ρ=7850 kg/m 3, το µέτρο διάτµησης G=80 GPa ενώ ο συντελεστής θερµικής διαστολής του δοµικού χάλυβα σε a=10-5/0c (Βάγιας, 1997/ Bode, 1998/ Μπίσµπος, 2003). 3.3 Ιδεατοί νόµοι υλικών χάλυβα-σκυροδέµατος Στην µοντελοποίηση των σύµµικτων πλακών, µε τη βοήθεια λογισµικών πεπερασµένων στοιχείων, για λόγους απλοποίησης του προβλήµατος και περιορισµού του υπολογιστικού χρόνου χρησιµοποιούνται ιδεατοί νόµοι υλικού για χάλυβα και σκυρόδεµα. Σχήµα 3.3. Ιδεατές µηχανικές ιδιότητες χάλυβα και σκυροδέµατος Οι νόµοι αυτοί έχουν την γενική µορφή που φαίνεται στο σχήµα 3.3 (ESDEP, 1994). 37

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών 3.4 Σύνδεσµοι διάτµησης Ισχύει ό,τι και για τους δοµικούς χάλυβες όσον αφορά την ποιότητα και τα µηχανικά χαρακτηριστικά. Συνήθως, η αντοχή σε εφελκυσµό του χρησιµοποιούµενου χάλυβα για την κατασκευή των ήλων διάτµησης είναι 450 µε 600 MPa, η ελάχιστη τιµή του ορίου διαρροής του είναι 350 MPa και η ελάχιστη τιµή της µήκυνσης θραύσης 15% (Lloyd and Wright, 1990).Οι µηχανικές ιδιότητες του χάλυβα των διατµητικών συνδέσµων φαίνονται στο διάγραµµα 3.4. Σχήµα 3.4. Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα συνδέσµων διάτµησης 3.5 Χάλυβας οπλισµών Οι χάλυβες των ράβδων οπλισµού που χρησιµοποιούνται στο οπλισµένο σκυρόδεµα διακρίνονται: α) ανάλογα µε την µέθοδο παραγωγής σε χάλυβες θερµής ελάσεως µε καµία, θερµική και ψυχρή κατεργασία, β) ανάλογα µε την µορφή της επιφάνειας σε λείες ράβδους και ράβδους µε νευρώσεις, γ) ανάλογα µε τη συγκολλησιµότητα σε χάλυβες συγκολλήσιµους υπό προϋποθέσεις, συγκολλήσιµους ή µη συγκολλήσιµους και δ) ανάλογα µε την χαρακτηριστική τιµή του ορίου διαρροής τους σε εφελκυσµό f yk. Ο πίνακας 3.3 παρουσιάζει τις κατηγορίες του χάλυβα κατά τα νέα πρότυπα του ΕΛΟΤ 1421 που αντικαθιστούν τα πρότυπα ΕΛΟΤ 959 και 971. 38

Κεφάλαιο 3: Ιδιότητες υλικών σύµµικτων πλακών Ποιότητα χάλυβα οπλισµών Όριο διαρροής ΕΛΟΤ 1421 f ys B 500 A 500 B 500 C 500 Πίνακας 3.3. Κατηγορίες αντοχής χάλυβα οπλισµών 3.6 Χάλυβας χαλυβδόφυλλων µορφής Ισχύει ό,τι και για τους δοµικούς χάλυβες όσον αφορά τα µηχανικά χαρακτηριστικά. Τα χαλυβδόφυλλα µορφής κατασκευάζονται συνήθως από γαλβανισµένο χάλυβα κατηγορίας S 275 ή S 355 κατά EN 10025. Πρότυπο Ποιότητα f yp S 235 235 EN 10025 S 275 275 S 355 355 S 275 N/NL 275 EN 10113 S 355 N/NL 355 S 460 N/NL 460 CR 220 220 ISO 4997 CR 250 250 CR 320 320 S 220 G 220 S 250 G 250 EN 10147 S 280 G 280 S 320 G 320 S 350 G 350 Πίνακας 3.4. Κατηγορίες αντοχής χάλυβα χαλυβδόφυλλων µορφής Ο πίνακας 3.4 παρουσιάζει τις χαρακτηριστικές τιµές του µητρικού υλικού των χαλυβδόφυλλων µορφής (Βάγιας, 1997/ Bode, 1998). 39

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ 4.1 Αρχή των δυνατών έργων-γενική κατηγοριοποίηση προβληµάτων µηχανικής Η αρχή των δυνατών έργων εκφράζει την ισότητα, ανά πάσα στιγµή, των δυνατών έργων των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων µε αυτά των αδρανειακών σε ένα σώµα. Αποτελεί την πλέον διαδεδοµένη µέθοδο ανάλυσης των κατασκευών µε τελικά εξαγόµενα τις δυνάµεις και τις µετακινήσεις τους. Ο τρόπος έκφρασης της αρχής των δυνατών έργων σε ένα πρόβληµα της µηχανικής καθορίζει την διαδικασία επίλυσής του. ιακρίνουµε δύο κατηγορίες προβληµάτων µηχανικής (Panagiotopoulos, 1984/ Panagiotopoulos, 1993): Τα ισοτικά ή αµφίπλευρα προβλήµατα στα οποία η αρχή των δυνατών έργων εκφράζεται µε µορφή ισότητας και επιλύονται µε τις αρχές των µεταβολών. Τα ανισοτικά ή µονόπλευρα προβλήµατα στα οποία η αρχή των δυνατών έργων εκφράζεται µε µορφή ανισότητας και επιλύονται µε ανισότητες µεταβολών ή ανισότητες ηµιµεταβολών. 4.2 Κατηγορίες ανισοτικών προβληµάτων Τα ανισοτικά προβλήµατα αντιµετωπίστηκαν µε επιτυχία µε την εισαγωγή κατάλληλων µαθηµατικών εννοιών (Maier, 1986). Αρχικά, ο Fourier διατύπωσε την αρχή των δυνατών έργων σε ανισοτική µορφή και ο Moreau εισήγαγε την έννοια του υπερδυναµικού θεµελιώνοντας την θεωρία των ανισοτήτων µεταβολών (Moreau et al., 1988). Παράλληλα, ο Fichera ανέπτυξε πρωτότυπη µαθηµατική θεωρία για την επίλυση του προβλήµατος της συνοριακής τιµής. Η πολυµορφία των ανισοτικών προβληµάτων της µηχανικής οδήγησε στην περαιτέρω κατηγοριοποίησή τους, σε κυρτά και µη κυρτά (Panagiotopoulos, 1984). 40

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 4.2.1 Κυρτά ανισοτικά προβλήµατα Τα προβλήµατα αυτής της κατηγορίας περιγράφονται από µονότονους καταστατικούς νόµους και παράγονται, σύµφωνα µε τον ορισµό του υποδιαφορικού της κυρτής ανάλυσης, από κυρτά µη διαφορίσιµα δυναµικά (Stavroulakis and Polyakova, 1996). Υπάγονται στη θεωρία των ανισοτήτων µεταβολών. Για την επίλυσή τους γίνεται αναγωγή στην µέθοδο βελτιστοποίησης της δυναµικής ή της συµπληρωµατικής ενέργειας του υπό εξέταση συστήµατος σωµάτων µε χρήση του τετραγωνικού προγραµµατισµού ή της γραµµικής συµπληρωµατικότητας µε ανισοτικούς περιορισµούς (Panagiotopoulos, 1984/ Avdelas, 1987/ Liolios, 1989/ Bisbos 2002). Στην περίπτωση που ένας µονότονος καταστατικός νόµος αναφέρεται στη διεπιφάνεια επαφής ενός παραµορφώσιµου σώµατος µε άλλα σώµατα σε ένα σύνολο 3 Ω R και συνδέει τις δυνάµεις µε τις µετατοπίσεις, έχει τη γενική µορφή: S φ u ). (4.1) i i ( i Το διάνυσµα S i των δυνάµεων αναλύεται στην εφαπτοµενική ST και στην κάθετη S N στην διεπιφάνεια (σύνορο επαφής) Γ των σωµάτων συνιστώσα. Η συνάρτηση φ i είναι maximal µονότονη και παίρνει τιµές στο σύνολο των υποσυνόλων του R. Ο παραπάνω νόµος µε την εισαγωγή του κυρτού υπερδυναµικού ορίζεται στο σύνολο R, γράφεται: j i, που S j u ). (4.2) i i ( i 41

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 4.1. Νόµος µονόπλευρης επαφής των Signorini-Fichera και το αντίστοιχο υπερδυναµικό Τυπικό παράδειγµα τέτοιου προβλήµατος αποτελεί η επαφή παραµορφώσιµου γραµµικού-ελαστικού σώµατος µε άκαµπτη έδραση, γνωστό ως πρόβληµα Signorini- Fichera. Οι συνθήκες του προβλήµατος διατυπώνονται ως εξής: Αν u 0 S = 0 (4.3) N < N Αν u 0 S 0. (4.4) N = n Στις προηγούµενες σχέσεις, µε u N συµβολίζεται η κάθετη, στο σύνορο επαφής των σωµάτων, συνιστώσα του διανύσµατος των µετακινήσεων και µε S N η αντίστοιχα οριζόµενη συνιστώσα του διανύσµατος των δυνάµεων. Η γραφική απεικόνιση των συνθηκών Signorini-Fichera φαίνεται στο σχήµα 4.1. Άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα µονότονου καταστατικού νόµου αποτελεί ο νόµος τριβής του Coulomb (Bisbos and Sakellariadou, 1997/ Κοντολέων κ.α., 1998/ Stavroulakis and Stavroulakis, 2002/ Betti et al., 2002/ Bisbos, 2006). Ισχύουν οι συνθήκες: Αν Αν < S τότε u = 0 µε i=1,2,3 (4.5) S T µ N Ti S T = µ S N τότε υπάρχει λ>0 τέτοιο ώστε Ti λ Ti u = S µε i=1,2,3. (4.6) 42

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Η γραφική απεικόνιση του νόµου τριβής του Coulomb φαίνεται στο σχήµα 4.2. Σχήµα 4.2. Νόµος τριβής του Coulomb και το αντίστοιχο υπερδυναµικό 4.2.2 Μη κυρτά ανισοτικά προβλήµατα Τα προβλήµατα αυτής της κατηγορίας περιγράφονται από µη µονότονους καταστατικούς νόµους µε συνέπεια µη κυρτές ενεργειακές συναρτήσεις. Για την επίλυσή των υπερδυναµικών προβληµάτων, όπως είναι γνωστότερα, δεν µπορεί να εφαρµοσθεί η θεωρία των ανισοτήτων µεταβολών αλλά η προτεινόµενη από τον καθηγητή Π.. Παναγιωτόπουλο θεωρία των ανισοτήτων ηµιµεταβολών (Panagiotopoulos, 1984/ Panagiotopoulos, 1991/ Panagiotopoulos, 1993). Σηµαντική, στην αντιµετώπιση των µη κυρτών προβληµάτων, υπήρξε η εισαγωγή της γενικευµένης κλίσης ή γενικευµένου υποδιαφορικού από τους Clarke-Rockafellar (Rockafellar, 1980/ Clarke, 1983). Σε αυτήν την περίπτωση το πρόβληµα ανάγεται σε πρόβληµα υποστασιµότητας της δυναµικής ή συµπληρωµατικής ενέργειας του υπό εξέταση συστήµατος σωµάτων (Panagiotopoulos and Avdelas, 1984). Στην περίπτωση που ένας µη µονότονος καταστατικός νόµος αναφέρεται στη διεπιφάνεια επαφής ενός παραµορφώσιµου σώµατος µε άλλα σώµατα σε ένα σύνολο 3 Ω R και συνδέει τις δυνάµεις µε τις µετατοπίσεις έχει τη γενική µορφή (Mistakidis et al., 1993/ Zygomalas et al., 2001/ Baniotopoulos et al., 2002): S φ u ). (4.7) i i ( i 43

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Το διάνυσµα S i των δυνάµεων αναλύεται στην εφαπτοµενική ST και στην κάθετη S N στην διεπιφάνεια (σύνορο επαφής) Γ των σωµάτων συνιστώσα (Kotousov and Wang, 2002). Η συνάρτηση φ i είναι µη µονότονη και παίρνει τιµές στο σύνολο των υποσυνόλων του R. Ο παραπάνω νόµος µε την εισαγωγή του µη κυρτού υπερδυναµικού j i, που ορίζεται στο σύνολο R, και στην περίπτωση που η συνάρτηση φ i είναι τοπικά Lipschitz συνεχής, γράφεται: S j u ). (4.8) i ( i Τυπικά παραδείγµατα µη κυρτών προβληµάτων αποτελούν οι συνδέσεις µεταλλικών στοιχείων µε επικολλήσεις (Κοντολέων, 2000/ Καζιόλας, 2000/ Kaziolas et al., 2000), η επαφή µε τριβή οπλισµού και σκυροδέµατος (Panagouli et al., 1995) καθώς και fuzzy φαινόµενα. Παραδείγµατα µη µονότονων καταστατικών νόµων απεικονίζονται στα ακόλουθα διαγράµµατα 4.3. α) β) 44

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής γ) Σχήµα 4.3. Μη µονότονοι καταστατικοί νόµοι: α) υλικό επικόλλησης, β)νόµος τριβής οπλισµού-σκυροδέµατος και γ) fuzzy νόµος 4.3 Περιγραφή προβλήµατος επαφής σύµµικτης πλάκας Η παρούσα εργασία εντάσσεται στο πεδίο των ανισοτικών ή µονόπλευρων προβληµάτων της µηχανικής και ιδιαίτερα των προβληµάτων µονόπλευρης επαφής. Τα προβλήµατα επαφής µεταξύ σωµάτων ή κατασκευών αποτελούν ξεχωριστό κλάδο της µηχανικής των στερεών. Τα σώµατα κατόπιν φορτίσεως, παραµορφώνονται και έρχονται σε επαφή µεταξύ τους σε διάφορες περιοχές, οι οποίες δεν είναι εκ των προτέρων γνωστές (Panagiotopoulos, 1984/ Κολτσάκης, 1990/ Panagiotopoulos, 1991). Τα προβλήµατα αυτά ονοµάζονται προβλήµατα µονόπλευρης επαφής. Στην περίπτωση που λαµβάνονται υπόψη οι αναπτυσσόµενες δυνάµεις τριβής στην επιφάνεια επαφής των σωµάτων, η επαφή των σωµάτων µπορεί να διατηρηθεί µε την µορφή συνοχής (sticking) ή ολίσθησης (sliding). Η µη γραµµικότητα της ανάλυσης των προβληµάτων επαφής, πέρα από την ύπαρξη γεωµετρικής µη γραµµικότητας και µη γραµµικότητας υλικού, αφορά στις υπάρχουσες συνθήκες επαφής. Το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης χαλυβδόφυλλου µορφής και πλάκας σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες είναι έντονα µη γραµµικό αφού εµφανίζει µηγραµµικό νόµο υλικού το σκυρόδεµα ενώ παρατηρείται και γεωµετρική µηγραµµικότητα στις συνθήκες επαφής των µερών που συνθέτουν τη σύµµικτη πλάκα. Κατά τη διάρκεια επιβολής φορτίων στη σύµµικτη πλάκα υφίσταται χρονική µεταβολή των συνοριακών συνθηκών χάλυβα και σκυροδέµατος λόγω εµφάνισης ολίσθησης στη διεπιφάνεια των δύο υλικών (Habraken and Cescotto, 1998). 45

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 4.4 Μαθηµατική έκφραση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας Το πρόβληµα της επαφής χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε σύµµικτη πλάκα µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά από µια γενική ανισότητα ηµιµεταβολών (Naniewicz and Panagiotopoulos, 1995). Για την µαθηµατική προσοµοίωση του προβλήµατος επαφής χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε σύµµικτη πλάκα κρίθηκε απαραίτητη η αντιµετώπισή του ως προβλήµατος µονόπλευρης επαφής µε τριβή. Για απλοποίηση της ανάλυσης του προβλήµατος θεωρούµε τα δύο σώµατα γραµµικά ελαστικά µε εφαρµογή µη µονότονου νόµου τριβής στη διεπιφάνεια επαφής τους. 4.4.1 Μη µονότονος νόµος επαφής Στην ορθή ως προς τη διεπιφάνεια επαφής διεύθυνση λήφθηκαν οι συνοριακές συνθήκες της µονόπλευρης επαφής. Συγκεκριµένα, ισχύουν για επαφή δύο παραµορφώσιµων σωµάτων: αν u N > 0 τότε S = 0 (4.9) N αν u N = 0 τότε S 0, (4.10) N όπου: u N είναι η ποσότητα un1 un 2 + h u0 +, µε u 1 την µετακίνηση του πρώτου N σώµατος, u N 2 την µετακίνηση του δεύτερου σώµατος, h την µεταξύ τους απόσταση και u 0 την µετακίνηση του ενός σώµατος προς το άλλο λόγω µετακίνησης στερεού σώµατος (rigid body displacement), ενώ µε S N συµβολίζεται η ορθή δύναµη επαφής στη διεπιφάνεια των σωµάτων (Mistakidis and Stavroulakis, 1998/ Haslinger et al., 1999). Η περίπτωση αυτή διαφοροποιείται από τις συνοριακές συνθήκες των Signorini- Fichera λόγω της υπόθεσης µικρών συνοριακών µετακινήσεων. 46

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 4.4. Ο εφαρµοσµένος µη µονότονος νόµος τριβής (Mistakidis et al., 2006) Στην εφαπτοµενική ως προς τη διεπιφάνεια επαφής διεύθυνση λήφθηκε µη γραµµικός νόµος τριβής, όπως φαίνεται στο σχήµα 4.4. Ισχύουν λοιπόν: Αν < S τότε u = 0 (4.11) S T µ N T Αν µ S S µ S + β S N T < N N και T sl u u, τότε u = 0 (4.12) T Αν µ SN ST < µ SN + β S N και u T 0, τότε u T = usl (4.13) Αν S T µ S + β S = N N και T sl u u, τότε υπάρχει λ 0 τέτοιο ώστε u = λs, (4.14) Ti T i µε i=1,2,3, Με S T συµβολίζονται οι εφαπτοµενικές δυνάµεις στην διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, µε S N συµβολίζονται οι ορθές δυνάµεις στην διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, µε u T συµβολίζεται η εφαπτοµενική µετακίνηση, µε u sl συµβολίζεται η µετακίνηση κατά την έναρξη της µετάβασης από το στάδιο της συνοχής στο στάδιο της ολίσθησης στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας. Με µ > 0 συµβολίζεται ο συντελεστής τριβής και µε β ο συντελεστής συνοχής. Ο συντελεστής συνοχής 47

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής λαµβάνει τιµές µεταξύ β =0 (απουσία συνοχής) και β =1 (πλήρης συνοχή) (Raous et al., 1999/ Tsalkatidis and Avdelas, 2006/ Tsalkatidis and Avdelas, 2007). Παρατηρείται απότοµη πτώση των διατµητικών δυνάµεων στη διεπιφάνεια των δύο σωµάτων αµέσως µετά την επίτευξη της µέγιστης διατµητικής αντοχής. Η πτώση αυτή υποδηλώνει τη µετάβαση από το στάδιο της πρόσφυσης στο στάδιο της σχετικής ολίσθησης των δύο σωµάτων, που οφείλεται στην απώλεια συνοχής στη διεπιφάνεια. Μετά την έναρξη της σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια σκυροδέµατοςχαλυβδόφυλλου µορφής οι διατµητικές δυνάµεις στη διεπιφάνεια παραµένουν σταθερές λόγω λήψης σταθερού συντελεστή τριβής. Τα κατακόρυφα τµήµατα του µη γραµµικού νόµου τριβής της διεπιφάνειας επαφής καθιστούν απαραίτητη τη µη λεία και µη κυρτή προσέγγιση του προβλήµατος της σύµµικτης πλάκας. Στην περίπτωση που αγνοηθεί η συνοχή ( β =0), έχουµε τον µονότονο νόµο τριβής του Coulomb µε τις γνωστές συνοριακές συνθήκες: αν < S,τότε u = 0 (4.15) S T µ N T αν S T µ = S,τότε υπάρχει 0 N λ τέτοιο ώστε u = λs µε i=1,2. (4.16) Ti T i Με µ > 0 συµβολίζεται ο συντελεστής τριβής. Η σχέση (4.15) περιγράφει την περίπτωση της επαφής συνοχής (sticking contact) και η σχέση (4.16) την περίπτωση της επαφής µε ολίσθηση (sliding contact). 4.4.2 Μόρφωση ανισότητας ηµιµεταβολών Έστω ένα σύστηµα σωµάτων αποτελούµενο από δύο παραµορφώσιµα σώµατα (στην προκειµένη περίπτωση τραπεζοειδές χαλυβδόφυλλο και σκυρόδεµα) Ω 1 και Ω 2 που αναφέρονται σε ένα καρτεσιανό δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Ox 1 x 2 x 3 του 3 R. Με Γ συµβολίζουµε τη διεπιφάνεια (σύνορο) επαφής των δύο σωµάτων, µε F ορίζουµε το σύνορο επιβολής των εξωτερικών φορτίων στο υπό εξέταση σύστηµα σωµάτων και µε C το σύνορο επιβολής των κινηµατικών συνθηκών του προβλήµατος (σχήµα 4.5). Τα παραπάνω σύνορα θεωρούνται µη επικαλυπτόµενα. 48

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 4.5. ιακριτοποιηµένη επιφάνεια, συνοριακές συνθήκες και φόρτιση του υπό µελέτη συστήµατος δύο σωµάτων Με P i (i=1,2) συµβολίζουµε το διάνυσµα των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα σωµάτων και µε P i (i=1,2) το διάνυσµα των άγνωστων δυνάµεων που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια επαφής των δύο σωµάτων. Ισχύει η: P 1 = - P 2. (4.17) Αναλυτικά λοιπόν στο κάθε σώµα επιβάλλονται τα ακόλουθα διανύσµατα φόρτισης (Καζιόλας, 2000/ Κοντολέων, 2000): P1 P 1 = και P1 P2 P 2 =. (4.18) P2 Προκύπτουν, εποµένως, οι ακόλουθες εξισώσεις ισορροπίας: G 1s1 = P1 και 2s2 P2 G =, (4.19) 49

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής όπου Gi συµβολίζεται το µητρώο ισορροπίας και µε s i το διάνυσµα τάσης για κάθε σώµα. Οι εξισώσεις συµβιβαστού γράφονται µε τον εξής τρόπο (Panagiotopoulos et al., 1984): e T 1 ( u ) G1 u1 T = και e2 ( u ) G2 u2 =, (4.20) όπου e, u είναι αντίστοιχα τα µητρώα παραµορφώσεων και µετακινήσεων των δύο i i σωµάτων. Με X ορίζεται το πεδίο των κινηµατικά επιτρεπόµενων µετακινήσεων u X. Η σχετική µετατόπιση στη διεπιφάνεια δίνεται από τη σχέση: u [ j ] = u u, (4.21) j, 1 j,2 όπου j=1,k ο αριθµός των κόµβων της διεπιφάνειας. Η συµπεριφορά της διεπιφάνειας των σωµάτων περιγράφεται από εκφράσεις µη γραµµικών υπερδυναµικών καταστατικών νόµων συνοχής και τριβής της µορφής (Baniotopoulos, 1987/ Baniotopoulos, 1993): P P jn jt Φ Φ u jn ( jn ) u jt ( jt ), (4.22) όπου Φ, Φ είναι υπερδυναµικές συναρτήσεις για την ορθή και την εφαπτοµενική jn jt ως προς τη διεπιφάνεια διεύθυνση και η γενικευµένη κλίση των Clarke-Rockafellar. Οι παραπάνω καταστατικοί νόµοι µπορούν να γραφούν µε την ακόλουθη ανισοτική µορφή: P P jn jt Φ Φ u * jn ( jn jn ) u u u * jt ( jt jt ), (4.23) 50

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής * u jn και * u jt R 3, όπου * u ji είναι το διάνυσµα των κινηµατικά επιτρεπόµενων µικροαυξήσεων των µετακινήσεων (perturbed). Θεωρούµε ότι οι συναρτήσεις R 3 R είναι τοπικά Lipschitz. Προκύπτει λοιπόν για τις εξισώσεις ισορροπίας: Φ, Φ : N T T = και ( G s T T ) = P. (4.24) T ( G1s 1 ) P1 u1 2 2 2 u2 Λαµβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις συµβιβαστού και ισορροπίας προκύπτει η αρχή των δυνατών έργων για το πρόβληµα, (Panagiotopoulos et al., 1984/ Καζιόλας, 2000): s T * T * T * T * 1 e1 ( u u ) + s2 e2 ( u u ) = P1 ( u1 u1 ) + P2 ( u2 u2 ). (4.25) Ισχύουν ακόµα οι σχέσεις: P P T N T T u u * 1N * 1T u u 2N * * 2T = = k j= 1 k j= 1 P P T * jn ([ u jn ]) T * jt ([ u jt ]), (4.26) οι οποίες συνδυαζόµενες µε την αρχή των δυνατών έργων δίνουν την ακόλουθη ισότητα: T * T * 1 e1 ( u1 u1 ) + s2 e2 ( u2 u2 ) s * P1 ( 1) T * u 1 u + 2 ( u 2 u 2 ) P T. k j= 1 P T k T * * jn ([ u jn ] [ u jn ]) - P jt ([ u jt ] [ u jt ]) j= 1 = (4.27) Το πρόβληµα εκφράζεται τελικά µε µια ανισότητα ηµιµεταβολών µε άγνωστες τις κινηµατικά αποδεκτές µετακινήσεις u X, ώστε: 51

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής T * T * 1 e1 ( u1 u1 ) + s2 e2 ( u2 u2 ) s k * + [ u ] [ u ] * P1 ( 1) T * u 1 u + 2 ( u 2 u 2 ) j= 1 Φ P T u * X. k * jn ( jn jn ) + Φ jt ([ u jt ] [ u jt ]) j= 1 (4.28) Η (4.28) χαρακτηρίζεται ως ανισότητα ηµιµεταβολών λόγω των όρων του πρώτου µέλους που περιέχουν τις υπερδυναµικές συναρτήσεις (Panagiotopoulos, 1985) και εκφράζει την αρχή των δυνατών έργων για το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Η παραπάνω σχέση µπορεί να διαιρεθεί στα ακόλουθα υποπροβλήµατα, που αποτελούν εκφράσεις της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος των σωµάτων για την ορθή και την εφαπτοµενική διεύθυνση. Οι άγνωστοι όροι είναι οι κινηµατικά επιτρεπόµενες µετακινήσεις u X : 1 T T Π N ( u) = u Ku p Nu + Φ jn ( u), u X και (4.29) 2 1 T T Π T ( u) = u Ku pt u + ΦJT ( u), u X. (4.30) 2 Τα διανύσµατα p N και p T αντιπροσωπεύουν τις εξωτερικές δυνάµεις µαζί µε τις ορθές και εφαπτοµενικές δυνάµεις, που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, αντίστοιχα. 4.5 Επίλυση δισδιάστατου προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χρήση του προγράµµατος MATLAB Αρχικά, για λόγους απλοποίησης της µοντελοποίησης του προβλήµατος, τόσο η πλάκα σκυροδέµατος όσο και το χαλυβδόφυλλο µορφής θεωρήθηκαν παραµορφώσιµα δισδιάστατα ορθογώνια σώµατα και διακριτοποιήθηκαν µε τριγωνικά στοιχεία (Φραγκάκις, 1983). Η σύµµικτη πλάκα λήφθηκε απλά εδραζόµενη και στα δύο άκρα της. Οι διαστάσεις της σύµµικτης πλάκας είναι: µήκος l=2200 mm και ύψος h=175 mm, όπου h c =150 mm είναι το ύψος της πλάκας σκυροδέµατος και h s =25 mm είναι το ύψος 52

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής του τραπεζοειδούς χαλυβδόφυλλου. Για λόγους συµµετρίας µοντελοποιήθηκε µόνο η µισή σύµµικτη πλάκα. Το µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος λήφθηκε ίσο µε Ec=30.5 MPa και ο λόγος του Poisson ίσος µε νc=0.3. Το σκυρόδεµα ανήκε στην κατηγορία C 25/30 και θεωρήθηκε άοπλο. Αντίστοιχα, για το τραπεζοειδές χαλυβδόφυλλο το µέτρο ελαστικότητας είναι ίσο µε Es=210 MPa και ο λόγος του Poisson ίσος µε νs=0.2. Ο χάλυβας κατασκευής του χαλυβδόφυλλου µορφής ανήκει στην κατηγορία S320. Και τα δύο υλικά θεωρήθηκαν ισότροπα. Ακολούθησε η επιβολή της εξωτερικής φόρτισης και των συνοριακών συνθηκών του προβλήµατος. Η εξωτερική φόρτιση επιβλήθηκε µε δύο µοναχικά φορτία πίεσης στην άνω πλευρά της πλάκας σκυροδέµατος και σε απόσταση l/4 από τα άκρα της σύµµικτης πλάκας µε τιµή 22.5 kn (συνολικό εξωτερικό φορτίο 45 kn). Στο σχήµα 4.6 απεικονίζεται ο κάναβος πεπερασµένων στοιχείων και η παραµορφωµένη κατάσταση του προσοµοιώµατος λόγω επιβολής εξωτερικού φορτίου. Σχήµα 4.6. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων και παραµορφωµένη κατάσταση Στις ακόλουθες σχέσεις (4.30) µε S συµβολίζεται το διάνυσµα των τάσεων επαφής στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος, και αντίστοιχα µε u το διάνυσµα των µετακινήσεων. 53

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Στο σύνορο επαφής χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος και κατά την ορθή διεύθυνση ως προς την διεπιφάνεια επαφής των σωµάτων εφαρµόσθηκαν οι συνθήκες µονόπλευρης επαφής, δηλαδή: S N 0 u N h 0 (4.30) S N ( u h) = 0, N όπου µε h συµβολίζεται η αρχική απόσταση των σωµάτων που έρχονται σε επαφή. Λήφθηκε h = 0. Η πρώτη ανισότητα δηλώνει την απουσία διείσδυσης του ενός σώµατος στο άλλο, η δεύτερη ανισότητα την ύπαρξη µόνο θετικών (θλιπτικών) τάσεων επαφής και η τρίτη συνθήκη τη µη ύπαρξη τάσεων επαφής σε περίπτωση απουσίας επαφής των σωµάτων. Στο σύνορο επαφής χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος και κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση ως προς την διεπιφάνεια επαφής των σωµάτων λήφθηκε υπόψη ο νόµος τριβής του Coulomb, δηλαδή: αν αν < S,τότε u = 0 (4.31) S T µ S T µ N = S,τότε υπάρχει 0 N T λ τέτοιο ώστε T i Ti u = λs µε i=1,2, (4.32) όπου µε µ > 0 συµβολίζεται ο συντελεστής τριβής. Λήφθηκε µ = 0. 3, σταθερός κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Η πρώτη συνθήκη, σχέση (4.31), περιγράφει την περίπτωση της επαφής συνοχής (sticking contact) και δηλώνει ότι αν η εφαπτοµενική τάση επαφής δεν υπερβεί το γινόµενο του συντελεστή τριβής µε την αντίστοιχη ορθή τάση επαφής, δεν υπάρχει ολίσθηση στη διεπιφάνεια. Η δεύτερη συνθήκη, σχέση (4.32), περιγράφει την περίπτωση της επαφής µε ολίσθηση (sliding contact) και δηλώνει ότι αν εξισωθεί η τιµή της εφαπτοµενικής τάσης επαφής µε το γινόµενο του συντελεστή τριβής επί την αντίστοιχη ορθή τάση επαφής, µπορεί να εµφανισθεί ολίσθηση µε διεύθυνση αντίθετη της εφαπτοµενικής τάσης επαφής. 54

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Για την µοντελοποίηση του υπό µελέτη προβλήµατος χρησιµοποιήθηκε το υπολογιστικό πρόγραµµα MATLAB. Η επίλυση βασίζεται στην παραδοχή ότι, κατά την επαφή χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος, οι κόµβοι των στοιχείων του ενός σώµατος µετακινούνται στην επιφάνεια επαφής των στοιχείων του άλλου σώµατος (Poh and Attard, 1993). Γίνεται, δηλαδή, προσέγγιση του προβλήµατος µε πολλαπλασιαστές Lagrange. Τα δεδοµένα του µοντέλου βρίσκονται στο Παράρτηµα ΙΙΙ. Οι τάσεις επαφής στη διεπιφάνεια υπολογίζονται απευθείας από την εξωτερική φόρτιση και αναλύονται κατόπιν στις δύο διευθύνσεις, ορθή και εφαπτοµενική. Ως ολίσθηση ορίζεται η διαφορά εφαπτοµενικών µετακινήσεων δύο γειτονικών κόµβων (ένας από στοιχείο του καννάβου στοιχείων του χαλυβδόφυλλου και ένας από στοιχείο του καννάβου στοιχείων του σκυροδέµατος) στη διεπιφάνεια των σωµάτων. Οι δυνάµεις τριβής λαµβάνονται υπόψη µόνο όταν το χαλυβδόφυλλο και το σκυρόδεµα βρίσκονται σε επαφή. Στο διάγραµµα 4.7 απεικονίζονται, σε µέγεθος (σε MPa) και θέση εµφάνισης (σε mm), οι ορθές δυνάµεις επαφής που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια τραπεζοειδούς χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος. Σχήµα 4.7. Μέγεθος και θέση εµφάνισης δυνάµεων επαφής Το υπό µελέτη πρόβληµα εντάσσεται στα προβλήµατα µονόπλευρης επαφής µε τριβή. Το πρόβληµα διατυπώνεται ως πρόβληµα µη λείας βελτιστοποίησης µε 55

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής γραµµικούς περιορισµούς (Panagiotopoulos, 1985/ Avdelas, 1987/ Avdelas, 1998). Συγκεκριµένα, κατόπιν δυϊκής µόρφωσης των τάσεων επαφής, το πρόβληµα απλοποιείται εκ νέου και τελικά ανάγεται σε πρόβληµα τετραγωνικής ελαχιστοποίησης της δυναµικής ενέργειας µε απλούς περιορισµούς (Panagiotopoulos et al., 1984/ Bisbos, 1986/ Avdelas, 1991/ Baniotopoulos, 1993). Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος περιγράφεται από τη σχέση: 1 Τ Π = λ Kλ P 2 T λ, (4.33) και το αντίστοιχο πρόβληµα ελαχιστοποίησης (Avdelas, 1992/ Avdelas, 2002) εκφράζεται ως: 1 Τ T min { Π = λ K λ P λ λ 0 }, (4.34) 2 όπου K είναι το δυϊκό (dual) µητρώο δυσκαµψίας, P το δυϊκό µητρώο φορτίσεων και λ οι πολλαπλασιαστές Lagrange (Foulds, 1981/ Αβδελάς, 1987). Οι πολλαπλασιαστές Lagrange έχουν τη φυσική σηµασία σηµειακών (κοµβικών) δυνάµεων επαφής στη διακριτοποιηµένη διεπιφάνεια τραπεζοειδούς χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος. Το πρόβληµα επιλύεται µε την µέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων (Haslinger and Vlach, 2006). Η ελαχιστοποίηση της τετραγωνικής µορφής της δυναµικής ενέργειας πραγµατοποιείται µε την µέθοδο της συζυγούς κλίσης (Dostal et al., 1996/ Chandrupatla and Belegundu, 2005). Η µέθοδος είναι ένας αλγόριθµος βελτιστοποίησης που εισάγεται στο υπολογιστικό πρόγραµµα MATLAB και βρίσκει το τοπικό ελάχιστο της υπό εξέταση συνάρτησης, λαµβάνοντας βήµατα αναλογικά προς το αρνητικό της κλίσης της συνάρτησης-στόχος στο τρέχον σηµείο. Προκειµένου να εφαρµοσθεί η µέθοδος της συζυγούς κλίσης λήφθηκε το µητρώο δυσκαµψίας θετικά ορισµένο. Έχει αποδειχθεί (Bathe, 1996) ότι η επόµενη εξίσωση ελαχιστοποιεί την σχέση (4.34): K λ = P. (4.35) 56

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται όταν το υπόλοιπο r i είναι µικρότερο από µια προκαθορισµένη ποσότητα (ανοχή): r i P Kλ, (4.36) = i ε όπου i=1, n είναι ο αριθµός των επαναληπτικών βηµάτων και ε <10-3 είναι η επιτρεπόµενη ανοχή λάθους. Η επιτρεπόµενη ανοχή λάθους είναι συνήθως κλάσµα του αρχικού υπόλοιπου. Force-Middle deflection Force (kn) 52,5 45 37,5 30 22,5 15 7,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Middle deflection (mm) Σχήµα 4.8. ιάγραµµα φόρτισης-βύθισης Force-Slip Force (kn) 52,5 45 37,5 30 22,5 15 7,5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Slip (mm) Σχήµα 4.9. ιάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης 57

Κεφάλαιο 4: Μαθηµατική µόρφωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Στο διάγραµµα 4.8 απεικονίζεται η βύθιση στο µέσο της σύµµικτης πλάκας σε συνάρτηση µε το µέγεθος του επιβαλλόµενου εξωτερικού φορτίου. Η τιµή της βύθισης στο µέσο του ανοίγµατος της σύµµικτης πλάκας για µέγιστο φορτίο βρέθηκε ίση µε 1.97 mm. Στο σχήµα 4.9 απεικονίζεται η ολίσθηση στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε συνάρτηση µε την εξωτερική φόρτιση. Η τιµή της ολίσθησης στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας για µέγιστο φορτίο βρέθηκε ίση µε 4.05 mm. 4.6 Συµπεράσµατα Η µαθηµατική µόρφωση της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής αποτελεί την θεωρητική προσέγγιση του προβλήµατος. Μέσω κατάλληλης µαθηµατικής επεξεργασίας διατυπώνεται µια γενική ανισότητα ηµιµεταβολών, που περιγράφει την επίδραση των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων του συστήµατος σκυρόδεµα-χαλυβδόφυλλο µορφής στη δοµική συµπεριφορά του. Πρακτική εφαρµογή της µαθηµατικής µόρφωσης του προβλήµατος αποτελεί το δισδιάστο µοντέλο υπολογισµού που κατασκευάστηκε µε το πρόγραµµα MATLAB. Το συγκεκριµένο προσοµοίωµα αποτυπώνει µε αρκετή ακρίβεια την αλληλεπίδραση σκυροδέµατος και χάλυβα στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας. Τα διαγράµµατα που προκύπτουν από την επίλυση του µοντέλου, παρέχουν σαφή εικόνα για τις κύριες παραµέτρους (δύναµη επαφής, βύθιση, ολίσθηση), που αντικατοπτρίζουν την λειτουργία των σύµµικτων πλακών. 58

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ 5.1 Γενικά στοιχεία Στην περίπτωση των σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής ακολουθείται η πειραµατική διαδικασία µε δοκίµια σε φυσικό µέγεθος. Σκοπός των πειραµάτων αποτελεί η διερεύνηση µιας σειράς παραµέτρων που καθορίζουν την συµπεριφορά του διατµητικού δεσµού της σύµµικτης πλάκας. Τέτοιου είδους πειράµατα ονοµάζονται παραµετρικά (parametric). Οι κυριότερες παράµετροι που διερευνώνται πειραµατικά είναι τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του χαλυβδόφυλλου µορφής, το πάχος και η ποιότητα του σκυροδέµατος και το διατµητικό άνοιγµα της πλάκας (Eurocode 4, 1994). Ο αριθµός των απαιτούµενων παραµετρικών πειραµάτων για την διερεύνηση της συµπεριφοράς των σύµµικτων πλακών είναι αρκετά µεγάλος. Μπορεί, όµως, να µειωθεί στην περίπτωση πειραµάτων που αποσκοπούν στη διερεύνηση των ιδιοτήτων συγκεκριµένων σύµµικτων πλακών. Τα πειράµατα αυτά ονοµάζονται συγκεκριµένα (specific) και µπορούν να πραγµατοποιηθούν σε µία µόνο σειρά, αποτελούµενη από τρία δοκίµια. Με τα συγκεκριµένα πειράµατα προσδιορίζονται το µέγεθος του φορτίου αστοχίας και η µορφή αστοχίας της υπό εξέτασης σύµµικτης πλάκας. Κατά τη διάρκεια του πειράµατος µπορεί, επίσης, να µετρηθεί η ολίσθηση στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος και το βέλος κάµψης στο µέσο του ανοίγµατος της σύµµικτης πλάκας. Από τη σύνθεση των αποτελεσµάτων προκύπτουν διάφορα διαγράµµατα, µε χρησιµότερα το διάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης και το διάγραµµα φόρτισης-βύθισης (Gattesco and Giuriani, 1996). Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4, το δοκίµιο της υπό εξέταση σύµµικτης πλάκας που υποβάλλεται σε παραµετρικό πείραµα µπορεί να αστοχήσει είτε λόγω κάµψης, είτε λόγω διαµήκους διάτµησης, είτε λόγω κατακόρυφης διάτµησης, µε τις πειραµατικές τιµές να βρίσκονται σε κάθε περίπτωση στις αντίστοιχες περιοχές του διαγράµµατος 59

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 5.1. Όπως φαίνεται και στο ακόλουθο διάγραµµα καθοριστικό στοιχείο για την µορφή αστοχίας της σύµµικτης πλάκας αποτελεί το διατµητικό άνοιγµά της L s. Σχήµα 5.1. Μορφές αστοχίας σύµµικτης πλάκας Σκοπός της πειραµατικής µελέτης, που θα παρουσιαστεί παρακάτω, αποτέλεσε η παρακολούθηση και καταγραφή της αλληλεπίδρασης χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε δοκίµια πραγµατικής κλίµακας (Nie et al., 2004/ Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005). Ταυτόχρονα υπολογίστηκε το φορτίο αστοχίας της σύµµικτης πλάκας και κατασκευάστηκαν τα διαγράµµατα φορτίου-βύθισης και φορτίου-ολίσθησης. Η πειραµατική πορεία µέχρι την αστοχία των σύµµικτων δοκιµίων αποτυπώθηκε σε σειρά φωτογραφιών και βίντεο. 5.2 Προετοιµασία πειραµατικών δοκιµίων Ο Ευρωκώδικας 4 καθορίζει µε σαφήνεια τους περιορισµούς στους οποίους πρέπει να υπάγονται τα πειραµατικά δοκίµια (Eurocode 4, 1994). Οι κυριότεροι είναι: Η επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου µορφής πρέπει να αντιστοιχεί στην µετά την έλαση κατάστασή του χωρίς να γίνει προσπάθεια βελτίωσης της συνάφειάς του µε το σκυρόδεµα µε απολίπανση. 60

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Η µορφή και οι εγκοπές του χαλυβδόφυλλου µορφής πρέπει να συµφωνούν επακριβώς µε τα φύλλα που θα χρησιµοποιηθούν στο πείραµα. Η µετρούµενη απόσταση και το ύψος των εγκοπών δεν πρέπει να έχουν απόκλιση από τις ονοµαστικές τιµές περισσότερο από 5% και 10% αντίστοιχα. Το πλάτος των πειραµατικών πλακών δεν πρέπει να είναι µικρότερο από: (i) τρεις φορές το ολικό ύψος της σύµµικτης πλάκας, (ii) 600 mm και (iii) το πλάτος επικάλυψης του χαλυβδόφυλλου µορφής. Τα δοκίµια της σύµµικτης πλάκας συνιστάται να σκυροδετούνται σε κατάσταση πλήρους υποστήριξης. Η κατάσταση αυτή θεωρείται η πλέον δυσµενής για την αστοχία του διατµητικού δεσµού της διεπιφάνειας χάλυβα και σκυροδέµατος. Το σκυρόδεµα όλων των δοκιµίων που ανήκουν στην ίδια σειρά πειραµάτων οφείλει να έχει την ίδια σύνθεση και να υποβάλλεται στον ίδιο τρόπο ξήρανσης. Κατά την σκυροδέτηση κάθε οµάδας πλακών πρέπει να ληφθούν τουλάχιστον τέσσερα δοκίµια σκυροδέµατος προς προσδιορισµό της κυλινδρικής ή κυβικής αντοχής. Η θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος κάθε οµάδας λαµβάνεται ως η µέση τιµή, εάν η απόκλιση από την µέση τιµή δεν υπερβαίνει το 10%. Στην περίπτωση που η απόκλιση της θλιπτικής αντοχής από την µέση τιµή υπερβαίνει το 10%, τότε ως θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος πρέπει να λαµβάνεται η µέγιστη µετρηθείσα τιµή. Η εφελκυστική αντοχή και το όριο διαρροής του χαλυβδόφυλλου µορφής πρέπει να προσδιορίζονται πειραµατικά σε δοκίµια που λαµβάνονται από κάθε ένα από τα φύλλα που χρησιµοποιήθηκαν στα δοκίµια των σύµµικτων πλακών. Πρέπει να πραγµατοποιηθούν τουλάχιστον έξι πειράµατα σύµµικτων πλακών σε δοκίµια χωρίς πρόσθετο οπλισµό ή ακραία αγκύρωση. Η εταιρία επεξεργασίας και εµπορίας χαλυβδόφυλλων µορφής ΑΦΟΙ ΚΑΜΤΣΗ Α.Ε. παρέδωσε στο Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών του Α.Π.Θ. τραπεζοειδή χαλύβδινα προφίλ στις κατάλληλες διαστάσεις, σύµφωνα µε τις προδιαγραφές του Ευρωκώδικα 4, προκειµένου να χρησιµοποιηθούν σε πείραµα σύµµικτης πλάκας. Τα χαλυβδόφυλλα που χρησιµοποιήθηκαν στο πείραµα ήταν τραπεζοειδούς προφίλ µε πάχος 1 mm, πλάτος 600 mm, ύψος 55 mm και µήκος 2200 mm (Τύπος Comp Deck 55/150-600). Η ποιότητά τους ήταν S320. Στην εξωτερική τους πλευρά είχαν κατάλληλη οδοντωτή διαµόρφωση, σχήµα 5.2, που αυξάνει την συνάφεια χάλυβα 61

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής και σκυροδέµατος (Daniels and Crisinel, 1993/ Hofmeyer et al., 2002/ Akhand et al., 2004). α) β) Σχήµα 5.2. α) Το υπό µελέτη χαλυβδόφυλλο µορφής και β) λεπτοµέρεια των εντυπωµάτων του 5.3 Περιγραφή πειραµατικής διάταξης Σχήµα 5.3. Τυπικό πείραµα κάµψης σύµµικτης πλάκας ενός ανοίγµατος σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4 62

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Προκειµένου να πραγµατοποιηθεί πειραµατική διαδικασία σύµφωνη µε τις απαιτήσεις του Ευρωκώδικα 4 (σχήµα 5.3) κρίθηκε αναγκαία η κατασκευή της ειδικής τροποποιητικής πειραµατικής διάταξης η οποία απεικονίζεται στο σχήµα 5.4. Σχήµα 5.4. Πειραµατική διάταξη Η διάταξη αυτή προσαρµόστηκε στις υπάρχουσες υδραυλικές πρέσες τόσο στην περίπτωση του στατικού όσο και του κυκλικού πειράµατος (Eurocode 4, 1994). Για λόγους ικανοποίησης πειραµατικών περιορισµών οι διαστάσεις των πειραµατικών πλακών αποφασίσθηκε να ληφθούν: µήκος 2,2 m, πλάτος 0,6 m, και ύψος 0,175 m. Στον ακόλουθο πίνακα 5.1 δίνονται τα ίδια βάρη των δοκών στήριξης και διανοµής της φόρτισης που χρησιµοποιήθηκαν στην πειραµατική διάταξη. Στοιχεία Πρόσθετα βάρη (kn) οκός 1,3m 0,92 οκός 0,6m 0,23 οκός 0,6m 0,23 Λάµα 0,06 Λάµα 0,06 Ράβδος 0,03 Ράβδος 0,03 Σύνολο 1,56 Πίνακας 5.1. Ίδια βάρη [kn] βοηθητικών στοιχείων πειραµατικής διάταξης 63

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Πρώτο βήµα στην πειραµατική διαδικασία αποτέλεσε η δηµιουργία ξυλότυπου. Ακολούθησε η σκυροδέτηση των δοκιµίων σε κατάσταση πλήρους υποστήριξης (σχήµα 5.5). Η συµπύκνωση του σκυροδέµατος κατά τη σκυροδέτηση των δοκιµίων πραγµατοποιήθηκε µε τη χρήση δονητή. Σχήµα 5.5. Σκυροδέτηση δοκιµίων Για την αποφυγή πρόωρων ρηγµατώσεων στο σκυρόδεµα κρίθηκε σκόπιµη η διαβροχή του µετά την σκυροδέτηση και η τοποθέτηση νάιλον στις ακάλυπτες επιφάνειες των πλακών (σχήµα 5.6). Σχήµα 5.6. Επικάλυψη δοκιµίων Για την αποτροπή εκκεντροτήτων κατά την επιβολή των πειραµατικών φορτίων έγινε προσεκτική τοποθέτηση των δοκιµίων στην πειραµατική διάταξη µε χρήση γερανών και ελαστικών ιµάντων. 64

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Το σκυρόδεµα που χρησιµοποιήθηκε για την κατασκευή των σύµµικτων πλακών επί τόπου ανήκε στην κατηγορία C25/30 και δεν τοποθετήθηκε πρόσθετος οπλισµός. Για να ελεγχθεί η θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος που χρησιµοποιήθηκε στο πείραµα λήφθηκαν οκτώ κυλινδρικά δοκίµια σκυροδέµατος διαµέτρου 150 mm και ύψους 300 mm σύµφωνα µε τις διατάξεις του Κανονισµού Τεχνολογίας Σκυροδέµατος. Κατόπιν θραύσης των δοκιµίων βρέθηκε ότι η ποιότητα του σκυροδέµατος ανταποκρινόταν στις υψηλές απαιτήσεις του πειράµατος. Η µέση θλιπτική κυλινδρική αντοχή 28 ηµερών του σκυροδέµατος βρέθηκε ίση µε 23.9 MPa. Κατασκευάστηκαν συνολικά έξι δοκίµια σύµµικτων πλακών και ταξινοµήθηκαν σε δύο σειρές. Η κάθε σειρά αποτελούνταν από τρία δοκίµια ενώ δεν έγινε προσπάθεια αύξησης της συνάφειας χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος. 5.4 Συνθήκες στήριξης Το δοκίµιο θεωρείται αµφιέρειστα εδραζόµενο κατά τη διάρκεια της πειραµατικής διαδικασίας. Έγινε χρήση κατάλληλων βλήτρων και κυλινδρικών εφέδρανων προκειµένου να προσοµοιωθούν ρεαλιστικά οι θέσεις στήριξης της σύµµικτης πλάκας. Η απόσταση του άκρου της σύµµικτης πλάκας από τα κέντρα των πλακών έδρασης δεν πρέπει να ξεπερνά τα 100 mm και λήφθηκε ίση µε 50 mm. Οι πλάκες έδρασης είχαν πάχος 10 mm ενώ το πλάτος τους ταυτίστηκε µε το πλάτος της σύµµικτης πλάκας. όθηκε ιδιαίτερη προσοχή στην υλοποίηση συµµετρικών συνθηκών στήριξης των σύµµικτων δοκιµίων για την αποφυγή συµµετοχής της εκκεντρότητας στα αποτελέσµατα (Daniels and Crisinel, 1993/ Lawson and Chung, 1994). Οι επιφάνειες επαφής των δοκών διανοµής του φορτίου µε την άνω έδρα της σύµµικτης πλάκας δε κρίθηκε απαραίτητο να καλυφθούν µε νεοπρέν λόγω της ανυπαρξίας ρηγµατώσεων στο σκυρόδεµα. 5.5 Συνθήκες φόρτισης Τα δοκίµια της σύµµικτης πλάκας υποβάλλονται σε στατικό και κυκλικό πείραµα που αντιπροσωπεύουν την φόρτιση που πρόκειται να δεχθεί η σύµµικτη πλάκα σε πραγµατικές σύµµικτες κατασκευές. 65

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Το στατικό πείραµα, που προηγείται του κυκλικού στην πειραµατική διαδικασία, χρησιµοποιείται για την εύρεση του κυκλικού φορτίου που θα επιβληθεί στο δυναµικό πείραµα της σύµµικτης πλάκας και για µια αρχική εκτίµηση της συµπεριφοράς της. Η πειραµατική διάταξη του στατικού πειράµατος φαίνεται στο σχήµα 5.7. Σχήµα 5.7. Στατικό πείραµα Τρία δοκίµια της σύµµικτης πλάκας υποβάλλονται σε αυξανόµενο στατικό φορτίο για τουλάχιστον µία ώρα µέχρι να αστοχήσουν. Το φορτίο αστοχίας της σύµµικτης πλάκας που προκύπτει από το στατικό πείραµα καθορίζει το κυκλικό φορτίο του δυναµικού πειράµατος. Η µέση τιµή του φορτίου αστοχίας από το στατικό πείραµα υπολογίστηκε ίση µε 45 kn. Το κυκλικό πείραµα, που αποτελεί το κυρίως πείραµα, χωρίζεται σε δύο στάδια που αντιπροσωπεύουν τα τυπικά φορτία που δρουν σε µία σύµµικτη πλάκα µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Στο πρώτο στάδιο η σύµµικτη πλάκα υποβάλλεται σε κυκλική φόρτιση µε 5000 κύκλους φόρτισης, για τουλάχιστον τρεις ώρες, και στο δεύτερο στάδιο σε αυξανόµενο στατικό φορτίο, για τουλάχιστον µία ώρα, µέχρι την αστοχία. Η πειραµατική διάταξη του κυκλικού πειράµατος φαίνεται στο σχήµα 5.8. 66

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 5.8. Κυκλικό πείραµα Η επιβολή των κύκλων φόρτισης στην σύµµικτη πλάκα έγινε µε σταθερή συχνότητα 0.5 Hz (Marimuthu et al., 2006) και έλεγχο της δύναµης. Στον Αγγλικό Κανονισµό (British Standards) προτείνεται η επιβολή 10000 κύκλων φόρτισης, αλλά έχει βρεθεί πειραµατικά ότι η πρώτη διολίσθηση εµφανίζεται στους 5000 κύκλους φόρτισης. Στην περίπτωση της κυκλικής φόρτισης η τιµή του φορτίου κυµαίνεται µεταξύ µιας κατώτερης τιµής του φορτίου που ορίζεται ίση µε 3.3 kn (0.5W ) και µιας ανώτερης τιµής ίσης µε 9.9 kn (1.5W ). Οι τιµές αυτές προέκυψαν από την αναµενόµενη τιµή της χαρακτηριστικής φόρτισης φάση λειτουργίας της σύµµικτης πλάκας. q W q που αναµένεται να επιβληθεί στη Για τον υπολογισµό του χαρακτηριστικού φορτίου θεωρήθηκε ότι δρα στην άνω επιφάνεια της σύµµικτης πλάκας κατανεµηµένο στατικό φορτίο 5 kn/m 2. Το φορτίο αυτό πολλαπλασιάζεται µε το εµβαδόν της άνω επιφάνειας δίνοντας τελικά την τιµή q του χαρακτηριστικού φορτίου W q ίση µε 6.6 kn. Στο χαρακτηριστικό φορτίο συµπεριλαµβάνεται το ίδιο βάρος του δοκιµίου. Συνολικά τρία δοκίµια σύµµικτων πλακών υποβλήθηκαν σε κυκλική και εν συνεχεία στατική φόρτιση. Τα πρώτα τρία δοκίµια φορτίστηκαν µόνο µε αυξανόµενο στατικό φορτίο και αποτέλεσαν οδηγό για την ταχύτητα επιβολής της φόρτισης στη δεύτερη σειρά δοκιµίων. Το φορτίο αστοχίας του δοκιµίου βρέθηκε ίσο µε 45 kn. Στην 67

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής τιµή αυτή συµπεριλαµβάνεται το ίδιο βάρος του δοκιµίου και το βάρος των δοκών διανοµής του φορτίου. Η επιβολή των φορτίων πραγµατοποιήθηκε µε χρήση υδραυλικής πρέσας και η λήψη των αποτελεσµάτων µέσω οργάνων υψηλής ακρίβειας. Τα δοκίµια φορτίστηκαν µε δύο ίσα συγκεντρωµένα φορτία που επιβλήθηκαν συµµετρικά στα L / 4 και 3L / 4 του ανοίγµατος της σύµµικτης πλάκας. Τα πειράµατα πραγµατοποιήθηκαν στο Εργαστήριο Πειραµατικής Αντοχής Υλικών και Κατασκευών του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης υπό την καθοδήγηση των καθηγητών κ.κ. Μ. Ζυγοµαλά και Γ. Μάνου. Την γενική επίβλεψη της πειραµατικής διαδικασίας είχε ο καθηγητής κ. Α. Αβδελάς. 5.6 Μέθοδοι σχεδιασµού σύµµικτων πλακών Τα πειράµατα των σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής διερευνούν τη συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας, µε τελικό εξαγόµενο τον υπολογισµό της αντοχής του διατµητικού δεσµού που αναπτύσσεται µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος ((Davies and Jiang, 1997/ Veljkovic, 1998). Η επεξεργασία των αποτελεσµάτων των πειραµάτων µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε δύο κύριες µεθόδους σχεδιασµού. Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4, οι µέθοδοι αυτές είναι η µέθοδος διατµητικού δεσµού (m-k Method) και η µέθοδος µερικής διατµητικής σύνδεσης (PSC-Partial Shear Connection Method). 5.6.1 Μέθοδος m-k Η µέθοδος διατµητικού δεσµού (m-k Method), σχήµα 5.9, πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Schuster (1970) και αποτελεί τµήµα του ASCE (1992) και του Ευρωκώδικα 4 (1994). Σκοπό της µεθόδου αποτελεί αρχικά ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών συντελεστών m και k της σύµµικτης πλάκας και κατόπιν ο υπολογισµός της τέµνουσας δύναµης που µπορεί να παραλάβει ο διατµητικός δεσµός της σύµµικτης πλάκας. Από 68

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής τις βρεθείσες τιµές των συντελεστών m και k προκύπτει η ευθεία I-II του διαγράµµατος 5.1 που αντιπροσωπεύει την αντοχή σε διαµήκη διάτµηση της σύµµικτης πλάκας. Ο συντελεστής m εκφράζει την κλίση της ευθείας I-II και ο συντελεστής k το σηµείο τοµής της ευθείας I-II µε την τεταγµένη του διαγράµµατος. Προκείµενου να κατασκευαστεί η ευθεία I-II της µεθόδου απαιτούνται πειραµατικά αποτελέσµατα από δοκίµια σύµµικτων πλακών πραγµατικών διαστάσεων µε µικρό και µεγάλο διατµητικό άνοιγµα σύµφωνα µε την πειραµατική διάταξη του σχήµατος 5.3. Ο Ευρωκώδικας 4 ορίζει ότι η µέγιστη τιµή της τέµνουσας σχεδιασµού V sd πρέπει να είναι µικρότερη ή ίση της τέµνουσας δύναµης V t, Rd, που µπορεί να παραληφθεί από τη σύµµικτη πλάκα, όπως προκύπτει από την εξίσωση: V t, Rd = b d m A / b L k / (5.1) p [( p ) ( s ) + ] γ vs όπου: L s το διατµητικό άνοιγµα της σύµµικτης πλάκας, b το πλάτος της σύµµικτης πλάκας, d p το ωφέλιµο στατικό ύψος της σύµµικτης πλάκας, A p το εµβαδόν του χαλυβδόφυλλου µορφής και γ vs ο συντελεστής ασφαλείας (λαµβάνεται ίσος µε 1.25) Η αντίστοιχη εξίσωση του Αµερικάνικου Κώδικα (ASCE) διατυπώνεται ως εξής (Redzuan, 2004): b V d t, Rd p f ck = m ρ L s f d ck p + k (5.2) όπου: L s το διατµητικό άνοιγµα της σύµµικτης πλάκας, b το πλάτος της σύµµικτης πλάκας, d p το ωφέλιµο στατικό ύψος της σύµµικτης πλάκας, 69

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ρ ο λόγος του εµβαδού του χαλυβδόφυλλου µορφής προς το εµβαδόν της ενεργής περιοχής του σκυροδέµατος b A p d p και f ck η χαρακτηριστική κυλινδρική θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος. Σχήµα 5.9. Μέθοδος συντελεστών m-k Το βασικό µειονέκτηµα της µεθόδου m-k είναι ότι πρόκειται για µια ηµιεµπειρική µέθοδο διαστασιολόγησης σύµµικτων πλακών που δεν βασίζεται σε κάποιο θεωρητικό µοντέλο αντοχής. Για το λόγο αυτό στη παρούσα εργασία η επεξεργασία των πειραµατικών αποτελεσµάτων πραγµατοποιήθηκε µε την µέθοδο µερικής διατµητικής σύνδεσης που παρουσιάζεται στην ακόλουθη παράγραφο. 5.6.2 Μέθοδος µερικής διατµητικής σύνδεσης (PSC) Η µέθοδος σχεδιασµού µερικής διατµητικής σύνδεσης αποσκοπεί στον προσδιορισµό της τιµής σχεδιασµού της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση τ u, Rd στην περίπτωση σύµµικτης πλάκας µε µερική διατµητική σύνδεση. Η µέθοδος πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Stark (1978), αποτελούσε τµήµα του παραρτήµατος Ε του Ευρωκώδικα 4 και από το 2001 βρίσκεται στο κυρίως κείµενο του κανονισµού. Στην περίπτωση σύµµικτης πλάκας µε µερική διατµητική σύνδεση υπάρχει ολίσθηση στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας και δεν εξαντλείται η καµπτική φέρουσα 70

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ικανότητα της σύµµικτης πλάκας (Stark, 1990/ Bode et al., 1996/ Crisinel and Marimon, 2004). Η µέθοδος της µερικής διατµητικής σύνδεσης µπορεί να εφαρµοσθεί µόνο σε σύµµικτες πλάκες µε όλκιµη συµπεριφορά, δηλαδή σε σύµµικτες πλάκες των οποίων το φορτίο αστοχίας υπερβαίνει κατά 10% το φορτίο την στιγµή της πρώτης ολίσθησης. Ο Ευρωκώδικας 4 ορίζει σαν πρώτη ολίσθηση την ολίσθηση µε τιµή 0.5 mm. Καθοριστικό στοιχείο στην αντοχή του διατµητικού δεσµού της σύµµικτης πλάκας αποτελεί ο βαθµός διατµητικής σύνδεσής της η, ο οποίος λαµβάνει τιµές 0 η 1. Η τιµή η = 1 αντιπροσωπεύει την ακραία περίπτωση της σύµµικτης πλάκας µε πλήρη διατµητική σύνδεση ενώ η τιµή η = 0 την ακραία περίπτωση της σύµµικτης πλάκας χωρίς διατµητική σύνδεση (µη-σύµµικτη). Όλες οι ενδιάµεσες τιµές του συντελεστή η αντιστοιχούν σε σύµµικτες πλάκες µε µερική διατµητική σύνδεση. Η τιµή του βαθµού διατµητικής σύνδεσης η για δεδοµένη διατοµή σύµµικτης πλάκας µπορεί να µεταβληθεί και επιτυγχάνεται µε κατάλληλη µεταβολή του πάχους ή του µήκους των δοκιµίων. Σχήµα 5.10. Θεωρητική καµπύλης µερικής διατµητικής σύνδεσης 71

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Η µέθοδος αρχίζει µε την κατασκευή της θεωρητικής καµπύλης µερικής διατµητικής σύνδεσης όπως φαίνεται στο σχήµα 5.10. Τα σηµεία A και C αντιστοιχούν στις περιπτώσεις µηδενικής και πλήρους διατµητικής σύνδεσης ενώ όλα τα ενδιάµεσα σηµεία B σε περιπτώσεις µερικής διατµητικής σύνδεσης. Η καµπύλη κατασκευάζεται µέσω της ακόλουθης σχέσης και καθορίζεται από τον βαθµό διατµητικής σύνδεσης η : M N c z + M pr = (5.3) όπου: N = η, η θλιπτική δύναµη του σκυροδέµατος για σύµµικτη πλάκα µε µερική c N cf διατµητική σύνδεση, z = h 0.5x e + ( e e)η, ο µοχλοβραχίονας µεταξύ της εφελκυστικής δύναµης t p p στην κάτω ίνα της σύµµικτης πλάκας και της θλιπτικής στην άνω, µε h t το πάχος της σύµµικτης πλάκας, e p η απόσταση του πλαστικού ουδέτερου άξονα από την κάτω ίνα της σύµµικτης πλάκας και e η απόσταση του κέντρου βάρους της ενεργού διατοµής από την κάτω ίνα της σύµµικτης πλάκας και ροπή αντοχής του χαλυβδόφυλλου µορφής. M pr = 1.25M (1 η ) M, η µειωµένη pa pa Στις παραπάνω σχέσεις αντικαθίστανται τα ακόλουθα µεγέθη: N cf = A f, η διατµητική δύναµη του σκυροδέµατος για σύµµικτη πλάκα µε πλήρη p yp διατµητική σύνδεση και N c x = b( 0.85 f ck, το βάθος της θλιβόµενης ζώνης του ) σκυροδέµατος Η τεταγµένη του διαγράµµατος της θεωρητικής καµπύλης µερικής διατµητικής σύνδεσης αντιστοιχεί στο λόγο της µέγιστης ροπής κάµψης του πειράµατος την ροπή αντοχής της σύµµικτης πλάκας µε πλήρη διατµητική σύνδεση δίνεται από τον τύπο: M test προς M prm. Η M prm M prm = N ( d 0.5a) (5.4) cf p 72

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής όπου: Ap f yp a =, το βάθος της θλιβόµενης ζώνης του σκυροδέµατος για πλήρη διατµητική 0.85 f b ck σύνδεση, µε: A p το εµβαδόν της ενεργούς διατοµής του χαλυβδόφυλλου µορφής f ck η χαρακτηριστική κυλινδρική θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος f yp η χαρακτηριστική εφελκυστική αντοχή του χαλυβδόφυλλου µορφής b το πλάτος της σύµµικτης πλάκας. Μετά τον υπολογισµό του λόγου M M test prm ακολουθώντας τη διαδροµή 1-2-3 στην θεωρητική καµπύλη µερικής διατµητικής σύνδεσης βρίσκουµε τον βαθµό διατµητικής σύνδεσης η. πλάκας Η τιµή σχεδιασµού της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση σύµµικτης τ u, Rd δίνεται τελικά από την σχέση:, = µε τ u = ( η N cf / b Ls ) (5.5) τ u Rd τ u / γ v όπου τ u η αντοχή σε διαµήκη διάτµηση του χαλυβδόφυλλου µορφής, L s το διατµητικό άνοιγµα της σύµµικτης πλάκας, b το πλάτος της σύµµικτης πλάκας, η ο βαθµός διατµητικής σύνδεσης, N cf η τιµή της διατµητικής δύναµης στο σκυρόδεµα και γ v ο συντελεστής ασφαλείας (λαµβάνει τιµή ίση µε 1.25). Υπενθυµίζουµε ότι για την εφαρµογή της µεθόδου PSC απαιτούνται πειραµατικά αποτελέσµατα από δοκίµια σύµµικτων πλακών πραγµατικών διαστάσεων σύµφωνα µε τις απαιτήσεις του Ευρωκώδικα 4. 73

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 5.7 Παρουσίαση πειραµατικών αποτελεσµάτων Στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας ενός ανοίγµατος το σύνολο της διεπιφάνειας χαλυβδόφυλλου-σκυροδέµατος βρίσκεται σε εφελκυσµό. Η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας αποδείχθηκε όλκιµη, σύµφωνα µε τον ορισµό του Ευρωκώδικα 4 (βλέπε παράγραφο 5.6.2). Η σύµµικτη πλάκα αστοχεί λόγω ρηγµάτωσης και καταστροφής του διατµητικού δεσµού που αναπτύσσεται στην διεπιφάνεια των δύο υλικών (Clubley et al., 2003a/ Marimuthu et al., 2006/ Mistakidis et al., 2006/ Tsalkatidis and Avdelas, 2007). Η τελική µορφή αστοχίας της σύµµικτης πλάκας απεικονίζεται στο σχήµα 5.11. Η αστοχία των δοκιµίων ξεκινά µε τη διαµήκη καταστροφή του χηµικού δεσµού χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια των σύµµικτων δοκιµίων (Hossain and Wright, 2004). Ακολουθεί ρηγµάτωση του σκυροδέµατος, αποκόλληση χάλυβα και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια επαφής και κατόπιν αµοιβαία ολίσθηση, όπως φαίνεται στο σχήµα 5.12. Σχήµα 5.11. Αστοχία σύµµικτης πλάκας 74

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 5.12. Ολίσθηση στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος Η αντοχή της σύµµικτης πλάκας µειώνεται δραµατικά, όµως λόγω της ύπαρξης µηχανικού δεσµού (εξογκωµάτων χαλυβδόφυλλου µορφής) και δυνάµεων τριβής έχουµε νέα αύξηση της αντοχής της σύµµικτης πλάκας. Τελικά η σύµµικτη πλάκα αστοχεί λόγω κάµψης µε συνεχώς αυξανόµενη ολίσθηση στη διεπιφάνειά της. Λεπτοµέρειες από την αστοχία της σύµµικτης πλάκας φαίνονται στα σχήµατα 5.13 και 5.14. Σχήµα 5.13. Λεπτοµέρεια ρωγµής σύµµικτης πλάκας 75

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 5.14. Λεπτοµέρεια αποκόλλησης χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος Στο σχήµα 5.15 παρουσιάζεται η τυπική αλληλουχία αστοχίας µιας σύµµικτης πλάκας. ιακρίνονται τρία κύρια στάδια: i) το στάδιο πλήρους σύµµικτης δράσης µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα, ii) το στάδιο καταστροφής του χηµικού δεσµού σκυροδέµατος και χαλυβδόφυλλου µορφής, ρηγµάτωσης του σκυροδέµατος και έναρξης της ολίσθησης στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας και iii) το τελικό στάδιο καταστροφής του µηχανικού δεσµού σκυροδέµατος και χαλυβδόφυλλου µορφής και αστοχίας της σύµµικτης πλάκας. Σχήµα 5.15. Τυπική αλληλουχία αστοχίας σύµµικτης πλάκας 76

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας µε διαστάσεις µήκος 2,2 m, πλάτος 0,6 m, και ύψος 0,175 m έχουµε µια ενδιάµεση, σε σχέση µε τον Ευρωκώδικα 4, µορφή αστοχίας. Σχήµα 5.16. Τυπικές µορφές διαγραµµάτων φόρτισης-βύθισης σύµµικτης πλάκας, ανάλογα µε την µορφή αστοχίας, σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4: 1) αστοχία λόγω κάµψης και 2) αστοχία λόγω διαµήκους διάτµησης Η ενδιάµεση κατάσταση φαίνεται και από τη σύγκριση των διαγραµµάτων φόρτισης-βύθισης των σχηµάτων 5.16 και 5.17. Σχήµα 5.17. ιάγραµµα φόρτισης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο 77

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Παρατηρείται, λοιπόν, ότι η αστοχία της σύµµικτης πλάκας πλησιάζει την µορφή αστοχίας 1 του σχήµατος 5.16 (ψαθυρού τύπου αστοχία), αλλά η συµµετοχή του χαλυβδόφυλλου µορφής υπήρξε καθοριστική στην εκ νέου αύξηση της αντοχής της πλάκας µετά την αρχική πτώση. Η αύξηση της αντοχής της σύµµικτης πλάκας µετά την αρχική πτώση της υποδηλώνει όλκιµη συµπεριφορά, όπως η µορφή αστοχίας 2 του σχήµατος 5.16. Στο σχήµα 5.18 απεικονίζεται το πειραµατικό διάγραµµα ροπής κάµψηςβύθισης για µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο. Σχήµα 5.18. ιάγραµµα ροπής κάµψης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο Στα σχήµατα 5.19 και 5.20 παρουσιάζονται, αντίστοιχα, συγκριτικά διαγράµµατα φόρτισης-βύθισης και ροπής κάµψης-βύθισης της σύµµικτης πλάκας, για µονότονα αυξανόµενο και κυκλικό φορτίο. Το κυκλικό φορτίο επιβλήθηκε µε τρεις κύκλους φόρτισης. Η χρονική διάρκεια του κάθε κύκλου φόρτισης ήταν µία ώρα. 78

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Σχήµα 5.19. Συγκριτικό διάγραµµα φόρτισης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο και κυκλικό φορτίο Σχήµα 5.20. Συγκριτικό διάγραµµα ροπής κάµψης-βύθισης για µονότονα αυξανόµενο και κυκλικό φορτίο Η µέση βύθιση στο µέσο του ανοίγµατος της σύµµικτης πλάκας κατά την χρονική στιγµή της επίτευξης της µέγιστης αντοχής της σύµµικτης πλάκας βρέθηκε ίση µε 1.9 mm. Στο σχήµα 5.21 απεικονίζεται το πειραµατικό διάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης και στον πίνακα 5.2 τα φορτία θραύσης και οι µέγιστες καµπτικές ροπές των πειραµατικών δοκιµίων. 79

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Load-slip curve 50 40 Load (KN) 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Slip (mm) Σχήµα 5.21. ιάγραµµα φόρτισης-ολίσθησης Πειραµατικά αποτελέσµατα α/α δοκιµίου Φορτίο θραύσης (kn) Μέγιστη ροπή κάµψης (knm) S1 43.20 11.80 S2 43.74 12.03 S3 41.30 11.36 S4 45.46 11.37 S5 44.06 11.02 S6 49.60 12.40 Μέσος όρος 44.56 11.66 Πίνακας 5.2. Φορτία θραύσης και µέγιστες ροπές κάµψης δοκιµίων σύµµικτης πλάκας υπό κυκλικό φορτίο Στον πίνακα 5.3, που ακολουθεί, παρατίθενται τα συνολικά πειραµατικά αποτελέσµατα από το στατικό και το δυναµικό πείραµα της σύµµικτης πλάκας µε διαστάσεις µήκος 2,2 m, πλάτος 0,6 m, και ύψος 0,175 m. 80

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΕΝΟΣ ΑΝΟΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΡΑΠΕΖΟΕΙ ΕΣ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ Κυλινδρική α/α Φορτίο αντοχή Ηµεροµηνία δοκιµίου Θραύσης (kn) σκυροδέµατος Σκυροδέτησης Ηµεροµηνία Θραύσης Τύπος Φόρτισης (MPa) S1 43.20 24.70 1/9/2006 14/12/2006 Κυκλική S2 43.74 23.60 1/9/2006 12/12/2006 Κυκλική S3 41.30 23.20 1/9/2006 5/12/2006 Κυκλική S4 45.46 23.60 1/9/2006 17/10/2006 Στατική S5 44.06 24.40 1/9/2006 12/10/2006 Στατική S6 49.60 23.90 1/9/2006 10/10/2006 Στατική Πίνακας 5.3. Συγκεντρωτικά αποτελέσµατα σύµµικτης πλάκας µε διαστάσεις µήκος 2.2 m, πλάτος 0.6 m, και ύψος 0.175 m. 81

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 5.8 Επεξεργασία µε την µέθοδο µερικής διατµητικής σύνδεσης Η ροπή αντοχής της σύµµικτης πλάκας µε πλήρη διατµητική σύνδεση βρέθηκε ίση µε M prm = 33. 6kNm και για µέση µέγιστη καµπτική ροπή πειράµατος ίση µε M test M test = 11. 66kNm, υπολογίζεται ο λόγος = 0. 35 M prm Από την ακόλουθη θεωρητική καµπύλη µερικής διατµητικής σύνδεσης (σχήµα 5.22) βρίσκουµε τον βαθµό διατµητικής σύνδεσης η = 0. 22.. Σχήµα 5.22. Θεωρητική καµπύλη µερικής διατµητικής σύνδεσης Τελικά, η διατµητική τάση σε διαµήκη διάτµηση της σύµµικτης πλάκας υπολογίζεται ίση µε u = 0. 20MPa τ και η τιµή σχεδιασµού της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση σύµµικτης πλάκας u, Rd = 0. 16MPa τ. Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την πειραµατική διαδικασία θα αξιολογηθούν στο τέλος της διατριβής κατόπιν σύγκρισης µε τα εξαγόµενα του υπολογιστικού µοντέλου, που παρουσιάζεται στο επόµενο κεφάλαιο. Τα πειραµατικά 82

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής εξαγόµενα δεν µπορούν να συγκριθούν απευθείας µε αντίστοιχα από άλλες έρευνες λόγω διαφοράς είτε στην πειραµατική διαδικασία είτε στις παραµέτρους των δοκιµίων. Εντούτοις, από τα πειραµατικά τεστ της παρούσας διατριβής προέκυψαν χρήσιµα συµπεράσµατα που συµπίπτουν µε τα ευρήµατα άλλων µελετητών και τα οποία επισηµαίνονται σε επόµενη παράγραφο. 5.9 Παραδείγµατα πειραµάτων από τη διεθνή βιβλιογραφία Οι Marimuthu κ. ά. (2007), διεξάγουν πειράµατα σε σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος διαφόρων διαστάσεων υπό στατική και κυκλική φόρτιση. Αντικείµενο της πειραµατικής διαδικασίας αποτελεί η διερεύνηση της διατµητικής συµπεριφοράς των σύµµικτων πλακών και η εύρεση των κατάλληλων τιµών για τους συντελεστές m και k, σύµφωνα µε την αντίστοιχη µέθοδο του Ευρωκώδικα 4. Οι µισές υπό εξέταση σύµµικτες πλάκες έχουν µικρό διατµητικό άνοιγµα και οι υπόλοιπες µεγάλο διατµητικό άνοιγµα. Το χαλυβδόφυλλο µορφής των σύµµικτων πλακών είναι τραπεζοειδούς γεωµετρίας µε εντυπώµατα ενίσχυσης του διατµητικού δεσµού χάλυβα-σκυροδέµατος. Οι συγγραφείς επιβεβαίωσαν και πειραµατικά ότι οι σύµµικτες πλάκες µε µικρό διατµητικό άνοιγµα αστοχούν λόγω διαµήκους διάτµησης ενώ οι σύµµικτες πλάκες µε µεγάλο διατµητικό άνοιγµα λόγω υπέρβασης της καµπτικής αντοχής. Η επεξεργασία των πειραµατικών αποτελεσµάτων διεξάγεται µε την µέθοδο m-k και συγκρίνονται µε τις θεωρητικές τιµές της µεθόδου µερικής διατµητικής σύνδεσης. Τελικά, εξάγονται ξεχωριστά ζεύγη τιµών για τους συντελεστές m και k, ανάλογα µε τον τύπο του χαλύβδινου προφίλ. Η απόκλιση των ευρισκόµενων τιµών της αντοχής του διατµητικού δεσµού της σύµµικτης πλάκας µε τις δύο µεθόδους είναι περίπου 26%. Oι Mistakidis κ. ά. (2006), ακολουθούν την πειραµατική διαδικασία του Ευρωκώδικα 4. Αντικείµενο µελέτης των συγγραφέων αποτελούν δύο σειρές από σύµµικτα δοκίµια µε κοινά γεωµετρικά χαρακτηριστικά πλην του µήκους τους. Από τις πειραµατικές καµπύλες φόρτισης-βύθισης που προέκυψαν, φαίνεται η δραστική µείωση της φέρουσας της φέρουσας ικανότητας των σύµµικτων πλακών µετά την ρηγµάτωση του σκυροδέµατος. Τα δοκίµια αστοχούν και στις δύο περιπτώσεις λόγω διαµήκους διάτµησης, όµως το δοκίµιο µε το µικρότερο µήκος έχει µεγαλύτερη αντοχή και µικρότερες µετακινήσεις σε σχέση µε το µεγαλύτερο δοκίµιο. 83

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Ο Chen (2003), παρουσιάζει µια ολοκληρωµένη σειρά πειραµάτων σε σύµµικτες πλάκες ενός και δύο ανοιγµάτων µε χαλυβδόφυλλο µορφής και συνδέσµους διάτµησης. Ο συγγραφέας καταλήγει στο συµπέρασµα ότι η αστοχία των σύµµικτων πλακών οφείλεται στην ανάπτυξη διατµητικής ολίσθησης µεταξύ χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας. Για τον περιορισµό, λοιπόν, αυτής της ολίσθησης ο ερευνητής προτείνει την αγκύρωση των συνδέσµων διάτµησης στα άκρα των σύµµικτων πλακών και τη χρησιµοποίηση όπου είναι εφικτό συνεχών σύµµικτων πλακών αντί πλακών ενός ανοίγµατος. Οι συνεχείς σύµµικτες πλάκες εµφανίζουν, όπως αποδεικνύεται και πειραµατικά, µεγαλύτερη δυνατότητα ανάληψης φορτίου. Επίσης, ο συγγραφέας κρίνει απαραίτητη την ύπαρξη καµπτόµενου οπλισµού στις περιοχές αρνητικής κάµψης για την αποτελεσµατικότερη µεταφορά των εφελκυστικών δυνάµεων στη διεπιφάνεια των δύο υλικών. Κατόπιν πειραµατικής αποτίµησης της συµµετοχής των συνδέσµων διάτµησης στις σύµµικτες πλάκες, προτείνει την χρήση τους σύµφωνα µε τις διατάξεις των κανονισµών. Οι Daniels και Crisinel (1993), διεξήγαγαν παραµετρικά καµπτικά τεστ σε σύµµικτες πλάκες ενός ανοίγµατος. Οι παράµετροι που ερευνήθηκαν είναι η γεωµετρία του χαλυβδόφυλλου µορφής, ο ρόλος των εντυπωµάτων και το διατµητικό άνοιγµα της σύµµικτης πλάκας. Βρέθηκε ό,τι είναι εξαιρετικά δύσκολη η κατηγοριοποίηση των αποτελεσµάτων των πειραµάτων αφού η µεταβολή µιας µόνο παραµέτρου της σύµµικτης πλάκας επηρεάζει δραµατικά τη στατική συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών. Οι ερευνητές διακρίνουν την συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών σε όλκιµη, ύπαρξη µεγάλων µετακινήσεων πριν την επίτευξη της αντοχής, και ψαθυρή, ύπαρξη µικρών µετακινήσεων τη στιγµή της επίτευξης της αντοχής. Η µέση τιµή της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση της σύµµικτης πλάκας προτείνεται από τους συγγραφείς να λαµβάνεται ίση µε τ = 1. MPa. u 0 Οι Wright κ. ά. (1987), πραγµατοποίησαν δώδεκα πειράµατα σε σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλα τραπεζοειδούς µορφής. Για τη διεξαγωγή των πειραµάτων ακολούθησαν τις διατάξεις του Βρετανικού Κανονισµού. Στα δοκίµια επιβλήθηκε, αρχικά, κυκλικό φορτίο 10000 κύκλων και στην συνέχεια µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο. ύο δοκίµια φορτίστηκαν µόνο µε στατική δύναµη. Η κάτω τιµή του κυκλικού φορτίου είναι 0.5 φορές και η άνω τιµή του 1.5 φορές το θεωρητικό φορτίο σχεδιασµού της σύµµικτης πλάκας. Η φόρτιση επιβλήθηκε µε την µορφή τεσσάρων 84

Κεφάλαιο 5: Πειραµατική προσέγγιση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής συγκεντρωµένων φορτίων στο ¼ του µήκους της σύµµικτης πλάκας. Η επεξεργασία των αποτελεσµάτων έγινε µε την µέθοδο m-k. Τα σύµµικτα δοκίµια βρέθηκε ό,τι αστόχησαν λόγω διαµήκους διάτµησης κατόπιν καταστροφής του διατµητικού δεσµού στη διεπιφάνεια. Η ύπαρξη του κυκλικού φορτίου κατέστρεψε απλώς τον χηµικό δεσµό σκυροδέµατος-χαλυβδόφυλλου και δεν επηρέασε την φέρουσα ικανότητα της σύµµικτης πλάκας. Σηµαντική βρέθηκε η συνεισφορά του ύψους του χαλύβδινου προφίλ στην αντοχή του δοκιµίου, αφού µείωση του ύψους του προφίλ κατά 30% οδήγησε σε µείωση της αντοχής της πλάκας κατά 50%. 5.10 Αξιολόγηση της πειραµατικής διαδικασίας Από τα πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διδακτορικής διατριβής, προέκυψαν χρήσιµα συµπεράσµατα. Παρατηρήθηκε αµοιβαία ολίσθηση σκυροδέµατος-χάλυβα στη διεπιφάνεια των δοκιµίων. Η επιβολή κυκλικής φόρτισης κατέστρεψε τον χηµικό δεσµό σκυροδέµατοςχάλυβα αλλά δεν επηρέασε την φέρουσα ικανότητα της σύµµικτης πλάκας. Η αστοχία των δοκιµίων επέρχεται µετά την υπέρβαση της αντοχής του µηχανικού δεσµού σκυροδέµατος-χαλυβδόφυλλου µορφής. Πολύτιµη κρίνεται η συνεισφορά των εντυπωµάτων στην επιφάνεια του τραπεζοειδούς χαλυβδόφυλλου στην ενίσχυση του µηχανικού δεσµού σκυροδέµατοςχαλυβδόφυλλου µορφής. Η επεξεργασία των αποτελεσµάτων πραγµατοποιείται µε την µέθοδο της µερικής διατµητικής σύνδεσης. Η µέθοδος αυτή έχει φυσική σηµασία αφού βασίζεται στον υπολογισµό της τιµής σχεδιασµού της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση. Η εύρεση της τιµής αυτής δεν πραγµατοποιείται µε χρήση θεωρητικών σχέσεων αλλά δηµιουργείται η θεωρητική καµπύλη µερικής διατµητικής σύνδεσης. Προτείνεται η ενίσχυση της διατµητικής σύνδεσης της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής αφού η ευρεθείσα τιµή της διατµητικής τάσης σε διαµήκη διάτµηση είναι µικρή. 85

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟ ΜΟΡΦΗΣ 6.1 Εισαγωγή Για την κατασκευή του υπολογιστικού µοντέλου της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο τραπεζοειδούς µορφής έγινε χρήση του εξειδικευµένου λογισµικού µη γραµµικής ανάλυσης ANSYS. Σκοπός της αριθµητικής µοντελοποίησης και επίλυσης του προβλήµατος της σύµµικτης πλάκας, υπήρξε η σύγκριση των τιµών των αποτελεσµάτων µε τις αντίστοιχες πειραµατικές, καθώς και η δηµιουργία τρισδιάστατου µοντέλου πεπερασµένων στοιχείων που να συµβάλλει αποφασιστικά στον σχεδιασµό των σύµµικτων πλακών. Η αριθµητική αντιµετώπιση του προβλήµατος έγινε στα πλαίσια της θεωρίας των πεπερασµένων στοιχείων, η οποία αποτελεί τον πλέον διαδεδοµένο τρόπο ανάλυσης των κατασκευών σε εφαρµογές Πολιτικού Μηχανικού. Με τη χρήση της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων πραγµατοποιήθηκε ικανοποιητική προσέγγιση του φυσικού προβλήµατος των σύµµικτων πλακών µε κατάλληλες, φυσικά, παραδοχές. 6.2 Στοιχεία µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων Η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων αποτελεί µία αριθµητική µέθοδο ανάλυσης των κατασκευών. Πρωτοεµφανίστηκε ως µέθοδος ανάλυσης των τάσεων, ενώ στη συνέχεια λόγω της τεχνολογικής ανάπτυξης των υπολογιστών και της σηµαντικής αύξησης της υπολογιστικής τους δύναµης, αποτελεί την κατεξοχήν µέθοδο ανάλυσης των φορέων (Cook, 1995). Σε σύγκριση µε τις µεθόδους πεπερασµένων διαφορών και πεπερασµένων όγκων υπερτερεί στην προσοµοίωση σύνθετων γεωµετρικών µορφών, όπως είναι και το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Τα στάδια της επίλυσης ενός φορέα µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων είναι τα ακόλουθα (Moaveni, 1999/ Μητσοπούλου και ουδούµης, 2000): 86

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ιακριτοποίηση του φορέα µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. Προσδιορισµός του µητρώου δυσκαµψίας του κάθε µεµονωµένου στοιχείου. Μόρφωση του µητρώου δυσκαµψίας του φορέα κατόπιν σύνθεσης από τα µητρώα δυσκαµψίας των επί µέρους στοιχεία της κατασκευής. Επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων ισορροπίας και υπολογισµός των µετακινήσεων. Υπολογισµός των εντατικών µεγεθών του φορέα. Η µηχανική συµπεριφορά των πεπερασµένων στοιχείων περιγράφεται συναρτήσει επικόµβιων µεγεθών, δηλαδή συναρτήσει των µετακινήσεων ή των δυνάµεων των κόµβων τους. Τα πεπερασµένα στοιχεία συνδέονται αποκλειστικά στους κόµβους τους. Το διακριτοποιηµένο προσοµοίωµα που προκύπτει, οδηγεί σε προσεγγιστική έκφραση της συµπεριφοράς του φορέα µέσω µητρωικών σχέσεων και πεπερασµένο αριθµό αγνώστων γενικευµένων µετακινήσεων. Ο συνολικός αριθµός των αγνώστων γενικευµένων µετακινήσεων του µοντέλου είναι ίσος µε το γινόµενο του αριθµού των κόµβων επί τους βαθµούς ελευθερίας του κάθε κόµβου. Το σύνολο των βαθµών ελευθερίας των κόµβων του µοντέλου αποτελεί το σύνολο των βαθµών ελευθερίας του µοντέλου (Μητσοπούλου και ουδούµης, 2000). 6.3 Στοιχεία µη γραµµικής ανάλυσης Η επιλογή της γραµµικής ελαστικής ανάλυσης στην επίλυση των διαφόρων προβληµάτων µηχανικής φύσης γίνεται κυρίως για λόγους απλοποίησης των υπολογισµών και εύρεσης λύσης. εν αποτελεί όµως σε καµία περίπτωση περιγραφή της πραγµατικής συµπεριφοράς των κατασκευών. Για την εφαρµογή της γραµµικής ελαστικής ανάλυσης αρκεί η γνώση του µέτρου ελαστικότητας E και του λόγου του Poisson ν των υλικών των στοιχείων της κατασκευής (Kim and Lu, 1995/ Moaveni, 1999/ Μητσοπούλου και ουδούµης, 2000). Η γραµµικά ελαστική συµπεριφορά εκφράζεται µε το µητρώο των ελαστικών σταθερών D, σε όρους που συνήθως περιλαµβάνουν το µητρώο ελαστικότητας E και τον λόγο του Poisson ν. Το σταθερό µητρώο D αντιστοιχεί σε ένα σταθερό 87

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής µητρώο δυσκαµψίας K, το οποίο ισούται µε K e = V ( B T DB )dv. Ακολουθεί η επίλυση της βασικής εξίσωσης της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων F = Ku. Εφόσον η συµπεριφορά του υλικού είναι γραµµική ελαστική, το µητρώο [ D ισούται µε D για κάθε σηµείο ολοκλήρωσης m στο οποίο αντιστοιχεί ένας υποτελής όγκος που εξαρτάται από το είδος της ανάλυσης για το συγκεκριµένο πρόβληµα (Moaveni, 1999/ Chandrupatla and Belegundu, 2005). Η συµπεριφορά της πλειονότητας των δοµικών υλικών της φύσης, όµως, δεν είναι ούτε γραµµική ούτε ελαστική. Συνεπώς, επιβάλλεται η χρήση µεθόδων µη γραµµικής ανάλυσης. Οι µέθοδοι αυτές απαιτούν σηµαντικό υπολογιστικό χρόνο και προσπάθεια από τον µελετητή, αλλά αποδίδουν µε ακρίβεια το πραγµατικό φαινόµενο (Hinton, 1992/ Bathe, 1996). Στην περίπτωση της µη γραµµικής ανάλυσης το µητρώο των ελαστικών σταθερών D δεν είναι σταθερό, αλλά µεταβάλλεται από σηµείο σε σηµείο. Υπάρχει δε η πιθανότητα τα διάφορα σηµεία ολοκλήρωσης στο ίδιο πεπερασµένο στοιχείο να συνδέονται µε διαφορετικά καταστατικά µητρώα D, µε αποτέλεσµα το µητρώο δυσκαµψίας K να µεταβάλλεται. Προκύπτει, λοιπόν, η εφαπτοµενική δυσκαµψία (tangential stiffness) T K η οποία αποτελεί συνάρτηση της φόρτισης που επιβάλλεται. Καθοριστική σηµασία για τη µη γραµµική ανάλυση αποτελεί το ιστορικό φόρτισης (loading history), δηλαδή η σειρά της εφαρµογής των φορτίων, ενώ η απόκριση της κατασκευής µπορεί να είναι δυσανάλογη προς την εφαρµοσµένη φόρτιση (Avdelas, A.V., 1992/ Chen and Saleeb, 1994 a / Chen and Saleeb, 1994 b / Bathe, 1996/ Χαραλαµπάκης και ουδούµης, 2002). Στη µη-γραµµική ανάλυση η απόκριση της κατασκευής δεν µπορεί να προσδιοριστεί µέσω συνόλου γραµµικών εξισώσεων αλλά απαιτείται η χρήση επαναληπτικών γραµµικών προσεγγίσεων µε διορθώσεις. Η πιο συνηθισµένη επαναληπτική µέθοδος είναι η µέθοδος Newton-Raphson, σχήµα 6.1, που περιγράφεται από την εξίσωση: ] m [ K T nr ]{ u } = { F } { F }, (6.1) όπου T [ K ] : το µητρώο της εφαπτοµενικής δυσκαµψίας 88

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής { u } : το βήµα της µετατόπισης { F } : το εξωτερικό διάνυσµα φόρτισης nr { F }: το εσωτερικό διάνυσµα φόρτισης Σχήµα 6.1. Μέθοδος Newton-Raphson nr Η διαφορά µεταξύ εξωτερικών και εσωτερικών φορτίων { F} { F } ονοµάζεται υπόλοιπο (residual) (Hinton, 1992/ Moaveni, 1999). Προκειµένου να επιτευχθεί σύγκλιση (convergence), δηλαδή επίλυση του υπό µελέτη προβλήµατος, πρέπει η τιµή του υπόλοιπου να βρίσκεται κάτω από κάποιο όριο (Chen and Saleeb, 1994 b ). Η τιµή αυτού του ορίου καθορίζεται από τις συνθήκες του εκάστοτε προβλήµατος και την επιθυµητή ακρίβεια της λύσης. ιακρίνουµε τρεις τύπους µη γραµµικότητας στα προβλήµατα (Hinton, 1992): Μη γραµµικότητα υλικού (material nonlinearity) Γεωµετρική µη γραµµικότητα (geometric nonlinearity) Φαινόµενα επαφής µεταξύ σωµάτων (contact) 6.3.1 Μη γραµµικότητα υλικού Η µη-γραµµικότητα υλικού αφορά την συµπεριφορά του πλάστιµου υλικού, πέρα από το όριο διαρροής του, όπου λόγω της επιβαλλόµενης φόρτισης αναπτύσσονται µη αναστρέψιµες πλαστικές παραµορφώσεις. Αποδίδεται από µια µη γραµµική καταστατική σχέση τάσεων-παραµορφώσεων σ ε, όπως φαίνεται στο 89

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής σχήµα 6.2. Το µητρώο υλικού D δεν είναι πια σταθερό αλλά µεταβάλλεται σύµφωνα µε τον εκάστοτε νόµο υλικού που έχει υιοθετηθεί. Σχήµα 6.2. Τυπικός µη γραµµικός νόµος τάσεων-παραµορφώσεων Η µικραυξητική θεωρία πλαστικότητας (incremental plasticity theory) παρέχει τις µαθηµατικές σχέσεις για τον καθορισµό των βηµάτων προσαύξησης της τάσης και της τροπής ( σ και ε ), δηλαδή τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς του υλικού µετά την διαρροή. Κύρια στοιχεία της θεωρίας πλαστικότητας είναι το κριτήριο διαρροής (yield criterion), ο νόµος ροής (flow rule) και ο νόµος κράτυνσης (hardening rule) (Hinton, 1992/ Chen and Saleeb, 1994b/Bathe, 1996/ Ευθυµίου, 2005). Το πιο συνηθισµένο κριτήριο διαρροής των µετάλλων είναι το κριτήριο von Mises, σύµφωνα µε το οποίο η διαρροή επέρχεται όταν η ισοδύναµη τάση που είναι ίση µε: σ 1 2 2 2 [( σ 1 σ 2 ) ( σ 2 σ 3 ) ( σ 3 σ e = + + 1 ) ], (6.2) 2 υπερβαίνει την τάση διαρροής του υλικού, δηλαδή όταν: σ e > σ y, (6.3) 90

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής όπου σ 1, σ 2, σ 3 είναι οι κύριες τάσεις στις τρεις διευθύνσεις. Το κριτήριο διαρροής von Mises απεικονίζεται στο χώρο ως κύλινδρος. Η επιφάνεια διαρροής (yield surface) είναι µία κυλινδρική επιφάνεια που ευθυγραµµίζεται κατά µήκος του άξονα σ 1 = σ 2 = σ 3 σε τρισδιάστατη απεικόνιση (σχήµα 6.3). Το πεδίο τάσεων µέσα στην επιφάνεια διαρροής είναι ελαστικό και οποιοδήποτε τάση πέρα από την επιφάνεια αυτή προκαλεί διαρροή (Hinton, 1992/ Bathe, 1996/ Moutafidou, 1997-1998/ Moaveni, 1999). Σχήµα 6.3. Κριτήριο διαρροής von Mises Το κριτήριο διαρροής καθορίζει πότε θα αρχίσει η διαρροή αλλά δεν καθορίζει την διεύθυνση της πλαστικής παραµόρφωσης όταν επέλθει η διαρροή. Αυτή καθορίζεται από τον νόµο ροής (flow rule), σύµφωνα µε τον οποίο η διεύθυνση των πλαστικών ροπών σχετίζεται µε το πεδίο τάσεων. Ο νόµος ροής δεν παρέχει καµία πληροφορία για το µέγεθος της διαρροής. Τυπικός νόµος ροής είναι ο συσχετιστικός, όπου οι πλαστικές τροπές αναπτύσσονται σε διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια διαρροής (Hinton, 1992/ Bathe, 1996/ Moaveni, 1999). Οι κύριοι νόµοι κράτυνσης είναι ο ισοτροπικά και ο κινηµατικά κρατυνόµενος. Κατά την ισότροπη κράτυνση η επιφάνεια διαρροής επεκτείνεται ή συρρικνώνεται κατά έναν οµοιόµορφο τρόπο ενώ στην περίπτωση της κινηµατικής κράτυνσης υπάρχει µεταφορά της αρχικής επιφάνειας διαρροής σε µία νέα θέση χωρίς µεταβολή της µορφής και του µεγέθους της. 91

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 6.3.2 Γεωµετρική µη γραµµικότητα Ως γεωµετρικά µη γραµµική συµπεριφορά µιας κατασκευής ορίζεται η συµπεριφορά κατά την οποία η οποιαδήποτε αλλαγή στην γεωµετρία της κατασκευής επηρεάζει την µηχανική συµπεριφορά της (Hinton, 1992/ Cook, 1995/ Bathe, 1996). ιακρίνεται στις ακόλουθες κατηγορίες: Ανάλυση µεγάλων µετατοπίσεων/ µεγάλων στροφών/ µικρών παραµορφώσεων (large displacement/ large rotation/ small strain analysis). Ανάλυση µεγάλων µετατοπίσεων/ µικρών στροφών/ µικρών παραµορφώσεων (large displacement/ small rotation/ small strain analysis). Ανάλυση µεγάλων µετατοπίσεων/ µεγάλων στροφών/ µεγάλων παραµορφώσεων (large displacement/ large rotation/ large strain analysis). 6.3.3 Επαφή Η επαφή αποτελεί µη γραµµικότητα µεταβαλλόµενης κατάστασης (changingstatus nonlinearity) (Hinton, 1992/ Cook, 1995/ Bathe, 1996). Κατά την φόρτιση, δηλαδή, της κατασκευής παρατηρείται µεταβολή των συνθηκών επαφής του συστήµατος των σωµάτων και κατ επέκταση της δυσκαµψίας του. Η επαφή µπορεί να διατηρηθεί µέσω της συνοχής ή της ολίσθησης εξαρτώµενη από το µέγεθος της αναπτυσσόµενης τριβής στη διεπιφάνεια των σωµάτων. Αναλυτική παρουσίαση των φαινοµένων επαφής θα πραγµατοποιηθεί σε επόµενες παραγράφους. Άλλωστε, οι επιβαλλόµενες συνθήκες επαφής στην διεπιφάνεια σκυροδέµατος-χαλυβδόφυλλου µορφής αποτελούν ένα από τα πλέον σηµαντικά σηµεία της ανάλυσης. 6.4 Περιγραφή Υπολογιστικού Προσοµοιώµατος 6.4.1 Γενικά στοιχεία Μετά τον υπολογισµό σύµφωνα µε τις σχέσεις του Ευρωκώδικα 4 της υπό µελέτης σύµµικτης πλάκας, κατασκευάστηκε ένα µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων τριών διαστάσεων µε χρήση του λογισµικού ANSYS (Tsalkatidis and Avdelas, 2006/ 92

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Tsalkatidis and Avdelas, 2007/ Tsalkatidis et al., 2007). Η δηµιουργία απλουστευµένων δισδιάστατων µοντέλων αποτέλεσε το πρώτο βήµα για την κατασκευή του τελικού τρισδιάστατου υπολογιστικού προσοµοιώµατος. Κρίθηκε, δηλαδή, σκόπιµη η παρατήρηση της συµπεριφοράς σε διαφορετικές συνθήκες φόρτισης και επαφής των διαφόρων τύπων πεπερασµένων στοιχείων προκειµένου να επιλεγούν τα καταλληλότερα για το ολοκληρωµένο προσοµοίωµα (Wright, 1990/ Moutafidou, 1997-1998/ Moutafidou, 1998/ Makelainen and Sun, 1998/ Makelainen and Sun, 1999) Ακολούθησε η πιστή αναπαραγωγή της γεωµετρίας του χαλυβδόφυλλου µορφής και της πλάκας σκυροδέµατος µε χρήση των σχεδιαστικών εργαλείων του προγράµµατος πεπερασµένων στοιχείων ANSYS. Λόγω συµµετρίας της σύµµικτης πλάκας µοντελοποιήθηκε µόνο το µισό τµήµα της κατά τη διαµήκη έννοια οπότε µίκρυναν σηµαντικά οι διαστάσεις του προσοµοιώµατος (τελικές διαστάσεις κοινές και στις δύο πλάκες µήκος*πλάτος*ύψος=1.1*0.600*0.175 m) και ο απαιτούµενος χρόνος σχεδιασµού. Επόµενο βήµα υπήρξε η εισαγωγή των κατάλληλων πεπερασµένων στοιχείων και η δηµιουργία του καννάβου πεπερασµένων στοιχείων, όπως φαίνεται στο σχήµα 6.4 (Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005/ Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2007). Σχήµα 6.4. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων υπολογιστικού µοντέλου. Ιδιαίτερα επίπονη αποδείχθηκε η µοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια επαφής της σύµµικτης πλάκας. Λόγω της ύπαρξης συνθηκών µονόπλευρης επαφής κρίθηκε αναγκαία η 93

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής χρήση πεπερασµένων στοιχείων επαφής στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας (Belev, 2000/ Lee et al., 2001/ Liang et al., 2004), µε συνέπεια την δυσκολότερη σύγκλιση κατά την επίλυση και την αύξηση του υπολογιστικού χρόνου κατασκευής του µοντέλου. 6.4.2 Πεπερασµένο στοιχείο χαλυβδόφυλλου µορφής Το χαλυβδόφυλλο µορφής παρουσιάζει πολύ µικρό πάχος σε σύγκριση µε τις υπόλοιπες διαστάσεις του οπότε θεωρείται λεπτότοιχο στοιχείο (Ahmed et al., 2002). Το δεδοµένο αυτό υπήρξε καθοριστικό για την επιλογή πεπερασµένου στοιχείου από τη βιβλιοθήκη πεπερασµένων στοιχείων του υπολογιστικού προγράµµατος ANSYS. Επιλέχθηκε, λοιπόν, το πεπερασµένο στοιχείο µε τον κωδικό SHELL 43, που απεικονίζεται στο σχήµα 6.5. Σχήµα 6.5. Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του πεπερασµένου στοιχείου SHELL 43 Η γεωµετρία, οι θέσεις των κόµβων (I, J, K και L) και το σύστηµα συντεταγµένων XYZ του στοιχείου φαίνονται επίσης στο σχήµα 6.5. Το επιλεγέν τρισδιάστατο τετράκοµβο στοιχείο κελύφους έχει έξι βαθµούς ελευθερίας (τρεις µετακινήσεις και τρεις στροφές ως προς τους άξονες x, y και z) σε κάθε κόµβο του. Μπορεί να προσοµοιώνει γραµµικά αλλά και καµπυλωτά στοιχεία κελύφους. Αποτελείται από ορθότροπο υλικό και στα χαρακτηριστικά του περιλαµβάνονται η πλαστικότητα, η ικανότητα ανάπτυξης µεγάλων παραµορφώσεων και µετακινήσεων, ο ερπυσµός και η κράτυνση. Οι διευθύνσεις του ορθότροπου 94

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής υλικού ακολουθούν το ορθοκανονικό τοπικό σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου. Ο εξ ορισµού προσανατολισµός του τοπικού συστήµατος συντεταγµένων είναι παράλληλος µε το καθολικό καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Το στοιχείο ορίζεται από τους τέσσερις κόµβους, τα τέσσερα πάχη σε κάθε κόµβο του στοιχείου και τις ιδιότητες του ορθότροπου υλικού. Το στοιχείο µπορεί να έχει σταθερό πάχος ή αυτό να µεταβάλλεται οµαλά στην επιφάνεια µεταξύ των κόµβων. Οι παραµορφώσεις του πεπερασµένου στοιχείου θεωρούνται γραµµικές στις εντός επιπέδου διευθύνσεις. Στην περίπτωση κοινών συντεταγµένων των κόµβων K και L το στοιχείο αποκτά τριγωνική µορφή. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µπορούν να εµφανιστούν µε διάφορες µορφές όπως: Μετακινήσεις κόµβων. Τάσεις ανά διεύθυνση, είτε κύριες τάσεις είτε ισοδύναµες τάσεις von Mises. Ελαστικές παραµορφώσεις ανά διεύθυνση, είτε κύριες ελαστικές παραµορφώσεις είτε ισοδύναµες ελαστικές παραµορφώσεις von Mises. Μέσες τιµές πλαστικών παραµορφώσεων και ισοδύναµες πλαστικές παραµορφώσεις von Mises. Λόγος αναπτυσσόµενης τάσης προς τάση διαρροής. Επιφανειακές τάσεις και παραµορφώσεις. Το πεπερασµένο στοιχείο SHELL 43 έχει όµως και τους ακόλουθους περιορισµούς: εν επιτρέπεται να έχει µηδενική επιφάνεια. εν επιτρέπεται να έχει µηδενικό πάχος σε κανένα κόµβο. Όταν το στοιχείο χρησιµοποιηθεί µε την τριγωνική µορφή δίδει αποτελέσµατα µικρότερης ακρίβειας από αυτά µε την τετράπλευρη µορφή. Οι εγκάρσιες διατµητικές τάσεις (SYZ και SXZ) θεωρούνται σταθερές κατά το πάχος του στοιχείου. Για λόγους απλότητας κατά τη δηµιουργία του καννάβου πεπερασµένων στοιχείων αποφασίστηκε να ταυτιστεί το πάχος του χαλυβδόφυλλου µε το πάχος του στοιχείου κελύφους. ηλαδή, το πεπερασµένο στοιχείο θεωρήθηκε ότι έχει σταθερό πάχος 1 mm. Επίσης, έγινε χρήση της δυνατότητας ανάπτυξης µεγάλων παραµορφώσεων από το πεπερασµένο στοιχείο εισάγοντας χαρακτηριστικά γεωµετρικής µη γραµµικότητας στην ανάλυση (Queiroz et al., 2005). Το 95

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής χαλυβδόφυλλο µορφής που µοντελοποιήθηκε έχει τη γεωµετρία που απεικονίζεται στο σχήµα 6.6. Σχήµα 6.6. Γεωµετρικές ιδιότητες χαλυβδόφυλλου µορφής. 6.4.3 Πεπερασµένο στοιχείο σκυροδέµατος Για την πλάκα σκυροδέµατος προκρίθηκε η χρήση τρισδιάστατου δοµικού ισοπαραµετρικού στοιχείου (Migiakis and Elghazouli, 1998). Η βιβλιοθήκη πεπερασµένων στοιχείων του υπολογιστικού προγράµµατος ANSYS περιέχει ένα ειδικό στοιχείο σκυροδέµατος µε τα απαιτούµενα χαρακτηριστικά. Επιλέχθηκε, λοιπόν, το πεπερασµένο στοιχείο µε τον κωδικό SOLID 65. Η γεωµετρία, οι θέσεις των κόµβων (I, J, K, L, M, N, O και P) και το σύστηµα συντεταγµένων XYZ του στοιχείου φαίνονται στο σχήµα 6.7. Σχήµα 6.7. Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του πεπερασµένου στοιχείου SOLID 65 96

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Το επιλεγέν τρισδιάστατο οκτάκοµβο δοµικό στοιχείο έχει έξι βαθµούς ελευθερίας (τρεις µετακινήσεις και τρεις στροφές ως προς τους άξονες x, y και z) σε κάθε κόµβο του. Το στοιχείο αυτό είναι κατάλληλο για προσοµοίωση άοπλου ή και οπλισµένου σκυροδέµατος όταν γίνει χρήση της επιλογής rebar σε µια από τις τρεις διευθύνσεις. Άλλα χαρακτηριστικά του αποτελούν η πλαστικότητα, η ικανότητα ανάπτυξης µεγάλων παραµορφώσεων και µετακινήσεων, ο ερπυσµός και η κράτυνση. Επίσης, έχει τη δυνατότητα να συνθλίβεται υπό θλιπτικά φορτία και να ρηγµατώνεται υπό εφελκυσµό. Η επιλογή rebar περιλαµβάνει τον αριθµό υλικού, το λόγο όγκου και τις γωνίες διεύθυνσης θ και π ως προς το τοπικό σύστηµα συντεταγµένων XYZ του στοιχείου. Ο λόγος όγκου ορίζεται ως ο λόγος του όγκου rebar προς τον ολικό όγκου του στοιχείου. Αν επιλεχθεί µηδενικός αριθµός υλικού στην καρτέλα rebar, τότε αφαιρείται η δυνατότητα οπλισµού του στοιχείου. Το στοιχείο SOLID 65 µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την προσοµοίωση οπλισµένων σύµµικτων υλικών, όπως το fiberglass, καθώς και γεωλογικών υλικών, όπως ο βράχος. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µπορούν να εµφανιστούν µε διάφορες µορφές όπως: Μετακινήσεις κόµβων. Τάσεις ανά διεύθυνση, είτε κύριες τάσεις είτε ισοδύναµες τάσεις von Mises. Ελαστικές παραµορφώσεις ανά διεύθυνση, είτε κύριες ελαστικές παραµορφώσεις είτε ισοδύναµες ελαστικές παραµορφώσεις von Mises. Μέσες τιµές πλαστικών παραµορφώσεων και ισοδύναµες πλαστικές παραµορφώσεις von Mises. Λόγος αναπτυσσόµενης τάσης προς τάση διαρροής. Επιφανειακές τάσεις και παραµορφώσεις. Το πεπερασµένο στοιχείο SOLID 65 έχει όµως και τους ακόλουθους περιορισµούς: εν επιτρέπεται να έχει µηδενικό όγκο. Όλα τα στοιχεία πρέπει να έχουν οκτώ κόµβους. Υπάρχει φυσικά και η δυνατότητα δηµιουργίας στοιχείων µε µορφή πρίσµατος δίδοντας κοινές συντεταγµένες στους κόµβους K και L καθώς και στους κόµβους O και P. Ακόµη, υπάρχει και η τετραεδρική µορφή. Οι παραπάνω µορφές δίδουν 97

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής αποτελέσµατα που µπορεί να αποδειχθούν αναξιόπιστα και πρέπει να χρησιµοποιούνται µόνο σε απλές µοντελοποιήσεις. Όταν χρησιµοποιηθεί η επιλογή rebar και οπλιστεί το στοιχείο σκυροδέµατος, το πρόγραµµα θεωρεί τον οπλισµό κατανεµηµένο στον όγκο του στοιχείου. Το στοιχείο είναι µη γραµµικό και απαιτεί επαναληπτική διαδικασία για την επίλυσή του. Αυτή συνεπάγεται σηµαντική δυσκολία σύγκλισης σε ακριβή αποτελέσµατα. Στη συγκεκριµένη µελέτη επιλέχθηκε η µορφή εξαέδρου που δίδει αποτελέσµατα υψηλότερης ακρίβειας και δεν χρησιµοποιήθηκε οπλισµός για λόγους ταύτισης µε την πειραµατική διαδικασία, που θα παρουσιαστεί σε επόµενο κεφάλαιο της διατριβής. Επίσης, έγινε χρήση της δυνατότητας επιβολής πιέσεων στο πεπερασµένο στοιχείο SOLID 65 µε την µορφή επιφανειακών δυνάµεων στις έδρες του. 6.4.4 Πεπερασµένα στοιχεία επαφής Το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής εντάσσεται, όπως είδαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο, στα προβλήµατα µονόπλευρης επαφής. Στα προβλήµατα αυτά, οι επιφάνειες των σωµάτων που έρχονται σε επαφή δεν είναι γνωστές εξ αρχής, µε άµεση συνέπεια την αδυναµία χρήσης τεχνικών επίλυσης όπως εξισώσεων περιορισµών (constraint equations) ή συζευγµένων βαθµών ελευθερίας (coupled degrees of freedom) (Kalfas and Pavlidis, 1997/ Moaveni, 1999). Αντίθετα, τα σώµατα έρχονται σε επαφή µε ασυνεχή τρόπο που εξαρτάται από τη στιγµιαία φόρτιση, το υλικό και τις διαρκώς µεταβαλλόµενες συνοριακές συνθήκες. Επιβάλλεται, συνεπώς, η χρήση στοιχείων επαφής (contact elements) για την ορθή µοντελοποίηση και επίλυση του προβλήµατος (Clubley et al., 2003 a / Clubley et al., 2003 b / Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005). Το πρόγραµµα ANSYS αντιλαµβάνεται την επαφή µεταξύ των σηµείων Gauss της επιφάνειας επαφής και του συνόρου της επιφάνεια στόχος, όπως προκύπτει και από το σχήµα 6.8. Οι ορισµοί των δύο επιφανειών δίνονται στην παράγραφο 6.6. Η διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος καλύφθηκε µε τρισδιάστατα στοιχεία επαφής επιφάνειας-επιφάνειας προκειµένου να επιτευχθεί η σύµµικτη λειτουργία της, ενώ και οι δύο επιφάνειες, χάλυβα και σκυροδέµατος, 98

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής θεωρήθηκε ότι µπορούν να παραµορφωθούν, (σχήµα 6.9) (Moutafidou, 1997-1998/ Moutafidou, 1998/ Sapountzakis and Katsikadelis, 2000). Από τη βιβλιοθήκη των πεπερασµένων στοιχείων επαφής του υπολογιστικού προγράµµατος ANSYS επιλέχθηκαν τετράκοµβα στοιχεία µε τρεις βαθµούς ελευθερίας (µετακινήσεις ως προς τους άξονες x, y και z) σε κάθε κόµβο, που επιτρέπουν τη σχετική ολίσθηση µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος. Τα στοιχεία επαφής TARGE 170 και CONTA 173 επικάθονται στα στοιχεία που έχουν χρησιµοποιηθεί για την προσοµοίωση χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος αντίστοιχα. Τα στοιχεία επαφής θεωρείται ότι έχουν κοινό υλικό και ιδιότητες. Κάθε ζεύγος στοιχείων επαφής αναγνωρίζεται από το πρόγραµµα ANSYS λόγω της ύπαρξης µιας κοινής ιδιότητας (ANSYS 5.7, 2001 a / ANSYS 5.7, 2001 b ). Σχήµα 6.8. Εντοπισµός επαφής δύο σωµάτων στο πρόγραµµα ANSYS Σχήµα 6.9. Κάναβος πεπερασµένων στοιχείων επαφής 99

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Κατά την κατασκευή του µοντέλου επιλέχθηκε η τετραεδρική αντί της τριγωνικής τους µορφής για καλύτερη συµβατότητα µε τα προϋπάρχοντα δοµικά πεπερασµένα στοιχεία των δύο επιφανειών, που έχουν επιφάνειες οριζόµενες από τέσσερις µη επικαλυπτόµενους κόµβους (Γαλάνης κ.ά., 2005/ Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2007). 6.5 Νόµοι υλικών χάλυβα και σκυροδέµατος Ο νόµος υλικού του χάλυβα επιλέχθηκε διγραµµικός ελαστικός-τέλεια πλαστικός, όπως απεικονίζεται στο σχήµα 6.10 (Hinton, 1992/ Akhand et al., 2004). Η τάση διαρροής σε εφελκυσµό του δοµικού χάλυβα του χαλυβδόφυλλου µορφής ορίστηκε σε 320 MPa και το µέτρο ελαστικότητας σε 210 GPa. Σχήµα 6.10. Νόµος υλικού για τον χάλυβα Για το σκυρόδεµα χρησιµοποιήθηκε η προσφερόµενη από το λογισµικό πρόγραµµα ANSYS µη γραµµική προσοµοίωση του υλικού. Το πρόγραµµα χρησιµοποιεί ως κριτήριο αστοχίας του σκυροδέµατος το κριτήριο των William- Warnke, η επιφάνεια αστοχίας του οποίου απεικονίζεται στο σχήµα 6.11. Οι απαιτούµενες παράµετροι από το πρόγραµµα ANSYS για την περιγραφή της ανελαστικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος φαίνονται στην καρτέλα του σχήµατος 6.12 (ANSYS 5.7, 2001a). Η χαρακτηριστική τάση διαρροής σε θλίψη του σκυροδέµατος ορίστηκε ίση µε 25 MPa και το µέτρο ελαστικότητας ίσο µε 30.5 GPa. 100

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Στην καρτέλα υλικού του σκυροδέµατος (σχήµα 6.12) δόθηκαν επίσης τιµές για το συντελεστή µεταφοράς διατµητικών δυνάµεων σε ανοικτή 0.3 MPa και κλειστή ρωγµή 0.8 MPa καθώς και για την εφελκυστική αντοχή του υλικού 2.6 MPa (Barbosa and Ribeiro, 1998/ Bujnak and Odrobinak, 2005). Σχήµα 6.11. Κριτήριο αστοχίας William-Warnke Σχήµα 6.12. Καρτέλα υλικού για το σκυρόδεµα 101

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής Και τα δύο υλικά θεωρήθηκαν ισότροπα. Ο λόγος του Poisson ν του δοµικού χάλυβα λήφθηκε ίσος µε ν=0.3 και του σκυροδέµατος ίσος µε ν=0.2 (Shanmugam et al., 2002). Επιπρόσθετα, καθοριστικό παράγοντα στην πλειονότητα των προβληµάτων µονόπλευρης επαφής αποτελεί η δύναµη τριβής που αναπτύσσεται στις επιφάνειες επαφής των σωµάτων (Dissanayake et al., 2000). Τα πεπερασµένα στοιχεία επαφής επιφάνειας-επιφάνειας παρέχουν την δυνατότητα χρήσης του βασικού κριτηρίου τριβής Coulomb, που ορίζεται από τη σχέση: τ = µ p (6.4) όπου: τ είναι η ισοδύναµη τάση τριβής κατά Coulomb, µ είναι ο συντελεστής τριβής κατά Coulomb και p η πίεση επαφής στη διεπιφάνεια των σωµάτων. Όταν η διατµητική τάση τ στη διεπιφάνεια των σωµάτων υπερβεί το γινόµενο µ p, αρχίζει η αµοιβαία ολίσθηση των σωµάτων (Tenhovuori and Leskela, 1998/ Moaveni, 1999). Στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας δεν αγνοήθηκε αλλά λήφθηκε υπόψη µε σταθερό συντελεστή τριβής µ =0.3 σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης και ορίστηκε µε την καρτέλα του σχήµατος 6.13 (Hild, 2006/ Tsalkatidis and Avdelas, 2006/ Tsalkatidis and Avdelas, 2007/ Tsalkatidis et al., 2007). Σχήµα 6.13. Καρτέλα ορισµού τιµής συντελεστή τριβής 102

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής 6.6 Συνθήκες επαφής Το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων που χρησιµοποιήθηκε στην περιγραφή και επίλυση του προβλήµατος της σύµµικτης πλάκας εµφανίζει αρκετές επιλογές προσοµοίωσης συνθηκών επαφής µεταξύ σωµάτων (ANSYS 5.7, 2001 a ). Οι κυριότερες είναι: i. Τρόπος επαφής σωµάτων Η επαφή µεταξύ των διακριτοποιηµένων σωµάτων µπορεί να πραγµατοποιηθεί είτε κόµβο µε κόµβο, είτε κόµβο µε επιφάνεια, είτε επιφάνεια µε επιφάνεια. Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται στη σηµειακή επαφή σωµάτων µε µικρές ολισθήσεις. Απαιτείται, όµως, η εκ των προτέρων γνώση των περιοχών επαφής. Η δεύτερη περίπτωση περιγράφεται µε ορισµό µιας επιφάνειας στόχου στο ένα σώµα προς την οποία κινούνται συζυγή σηµεία επαφής από το άλλο σώµα ή σώµατα. εν απαιτείται η εκ των προτέρων γνώση των περιοχών επαφής. Στην τρίτη περίπτωση, που εφαρµόσθηκε και στο µοντέλο της σύµµικτης πλάκας, δηµιουργούνται µια επιφάνεια επαφής στο ένα σώµα και µια επιφάνεια στόχος στο συζυγές του, µε επιλογή κατάλληλων στοιχείων επαφής. Εξ ορισµού το πρόγραµµα κατά τη διαδικασία επίλυσης που πραγµατοποιεί θεωρεί ότι η επιφάνεια επαφής κινείται προς την επιφάνεια στόχος. Ως επιφάνεια επαφής, σύµφωνα µε τις απαιτήσεις του προγράµµατος για τη δηµιουργία των στοιχείων επαφής, ορίστηκε η κάτω επιφάνεια του σκυροδέµατος και ως επιφάνεια στόχος η άνω επιφάνεια του χαλυβδόφυλλου. εν απαιτείται η εκ των προτέρων γνώση των περιοχών επαφής ενώ δεν υπάρχει και περιορισµός στο σχήµα των επιφανειών επαφής. Σχήµα 6.14. Καρτέλα επιλογής τύπου ανάλυσης επαφής 103

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ii. Τύπος ανάλυσης επιφανειών επαφής Τα προβλήµατα επαφής µεταξύ επιφανειών σωµάτων διακρίνονται ανάλογα µε τις επιφάνειες που έρχονται σε επαφή σε προβλήµατα δύσκαµπτης-εύκαµπτης επιφάνειας και εύκαµπτης-εύκαµπτης επιφάνειας. Η συγκεκριµένη ανάλυση εντάχθηκε στη δεύτερη κατηγορία. Η καρτέλα του ANSYS φαίνεται στο σχήµα 6.14. iii. υσκαµψία επαφής (FKN) και ανοχή διείσδυσης (FTOLN) ζεύγους στοιχείων επαφής Αποτελούν τους πλέον καθοριστικούς για τη συµπεριφορά των ζευγών των πεπερασµένων στοιχείων επαφής παράγοντες. Ο παράγοντας της δυσκαµψίας επαφής υπολογίζεται από τη σχέση: FKN = λ E h (6.5) όπου: λ ένας αδιάστατος συντελεστής µε τιµές από 0.01 µέχρι 100, E το µέτρο ελαστικότητας του υλικού των υποκείµενων στοιχείων και h το πάχος του υποκείµενου στοιχείου. Μεγάλες τιµές της δυσκαµψίας επαφής δίνουν πιο ακριβή αποτελέσµατα µε αντίτιµο την αυξηµένη δυσκολία σύγκλισης. Ο παράγοντας της ανοχής διείσδυσης συνδέεται µε την τιµή της δυσκαµψίας των στοιχείων επαφής και εκφράζει την µέγιστη επιτρεπόµενη διείσδυση ως ποσοστό του πάχους του υποκείµενου πεπερασµένου στοιχείου. ίδεται από τη σχέση: Tolerance = FTOLN h (6.6) όπου: Tolerance η ανοχή σε διείσδυση και h το πάχος του υποκείµενου στοιχείου. Όταν η τιµή της δυσκαµψίας επαφής είναι υψηλή τότε µπορεί να µειωθεί η τιµή της επιτρεπόµενης διείσδυσης αλλά καθίσταται δύσκολη για το πρόγραµµα η επίτευξη λύσης. Στην αντίθετη περίπτωση η σύγκλιση επιτυγχάνεται σχετικά γρήγορα αλλά µε ανακριβή αρκετές φορές αποτελέσµατα (Lawrence, 2002). Το πρόγραµµα ANSYS προτείνει κάποιες εξ ορισµού τιµές ανάλογα µε την µορφή του προβλήµατος, µε συνηθέστερες για ανάλυση εύκαµπτης-εύκαµπτης επιφάνειας τις τιµές FKN=0.1 και FTOLN=0.1. Η τιµή της δυσκαµψίας επαφής στο υπό µελέτη πρόβληµα λήφθηκε ίση µε 0.05 και αυτή της ανοχής διείσδυσης καθορίστηκε ίση µε 0.1 αντίστοιχα (ANSYS 5.7, 2001 a / ANSYS 5.7, 2001 b ). Ο 104

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής χρήστης του µπορεί να τροποποιήσει τις εξ ορισµού τιµές των παραγόντων ορίζοντας νέες µέσω της καρτέλας 6.15. Σχήµα 6.15. Καρτέλα επιλογής τιµών παραγόντων FKN, FTOLN και συµπεριφοράς ζεύγους στοιχείων επαφής iv. Συµπεριφορά ζεύγους στοιχείων επαφής Υπάρχουν επτά διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους δύναται να συµπεριφερθεί ένα ζεύγος στοιχείων επαφής. Η συµπεριφορά αυτή καθορίζεται από την τιµή της µεταβλητής KEYOPT(12), που παίρνει τιµές από 0 µέχρι 6 (Lawrence, 2002). Έχουµε λοιπόν: KEYOPT(12)=0, µονόπλευρη επαφή σωµάτων. KEYOPT(12)=1, επαφή σωµάτων µε απουσία ολίσθησης και άπειρη τριβή. KEYOPT(12)=2, συνεχής επαφή σωµάτων µε επιτρεπτή την ύπαρξη ολίσθησης και δέσιµο των επιφανειών στόχος και επαφή. KEYOPT(12)=3, επαφή σωµάτων µε µορφή δεσµού σε όλες τις διευθύνσεις από τη στιγµή επίτευξης της πρώτης επαφής. 105

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής KEYOPT(12)=4, συνεχής επαφή σωµάτων µε επιτρεπτή την ύπαρξη ολίσθησης. KEYOPT(12)=5, επαφή σωµάτων µε µορφή δεσµού σε όλες τις διευθύνσεις από την αρχή της ανάλυσης σε όλη την επιφάνεια επαφής. KEYOPT(12)=6, επαφή σωµάτων µε µορφή δεσµού από την αρχή της ανάλυσης µόνο στα εξ αρχής ερχόµενα σε επαφή τµήµατα της επιφάνειας επαφής. Επειδή το πρόβληµα εντάσσεται στα προβλήµατα µονόπλευρης επαφής, στο µοντέλο της σύµµικτης πλάκας λήφθηκε ο παράγοντας KEYOPT(12)=0. 6.7 Συνθήκες στήριξης και φόρτισης Η σύµµικτη πλάκα θεωρήθηκε απλά εδραζόµενη. Οι συνθήκες στήριξης εφαρµόστηκαν στους εξωτερικούς κόµβους του χαλυβδόφυλλου µορφής κατά το περίγραµµα της πλάκας ενώ δεσµεύτηκε και η οριζόντια µετακίνηση των δύο εγκάρσιων εξωτερικών επιφανειών του σκυροδέµατος. Στο µέσο της πλάκας επιβλήθηκαν συνθήκες συµµετρίας και συνέχειας (Bujnak and Bouchair, 2005/ Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005). Η φόρτιση ασκήθηκε στο ¼ του µήκους της πλάκας, µε µορφή κατανεµηµένων στο πλάτος της πλάκας γραµµικών φορτίων πίεσης (pressure loads). Το λογισµικό ANSYS κατανέµει αυτόµατα τη φόρτιση στους κόµβους των πεπερασµένων στοιχείων που περιλαµβάνονται στην γραµµή επιρροής της φόρτισης. Η φόρτιση επιβλήθηκε σε βήµατα, µε ρυθµό αντίστοιχο της πειραµατικής προσέγγισης του προβλήµατος, µέχρι τη θραύση της πλάκας (Marciukaitis et al., 2006). Αρχικά επιβλήθηκε το κυκλικό φορτίο, µε συνολικά 5000 σταθερού εύρους κύκλους φόρτισης. Οι κύκλοι φόρτισης µπορούν να εισαχθούν στην ανάλυση µε την επιλογή Load tab του ANSYS. Ως κατώτερη τιµή του κυκλικού φορτίου ορίστηκε η τιµή των 1.15 kn και ως ανώτερη η τιµή των 4.45 kn. Μετά την κυκλική φόρτιση επιβλήθηκε στο µοντέλο των πεπερασµένων στοιχείων µονότονα αυξανόµενο στατικό φορτίο σε 20 βήµατα σταθερού εύρους 0.9 kn. Η τελική τιµή του φορτίου ορίστηκε ίση µε την αντίστοιχη τιµή της πειραµατικής προσέγγισης, δηλαδή 22.45 106

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής kn. Υπενθυµίζουµε ότι οι παραπάνω τιµές αναφέρονται στο ήµισυ της σύµµικτης πλάκας, αφού λόγω συµµετρίας µοντελοποιήθηκε µόνο αυτό. Οι συνθήκες στήριξης και φόρτισης που επιβλήθηκαν στο µοντέλο απεικονίζονται στο σχήµα 6.16. Σχήµα 6.16. Συνθήκες στήριξης και φόρτισης σύµµικτης πλάκας. 6.8 Τεχνικές σύγκλισης Υπάρχουν αρκετές τεχνικές σύγκλισης για την οµαλή επίλυση µη γραµµικών προβληµάτων σε προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων. Η επιλογή των κατάλληλων τεχνικών σύγκλισης συνδέεται άµεσα µε την εµπειρία και το γνωστικό υπόβαθρο του µελετητή καθώς και την ικανότητά του να αντιλαµβάνεται τη φυσική σηµασία του υπό εξέταση προβλήµατος (Swanson Analysis Systems Inc., 2003). Παρακάτω παρουσιάζουµε τις κυριότερες τεχνικές σύγκλισης: i. Χρήσιµη τεχνική σύγκλισης αποτελεί η επιλογή του µεγέθους της κυκλικής ή σφαιρικής περιοχής που περιβάλλει κάθε πεπερασµένο στοιχείο επαφής. Η περιοχή αυτή ονοµάζεται pinball region. Προκειµένου να επιτευχθεί σύγκλιση ο χρήστης µπορεί να αυξήσει το µέγεθος της εν λόγω περιοχής. Στην περίπτωση που η ανάλυση διακοπεί λόγω υπερβολικής διείσδυσης επιβάλλεται να µειωθεί το µέγεθος της pinball region. Συνήθως, όµως, η εξ ορισµού τιµή του προγράµµατος δίνει ικανοποιητική ταχύτητα σύγκλισης. 107

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής ii. Σηµαντικό κριτήριο για την επίτευξη σύγκλισης σε ένα πρόβληµα επαφής αποτελεί η ορθή επιλογή των επιφανειών στόχος και επαφή. Το πρόγραµµα αντιλαµβάνεται την επιφάνεια επαφή σαν ένα σύνολο διακριτών σηµείων επαφής των πεπερασµένων στοιχείων, των γνωστών σηµείων Gauss. Αντίθετα, το πρόγραµµα ορίζει την επιφάνεια στόχος σαν µια συνεχή επιφάνεια. ηλαδή, υπάρχει ειδοποιός διαφορά. Φυσικά, εξ ορισµού η επιφάνεια επαφής πρέπει να κινείται προς την επιφάνεια στόχος. Το πρόγραµµα ANSYS για τη διευκόλυνση του χρήστη παρέχει κάποιες υποδείξεις για την επιλογή των επιφανειών επαφής (Swanson Analysis Systems Inc., 2003). Στην περίπτωση που η µια επιφάνεια επαφής έχει πυκνότερο κάναβο πεπερασµένων στοιχείων από την άλλη, τότε αυτή πρέπει να λαµβάνεται ως επιφάνεια επαφής και η αραιότερη ως επιφάνεια στόχος. Στην περίπτωση που η µια επιφάνεια επαφής έχει µεγαλύτερη ευκαµψία, ως προς την τιµή του µέτρου ελαστικότητας του υλικού που την αποτελεί, τότε αυτή πρέπει να λαµβάνεται ως επιφάνεια επαφής και η πιο δύσκαµπτη ως επιφάνεια στόχος. Στην περίπτωση που η µια επιφάνεια επαφής εµφανίζει σηµαντικά µικρότερες διαστάσεις από την άλλη, τότε αυτή πρέπει να λαµβάνεται ως επιφάνεια επαφής και η µεγαλύτερη ως επιφάνεια στόχος. Στην περίπτωση που µια κυρτή επιφάνεια έρχεται σε επαφή µε µια κοίλη ή επίπεδη, τότε η κυρτή πρέπει να λαµβάνεται ως επιφάνεια επαφής και η άλλη ως επιφάνεια στόχος. iii. Η επίλυση πρέπει να ξεκινά πάντα µε χαµηλές τιµές του παράγοντα της δυσκαµψίας επαφής FKN. Κατόπιν παρακολούθησης της διείσδυσης στην διεπιφάνεια επαφής των σωµάτων πρέπει να διαφοροποιείται ανάλογα η τιµή του παράγοντα της δυσκαµψίας επαφής. Υπενθυµίζουµε ότι µικρές τιµές του FKN, δίδουν µεγάλη διείσδυση και µεγάλες τιµές του FKN δυσκολεύουν την σύγκλιση. Η εύρεση µιας αποδεκτής τιµής απαιτεί υποµονή και διαρκή παρακολούθηση των εξαγόµενων του προγράµµατος. iv. Κρίσιµος για την επίλυση του προβλήµατος είναι ο τρόπος και ο ρυθµός επιβολής της φόρτισης. Συστήνεται η χρήση µεγάλου αριθµού βηµάτων φόρτισης και η παρακολούθηση της κατανοµής των φορτίων από το ANSYS. 108

Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική προσοµοίωση προβλήµατος σύµµικτης πλάκας µε χαλυβδόφυλλο µορφής v. Πολλές φορές τα αποτελέσµατα επηρεάζονται από την πυκνότητα του κανάβου πεπερασµένων στοιχείων και την συνδεσµολογία των στοιχείων. Πρέπει να γίνεται πύκνωση του κανάβου πεπερασµένων στοιχείων στις περιοχές ενδιαφέροντος της ανάλυσης και προσεκτική επιλογή του τύπου των πεπερασµένων στοιχείων. 6.9 Ανάλυση Κατά την επαφή µεταξύ των φυσικών σωµάτων δεν υφίσταται αλληλοδιείσδυση (Wright and Hossain, 1998). Το λογισµικό ANSYS, προκειµένου να προσοµοιώσει ρεαλιστικά αυτή την κατάσταση, καθορίζει µια φόρµουλα επαφής (contact formulation) µεταξύ των διακριτοποιηµένων επιφανειών που εµποδίζει την αλληλοδιείσδυση. Υπάρχουν τρεις κύριες συνθήκες επαφής στη βιβλιογραφία (Swanson Analysis Systems Inc., 2003): i. Η πρώτη φόρµουλα επαφής ονοµάζεται µέθοδος Penalty και βασίζεται στην ύπαρξη ενός ιδεατού ελατηρίου επαφής. Ο χρήστης καθορίζοντας την δυσκαµψία του ελατηρίου µπορεί να ελέγξει την απόσταση επαφής των σωµάτων και το µέγεθος της διείσδυσης. Στην περίπτωση που τα σώµατα δεν βρίσκονται σε επαφή το ελατήριο επαφής είναι ανενεργό. Η συνθήκη ισορροπίας γράφεται µε την ακόλουθη µορφή: F = k (6.7) όπου: F η εξωτερική δύναµη, k η δυσκαµψία επαφής και > 0 το µέγεθος της διείσδυσης (Moutafidou, 1997-1998). Φυσικά, στόχο της ανάλυσης πρέπει να αποτελεί η ελαχιστοποίηση της διείσδυσης που συνεπάγεται την αύξηση της ακρίβειας των αποτελεσµάτων και εναρµονισµό µε την πραγµατική κατάσταση. Η µεγάλη τιµή της δυσκαµψίας επαφής συντελεί στην µείωση της διείσδυσης µπορεί όµως να οδηγήσει σε δυσκολία σύγκλισης. ii. Η δεύτερη φόρµουλα επαφής ονοµάζεται µέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange. Η µέθοδος εισάγει µία νέα µεταβλητή στο σύστηµα των σωµάτων, την πίεση επαφής. Στην περίπτωση αυτή η εκπλήρωση της φυσικής απαίτησης για απουσία αλληλοδιείσδυσης µεταξύ των σωµάτων καθορίζεται από την τιµή της πίεσης επαφής. 109

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΥΜΜΙΚΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΜΕ Ή ΧΩΡΙΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ 7.1 Γενικά στοιχεία Στο κεφάλαιο αυτό πραγµατοποιείται συγκριτική µελέτη, µέσω υπολογιστικών προσοµοιωµάτων στο ANSYS, της αντοχής της διατµητικής σύνδεσης χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε απλά εδραζόµενη σύµµικτη πλάκα µε ή χωρίς την ύπαρξη διατµητικών συνδέσµων. Ακολουθεί σύγκριση των υπολογιστικών αποτελεσµάτων µε αντίστοιχα πειραµατικά από τη διεθνή βιβλιογραφία. Στόχος ο έλεγχος της µεθόδου σε σύγκριση µε πρόσθετα πειραµατικά αποτελέσµατα εκτός του Ευρωκώδικα 4. Κατασκευάστηκαν για αυτόν τον σκοπό δύο υπολογιστικά µοντέλα σύµµικτης πλάκας, το πρώτο µε συνδέσµους διάτµησης και το δεύτερο χωρίς. 7.2 Περιγραφή υπολογιστικών µοντέλων Πρώτο βήµα στην κατασκευή των υπολογιστικών προσοµοιωµάτων της σύµµικτης πλάκας υπήρξε η πιστή αναπαραγωγή της γεωµετρίας του χαλυβδόφυλλου µορφής και της πλάκας σκυροδέµατος µε χρήση των σχεδιαστικών εργαλείων του πακέτου πεπερασµένων στοιχείων ANSYS (Moaveni, 1999/ ANSYS 5.7, 2001 a / ANSYS 5.7, 2001 b / Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005). Λόγω συµµετρίας της σύµµικτης πλάκας µοντελοποιήθηκε µόνο το µισό τµήµα της κατά τη διαµήκη έννοια οπότε µίκρυναν σηµαντικά οι διαστάσεις του προσοµοιώµατος (τελικές διαστάσεις κοινές και στις δύο πλάκες µήκος*πλάτος*ύψος=1.3*0.914*0.165 m) και ο απαιτούµενος υπολογιστικός χρόνος. Ακολούθησε η εισαγωγή των κατάλληλων πεπερασµένων στοιχείων και η δηµιουργία του κανάβου του µοντέλου, όπως φαίνεται στο σχήµα 7.1. 119

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης Σχήµα 7.1. Κάνναβος πεπερασµένων στοιχείων υπολογιστικού µοντέλου. Στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης ο κάναβος του υπολογιστικού µοντέλου είχε συνολικό αριθµό 32972 στοιχείων και στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας χωρίς συνδέσµους διάτµησης είχε συνολικό αριθµό 32970 στοιχείων. Για το χαλυβδόφυλλο µορφής επιλέχθηκε, όπως και στο κεφάλαιο 6, το πεπερασµένο στοιχείο µε τον κωδικό SHELL 43. Για λόγους απλότητας κατά τη δηµιουργία του καννάβου πεπερασµένων στοιχείων αποφασίστηκε να ταυτιστεί το πάχος του χαλυβδόφυλλου µε το πάχος του στοιχείου κελύφους (Ahmed et al., 2002/ Queiroz et al., 2005). Οι γεωµετρικές ιδιότητες του χαλυβδόφυλλου µορφής που χρησιµοποιήθηκε στο υπολογιστικό µοντέλο φαίνονται στο σχήµα 7.2. Σχήµα 7.2. Γεωµετρικές ιδιότητες χαλυβδόφυλλου µορφής. Για την πλάκα σκυροδέµατος προκρίθηκε, όπως και στο προηγούµενο κεφάλαιο, η χρήση τρισδιάστατου οκτάκοµβου δοµικού ισοπαραµετρικού στοιχείου SOLID 65. 120

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης Για την υπολογιστική προσοµοίωση των διατµητικών συνδέσµων, στο υπολογιστικό µοντέλο της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης, επιλέχθηκε τρισδιάστατο δίκοµβο γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο µε τρεις βαθµούς ελευθερίας (µετακινήσεις ως προς τους άξονες x, y και z) σε κάθε κόµβο του. Επιλέχθηκε, λοιπόν, το πεπερασµένο στοιχείο µε τον κωδικό LINK 8 (Thermou et al., 2004). Οι χαρακτηριστικές του διαστάσεις συµπίπτουν µε τον ευρέως διαδεδοµένο σύνδεσµο διάτµησης µε διάµετρο 19 και ύψος 100 mm (Βάγιας, 1997/ Αβδελάς, 1998). Συνολικά τοποθετήθηκαν δύο διατµητικοί σύνδεσµοι στο άκρο της σύµµικτης πλάκας στο µέσο των δύο τραπεζοειδών φατνωµάτων της διατοµής του χαλυβδόφυλλου µορφής. Ο κάτω κόµβος του πεπερασµένου στοιχείου ανήκε γεωµετρικά στο χαλυβδόφυλλο µορφής, ο άνω στην πλάκα σκυροδέµατος και ο προσανατολισµός του ήταν κατακόρυφος (Bathe, 1996/ Moaveni, 1999/ Clubley et al., 2003 a / Clubley et al., 2003 b / Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2007). Η διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος καλύφθηκε µε τρισδιάστατα στοιχεία επαφής επιφάνειας-επιφάνειας προκειµένου να επιτευχθεί η σύµµικτη λειτουργία της, ενώ και οι δύο επιφάνειες, χάλυβα και σκυροδέµατος, θεωρήθηκε ότι µπορούν να παραµορφωθούν. Τα στοιχεία επαφής που επιλέχθηκαν από την βιβλιοθήκη του ANSYS έχουν τους κωδικούς TARGE 170 και CONTA 173. 7.3 Νόµοι υλικού χάλυβα και σκυροδέµατος Ο νόµος υλικού του χάλυβα επιλέγχθηκε διγραµµικός ελαστικός-τέλεια πλαστικός (Hinton, 1992/ Moaveni, 1999/ Akhand et al., 2004). Η τάση διαρροής σε εφελκυσµό του δοµικού χάλυβα του χαλυβδόφυλλου µορφής ορίστηκε σε 275 MPa, του συνδέσµου διάτµησης σε 450 MPa και το µέτρο ελαστικότητας σε 210 GPa. Για το σκυρόδεµα χρησιµοποιήθηκε η προσφερόµενη από το λογισµικό πρόγραµµα ANSYS µη γραµµική προσοµοίωση του υλικού µε συµπλήρωση των απαραίτητων τιµών. Η χαρακτηριστική τάση διαρροής σε θλίψη του σκυροδέµατος ορίστηκε σε 31 MPa το µέτρο ελαστικότητας σε 30.5 GPa. Και τα δύο υλικά θεωρήθηκαν ισότροπα. Ο λόγος του Poisson του δοµικού χάλυβα λήφθηκε ίσος µε 0.3 και του σκυροδέµατος µε 0.2. Η τριβή που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος δε θεωρήθηκε 121

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης αµελητέα αλλά λήφθηκε υπόψη µε τιµή συντελεστή τριβής 0.3 (Shanmugam et al., 2002). 7.4 Συνθήκες στήριξης και φόρτισης Η σύµµικτη πλάκα θεωρήθηκε και πάλι απλά εδραζόµενη. Οι συνθήκες στήριξης εφαρµόστηκαν στους εξωτερικούς κόµβους του χαλυβδόφυλλου µορφής κατά το περίγραµµα της πλάκας ενώ δεσµεύτηκε και η οριζόντια µετακίνηση των δύο εγκάρσιων εξωτερικών επιφανειών του σκυροδέµατος. Οι καθοριστικοί για τη συµπεριφορά των πεπερασµένων στοιχείων επαφής παράγοντες, δυσκαµψία επαφής (FKN) και ανοχή διείσδυσης (FTOLN) καθορίστηκαν σε 0.05 και 0.1 αντίστοιχα (Moaveni, 1999/ ANSYS 5.7, 2001 a / ANSYS 5.7, 2001 b ). Η φόρτιση του υπολογιστικού µοντέλου θεωρήθηκε οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην άνω επιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, όπως φαίνεται στο σχήµα 7.3. Μέχρι την αστοχία της διατµητικής σύνδεσης χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος η επιβολή του φορτίου πραγµατοποιήθηκε µε σταθερού εύρους βήµατα φόρτισης, ενώ µετά από αυτό το σηµείο το εναποµένον φορτίο έως την αστοχία της σύµµικτης πλάκας επιβλήθηκε σε ένα βήµα φόρτισης (Shanmugam et al., 2002/ Clubley et al., 2003 b / Τσαλκατίδης και Αβδελάς, 2005). Η τελική τιµή του φορτίου ορίστηκε ίση µε την αντίστοιχη τιµή της πειραµατικής προσέγγισης ανά περίπτωση. Σχήµα 7.3. Συνθήκες στήριξης και φόρτισης σύµµικτης πλάκας. 122

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης 7.5 Αποτελέσµατα Καθοριστική αποδείχθηκε η ύπαρξη συνδέσµων διάτµησης στην αύξηση της αντοχής της σύµµικτης πλάκας (Βάγιας, 1997/ Makelainen and Sun, 1999/ Lawrence, 2002). Όπως φαίνεται και στους Πίνακες 7.1 και 7.2 αντίστοιχα, στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης στα άκρα της, η έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος εµφανίστηκε σε φορτίο 0.022 N/mm 2 και η βύθιση στο µέσο της τη στιγµή της ολίσθησης βρέθηκε ίση µε 5.857 mm. Το φορτίο αστοχίας της σύµµικτης πλάκας µε διατµητικούς συνδέσµους βρέθηκε ίσο µε 0.034 N/mm 2. α) β) Σχήµα 7.4. Βυθίσεις της σύµµικτης πλάκας κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος: α)σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης, β) σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης. 123

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης Στην περίπτωση της σύµµικτης πλάκας χωρίς συνδέσµους διάτµησης η έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος εµφανίστηκε νωρίτερα για φορτίο 0.017 N/mm 2 και η βύθιση στο µέσο της τη στιγµή της ολίσθησης βρέθηκε ίση µε 5.281 mm. Το φορτίο αστοχίας της σύµµικτης πλάκας χωρίς διατµητικούς συνδέσµους βρέθηκε ίσο µε 0.019 N/mm 2. Η σύµµικτη πλάκα αστοχεί και στις δύο περιπτώσεις λόγω οριζόντιας διατµητικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος, αλλά στην περίπτωση όπου απουσιάζουν οι διατµητικοί σύνδεσµοι συµπεριφέρεται πιο ψαθυρά. Η παραµόρφωση του υπολογιστικού προσοµοιώµατος και στις δύο περιπτώσεις φαίνεται στο σχήµα 7.4. α) β) Σχήµα 7.5. Ποσοστό ανάπτυξης της τάσης διαρροής σε χάλυβα και σκυρόδεµα κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος: α)σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης, β) σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης. 124

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης Στο σχήµα 7.5, τέλος, φαίνεται το ποσοστό ανάπτυξης της τάσης διαρροής σε χάλυβα και σκυρόδεµα κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος, στην περίπτωση σύµµικτης πλάκας µε και χωρίς συνδέσµους διάτµησης αντίστοιχα. Στον πίνακα 7.1 παρατίθενται τα φορτία έναρξης ολίσθησης και αστοχίας των δύο µοντέλων. Στον πίνακα 7.2, που ακολουθεί, δίδονται οι τιµές της βύθισης στο µέσο της σύµµικτης πλάκας για τα δύο προσοµοιώµατα. ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΦΟΡΤΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΤΗ ΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ 0.022 0.017 ΦΟΡΤΙΟ ΑΣΤΟΧΙΑΣ 0.034 0.019 Πίνακας 7.1. Φορτία [Ν/mm 2 ] έναρξης ολίσθησης και αστοχίας της σύµµικτης πλάκας ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΧΩΡΙΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΒΥΘΙΣΗ ΣΤΟ ΜΕΣΟ 5.857 5.281 Πίνακας 7.2. Βύθιση στο µέσο [mm] κατά την έναρξη της ολίσθησης 7.6 Σύγκριση µε πειραµατικά αποτελέσµατα Για την αξιολόγηση των αποτελεσµάτων των υπολογιστικών µοντέλων, κρίθηκε σκόπιµη η συγκριτική µελέτη τους µε έγκυρα πειραµατικά αποτελέσµατα (Chen, 2003). Προκειµένου να υπάρξει ορθή σύγκριση των υπολογιστικών µε τα προϋπάρχοντα πειραµατικά εξαγόµενα, αποφασίστηκε τα προσοµοιώµατα να ταυτιστούν µε το πειραµατικό δοκίµιο. Κατά συνέπεια, οι διαστάσεις, οι συνθήκες στήριξης και φόρτισης του πειραµατικού δοκιµίου συµπίπτουν µε αυτές των προηγούµενων παραγράφων. Η βύθιση στο µέσο της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης, κατά την έναρξη της ολίσθησης, βρέθηκε ίση µε 5.68 mm ενώ η αντίστοιχη βύθιση στη σύµµικτη 125

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης πλάκα χωρίς την ύπαρξη συνδέσµων διάτµησης ίση µε 5.16 mm. Τα συγκεντρωτικά υπολογιστικά και πειραµατικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται στον πίνακα 7.3. ΜΕ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΥΣ ΒΥΘΙΣΗ ΣΤΟ ΜΕΣΟ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 5.680 5.160 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 5.857 5.281 Πίνακας 7.3. Συγκεντρωτικά αποτελέσµατα πειραµατικής και υπολογιστικής προσέγγισης [mm] 7.7 Συµπεράσµατα Από τη σύγκριση του υπολογιστικού προσοµοιώµατος και της πειραµατικής προσέγγισης για το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας ενός ανοίγµατος µε τραπεζοειδές χαλυβδόφυλλο µε ή χωρίς διατµητικούς συνδέσµους, προέκυψαν τα ακόλουθα συµπεράσµατα: Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε αστοχία της σύµµικτης πλάκας λόγω διαµήκους διάτµησης στη διεπιφάνεια χάλυβα και σκυροδέµατος. Η αστοχία επέρχεται πριν την ανάπτυξη της πλήρους θεωρητικής πλαστικής ροπής στο άνοιγµα και τα υπολογιστικά φορτία αστοχίας των σύµµικτων πλακών σχεδόν ταυτίζονται µε τα αντίστοιχα πειραµατικά. Οι τιµές των υπολογιζόµενων βυθίσεων στο µέσο του ανοίγµατος στη σύµµικτη πλάκα µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης έχουν απόκλιση µόλις 3.1% και 2.3% από τις αντίστοιχες πειραµατικές, κατά την έναρξη της ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλύβδινου προφίλ και πλάκας σκυροδέµατος (πίνακας 7.3). Η φόρτιση κατά τη διάρκεια του πειράµατος µπορεί υπό προϋποθέσεις να θεωρηθεί οµοιόµορφα κατανεµηµένη λόγω της ύπαρξης υδραυλικού γρύλου και δοκών κατανοµής του φορτίου στη σύµµικτη πλάκα. Η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας όπου δεν τοποθετήθηκαν σύνδεσµοι διάτµησης αποδείχθηκε ψαθυρή µε την σχετική ολίσθηση να εµφανίζεται νωρίτερα και την αστοχία της να επέρχεται για χαµηλότερο φορτίο σε σύγκριση µε την σύµµικτη 126

Κεφάλαιο 7: Συγκριτική αξιολόγηση υπολογιστικών µοντέλων σύµµικτης πλάκας µε ή χωρίς συνδέσµους διάτµησης πλάκα µε διατµητικούς συνδέσµους. Το συµπέρασµα αυτό επιβεβαιώνεται και από τα υπολογιστικά αποτελέσµατα (πίνακες 7.1 και 7.2). Η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης αποδείχθηκε όλκιµη µέχρι το φορτίο έναρξης της σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου-σκυροδέµατος και στη συνέχεια ψαθυρή µέχρι το φορτίο αστοχίας. Η κατασκευή των υπολογιστικών προσοµοιωµάτων µε το ANSYS προηγήθηκε χρονικά της πειραµατικής διαδικασίας που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5. Για το λόγο αυτό, η συγκριτική αξιολόγηση των υπολογιστικών µοντέλων πραγµατοποιήθηκε µε πειραµατικά αποτελέσµατα από τη διεθνή βιβλιογραφία. Τελικά το προτεινόµενο υπολογιστικό µοντέλο κρίνεται αξιόπιστο για το σχεδιασµό σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής και παρουσιάζει ικανοποιητική ακρίβεια αποτελεσµάτων. Η περιγραφή του είναι απλή και η επίλυση του µε χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή δεν απαιτεί σηµαντικό υπολογιστικό χρόνο. 127

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 8.1 Συµπεράσµατα Η µέχρι σήµερα ερευνητική δραστηριότητα στο γνωστικό πεδίο των σύµµικτων πλάκων µπορεί να ενταχθεί σε δύο κύριες κατηγορίες: i) Σε αυτήν που αφορά την προσπάθεια κατανόησης της λειτουργίας και µοντελοποίησης του διατµητικού δεσµού, που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος. Σχετικοί ερευνητές: Wright, Anwar Hossain, Clubley, Moy, Xiao, Crisinel, Marimon, Chen, Marimuthu, Κάλφας, Μιστακίδης και άλλοι, και ii) Σε αυτήν που αποβλέπει στη βελτιστοποίηση των χαρακτηριστικών των χαλυβδόφυλλων µορφής και των διατµητικών συνδέσµων µε απώτερο στόχο την επίτευξη υψηλού βαθµού σύµµικτης λειτουργίας, δηλαδή την ενίσχυση του διατµητικού δεσµού µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος. Σχετικοί ερευνητές: Porter, Ekberg, Wright, Chien, Ritchie, Tenhovuori, Leskelä, Mäkeläinen, Sun, Burnet, Oehlers, Akhand και άλλοι. Η παρούσα διδακτορική διατριβή ανήκει στην πρώτη κύρια κατηγορία έρευνας, εισάγοντας όµως καινοτόµα στοιχεία στην ερευνητική προσπάθεια. Η µαθηµατική έκφραση του προβλήµατος επαφής που παρουσιάζεται στο τέταρτο κεφάλαιο της παρούσας διατριβής, περιγράφει µε ικανοποιητική ακρίβεια την αλληλεπίδραση χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας. Αποτελεί το θεωρητικό υπόβαθρο της παρούσας µελέτης και λαµβάνει υπόψη το σύνολο των παραγόντων που καθορίζουν τη δοµική συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας. Το πρόβληµα επαφής χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος της σύµµικτης πλάκας εκφράζεται µε ανισοτική µορφή της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος, δηλαδή αντιµετωπίζεται ως πρόβληµα µονόπλευρης επαφής. Η επίλυση του προβλήµατος εντάσσεται στο µαθηµατικό πλαίσιο των ανισοτήτων ηµιµεταβολών. Η συγκεκριµένη µαθηµατική θεωρία έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία σε διάφορα προβλήµατα µηχανικής (ελαστοπλαστική ανάλυση πλαισίων, επικολλήσεις, φέρουσα τοιχοποιία, shakedown analysis κ.τ.λ.). Για πρώτη φορά, όµως, γίνεται εκτεταµένη χρήση της συγκεκριµένης µεθόδου σε πρόβληµα επαφής σύµµικτης 128

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα πλάκας. Η µαθηµατική διατύπωση δεν περιορίζεται µόνο στην περιγραφή των συνθηκών επαφής στη διεπιφάνεια των σύµµικτων πλακών αλλά προχωρά στη µόρφωση µιας γενικής ανισότητας ηµιµεταβολών για το σύστηµα χαλυβδόφυλλο µορφής-σκυρόδεµα. Στη διατύπωση αυτή του προβλήµατος βασίζεται το δισδιάστο µοντέλο υπολογισµού της σύµµικτης πλάκας µε το πρόγραµµα MATLAB (κεφάλαιο 4). Παράλληλα, το δισδιάστατο µοντέλο που περιγράφηκε είναι χρήσιµο σε επίπεδο αρχικής µελέτης αφού επιτρέπει την πρόβλεψη της συµπεριφοράς της σύµµικτης πλάκας και ταυτόχρονα είναι εξαιρετικά απλό στην µόρφωσή του. Τα αποτελέσµατα του απλοποιηµένου δισδιάστατου προσοµοιώµατος στο MATLAB δεν είναι δόκιµο να συγκριθούν απευθείας µε τα αντίστοιχα τρισδιάστατα υπολογιστικά και πειραµατικά. Παρόλα αυτά, από τη σύγκριση των εξαγόµενων του µοντέλου (σχήµατα 4.8 και 4.9), µε τα αντίστοιχα πειραµατικά (σχήµατα 5.17 και 5.21) και υπολογιστικά (σχήµατα 6.23 και 6.24), προκύπτει ικανοποιητική σύγκλιση τιµών (πίνακας 8.1). Οι µηχανικές ιδιότητες του σκυροδέµατος και του χαλυβδόφυλλου µορφής που χρησιµοποιούνται στο δισδιάστατο µοντέλο ταυτίζονται µε αυτές του πειραµατικού δοκιµίου και του µοντέλου στο ANSYS. ΒΥΘΙΣΗ ΣΤΟ ΜΕΣΟ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΟ ΦΟΡΤΙΟ [mm] ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΟ ΦΟΡΤΙΟ [mm] ΜΕΓΙΣΤΟ ΦΟΡΤΙΟ [kn] MATLAB 1.97 4.05 45.00 ΠΕΙΡΑΜΑ 1.90 3.90 44.56 ANSYS 1.84 3.85 44.90 Πίνακας 8.1. Σύγκριση αποτελεσµάτων κεφαλαίων 4, 5 και 6. Η πειραµατική διαδικασία στηρίχθηκε στις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4. Η επιλογή του συγκεκριµένου κανονισµού δεν υπήρξε τυχαία αλλά βασίζεται στην ευρεία αποδοχή του από την επιστηµονική κοινότητα. Πέρα από την πρακτική εφαρµογή του, ο Ευρωκώδικας 4 µπορεί να αποτελέσει χρήσιµο εργαλείο και για τον ερευνητή- µηχανικό αφού περιέχει πολύτιµα θεωρητικά στοιχεία για τις σύµµικτες πλάκες και γενικά τις σύµµικτες κατασκευές. 129

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα Πρέπει επίσης να τονισθεί ότι η µη ύπαρξη τυποποίησης των χαλυβδόφυλλων µορφής έχει σαν αποτέλεσµα αυτά να έχουν διαφορετικά γεωµετρικά και µηχανικά χαρακτηριστικά ανάλογα µε τον κατασκευαστή. Συνεπώς, πέρα από κάποιους γενικούς κανόνες, η µελέτη κάθε σύµµικτης πλάκας πρέπει να αντιµετωπίζεται ξεχωριστά από τον ερευνητή. Από τη συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσµάτων του υπολογιστικού προσοµοιώµατος και της πειραµατικής προσέγγισης για το πρόβληµα της σύµµικτης πλάκας ενός ανοίγµατος µε τραπεζοειδές χαλυβδόφυλλο προέκυψαν τα ακόλουθα γενικά συµπεράσµατα: 1. Επειδή στόχος των πειραµατικών δοκιµών του Ευρωκώδικα 4 για τις σύµµικτες πλάκες αποτελεί η µελέτη της συµπεριφοράς του χαλυβδόφυλλου µορφής και της αλληλεπίδρασής του µε το σκυρόδεµα, δεν προβλέπει τη χρήση συνδέσµων διάτµησης στα πειραµατικά δοκίµια. ιαπιστώθηκε όµως ότι τόσο στην περίπτωση αυτή όσο και στην περίπτωση που υπάρχουν σύνδεσµοι διάτµησης, η σύµµικτη πλάκα εµφανίζει όλκιµη συµπεριφορά, όπως αυτή ορίζεται στον Ευρωκώδικα 4. Στην περίπτωση της χρήσης συνδέσµων διάτµησης θα είχαµε περαιτέρω αύξηση της αντοχής και της ολκιµότητας της σύµµικτης πλάκας, όπως αποδεικνύεται στο κεφάλαιο 7. Συγκεκριµένα, από τα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα του πίνακα 7.1 φαίνεται ότι η σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης εµφανίζει κατά 78% µεγαλύτερη αντοχή από τη σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης. Από τον πίνακα 7.2 προκύπτει ότι η σύµµικτη πλάκα µε συνδέσµους διάτµησης έχει κατά 11% µεγαλύτερη βύθιση από τη σύµµικτη πλάκα χωρίς συνδέσµους διάτµησης, δηλαδή είναι περισσότερο όλκιµη. 2. Η αστοχία της σύµµικτης πλάκας κατά την πειραµατική προσέγγιση του φαινοµένου ξεκίνησε µε αµοιβαία ολίσθηση χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος στη διεπιφάνεια. Ακολούθησε η ρηγµάτωση του σκυροδέµατος, µε απότοµη πτώση της ικανότητας ανάληψης φορτίου από την σύµµικτη πλάκα (σχήµα 5.15). Αυτή η πτώση του φορτίου αποτυπώνεται µε παραστατικό τρόπο τόσο στο πειραµατικό όσο και στο υπολογιστικό διάγραµµα φόρτισης-βύθισης (σχήµατα 5.17 και 6.23). Η διαφορά στην πτώση της αντοχής ανάµεσα στο πείραµα και στο υπολογιστικό µοντέλο οφείλεται στην 130

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα αδυναµία µοντελοποίησης, υπολογιστικά, των πιθανών θέσεων και του εύρους των ρωγµών. 3. Η ολίσθηση στην διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας εκδηλώνεται από την έναρξη του πειράµατος. Η σύµµικτη πλάκα κατά την πειραµατική διαδικασία επέδειξε δηλαδή συµπεριφορά µερικής διατµητικής σύνδεσης χωρίς το αρχικό στάδιο πλήρους διατµητικής σύνδεσης που αναφέρεται στον Ευρωκώδικα 4 (σχήµα 5.15). Προκύπτει, λοιπόν, ότι στις σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο µορφής η περίπτωση της πλήρους σύµµικτης λειτουργίας έχει µόνο θεωρητική υπόσταση. 4. Ο ρυθµός ολίσθησης στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας αυξάνεται µετά την επίτευξη της µέγιστης φέρουσας ικανότητας της σύµµικτης πλάκας (σχήµα 5.21). Το αντίστοιχο υπολογιστικό διάγραµµα (σχήµα 6.24) επιβεβαιώνει την παρατήρηση αυτή, αλλά υπάρχει διαφορά στο ρυθµό ολίσθησης. Η διαφορά αυτή πιθανόν οφείλεται σε τοπική παραµόρφωση των πεπερασµένων στοιχείων στα οποία ανήκουν οι γειτονικοί κόµβοι. Η διαφορά των οριζόντιων µετακινήσεων των κόµβων ισούται µε την τιµή της ολίσθησης. 5. Αποδείχθηκε πειραµατικά ότι η επιβολή της κυκλικής φόρτισης στα πειραµατικά δοκίµια κατάστρεψε τον χηµικό δεσµό µεταξύ σκυροδέµατος και τραπεζοειδούς µεταλλικού προφίλ. Η επιβολή κυκλικής φόρτισης δεν επηρέασε την τιµή του φορτίου αστοχίας της σύµµικτης πλάκας, όπως αυτό είχε βρεθεί από το στατικό πείραµα (σχήµα 5.20). 6. Ο διατµητικός δεσµός µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος, κατά την πειραµατική έρευνα, αποδείχτηκε ότι αυξάνει εκ νέου την ικανότητα ανάληψης φορτίου από την σύµµικτη πλάκα, µετά την ρηγµάτωση του σκυροδέµατος (σχήµα 5.17). Πολύτιµη κρίνεται η συµβολή των πυκνά διατεταγµένων ειδικών προεξοχών του χαλυβδόφυλλου µορφής (τύπου Chevron 900) στην ενίσχυση της συνεργασίας των δύο υλικών. Τα εντυπώµατα του χαλυβδόφυλλου µορφής προσεγγίστηκαν υπολογιστικά µε τις παραµέτρους FKN και FTOLN που καθορίζουν τη δυσκαµψία και την ανοχή 131

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα διείσδυσης του ζεύγους πεπερασµένων στοιχείων επαφής. Το τελικό ζεύγος τιµών των παραµέτρων καθορίστηκε από τις πειραµατικές µετρήσεις. 7. Ο τελευταίος, σχεδόν οριζόντιος, κλάδος των διαγραµµάτων φόρτισης-βύθισης (σχήµατα 5.17 και 6.23) αντιστοιχεί στην συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας ως µηχανισµού. Η σύµµικτη πλάκα δεν µπορεί να παραλάβει περαιτέρω φορτία και τελικά καταρρέει. Πειραµατικά η κατάρρευση της σύµµικτης πλάκας συνοδεύτηκε από αποκόλληση του χαλυβδόφυλλου µορφής από το σκυρόδεµα. 8. Η αντοχή του διατµητικού δεσµού χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος εκφράζεται µε την διατµητική τάση σε διαµήκη διάτµηση τ u. Η τιµή της τάσης τ u βρέθηκε από την υπολογιστική ανάλυση ίση µε 0.22 MPa (σχήµα 6.20) και από την πειραµατική ανάλυση ίση µε 0.20 MPa. Η απόκλιση των δύο τιµών είναι της τάξης του 10%. 9. Από τη συγκριτική µελέτη των διαγραµµάτων φόρτισης-βύθισης και φόρτισηςολίσθησης (σχήµατα 5.17 και 5.21 καθώς και σχήµατα 6.23 και 6.24) φαίνεται η συνεισφορά του χαλυβδόφυλλου µορφής στο να παραµένει µικρό το εύρος των ρωγµών του σκυροδέµατος µέχρι την καταστροφή του διατµητικού δεσµού µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής-σκυροδέµατος. Τη στιγµή της επίτευξης της µέγιστης αντοχής εµφανίζεται µεγάλη ολίσθηση στη διεπιφάνεια της σύµµικτης πλάκας, σε συνδυασµό µε ικανοποιητική τιµή της βύθισης, πράγµα που φανερώνει την ύπαρξη µερικής διατµητικής σύνδεσης στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος. 10. Η αστοχία της σύµµικτης πλάκας επέρχεται µετά την υπέρβαση της αντοχής του διατµητικού δεσµού που αναπτύσσεται µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος. Η αστοχία χαρακτηρίζεται τελικά καµπτικής µορφής (σχήµα 5.11). Η µορφή αυτή αστοχίας εµφανίζεται συνήθως σε σύµµικτες πλάκες µε µεγάλο διατµητικό άνοιγµα (γύρω στα 1.25 m). 11. Η κατάρρευση της σύµµικτης πλάκας επέρχεται τελικά λόγω µεγάλου ρήγµατος στο σκυρόδεµα στη θέση επιβολής της φόρτισης. Τα αποτελέσµατα του υπολογιστικού 132

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα µοντέλου στο MATLAB δείχνουν στην ίδια θέση απουσία δυνάµεων επαφής µεταξύ χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος (σχήµα 4.7). Η απουσία επαφής µπορεί να προέρχεται και από τον τοπικό λυγισµό του χαλύβδινου προφίλ, όπως παρατηρήθηκε µετά την αποκόλληση των δύο στοιχείων. 12. Το υπολογιστικό φορτίο αστοχίας της σύµµικτης πλάκας βρέθηκε ίσο µε 44.9 kn (σχήµα 6.23) και εµφανίζει µικρή απόκλιση από το αντίστοιχο µέσο πειραµατικό, που υπολογίστηκε ίσο µε 44.56 kn (πίνακας 5.2). Σηµαντική κρίνεται η συµβολή της διατήρησης κοινού ιστορικού φόρτισης στην εύρεση σχεδόν ίσου φορτίου αστοχίας. 13. Κατά την πειραµατική ανάλυση, η φέρουσα ικανότητα και η µέγιστη ροπή κάµψης, για όλα τα δοκίµια της σύµµικτης πλάκας, είναι σε κοντινό πεδίο τιµών. Η παρατήρηση αυτή είναι ενδεικτική της υψηλής ποιότητας της πειραµατικής διαδικασίας. 14. Η εισαγωγή της χρήσης τρισδιάστατων στοιχείων επαφής και µη γραµµικής µοντελοποίησης του σκυροδέµατος στο πρόβληµα επαφής της σύµµικτης πλάκας προσεγγίζει την πραγµατική συµπεριφορά των σύµµικτων πλακών. Το υπολογιστικό µοντέλο που κατασκευάστηκε χρησιµοποιεί τα πεπερασµένα στοιχεία επαφής-επαφής του προγράµµατος ANSYS, για την προσοµοίωση της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέµατος. Τα στοιχεία αυτά δηµιουργούν ζεύγη επαφής, δίνοντας την δυνατότητα στον µελετητή να µεταβάλλει εύκολα µόνο τις παραµέτρους των ζευγών επαφής και όχι του συνολικού µοντέλου. Η προσοµοίωση του σκυροδέµατος πραγµατοποιείται µε τον µη γραµµικό νόµο των William-Warnke που περιγράφει µε ακρίβεια τις ιδιότητές του. Το προτεινόµενο υπολογιστικό µοντέλο που κατασκευάστηκε στο πρόγραµµα ANSYS κρίνεται αξιόπιστο για την προσοµοίωση σύµµικτων πλακών µε χαλυβδόφυλλο µορφής και παρουσιάζει ικανοποιητική ακρίβεια αποτελεσµάτων, συγκρινόµενο µε τα αντίστοιχα πειραµατικά. Η περιγραφή του είναι απλή και η επίλυσή του µε χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή δεν απαιτεί σηµαντικό υπολογιστικό χρόνο. Το προσοµοίωµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί επικουρικά µε τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4 στον σχεδιασµό των σύµµικτων πλακών µε διάφορες διαστάσεις, τύπους χαλυβδόφυλλου και ύπαρξη ή µη συνδέσµων διάτµησης. 133

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα Η προσοµοίωση της σύµµικτης πλάκας, όπως προτείνεται στο έκτο κεφάλαιο της διατριβής, παρουσιάζει σηµαντικά πλεονεκτήµατα. Αρχικά, το προτεινόµενο µοντέλο καινοτοµεί αφού ακολουθεί την ακριβή γεωµετρία της σύµµικτης πλάκας δίνοντας στον ερευνητή τη δυνατότητα της άµεσης οπτικής παρατήρησης των κρίσιµων περιοχών της ανάλυσης. Επίσης, λαµβάνει υπόψη τις δυνάµεις τριβής που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια χάλυβα-σκυροδέµατος, µέσω της τιµής του συντελεστή τριβής. Οι νόµοι υλικού του σκυροδέµατος και του χάλυβα, που χρησιµοποιούνται στη µοντελοποίηση, αποτυπώνουν την πραγµατική συµπεριφορά τους. Η ανάλυση που πραγµατοποιείται είναι µη γραµµική και η λύση επέρχεται µόνο όταν η τιµή του διαφοράς των εσωτερικών δυνάµεων του συστήµατος των σωµάτων που αποτελούν την σύµµικτη πλάκα, µεταξύ δύο επαναληπτικών βηµάτων, είναι µικρότερη από 0.001. Σε αυτόν τον παράγοντα οφείλεται η µεγάλη ακρίβεια των αποτελεσµάτων του µοντέλου. 15. Η κατασκευή των υπολογιστικών προσοµοιωµάτων µε το ANSYS, όπως παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 7, προηγήθηκε χρονικά της πειραµατικής διαδικασίας που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5. Για το λόγο αυτό, η συγκριτική αξιολόγηση των υπολογιστικών µοντέλων στο κεφάλαιο 7 πραγµατοποιήθηκε µε πειραµατικά αποτελέσµατα από τη διεθνή βιβλιογραφία. Η πειραµατική διαδικασία που παρουσιάζεται στην εργασία του ερευνητή Chen (Chen, 2003) δεν ταυτίζεται µε τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4 αλλά έχει ιδιαίτερη σηµασία λόγω της χρήσης διατµητικών συνδέσµων στο πειραµατικό δοκίµιο. 16. Η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας µε συνδέσµους διάτµησης αποδείχθηκε όλκιµη µέχρι το φορτίο έναρξης της σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου-σκυροδέµατος και στη συνέχεια ψαθυρή µέχρι το φορτίο αστοχίας. Αντίθετα, η συµπεριφορά της σύµµικτης πλάκας όπου δεν τοποθετήθηκαν σύνδεσµοι διάτµησης αποδείχθηκε πιο ψαθυρή, µε την σχετική ολίσθηση να εµφανίζεται νωρίτερα και την αστοχία της να επέρχεται για χαµηλότερο φορτίο, σε σύγκριση µε την σύµµικτη πλάκα µε διατµητικούς συνδέσµους (πίνακες 7.1 και 7.2). 17. Η φορά των εντυπωµάτων καθορίζει την κατεύθυνση αστοχίας της σύµµικτης πλάκας (κατά µήκος) µετά την επιβολή κυκλικού φορτίου. 134

Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα 8.2 Αξιολόγηση-µελλοντικοί στόχοι Η παρούσα εργασία εισήγαγε την ολιστική αντιµετώπιση του προβλήµατος της διεπιφάνειας χάλυβα-σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες µε χαλυβδόφυλλο µορφής. Συγκεκριµένα, µέσω υπολογιστικής, πειραµατικής αλλά και µαθηµατικής-αναλυτικής προσέγγισης, εστίασε και διερεύνησε το σύνθετο πρόβληµα επαφής χαλυβδόφυλλου µορφής και σκυροδέµατος σε σύµµικτες πλάκες. Η επιλογή σύµµικτων στοιχείων σε κατασκευές είναι ώριµη και συµβάλλει στον ασφαλή σχεδιασµό των δοµικών έργων. Μελλοντικός στόχος της ερευνητικής δραστηριότητας θα αποτελέσει η δηµιουργία πεπερασµένου στοιχείου επαφής, µε εξειδικευµένα χαρακτηριστικά για την µελέτη προβληµάτων επαφής σε σύµµικτες πλάκες, συµβατού µε υπάρχοντα υπολογιστικά προγράµµατα. Η χρήση τέτοιου στοιχείου θα συντελέσει στην πιο ρεαλιστική µοντελοποίηση των σύµµικτων πλακών. 135

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Α. Ελληνόγλωσση Αβδελάς, Α. (1987), Εφαρµογή των µεθόδων του τετραγωνικού προγραµµατισµού στα προβλήµατα της θεωρίας πλαστικότητας (διδακτορική διατριβή), Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη. Αβδελάς, Α. (1998), Σηµειώσεις σύµµικτων κατασκευών- Εισαγωγή στον Ευρωκώδικα 4 ( οκοί- Υποστυλώµατα), Θεσσαλονίκη. Βάγιας, Ι. (1997), Σύµµικτες κατασκευές από χάλυβα και οπλισµένο σκυρόδεµα., Εκδόσεις Κλειδάριθµος, Αθήνα. Bode, H. (1998), Ευρωπαϊκές σύµµικτες κατασκευές: Εκτέλεση και διαστασιολόγηση, Αθήνα: Εκδόσεις Μ. Γκιούρδας. Chandrupatla T.R. and Belegundu, A.D. (2005), Εισαγωγή στα πεπερασµένα στοιχεία για µηχανικούς, Εκδόσεις Κλειδάριθµος, Αθήνα. Γαλάνης, Γ., ανιηλίδης, Σ., Τσαλκατίδης, Θ. και Αβδελάς, Α. (2005), Προσοµοίωση χαλύβδινης σηµειακής σύνδεσης υαλοπετασµάτων µε τη χρήση πεπερασµένων στοιχείων Πρακτ. E.E.M.E-5ο Εθνικό Συνέδριο Μεταλλικών Κατασκευών, Συντ.: Ε. Γαλούσης, Ι. Ερµόπουλος, Χ. Κάλφας, Ξάνθη, 29 Σεπτεµβρίου- 2 Οκτωβρίου, ΙΙ,364-371. Ευθυµίου, Ευ. (2005), Ανάπτυξη των γραµµών διαρροής σε εφελκυόµενες κοχλιωτές συνδέσεις αλουµινίου- Αριθµητική και πειραµατική προσέγγιση (διδακτορική διατριβή), Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη. Καζιόλας,. (2000), ιερεύνηση της συµπεριφοράς επικολλήσεων σε σύνθετες κατασκευές στα πλαίσια των µεθόδων της µη λείας µηχανικής (διδακτορική διατριβή), Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη. Κολτσάκης, Ευ. (1990), Θεωρητική και αριθµητική µελέτη φορέων µε µη µονότονες συνοριακές συνθήκες-εφαρµογή στις επικολλήσεις (διδακτορική διατριβή), Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη. Καντεράκης Ι. (2002), Σύµµικτες κατασκευές. υνατότητες και πλαίσιο µελέτηςκατασκευής, Κτίριο, 142, 46-50. Κοντολέων, Μ.Ι., Μυστακίδης, Ε.Σ., Μπανιωτόπουλος, Χ.Κ., και Παναγιωτόπουλος Π.. (1998), Αριθµητική προσοµοίωση της συµπεριφοράς βάσης της έδρασης υποστυλώµατος από χάλυβα υπό στατική φόρτιση, στο Γ Εθνικό Συνέδριο Σιδηρών Κατασκευών,(επιµ. Κ.Τ. Θωµόπουλος, Χ.Κ. Μπανιωτόπουλος, Α.Β. Αβδελάς, Θεσσαλονίκη, 30-31 Οκτωβρίου 1998, 169-176. 136

Κοντολέων, Μ. (2000), Μελέτη µεταλλικών συνδέσεων µε επικολλήσεις µε φθίνοντες κλάδους (διδακτορική διατριβή), Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης., Θεσσαλονίκη. Μητσοπούλου, Ε. και ουδούµης, Ι. (2000), Αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών, Θεσσαλονίκη: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Μπίσµπος, Χρ. (2003), Σηµειώσεις µεταλλικών κατασκευών I, (6 ο Εξάµηνο Πολιτικών Μηχανικών), Θεσσαλονίκη: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Τσαλκατίδης Θ. και Αβδελάς Α.Β. (2005), Υπολογιστική προσοµοίωση σύµµικτης πλάκας µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. Συγκριτική αξιολόγηση µε πειραµατικά αποτελέσµατα, Πρακτ. E.E.M.E-5ο Εθνικό Συνέδριο Μεταλλικών Κατασκευών, Συντ.: Ε. Γαλούσης, Ι. Ερµόπουλος, Χ. Κάλφας, Ξάνθη, 29 Σεπτεµβρίου-2 Οκτωβρίου Ι, 146-153. Τσαλκατίδης Θ. και Αβδελάς Α. (2007), Υπολογιστική προσοµοίωση σύµµικτης πλάκας µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. Συγκριτική αξιολόγηση µε πειραµατικά αποτελέσµατα, Μεταλλικές Κατασκευές, 2, 29-34. Φραγκάκις, Χ. (1983), Προγραµµατισµός ηλεκτρονικών υπολογισµών: Τόµος 1- FORTRAN, Θεσσαλονίκη, Εκδόσεις Κυριακίδη. Χαραλαµπάκης, Ν. και ουδούµης, Ι. (2002), Ελαστοπλαστικός υπολογισµός των κατασκευών, Θεσσαλονίκη: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Β. Ξενόγλωσση Ahmed, E., Wan Badaruzzaman, W.H. and Wright, H.D. (2002), Two- way bending behaviour of profiled steel sheet dry board composite panel system, Thin-Walled Structures, 40, 970-990. Akhand, A.M., Badaruzzaman, W.H.W. and Wright, H.D.(2004), Combined flexure and web crippling strength of a low- ductility high strength steel decking: experiment and a finite element model, Thin-Walled Structures, 42, 1067-1082. ANSYS 5.7, (2001 a ), Training manual: Basic structural nonlinearities, Canonsburg. ANSYS 5.7, (2001 b ), Workshop: Basic structural nonlinearities, Canonsburg. Avdelas, A.V. (1987), The unilateral contact problem. A treatment by the use of the Keller Direct method, 1 st National Congress on Mechanics, Athens, 25-27 June 1986, I, 207-234. 137

Avdelas, A.V. (1991), Determination of the collapse load of plastic structures by the use of an upper bounding algorithm, Computer and Structures, 40, 1003-1008. Avdelas, A.V. (1992), A program for the elastoplastic analysis and design of haunched steel frames, Computer and Structures, 45, 61-68. Avdelas, A.V. (1998), Shakedown analysis of steel structures in the presence of workhardening. A mathematical programming approach, 3 rd National Congress on Steel Structures, Thessaloniki, 30-31 October 1998, I, 112-117. Avdelas, A.V. (2002), Shakedown analysis of framed structures. A neural network approach to the variational inequality formulation, C. Baniotopoulos (ed.), Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- I. NNMAE 2002 - Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, Thessaloniki, Greece, 5-6- July 2002, 465-472. Baniotopoulos, C.C. (1987), A hemivariational approach to the analysis of composite material structures. In Engineering Applications of New Composites (ed. S. A. Paipetis and Papanicolaou) Omega Publ., London. Baniotopoulos, C.C. (1993), On the discrete optimal control problem of composite wall structures, Computer and Structures, 53, 1243-1245. Baniotopoulos, C.C., Kaziolas D. and Zygomalas M. (2002), A hemivariational inequality approach to the analysis of the response of laminated composites, C. Baniotopoulos (ed.), Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- I. NNMAE 2002 -Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, Thessaloniki, Greece, 5-6- July 2002, 385-392. Barbosa, A. and Ribeiro, G. (1998), Analysis of reinforced concrete structures using ANSYS nonlinear concrete model, In 4 th World Congress on Computational Mechanics- New trends and applications, Buenos Aires, Argentina, I, 1-7.. Bathe, K-J. (1996), Finite element procedures, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Belev, B. (2000), Finite element analysis of steel-concrete sub assemblage with part shear connection, 327-336, (S.S. Baniotopoulos/ F. Wald, Eds). Betti, M., Borri, C. and Baniotopoulos C.C. (2002), Stochastic mechanics of convex energy structural systems. In: C. Baniotopoulos (ed.), Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- I. NNMAE 2002 - Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, Thessaloniki, Greece, 5-6 July 2002, 447-455. Bisbos, C.D. (1986), A Cholesky condensation method for unilateral contact problem, Solid Mechanics Archive, 11, 1-21. 138

Bisbos, C.D. (2002), A study of gap variations in frictionless unilateral contact problems. In: C. Baniotopoulos (ed.), Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- I. NNMAE 2002 -Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, Thessaloniki, Greece, 5-6 July 2002, 217-224. Bisbos, C.D. (2006), Incomplete flexibility solution schemes for frictional contact problems..in: C. Baniotopoulos (ed.), Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- II. NNMAE 2006 -Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, Thessaloniki, Greece, 7-8 July 2006, 157-164. Bisbos, C.D. and Sakellariadou, H.I. (1997), Stick-slip processes between thin metallic sheets, Journal of the Balkan Tribological Association, 3, 99-106. Bode, H., Minas, F. and Sauerborn, I. (1996), Partial connection design of composite slabs, Structural Engineering International, 6 (1), 53-56. Bujnak J. and Odrobinak J. (2005), Cracking of concrete deck in composite structures, In B. Hoffmeister and O. Hechler (eds.), Eurosteel 2005, 4 th European Conference on Steel and Composite Structures- Research- Eurocodes- Practice, Maastricht- The Netherlands, June 8-10, 2005, B, 4.2-15-4.2-22. Bujnak J. and Bouchair, A. (2005), Numerical model for steel concrete composite beam with partial shear connection, In B. Hoffmeister and O. Hechler (eds.), Eurosteel 2005, 4 th European Conference on Steel and Composite Structures- Research- Eurocodes- Practice, Maastricht- The Netherlands, June 8-10, 2005,.B, 4.3-17-4.3-24. Burnet, M. and Oehlers, D. (2001), Rib shear connectors in composite profiled slabs, Journal of Constructional Steel Research, 57, 1267-1287. Bursi, O.S., Sun, F.F. and Postal, St. (2005), Non-linear analysis of steel- concrete composite frames with full and partial shear connection subjected to seismic loads, Journal of Constructional Steel Research, 61 (1), 67-92. Calixto, J.M., Lavall, A.C., Melo, Cr.B., Pimenta, R.J. and Monteiro, R.C. (1998), Behaviour and strength of composite slabs with ribbed decking, Journal of Constructional Steel Research, 46 (1-3), Paper No 110. Chen, W. and Saleeb, A., (1994 a ), Constitutive equations for engineering materials, Volume 1: elasticity and modelling, Elsevier Science, Amsterdam. Chen, W. and Saleeb, A., (1994 b ), Constitutive equations for engineering materials, Volume 2: plasticity and modelling, Elsevier Science, Amsterdam. Chen, S. (2003), Load carrying capacity of composite slabs with various end constraints, Journal of Constructional Steel Research, 59, 385-403. 139

Chien, E.Y.L and Ritchie J.K.(1993), Composite floor systems- A mature design option, Journal of Constructional Steel Research, 25, 107-139. Clarke, F.H. (1983) Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York Clubley, S., Moy, S. and Xiao, R. (2003 a ), Shear strength of steel-concrete-steel composite panels. Part I-testing and numerical modeling, Journal of Constructional Steel Research, 59, 781-794. Clubley, S., Moy, S. and Xiao, R. (2003 b ), Shear strength of steel-concrete-steel composite panels. Part II detailed numerical modeling of performance, Journal of Constructional Steel Research, 59, 795-808. Cook, R.D. (1995), Finite Element Modeling for stress analysis, John Wiley and Sons, New York Crisinel, M. and Marimon, F. (2004), A new simplified method for the design of composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 60, 481-491. Daniels, B.J. and Crisinel, M. (1993), Composite slab behaviour and strength analysis. Part II: Comparison with test results and parametric analysis, Journal of Structural Engineering, 119 (1), 36-49. Davies, J.M. and Jiang, C. (1997), Design procedures for profiled metal sheeting and decking, Thin-Walled Structures, 27 (1), 43-53. De Andrade, S.A.L., Da S. Vellasco, P.C.G., Da Silva, J.G.S. and Takey, T.H. (2004), Standardized composite slab systems for building constructions, Journal of Constructional Steel Research, 60, 493-524. Dissanayake, U., Burgess, I., Davison, J. (2000), Modelling of plane composite frames in unpropped construction, Engineering Structures, 22, 287-303. Dostal, Z., Friedlander, A., Santos, S.A. and Malik, J. (1996), Analysis of semicoercive contact problems using symmetric BEM and augmented Lagrangians, Engineering Analysis with Boundary Elements, 18, 195-201. El- Dardiry, E. and Ji, T. (2006), Modelling of the dynamic behaviour of profiled composite floors, Engineering Structures, 28, 567-579. ENV 1993.01.01: Eurocode 3, (1992): Design of steel structures Part 1.1: General rules and rules for buildings, Brussels. ENV 1994-1-1: Eurocode 4, (1994), Design of composite steel and concrete structures Part 1-1: General rules and rules for buildings, Brussels. ESDEP, (1994), Composite Construction, European Steel Design Educational Programme, Steel Construction Institute. 140

Ferrer, M., Marimon, F., Roure, F. Crisinel M., (2005), Optimized Steel Sheet Profile for Composite Slabs- A Design Optimization Procedure using 3D Non- Linear Finite Elements, In B. Hoffmeister and O. Hechler (eds.), Eurosteel 2005, 4 th European Conference on Steel and Composite Structures- Research- Eurocodes- Practice, Maastricht, The Netherlands, 8-10 June 2005, B, 4.5-1-4.5-7. Foulds, R. (1981), Optimization techniques: An introduction, Springer-Verlag, New York Gattesco, N. and Giuriani, E. (1996), Experimental study on stud shear connectors subjected to cyclic loading, Journal of Constructional Steel Research, 38, 1-21. Habraken, A. and Cescotto, S. (1998), Contact between deformable solids: the fully coupled approach, Mathematical Computational Modelling, 28 (4-8), 153-169. Haslinger, J., Miettinen, M. and Panagiotopoulos, P.D., (1999), Finite Element Method for hemivariational inequalities, Theory, Methods and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Haslinger, J., Moravkova, Z. and Baniatopoulos, C.C. (2006), Contact problems with nonmonotone friction and a solution dependent coefficient of friction. In: Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- II. NNMAE 2006 -Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P.D. Panagiotopoulos, 7-8- July 2006, (ed. C. Baniotopoulos), Thessaloniki, Greece,157-164. Haslinger, J., Vlach, O. (2006) Approximation and numerical realization of 2D contact problems with Coulomb friction and a solution-dependent coefficient of friction, Journal of Computational and Applied Mathematics, 197, 421-436. Hild, P. (2006), Solution multiplicity and stick configurations in continuous and finite element friction problems, Computer methods in applied mechanics and engineering, 196, 57-61. Hinton, E. (1992), NAFEMS Introduction to nonlinear Finite Element Analysis, Bell and Bain Ltd, Glasgow. Hofmeyer, H., Kerstens, J.G.M., Snijder, H.H. and Bakker, M.C.M (2002), Combined web crippling and bending moment failure of first-generation trapezoidal steel sheeting, Journal of Constructional Steel Research, 58, 1509-1529. Hossain, K.M. and Wright, H.D. (2004), Experimental and theoretical behaviour of composite walling under in- plane shear, Journal of Constructional Steel Research, 60, 59-83. 141

Johnson, R.P. (1994), Composite structures of steel and concrete, Blackwell Scientific Editions, Oxford. Kalfas, C., Pavlidis, P., and Galousis, E. (1995), An approach to simulate the push out test, Nordic Steel Construction Conference 95, Malmo, Sweden, June 19-21, 1995. Kalfas, C., Pavlidis, P., and Galousis, E. (1997), Inelastic behaviour of shear connection by a method based on FEM, Journal of Constructional Steel Research, 44,107-114. Kalfas, C. and Pavlidis, P. (1997), Load-slip curve of shear connectors evaluated by FEM analysis, Composite Construction- Conventional and Innovative, International Conference, Innsbruck, Austria, September 16-18, 1997, 151-156. Kaziolas, D., Kontoleon, M., Koltsakis, E. and Panagiotopoulos, P.D. (2000), Threedimensional adhesive contact laws with debonding: a nonconvex energy bundle method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 186, 23-48. Kim, W. and Lu, L.W. (1995), Inelastic seismic- response analysis of composite frames, Steel structures Eurosteel, 95, Kounadis (ed.), 145-152. Kotousov, A. and Wang, C.H. (2002), Three-dimensional solutions for transversally isotropic composite plates, Composite Structures, 57, 445-452. Lawrence, K., (2002), ANSYS Tutorial-Releases 5.7 and 6.0, SDC Publications. Lawson, R.M. and Chung, K.F. (1994), Composite beam design to Eurocode 4, Steel Construction Institute Publications, Ascot. Lee, L. H., Quek, S. T. and Ang, K. K. (2001), Negative moment behaviour of coldformed steel deck and concrete composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 57, 401-415. Liang, Q.Q., Uy, Br., Bradford, M.A., Ronagh, H.R.(2004), Ultimate strength of continuous composite beams in combined bending and shear, Journal of Constructional Steel Research, 60, 1109-1128. Liolios, A.A. (1989), A linear complementarily approach to the nonconvex dynamic problem of unilateral contact with friction between adjacent structures. Z. Angew. Math. Mech., 69, T420- T422. Ljoyd, R.M. and Wright, H.D. (1990), Shear connection between composite slabs and steel beams, Journal of Constructional Steel Research, 15, 255-285. Maier,G. (1986), Mathematical programming methods in structural analysis. In: Varriational Methods in Engineering, Eds. C.A. Brebbia and Tottenham, II Southampton Univ. Press, Southampton 142

Makelainen, P. and Sun, Y. (1999), The longitudinal shear behavior of a new steel sheeting profile for composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 49, 117-128. Makelainen, P. and Sun, Y. (1998), The development of a new profiled steel sheeting for composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 46 (1-3), paper no 240. Marimuthu, V., Seetharaman, S., Arul Jayachandran, S., Chellapan, A., Bandyopadhyay, T.K. and Dutta, D. (2006), Experimental studies on composite deck slabs to determine the shear-bond characteristic (m-k) values of the embossed profiled sheet, Journal of Constructional Steel Research, 63, 2007, 791-803. Marciukaitis, G., Jonaitis, B. and Valivonis, J. (2006), Analysis of deflections of composite slabs with profiled sheeting up to the ultimate moment, Journal of Constructional Steel Research, 62 (8), 820-830. Migiakis, G.E. and Elghazouli, A.Y. (1998), Slab effects in composite floor systems subjected to earthquake loading, 3 rd National Conference on Steel Structures, 328-336. Mistakidis, E.S., Baniotopoulos, C.C. and Panagiotopoulos P.D. (1993), On the numerical treatment of the delamination problem in laminated composites under cleavage loading, Composite Structures, 30, 453-466. Mistakidis, E.S., Thomopoulos, K., Avdelas, A. and Panagiotopoulos P.D. (1994), Shear connectors in composite beams. A new accurate algorithm, Thin-Walled Structures, 18, 191-207. Mistakidis, E. (2004), Solution of interface problems with nonmonotone contact and friction laws using a neural network optimization environment, Advances in Engineering Software, 35, 653-662. Mistakidis, E. and Stavroulakis, G. (1998), Nonconvex optimization in mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Mistakidis, E.S., Perdikaris, P.C. and Tzaros, K. (2006), A novel approach for the consideration of the partial connection between steel and concrete in composite slabs. In: Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- II. NNMAE 2006 Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P.D. Panagiotopoulos, 7-8- July 2006, (ed. C. Baniotopoulos), Thessaloniki, 447-454. Moaveni, S., (1999), Finite element analysis: theory and application with ANSYS, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Moreau J.J., Panagiotopoulos, P.D., Strang, G. (1988), Topics in nonsmooth mechanics, Birkhäuser, Basel, Boston. 143

Moutafidou, A. (1997-1998), Etude de la liaison acier-beton dans les planchers mixtes collaborants, ( These), Universite de Liege, Liege. Moutafidou, A. (1998), Shear bond between profiled steel sheeting and concrete in composite slabs: experimental and numerical study, In proceedings of the 3 rd National Conference on Steel Structures, Thessaloniki, Greece, 30-31 October 1998, 457-464. Naniewicz, Z. and Panagiotopoulos P.D. (1995), Mathematical theory of hemivariational inequalities and applications, Marcel Dekker, New York. Nie, J., Xiao, Y. and Chen, L. (2004), Experimental studies on shear strength of steelconcrete composite beams, Journal of Structural Engineering, August,1206-1213. Owens, G., Knowles, P., (1996), The Steel Construction Institute: Steel designer s manual, Blackwell Science Editions, London Panagiotopoulos, P.D. (1984), Inequality problems in mechanics and applications: convex and nonconvex energy functions, Birkhäuser, Basel-Boston.. Panagiotopoulos, P.D. (1991), Coercive and semicoercive hemivariational inequalities, Nonlinear Analysis, 16, 209-231. Panagiotopoulos, P.D. (1993), Hemivariational inequalities, applications in mechanics and engineering, Springer-Verlag, New York. Panagiotopoulos, P.D., Avdelas, A.V. (1984), A hemivariational inequality approach to the unilateral contact problem and substationarity principles, Ingenieur- Archiv, 54, 401-412. Panagiotopoulos, P.D., Baniotopoulos, C.C. and Avdelas, A.V. (1984), Certain propositions on the activation of yield modes in elastoplasticity and their applications to deterministic and stochastic problems, ZAMM, 64, 491-501. Panagouli, O.K., Panagiotopoulos, P.D. and Mistakidis, E.S. (1995), Friction laws of fractal type and the corresponding contact problems, Chaos Solutions and Fractals, 5, 2109-2119. Poh, K.W. and Attard, M.M. (1993), Calculating the load-deflection behaviour of simply- supported composite slabs with interface slip, Engineering Structures., 15, 359-367. Queiroz, F. D., Vellasco, P. C. G. S., Nethercot, D.A., (2005), Structural assessment of composite beams using the finite element method, Eurosteel 2005: 4th European Conference on Steel and Composite Structures, Maastricht, The Netherlands, 8-10 June 2005, B, 4.3-49-4.3-58. 144

Raous, M., Cangèmi, L. and Cocu, M. (1999), A consistent model coupling adhesion, friction and unilateral contact, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 177, 383-399. Redzuan, A. (2004), Elemental test procedure and numerical analysis of composite slabs (Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy), Virginia Polytechnic, Institute and State University: Blacksburg, Virginia. Rockafellar, R.T. (1980), Generalized directional derivatives and subgradients of nonconvex functions. Can. J. Math XXXII, 257-280. Sapountzakis, E., Katsikadelis, J. (2000), Interface forces in composite steel-concrete structure, International Journal of Solids and Structures, 37, 4455-4472. Shanmugam, N., Kumar, G., Thevendran, V. (2002), Finite element modeling of double skin composite slabs, Finite Elements in Analysis and Design, 38, 579-599. Slessor, C. (1997), Sustainable architecture and high technology-eco tech, Thames and Hudson, London. Stark, J.W.B. (1990), Plastic design of continuous composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 15, 23-47. Stavroulakis, G.E. and Mistakidis, E. (1995), Numerical treatment of hemivariational inequalities. Computational Mechanics, 16, 406-416. Stavroulakis, G.E. and Polyakova, L.N. (1996b), Nonsmooth and nonconvex structural analysis algorithms based on difference convex optimization techniques, Structural Optimization, 12, 167-176. Stavroulakis, M.E. and Stavroulakis, G. (2002) Unilateral frictional contact nonlinearities in aseismic design and restoration of heritage structures. In: Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P. D. Panagiotopoulos, 5-6- July 2002, (ed. C. Baniotopoulos), Thessaloniki, Greece, 209-216.. Swanson Analysis Systems Inc. (2003), ANSYS Theory Reference, version 8.0. Tenhovuori, A.I., Leskela, M.V. (1998), Longitudinal shear resistance of composite slabs, Journal of Constructional Steel Research, 46 (1-3), paper no 319. Thevendran, V., Chen, S., Shanmugam, N.E. and Liew, R.J.Y. (1999), Nonlinear analysis of steel- concrete beams curved in plan, Finite Elements in Analysis and Design, 32, 125-139. Thermou, G., Elnashai, A.S., Plumier, A. and Doneux, C. (2004), Seismic design and performance of composite frames, Journal of Constructional Steel Research, 60, 31-57. 145

Tsalkatidis, Th. and Avdelas, A. (2006), Finite element computational simulation of a composite slab including frictional contact nonlinearities, In: Nonsmooth /Nonconvex Mechanics with Applications in Engineering- II. NNMAE 2006- Proceedings of the International Conference In MEMORIAM of Professor P.D. Panagiotopoulos, 7-8 July 2006, (ed. C. Baniotopoulos), Thessaloniki, Greece, 439-446. Tsalkatidis, Th. and Avdelas, A. (2007), Experimental and Computational Approach of Composite Slabs with Profiled Steel Sheeting, In Proceedings of the eleventh International Conference on civil, structural and environmental engineering computing, 18-21 September 2007, (ed. B.H.V. Topping), St Julians, Malta, paper 29. Tsalkatidis, Th., Avdelas, A. (2007), On the Mathematical Formulation and Numerical Treatment of the Unilateral Contact Problem in Composite Steel and Concrete Slabs, In Proceedings of the 8 th HSTAM International Congress on Mechanics, 12-14 July 2007, (ed. N. Bazeos, D.L. Karabalis, D. Polyzos, D.E. Beskos and J.T. Katsikadelis), Patras, Greece, 717-724. Tsalkatidis, Th., Avdelas, A., Manos, G., Zygomalas, M. and Kourtidis, V. (2007), Experimental Study and Numerical Modelling of Composite Slabs with Profiled Steel Sheeting According to Eurocode 4, In Proceedings of the 2 nd International Conference on Experiment/ Process/ System/ Modelling/ Simulation/ Optimization, 4-7 July 2007, (ed. D. Tsahalis), Athens, Greece, paper 60. Veljkovic, M. (1998), Influence of load arrangement on composite slab behaviour and recommendations for design, Journal of Constructional Steel Research, 45 (2), 149-178. Wright, H.D., Evans, H.R. and Harding, P.W. (1987), The use of profiled steel sheeting in floor construction, Journal of Constructional Steel Research, 7, 279-295. Wright, H.D. (1990), A plate model for composite slab analysis, Thin-Walled Structures, 10, 299-328. Wright, H.D. and Hossain, K.M.A. (1998), In-plane shear behaviour of profiled steel sheeting, Thin- Walled Structures, 29, 79-100. Zygomalas, M., Kontoleon, M. and Baniotopoulos, C.C. (2001), A hemivariational inequality approach to the resistance of aluminium riveted connections, In Proceedings of the 6 th National Conference on Steel Structures, Thessaloniki, Greece, 19-21 July 2001, 70-77. 146

SUMMARY Composite construction is becoming increasingly popular worldwide as a reliable alternative construction method, due to its many advantages such as high construction speed, limited timber shuttering and small steel sections. Composite construction is applicable to commercial, residential and industrial buildings as well as to factories and bridges. The analysis of composite structures is complex and can be classified into nonsmooth mechanics due to the existence of contact and frictional phenomena. In the case of composite slabs with profiled steel sheeting, the critical point of the analysis is the interaction between steel and concrete at the interface of the slab. The shear connection between concrete and profiled steel sheeting in composite slabs is a highly nonlinear problem concerning boundary conditions, material and geometry. In this dissertation the composite slab with trapezoidal steel sheeting is treated as a unilateral contact problem where sticking, sliding and frictional phenomena at the interface of the bodies are all present. The problem is approached mathematically, experimentally and computationally. For the mathematical approach of the problem, a novel mathematical theory based on hemivariational inequalities is proposed. The composite slab with profiled steel sheeting is classified as a unilateral contact problem, where the contact and noncontact regions between bodies or structures are not a priori known. These problems are described using nonmonotone material laws. In our case, the Signorini-Fichera conditions have been applied in the normal direction to the interface of the composite slab and a nonmonotone friction law has been implemented in the tangential direction to the steel-concrete interface. After the appropriate mathematical processing, a hemivariational inequality, describing the aforementioned problem, has been formulated. Further, a two dimensional numerical model, that simulates the physical problem, has been implemented using the MATLAB software package. For the experimental approach of the problem, a series of full-scale tests has been carried out. In order to investigate the shear connection between concrete and profiled steel sheeting, the composite slab specimens have been subjected to static and cyclic loads. The strength of the shear bond has been measured using the partial connection method and necessary experimental data. Load-deflection and load-slip 147

curves were also produced. The tests presented in the thesis have been carried out according to the rules and the restrictions of Eurocode 4. The experimental results have been processed by using the PSC method. The theoretical curve of the composite slab according to the Partial Shear Connection method has also been constructed. For the computational treatment of the problem, a three-dimensional finite element simulation of the composite slab is proposed. The numerical analysis is nonlinear and has been realized using the ANSYS software package. The interface has been simulated by the use of surface contact elements and the application of unilateral contact conditions. The developed friction forces at the steel sheet-concrete interface were also taken into consideration. A computational model of the composite slab with shear studs is also presented. The outcomes of every approach of the problem are presented and evaluated. The models and mathematical formulations presented in this thesis, combined with the Eurocodes, can be used as an effective tool for the design of composite slabs with profiled steel sheeting. The dissertation ends with four appendices. In the first of them the design rules of the composite slabs, according to Eurocode 4, are presented. In the second appendice some elements of convex and non convex analysis are given. The third appendice has the data of the model presented in chapter 4, whereas the last one contains photos and diagrams from the experimental analysis. 148

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I Π.1. ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Π.1.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Κατά τον σχεδιασµό µιας σύµµικτης πλάκας διακρίνουµε δύο φάσεις : i) Τη φάση κατασκευής της σύµµικτης πλάκας όπου µόνο το χαλυβδόφυλλο παραλαµβάνει τα επιβαλλόµενα φορτία και ii) Τη φάση λειτουργίας στην οποία έχει σχηµατισθεί ο διατµητικός δεσµός µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος και έχουµε την πραγµατική σύµµικτη λειτουργία της κατασκευής. Από τη φύση και την αντοχή του διατµητικού δεσµού καθορίζεται σε µεγάλο βαθµό η τελική αντοχή και πλαστιµότητα της κατασκευής. Στη φάση κατασκευής δύναται να υπάρχουν προσωρινές υποστηρίξεις οι οποίες πρέπει να λαµβάνονται υπόψη στο σχεδιασµό αφού καθορίζουν την αρχική απόκριση της κατασκευής και το µέγεθος των αρχικών παραµορφώσεων του χαλυβδόφυλλου µορφής. Οι σύµµικτες πλάκες µε µήκος µεγαλύτερο από 4500 mm επιβάλλεται να κατασκευάζονται µε χρήση προσωρινών υποστηρίξεων. Οι αναπτυσσόµενες δυνάµεις συνάφειας µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος δεν λαµβάνονται υπόψη κατά τον σχεδιασµό των σύµµικτων στοιχείων αφού η συνεισφορά τους στην ενίσχυση της σύµµικτης δράσης δύναται να εξαλειφθεί λόγω κραδασµών πριν τη σκλήρυνση του σκυροδέµατος. Π.1.2 ΡΑΣΕΙΣ Οι δράσεις που λαµβάνονται τόσο στις οριακές καταστάσεις αστοχίας όσο και λειτουργικότητας καθορίζονται από τους αντίστοιχους Ευρωκώδικες. Αναλυτικά: Για τη φάση κατασκευής όπου το χαλυβδόφυλλο µορφής δρα ως ξυλότυπος για το υγρό σκυρόδεµα υφίστανται οι ακόλουθες δράσεις: Ίδιο βάρος χαλυβδόφυλλου Βάρος υγρού σκυροδέµατος Φορτία κατά την κατασκευή (π.χ. ανέγερση χαλυβδόφυλλου) Προσωρινά φορτία αποθήκευσης 149

Για τη φάση λειτουργίας όπου υπάρχει σκλήρυνση του σκυροδέµατος και σύµµικτη λειτουργία µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος δύναται να λαµβάνονται οι ακόλουθες δράσεις: Ίδιο βάρος σύµµικτης πλάκας (χαλυβδόφυλλου µορφής, διατµητικών συνδέσµων και οπλισµένου σκυροδέµατος) Βάρος επίστρωσης σύµµικτης πλάκας Φορτία λειτουργίας Θερµοκρασιακές µεταβολές Χρόνια συµπεριφορά σκυροδέµατος Τυχηµατικές δράσεις (π.χ. σεισµική καταπόνηση) Η τιµή σχεδιασµού µιας δράσης προκύπτει κατόπιν πολλαπλασιασµού της χαρακτηριστικής τιµής της µε τον επιµέρους συντελεστή ασφαλείας της (πίνακας Π.1.1), δηλαδή: S d = γ S (Π.1.1) S k Επιµέρους συντελεστές ασφαλείας Χάλυβας οµικός Χάλυβας Συνδυασµός Σκυρόδεµα χαλυβδόφυλλου χάλυβας οπλισµών µορφής Βασικός 1.10 1.50 1.15 1.10 Τυχηµατικός (πλέον σεισµού) 1.00 1.30 1.00 1.00 Πίνακας Π.1.1. Τιµές επιµέρους συντελεστών ασφαλείας Οι Ευρωκώδικες θεωρούν ότι είναι πρακτικά µηδενική η πιθανότητα να φορτιστεί ο φορέας ταυτόχρονα µε την µέγιστη τιµή όλων των δράσεων και διαστασιολογούν µε συνδυασµούς δράσεων και χρήση µειωτικών συντελεστών συνδυασµού ψ i (πίνακας Π.1.2). 150

Συντελεστές συνδυασµού ράση ψ 0 ψ 1 ψ 2 Κινητά φορτία σε: Κατοικίες, γραφεία, διάδροµοι, µπαλκόνια, νοσοκοµεία 0.6 0.6 0.3 Χώροι συνάθροισης κοινού, θέατρα, βιβλιοθήκες, εκπαιδευτικά ιδρύµατα 0.8 0.8 0.5 Χώροι στάθµευσης 0.9 0.9 0.6 Καταστήµατα, εκθεσιακοί χώροι, εµπορικά κέντρα 1 1 0.8 Φορτία ανέµου 0.6 0.6 0 Φορτία χιονιού (µη βατές στέγες) 0.6 0.6 0.3 Φορτία χιονιού (βατές στέγες) 0.6 0.6 0 Πίνακας Π.1.2. Τιµές συντελεστών συνδυασµού ψ i Π.1.3 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Στη φάση κατασκευής επιβάλλεται η ελαστική ανάλυση και αγνοείται η διακύµανση της καµπτικής αστοχίας της σύµµικτης διατοµής διότι δεν λειτουργούν πλήρως όλα τα τµήµατα της διατοµής υπό θλίψη. Στη φάση λειτουργίας για την ανάλυση της σύµµικτης πλέον πλάκας µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία από τις ακόλουθες µεθόδους: i. Γραµµική ανάλυση µε ή χωρίς ανακατανοµή ii. Καθολική στερεοπλαστική ανάλυση βασιζόµενη είτε σε κινηµατική µέθοδο (άνω όριο) είτε σε στατική µέθοδο (κάτω όριο) iii. Ελαστοπλαστική ανάλυση µε µη-γραµµικές ιδιότητες των υλικών κατασκευής Π.1.4 ΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ Η διαστασιολόγηση σύµµικτων πλακών κατά τον Ευρωκώδικα 4 στηρίζεται στις επονοµαζόµενες οριακές καταστάσεις αστοχίας και λειτουργικότητας. Ο υπό εξέταση σύµµικτος φορέας πρέπει να διατηρήσει την ευστάθειά του υπό τα επιβαλλόµενα φορτία και να πληροί κάποια προκαθορισµένα όρια παραµόρφωσης. 151

Οι οριακές καταστάσεις αστοχίας περιλαµβάνουν κατάρρευση του φορέα, απώλεια στατικής ισορροπίας του σκελετού της κατασκευής ή µελών αυτού καθώς και αστοχία στοιχείων σύνδεσης. Συνοπτικά απαιτούνται έλεγχοι σε διαµήκη διάτµηση, κατακόρυφη διάτµηση, καµπτική αντοχή και διάτρηση. Οι οριακές καταστάσεις λειτουργικότητας περιλαµβάνουν υπερβολικές παραµορφώσεις που επηρεάζουν τις απαιτήσεις λειτουργίας και εµφάνισης του έργου, δονήσεις που δυσαρεστούν τους χρήστες της κατασκευής και προξενούν βλάβες σε µη φέροντα στοιχεία της κατασκευής και άλλες µικρής έκτασης αστοχίες (π.χ. στεγανότητα κατασκευής, ρηγµατώσεις σκυροδέµατος, καθιζήσεις). Για τις οριακές καταστάσεις λειτουργικότητας µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνο οι γραµµικές µέθοδοι ανάλυσης ενώ για τις οριακές καταστάσεις αστοχίας οποιαδήποτε µέθοδος ανάλυσης είναι αποδεκτή. Ο Ευρωκώδικας 4 αναφέρει κάποια όρια για την κατακόρυφη παραµόρφωση του χαλυβδόφυλλου αµέσως µετά τη σκυροδέτηση κατά τη φάση κατασκευής της σύµµικτης πλάκας. Καλό είναι αυτή να µην υπερβαίνει το L/180 ή τα 20 mm µε µήκος αναφοράς αυτό µεταξύ των στηρίξεων. Π.1.5 ΑΝΤΟΧΕΣ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Π.1.5.1 ΓΕΝΙΚΑ Οι σύµµικτες πλάκες υποβάλλονται σε φορτία τόσο κάθετα όσο και παράλληλα στο επίπεδό τους. Στην πρώτη περίπτωση λειτουργούν ως «πλάκες», στη δεύτερη περίπτωση ως «διαφράγµατα». Για φορτία κάθετα στο επίπεδο τους λειτουργούν ως διέρειστες πλάκες. Από στατική άποψη συµπεριφέρονται ως «δοκοί» για τις οποίες πρέπει να προσδιοριστούν οι ροπές και οι τέµνουσες αντοχής καθώς και, επειδή πρόκειται για σύµµικτα στοιχεία, η µεταφορά της διαµήκους διάτµησης. Στην περίπτωση επιβολής σηµαντικών συγκεντρωµένων δυνάµεων υπάρχει κίνδυνος διάτρησης της πλάκας, έναντι της οποίας πρέπει να προσδιορισθεί η αντίσταση. Στις επόµενες παραγράφους θα παρουσιαστεί η µεθοδολογία προσδιορισµού των σχετικών αντοχών βάσει των προδιαγραφών του Ευρωκώδικα 4. Για τα ελάχιστα πάχη σύµµικτων πλακών ισχύουν οι εξής περιορισµοί: 152

Συνολικό ελάχιστο πάχος: min d = 80 mm. Ελάχιστο πάχος πάνω από το χαλυβδόφυλλο: min h c = 40 mm. Εάν οι αυλακώσεις της πλάκας είναι παράλληλες προς τη διεύθυνση της χαλύβδινης δοκού και η πλάκα συµµετέχει στη λειτουργία της δοκού, ή αν η πλάκα πρέπει να εξασφαλίζει διαφραγµατική λειτουργία πράγµα που ισχύει πάντα στα κτίρια τότε τα αντίστοιχα ελάχιστα πάχη είναι: min d = 90 mm min και h c = 50 mm. Ο προσδιορισµός των δρώντων εντατικών µεγεθών γίνεται µε ελαστική ανάλυση, επειδή οι διατοµές των χαλυβδόφυλλων είναι συνήθως κατηγορίας 3 ή 4. Επιτρέπεται όµως η ανακατανοµή των ροπών στηρίξεων µέχρι 30% αν η ανάλυση βασίζεται σε µη ρηγµατωµένες διατοµές. Για κατανεµηµένα φορτία, η ανάλυση βασίζεται σε πλάτος πλάκας ίσο µε το ένα φάτνωµα του χαλυβδόφυλλου. Συγκεντρωµένα φορτία κατανέµονται υπό γωνία 45 ο. Το πλάτος κατανοµής τους στην άνω στάθµη του χαλυβδόφυλλου είναι ίσο µε: b = b 2 + m 0 + ( hc h f ) (Π.1.2) όπου: b 0 = πλάτος συγκεντρωµένου φορτίου, h c, h f = ύψος πλάκας πάνω από το χαλυβδόφυλλο και ύψος πατώµατος αντιστοίχως. Στην περίπτωση που διατάσσεται κατάλληλος εγκάρσιος οπλισµός διανοµής κάτω από το συγκεκριµένο φορτίο, η πλάκα συµµετέχει στην παραλαβή της έντασης από συγκεντρωµένα φορτία σε πλάτος µεγαλύτερο από το πλάτος b m. Το αυξηµένο πλάτος δίνεται από τις σχέσεις: α) για τις ροπές κάµψης και τη διαµήκη διάτµηση: αµφιέρειστες δοκοί και ακραία φατνώµατα συνεχών δοκών: l p bem = bm + 2 l p 1 (Π.1.3) l εσωτερικά φατνώµατα συνεχών δοκών: b = b l p + 1.33l p (Π.1.4) l em m 1 153

β) για τις τέµνουσες: l p bev = bm + l p 1 (Π.1.5) l όπου: l p = απόσταση συγκεντρωµένου φορτίου από το πλησιέστερο στήριγµα. l = άνοιγµα πλάκας στο υπόψη φάτνωµα. Το ελάχιστο ποσοστό οπλισµού διανοµής είναι 0,2 % ανηγµένο στο πάχος της πλάκας πάνω από το χαλυβδόφυλλο. Ο οπλισµός αυτός εκτείνεται σε πλάτος b em και έχει µήκη αγκύρωσης πέραν του πλάτους αυτού ίσα µε l b. Τυχόν υπάρχων εγκάρσιος οπλισµός πλάκας από άλλους λόγους συνυπολογίζεται στον ανωτέρω ελάχιστο οπλισµό. Π.1.5.2 ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΑΝΤΙ ΘΕΤΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΚΑΜΨΗΣ Η παραλαβή θετικών ροπών κάµψης γίνεται µέσω θλίψης του σκυροδέµατος και εφελκυσµού του χαλυβδόφυλλου. Η σχετική πλαστική ροπή αντοχής βρίσκεται εξετάζοντας ένα φάτνωµα χαλυβδόφυλλου πλάτους b στην οριακή κατάσταση. Ουδέτερος άξονας πάνω από τα χαλυβδόφυλλα. Σχήµα Π.1.1. Κατανοµή τάσεων σε διατοµή σύµµικτης πλάκας για θετικές ροπές κάµψης µε ουδέτερο άξονα πάνω από τα χαλυβδόφυλλα 154

Αποτελεί την πιο συνηθισµένη περίπτωση σύµµικτων πλακών, ιδιαίτερα όταν το ύψος του χαλυβδόφυλλου είναι µικρό. Θλιπτική δύναµη: D = b z0 f (Π.1.6) cd Εφελκυστική δύναµη: Z = A p f (Π.1.7) pd Θέση ουδέτερου άξονα: D Ap f pd = Z z0 = hc (Π.1.8) bfcd Πλαστική ροπή: + z0 M pl, Rd = Z z p 2 (Π.1.9) Όπου: A p = εµβαδόν χάλυβα χαλυβδόφυλλων, z p = θέση κέντρου βάρους χαλυβδόφυλλου. Ουδέτερος άξονας µέσα στα χαλυβδόφυλλα. α) β) Ι ΙΙ ΙΙΙ Σχήµα Π.1.2α, Π1.2β. Κατανοµή τάσεων σε διατοµή σύµµικτης πλάκας για θετικές ροπές κάµψης µε ουδέτερο άξονα µέσα στα χαλυβδόφυλλα 155

Ο υπολογισµός γίνεται µε βάση το Π.1.2β(Ι) διάγραµµα τάσεων. ' Θλιπτική δύναµη: D 2 f 2b t + 2 f t ( z + h t ) + f b h (Π.1.10) = pd f pd 0 c cd c Εφελκυστική δύναµη: Z = A p f pd (Π.1.11) Θέση ουδέτερου άξονα: z 0 = h c + Z f cd bh 2 f c 2 f t ' pd pd 2b f t > h ct t (Π.1.12) Πλαστική ροπή: M h h t + c c + ' + 0 pl, Rd = Z z p 2 f pd 2b f 2 f pd t ( z0 hc t ) (Π.1.13) 2 2 2 t z όπου: A p = εµβαδόν χαλυβδόφυλλου, z p = θέση κέντρου βάρους χαλυβδόφυλλου, t = πάχος χαλυβδόφυλλου, t = 2t/sinφ Π.1.5.3 ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΑΝΤΙ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΚΑΜΨΗΣ Η διατοµή µπορεί να προσοµοιωθεί ως µια διατοµή οπλισµένου σκυροδέµατος αποτελούµενη από τον οπλισµό της πλάκας και το σκυρόδεµα, όπου προσεγγιστικά η συµµετοχή του χαλυβδόφυλλου αγνοείται. Σχήµα Π.1.3. Κατανοµή τάσεων σε σύµµικτη πλάκα για αρνητικές ροπές κάµψης 156

Εφελκυστική δύναµη: Z = A s f (Π.1.14) sd Θλιπτική δύναµη: Θέση ουδέτερου άξονα: D = b ( d z0 ) f (Π.1.15) p cd Z z0 = d (Π.1.16) b p f cd Πλαστική ροπή: d z0 M pl, Rd = Z z0 c + 2 (Π.1.17) όπου: A s = εµβαδόν οπλισµού πλάκας, b p = µέσο πλάτος κυψέλης χαλυβδόφυλλου, c = επικάλυψη οπλισµού πλάκας Π.1.5.4 ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΑΝΤΙ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ Η αντοχή της πλάκας έναντι τεµνουσών δυνάµεων V Rd δίνεται από τη σχέση (Π.1.17) σύµφωνα µε τον Ελληνικό Κανονισµό Οπλισµένου Σκυροδέµατος, όπου τα χαλυβδόφυλλα συµβάλλουν ως διαµήκης εφελκυόµενος οπλισµός. Η ισοδύναµη δοκός έχει διαστάσεις b 0 x d p όπου: b 0 = µέσο πλάτος κυψέλης d p = ισοδύναµο ύψος πλάκας Σχήµα Π.1.4. Προσδιορισµός µέσου πλάτους κυψέλης b 0 σε αµφιέρειστα και συνεχή χαλυβδόφυλλα 157

οπότε η αντίσταση σε τέµνουσα δίνεται από τη σχέση: όπου: τ Rd = 0.25 f / ctk 0. 05 γ c V = b d τ k (1.2 + 40 ) (Π.1.18) Rd 0 p Rd v ρ ρ A / b0 d < 2% = p p, το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού A p, το εµβαδόν του χαλυβδόφυλλου µορφής k = 1.6 d 1, d σε m. v p p Π.1.5.5 ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΑΝΤΙ ΙΑΜΗΚΟΥΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ Η διαµήκης διάτµηση δηµιουργείται στη διεπιφάνεια χαλυβδόφυλλου σκυροδέµατος σύµµικτων πλακών ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο όπως στη διεπιφάνεια πλάκας σκυροδέµατος χαλύβδινης δοκού στις σύµµικτες δοκούς. Σύµµικτες πλάκες χωρίς ακραία αγκύρωση. Η µεταφορά της διαµήκους διάτµησης εξασφαλίζεται µε κατάλληλη διαµόρφωση των χαλυβδόφυλλων µε εγκοπές κ.λ.π., ώστε να αυξάνεται η συνάφεια µεταξύ χαλυβδόφυλλου και σκυροδέµατος. Συνεπώς η σχετική αντίσταση πρέπει να προσδιοριστεί µέσω κατάλληλων πειραµάτων. Με βάση τα αποτελέσµατα των πειραµάτων εκδίδονται πιστοποιητικά καταλληλότητας για τα διάφορα χαλυβδόφυλλα, τα οποία περιγράφουν το είδος και το πεδίο εφαρµογής τους, εφόσον επιτρέπεται να χρησιµοποιηθούν ως σύµµικτες πλάκες. Ο Ευρωκώδικας 4 δίνει και µια αναλυτική σχέση προσδιορισµού της αντίστασης σε διαµήκη διάτµηση εφόσον χρησιµοποιηθούν αποτελέσµατα πειραµάτων όπως περιγράφονται στον Κανονισµό. Από τα αποτελέσµατα των πειραµάτων προσδιορίζονται δυο χαρακτηριστικές τάσεις m και k, η δε αντίσταση σε διαµήκη διάτµηση δίνεται από τη σχέση: όπου: bd p map V = l, Rd + k (Π.1.19) γ v bls 158

b = χαρακτηριστικό πλάτος πλάκας, d p = ύψος της πλάκας, A p = εµβαδόν χαλυβδόφυλλου, γ v = 1,25 επιµέρους συντελεστής ασφαλείας, l s = διατµητικό άνοιγµα πλάκας. Το διατµητικό άνοιγµα πλάκας είναι ένα ισοδύναµο µήκος του φορέα στο οποίο αναπτύσσεται σταθερά τέµνουσα, έτσι ώστε σε κάθε κρίσιµο µήκος του φορέα το εµβαδόν του ισοδύναµου διαγράµµατος τεµνουσών να είναι ίσο µε το εµβαδόν του πραγµατικού διαγράµµατος τεµνουσών. Έτσι για αµφιέρειστη δοκό υπό οµοιόµορφο φορτίο q στην οποία το κρίσιµο µήκος είναι ίσο µε το µισό άνοιγµα, το διατµητικό άνοιγµα δίνεται από τη σχέση: ql 1 ql 1 1 l s = l s = (Π.1.20) 2 2 2 2 4 Σχήµα Π.1.5. Κρίσιµο µήκος σύµµικτης πλάκας Σύµµικτες πλάκες µε ακραία αγκύρωση. Η αντίσταση σε διαµήκη διάτµηση προσδιορίζεται πειραµατικά ή αναλυτικά ως το άθροισµα της αντίστασης της πλάκας χωρίς ακραίες αγκυρώσεις σύµφωνα µε την προηγούµενη παράγραφο και της αντίστασης των ακραίων αγκυρώσεων. Η τελευταία δίνεται για την περίπτωση χρήσης διατµητικών ήλων ως ακραίων αγκυρώσεων από τη σχέση: όπου: V l, Rd Rd, b, Rd = min { P P } (Π.1.21) 159

P Rd = αντίσταση διατµητικού ήλου P k d t f b, Rd = ϕ 3 pd, η αντίσταση του χαλυβδόφυλλου µορφής k φ = 1+ a/d 3 4,0 d 3 = διάµετρος ραφής στη βάση του συνδέσµου από τον Πίνακα Π.1.3 ή 1,10 d s για ήλους άλλης διαµέτρου (σχήµα Π.1.6), t = πάχος φύλλου, a = απόσταση ήλου από το άκρο του φύλλου 2d 3. Σχήµα Π.1.6. Τυπικός σύνδεσµος διάτµησης µορφής ήλου κεφαλής Ο Ευρωκώδικας 4 προτείνει και µια άλλη µέθοδο προσδιορισµού της αντοχής σε διαµήκη διάτµηση στη βάση της µερικής διατµητικής σύνδεσης. d s d 2 d 3 h 1max h 19 32 26 9 75,100,125,150 22 35 30 10 100,125,150,175 Πίνακας Π.1.3. Συνήθεις διαστάσεις διατµητικών ήλων σε mm Π.1.5.6 ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΑΝΤΙ ΙΑΤΡΗΣΗΣ Οι σύµµικτες πλάκες κινδυνεύουν, όπως οι πλάκες οπλισµένου σκυροδέµατος, από διάτρηση στην περιοχή εφαρµογής συγκεντρωµένων φορτίων. Η αντοχή σε 160

διάτρηση προσδιορίζεται µε διαδικασίες ανάλογες αυτών που ακολουθούνται για τις πλάκες σκυροδέµατος. Η σχετική αντοχή σε διάτρηση σύµµικτης πλάκας απεικονίζεται στο σχήµα Π.1.7 και δίνεται από τη σχέση: όπου: C p = περίµετρος κρίσιµης διατοµής. V = C h τ k (1.2 + 40 ) (Π.1.22) pl, Rd p c Rd v ρ Σχήµα Π.1.7. Κρίσιµη περίπτωση για αντοχή σε διάτρηση σύµµικτης πλάκας Π.1.5.7 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: Βύθιση της σύµµικτης πλάκας κατά την φάση κατασκευής. Στην περίπτωση αυτή, η βύθιση προκαλείται λόγω του ιδίου βάρους της κατασκευής και του υγρού σκυροδέµατος. Η βύθιση δεν πρέπει να υπερβαίνει κάποια 161

προκαθορισµένα όρια. Ο Ευρωκώδικας 4 θέτει τον περιορισµό του l/180 ή 20 mm, όπου l είναι το άνοιγµα της πλάκας µεταξύ των στηρίξεων. Στην περίπτωση της υποστηριζόµενης κατά την κατασκευή σύµµικτης πλάκας, οι προσωρινές υποστηρίξεις θεωρούνται ως στηρίξεις. Βύθιση της σύµµικτης πλάκας κατά την φάση λειτουργίας. Η βύθιση της σύµµικτης πλάκας πρέπει να είναι µικρή προκειµένου να θεωρηθεί αποδεκτή και να µην κινδυνεύουν διάφορα στοιχεία που έρχονται σε επαφή µε την σύµµικτη πλάκα, όπως αγωγοί, ψευδοροφές κ.τ.λ.. Η αποδεκτή βύθιση της σύµµικτης πλάκας σχετίζεται µε την προβλεπόµενη χρήση της σύµµικτης κατασκευής και τις πιθανές αρχιτεκτονικές απαιτήσεις. Ο Ευρωκώδικας 3, προτείνει για δάπεδα και οροφές κτιρίων τις ακόλουθες τιµές: δ max l/250 (Π.1.23) και δ 2 l/300 (Π.1.24) όπου: l = το άνοιγµα της πλάκας µεταξύ των στηρίξεων δ max = η συνολική βύθιση του δαπέδου ή της οροφής συµπεριλαµβανόµενης της κατασκευαστικής αρνητικής προκαµπύλωσης, της βύθισης λόγων µόνιµων φορτίων και της τιµής δ 2. δ 2 = η βύθιση του δαπέδου ή της οροφής λόγω των κινητών φορτίων. Στην περίπτωση που η σύµµικτη πλάκα στηρίζει ψαθυρά στοιχεία, όπως τσιµεντοκονίες, η βύθιση δ 2 l/350. 162

Π.1.6 ΥΣΚΑΜΨΙΑ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η δυσκαµψία σύµµικτων πλακών EI βρίσκεται µε µεθόδους αντίστοιχες αυτών των σύµµικτων δοκών, όπου δηλαδή η επιφάνεια του σκυροδέµατος εισέρχεται στους υπολογισµούς πολλαπλασιασµένη επί το συντελεστή του λόγου των µέτρων ελαστικότητας χάλυβα και σκυροδέµατος, η=e a /E c. Η δυσκαµψία µπορεί να προσδιοριστεί για µη ρηγµατωµένη διατοµή, όπου όλη η διατοµή του σκυροδέµατος λαµβάνεται υπόψη στους υπολογισµούς ή τη ρηγµατωµένη διατοµή, όπου αγνοείται η συµβολή του σκυροδέµατος που βρίσκεται στην εφελκυόµενη ζώνη. Μη ρηγµατωµένη διατοµή. Εµβαδόν διατοµής: bh bph c h A e = Ap + + (Π.1.25) η η Κέντρο βάρους S: z e = A p z p bh + 2η 2 c bph + η A e p hp ( hc + ) 2 (Π.1.26) Ροπή αδράνειας: I e = I p,0 + A 2 ( ) p ze z p 3 2 bh 12 2 2 c bhc h bphp h c p + + z + e ze hc η η η 2 (Π.1.27) όπου A p = εµβαδόν χαλυβδόφυλλου, I p,0 = ροπή αδράνειας χαλυβδόφυλλου ως προς το κέντρο βάρους του, z p = θέση κάντρου βάρους χαλυβδόφυλλου, b p = µέσο πλάτος κυψέλης χαλυβδόφυλλου. Ρηγµατωµένη διατοµή. Αν το κέντρο βάρους z e είναι πάνω από το χαλυβδόφυλλο τότε: bze Εµβαδόν διατοµής: A e = Ap + (Π.1.28) η 163

Κέντρο βάρους S: z e = 2 bze Ap z p + 2η bze Ap + η (Π.1.29) Ροπή αδράνειας: 3 2 bze I e = I p,0 + Ap ( ze z p ) + (Π.1.30) 3η Με βάση τις ως άνω προσδιορισθείσες δυσκαµψίες E a I e γίνεται η στατική ανάλυση και προσδιορίζονται τα βέλη των χαλυβδόφυλλων για τους ελέγχους λειτουργικότητας. 164

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ II Π.2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται σε ένα διάστηµα D της ευθείας των πραγµατικών αριθµών είναι κυρτή αν οι χορδές που ενώνουν οποιοδήποτε ζεύγος σηµείων x f ( )), x f ( )) κείτονται πάνω στο ή πάνω από το γράφηµά της. ( 1, x1 ( 2, x2 Ισοδύναµα ισχύει: Μια συνάρτηση f : D R είναι κυρτή στο D όταν για κάθε x x D για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς µε 0 λ 1 ισχύει η ανισότητα: 1, 2 και f ( λx1 2 1 x2 + (1 λ) x ) λf ( x ) + (1 λ) f ( ) (Π.2.1) Ένα σύνολο D ονοµάζεται κυρτό όταν πραγµατικούς αριθµούς µε 0 λ 1 ισχύει: 1 2 x, x D και για όλους τους ( 1 λ 2 λ x + (1 ) x ) D (Π.2.2) Μια συνάρτηση f : D R είναι ηµισυνεχής από κάτω (lower semicontinuous) στο σύνολο D αν λ R το σύνολο { x / x D, f ( x) λ} είναι κλειστό. δηλαδή Μια συνάρτηση f. f : D R είναι γνήσια (proper) όταν δεν απειρίζεται, Έστω µια κυρτή συνάρτηση διάνυσµα x' D' για το οποίο ισχύει: f : D R και ο δυϊκός χώρος D' του D. Το f ( x ) f ( x) { x' x x} x X (Π.2.3) 1, 1 1 165

ονοµάζεται υποκλίση (subgradient) της συνάρτησης f στο x. Το σύνολο όλων των υποκλίσεων της συνάρτησης f στο x ονοµάζεται υποδιαφορικό (subdifferential) της f στο x και συµβολίζεται µε f (x), οπότε ισχύει x' f ( x). Η άνω υποπαράγωγος µιας συνάρτησης f στο σηµείο x κατά κατεύθυνση κατά Rockafellar δίνεται από τη σχέση: f f ( x + λ y a ( x, y) = lim supinf (Π.2.4) λ ) όπου λ 0 +, ( x, a) ( x, f ( x)), f ( x) a, y y. Μια συνάρτηση f : D R είναι τοπικά Lipschitz όταν: f ( x) f ( z) b x z, x, z D (Π.2.5) Ο αριθµός b > 0 ονοµάζεται σταθερά Lipschitz για αυτή τη συνάρτηση. Η γενικευµένη κλίση (generalized gradient) f ( x) : D R µιας συνάρτησης f τοπικά Lipschitz ορίζεται ως: f ( x) y / y, f 0 ( x, x' x) ( y, x; x), x' = { R } D (Π.2.6) Το γενικευµένο κατά διεύθυνση διαφορικό (generalized directional differential) κατά Clarke της συνάρτησης f στο σηµείο x κατά τη διεύθυνση y δίνεται από τη σχέση: f 0 ( x, y) = lim 0, a λ + 0 sup f ( x + a + λ y) f ( x + a) λ (Π.2.7) Αν µια συνάρτηση f : D R είναι τοπικά Lipschitz στο σηµείο x τότε: 166

f ( x, y) = f 0 ( x, y), y D (Π.2.8) και αν είναι συνεχώς διαφορίσιµη ισχύει: f ( x) = { gradf ( x) } (Π.2.9) Αν µια συνάρτηση f : D R είναι κυρτή τότε: f ( x) = f ( x) (2.10) σηµείο Μια συνάρτηση f : D R είναι ψευδοδιαφορίσιµη (quasidifferential) στο y D όταν είναι διαφορίσιµη κατά διεύθυνση και υπάρχουν δύο κυρτά συµπαγή σύνολα: f ) n ( x R και f ) n ( x R (Π.2.11) ώστε να ισχύει: f y, g) = max( y, g) + min( y, ) y1 f ( y), y2 f ( y) ( 1 2 g g n R και Df ( y) f ( y), f ( y) Το διατεταγµένο ζεύγος = { } ονοµάζεται ψευδοδιαφορικό της f (x) στο y. Το σύνολο f (x) ονοµάζεται υποδιαφορικό (subdifferential) και το σύνολο f ) n ( x R υπερδιαφορικό (superdifferential). Ένα σηµείο x 0 αποτελεί υποστάσιµο σηµείο µιας συνάρτησης f όταν ισχύει: f ( x ) (Π.2.12) 0 0 167

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ III εδοµένα υπολογιστικού µοντέλου στο MATLAB E_s=(21.00e10); nue_s=0.2; % Steel E_c=( 3.05e10); nue_c=0.3; % Concrete % size of domains x1_s=0; x2_s=1100e-3; y1_s=0; y2_s=20e-3; x1_c=x1_s; x2_c=x2_s; y1_c=y2_s; y2_c=y1_c+155e-3; x1_enforce=50e-3; x2_enforce=100e-3+x1_enforce; % position of pin x1_press =0; x2_press =1100e-3; % position of acting force F_press=-1e4; % Value of force % count of nodes in x,y dimension (_s - sheeting, _c - concrete) nx_s =8*20; ny_s =5; nx_c =nx_s; ny_c =8*4; % Boundary conditions {x2_s}x(y1_2,y2_c) = line [1100e-3,0] [1100e-3,175e-3]... symmetry (x1_enforce,x2_enforce)x{y1_s} = line [50e-3,0] [150e-3,0].. pin 168

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ IV Ακολουθεί σειρά εικόνων και διαγραµµάτων που αποτυπώνει την πειραµατική διαδικασία. Συµπληρωµατικό φωτογραφικό υλικό πειράµατος Εικόνα Π.1. Μέτρηση βύθισης σύµµικτης πλάκας Εικόνα Π.2. Αποκόλληση χαλυβδόφυλλου-σκυροδέµατος 169

Εικόνα Π.3. Ρωγµή σκυροδέµατος Εικόνα Π.4. Ολίσθηση στην άκρη της σύµµικτης πλάκας 170

Εικόνα Π.5. Αστοχία σύµµικτης πλάκας Εικόνα Π.6. Κυλινδρικό δοκίµιο σκυροδέµατος 171

Εικόνα Π.7. Μηχανή επιβολής στατικής φόρτισης Εικόνα Π.8. Βοηθητική χαλύβδινη δοκός πειράµατος 172

Εικόνα Π.9. Προκαρτακτικό στατικό πείραµα µέτρησης φορτίου αστοχίας Εικόνα Π.10. Σκυροδέτηση σύµµικτων δοκιµίων 173