Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182

Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω ν k-χρωματισμός: Έστω γρα φημα G. Η συνα ρτηση χ : V(G) [1,..., k] ονομα ζεται k-χρωματισμός του G αν για κα θε ακμη e = (u, v) E(G) ισχυ ει ο τι χ(u) χ(v) χρωματικές κλάσεις: Έστω ε να γρα φημα G και ε στω χ ε νας k-χρωματισμο ς του. Τα συ νολα κορυφω ν χ 1 (1), χ 1,, χ 1 (k) ονομα ζονται χρωματικές κλάσεις του G χρωματικός αριθμός: Έστω ε να γρα φημα G. Ο χρωματικός αριθμός χ(g) του γραφη ματος G ει ναι ο μικρο τερος ακε ραιος k για τον οποι ο ισχυ ει ο τι το G ει ναι k-χρωματι σιμο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 169 / 182

Παραδει γματα: G 1 G 2 (1) χ(g 1 ) = 2 (4) (1) (3) χ(g 2 ) = 4 G 3 (1) G 4 (3) (5) χ(g 3 ) = 5 χ(k n ) = n χ(g 4 ) = 3 Το G 4 ει ναι ε να τριμερε ς γρα φημα (4) (3) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 170 / 182

Λήμμα 8.1: Έστω γρα φημα G το οποι ο ε χει ως επαγο μενο υπογρα φημα του το πλη ρες γρα φημα k κορυφω ν K k. Το τε χ(g) k Απόδειξη : Έστω ο τι υπα ρχει συ νολο S V(G) με S = k και H το υπογρα φημα του G το οποι ο επα γεται απο τις κορυφε ς του S ει ναι πλη ρες Έστω ο τι υπα ρχει ε νας l-χρωματισμο ς του G, l < k Το τε, τουλα χιστον δυ ο κορυφε ς του H ε χουν το ι διο χρω μα Λο γω του ο τι το H ει ναι πλη ρες γρα φημα, οι κορυφε ς αυτε ς ενω νονται με ακμη Άρα, ο l-χρωματισμο ς του G δεν ει ναι νο μιμος άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 171 / 182

πλήρες k-μερές: Το γρα φημα K p1,p 2,...,p k = K p1 K p2 K pk, k 2, ο που p 1, p 2,, p k ακε ραιοι, ονομα ζεται πλήρες k-μερές γράφημα Τα συ νολα κορυφω ν V(K p1 ),, V(K pk ) ει ναι τα με ρη του K p1,p 2,...,p k k-μερές γράφημα: Ένα παραγο μενο υπογρα φημα ενο ς πλη ρους k-μερου ς γραφη ματος Λήμμα 8.2: Έστω το γρα φημα K p1,p 2,...,p k. Το τε ισχυ ει: i. V(K p1,p 2,...,p k ) = p 1 + p 2 + + p k [= n] k ii. E(K p1,p 2,...,p k ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 Απόδειξη : k k k k k k ii. E = 1 p 2 i (n p i ) = 1 2 ( p i n p 2 i ) = 1 2 (n p i p 2 i ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 172 / 182

Λήμμα 8.3: Έστω γρα φημα G. To G ει ναι k-χρωματι σιμο ανν το G ει ναι k-μερε ς Απόδειξη : Έστω χ : V(G) {1, 2,..., k} ε νας k-χρωματισμο ς του G Έστω χ 1 (1), χ 1,, χ 1 (k) οι χρωματικε ς κλα σεις του G Κορυφε ς που ανη κουν στην ι δια χρωματικη κλα ση δεν ενω νονται με ακμη Το G ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του K p1,p 2,...,p k ο που p i = χ 1, 1 i k Άρα το G ει ναι k-μερε ς Έστω ο τι το G ει ναι k-μερε ς και ε στω V 1, V 2,, V k τα k με ρη του Ο χρωματισμο ς χ : χ(v) = i v V i ει ναι ε νας k-χρωματισμο ς του G Άρα το G ει ναι k-χρωματι σιμο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 173 / 182

Λήμμα 8.4: Έστω γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) n2 n 2 m 2, ο που n = V(G) και m = E(G) Απόδειξη : Έστω χ(g) = k Το G ει ναι k-μερε ς [Λη μμα 8.3] Το G ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του K p1,p 2,...,p k m E(K p1,p 2,...,p k ) Λη μμα 8.2 = k 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 k k 1 2 (n2 n2 k ) [γιατι p 2 i 1 k ( p i ) 2 = n2 k ] i=1 i=1 Αρα m 1 2 (n2 n2 k ) k χ n2 n 2 2m n2 n 2 2m Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 174 / 182

κρίσιμο γράφημα: Έστω γρα φημα G. Το G ονομα ζεται κρίσιμο αν για κα θε υπογρα φημα H G ισχυ ει ο τι χ(g) > χ(h) Παρα δειγμα: (Κρι σιμα γραφη ματα) G C 5 K 5 Ένα κρι σιμο γρα φημα ει ναι ελαχιστοτικο γρα φημα ως προς τον χρωματικο αριθμο Λήμμα 8.5: Έστω κρι σιμο γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) δ(g) + 1 Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω χ(g) > δ(g) + 1. Έστω κορυφη u V(G) με d(u) = δ(g) d(u) < χ(g) 1 G κρι σιμο χ(g v) = χ(g) 1 Έστω χρωματισμο ς του G u με χ(g) 1 χρω ματα Υπα ρχει χρω μα, ε στω c, που δεν χρησιμοποιει ται στους γει τονες της u Μπορω να χρωματι σω το u με το χρω μα c και α ρα το G με χ(g) 1 χρω ματα άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 175 / 182

Θεώρημα 8.6: Έστω γρα φημα G. Το τε χ(g) (G) + 1 Απόδειξη [Με επαγωγή]: Θα δει ξουμε ο τι το G ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Βα ση: Κα θε γρα φημα με (G) + 1 κορυφε ς ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Ε.Υ. Κα θε γρα φημα G με < n κορυφε ς ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Ε.Β. Έστω γρα φημα G με n κορυφε ς Έστω αυθαι ρετη κορυφη u και ε στω το γρα φημα G u Το G u ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Υπα ρχει χρω μα, ε στω c που δεν χρησιμοποιου ν οι γει τονες της u Χρωματι ζοντας την u με το χρω μα c, λαμβα νω ε να νο μιμο χρωματισμο για το γρα φημα G με (G) + 1 χρω ματα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 176 / 182

Θεώρημα 8.7[Brooks, 1941]: Έστω συνεκτικο γρα φημα G που δεν ει ναι πλη ρες ου τε ει ναι περιττου μη κους κυ κλος. Το τε χ(g) (G) Απόδειξη [Με επαγωγή στο V(G) ]: Θα δει ξουμε ο τι το G ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Βα ση: Ισχυ ει για γραφη ματα με n = 1, n = 2, n = 3 κορυφε ς Ε.Υ. Έστω ο τι ο λα τα γραφη ματα G με n 1 κορυφε ς ει ναι (G)-χρωματι σιμα Ε.Β. Θα δει ξω ο τι ο λα τα γραφη ματα με n κορυφε ς ει ναι (G)-χρωματι σιμα Έστω γρα φημα G με (G) = k Περίπτωση 1: Υπα ρχει κορυφη v V(G) με βαθμο d(v) < k Θεωρω το G v και το χρωματι ζω αναδρομικα Υπα ρχει χρω μα λ που δεν χρησιμοποιου ν οι < k γει τονες της v Χρωματι ζω την v με το χρω μα λ Περίπτωση 2: Όλες οι κορυφε ς του G ε χουν βαθμο k [το G ει ναι k-κανονικο γρα φημα] Έστω το G {v} V(G {v} = n 1, (G {v}) = (G) = k Το G {v} ει ναι k-χρωματι σιμο Θα δείξουμε πώς να χρωματίσουμε το G {v} με k χρώματα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 177 / 182

Περίπτωση 2a: Υπα ρχουν δυ ο γειτονικε ς κορυφε ς της v που ε χουν το ι διο χρω μα Κα ποιο χρω μα, ε στω λ, δεν χρησιμοποιει ται στον χρωματισμο του G {v} Χρωμα τισε την v με λ Περίπτωση 2b: Όλοι οι γει τονες της v ε χουν διαφορετικο χρω μα Έστω χ(v i ) = i G ij : Το γρα φημα που επα γεται απο τις κορυφε ς με χρω μα i και χρω μα j Περίπτωση 2b1: Οι κορυφε ς v i και v j ανη κουν σε διαφορετικε ς συνεκτικε ς συνιστω σες, ε στω C i, C j του C ij v k v v 1 v 2 v 1 v 1 v k v 2 v k v v v j v i v j v i C j C i C j C i Άλλαξε τα χρω ματα (i j) στην C i. Το γρα φημα παραμε νει νο μιμα χρωματισμε νο Χρωμα τισε την v με χρω μα i v 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 178 / 182

Περίπτωση 2b2: Οι κορυφε ς v i και v j ανη κουν στην ι δια συνεκτικη συνιστω σα, ε στω C ij, για κα θε ζευ γος i, j του G ij v i, v j υπα ρχει (v i, v j ) μονοπα τι στην C ij Περίπτωση 2b2a: d(v i ) 2 στην C ij v v v i y x v j v i (k) y x v j C ij C ij Έστω x, y N Cij (v i ) με τουλα χιστον μια απο τις x, y διαφορετικη απο την v j χ(x) = χ(y) = j d Cij (v j ) (G) 1[Λει πει η ακμη (v, v i)] Υπα ρχει κα ποιο χρω μα, ε στω k, διαφορετικο απο το i, το οποι ο δεν χρησιμοποιει τα απο τις κορυφε ς του N Cij (v i ) Φτια ξε νε ο χρωματισμο του G ο που: χ(v i ) = k χ(v) = i Περίπτωση 2b2b: d(v i ) = 1 στην C ij [ο μοια d(v j ) = 1 στην C ij ] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 179 / 182

Περίπτωση 2b2b1: Υπα ρχει w C ij (διαφορετικο απο τα v i, v j ): d Cij (w) 3 v i w v j v i w (λ) v j C ij Έστω χ(w) = j. Το τε ο λοι οι γει τονες του w ε χουν χρω μα i Επειδη ε χω 3 γει τονες του w με χρω μα i περισσευ ουν 2 χρω ματα τα οποι α δεν χρησιμοποιου νται για τους γει τονες του w, ε να εκ των οποι ων ει ναι διαφορετικο του j. Έστω λ το χρω μα αυτο Χρωματι ζω το w με το χρω μα λ Το τε τα v i και v j βρι σκονται σε διαφορετικε ς συνεκτικε ς συνιστω σες του G ij Το γρα φημα G μπορει να χρωματιστει με (G) χρω ματα [περι πτωση 2b1] Περίπτωση 2b2b2: d Cij (w) = 2, w C ij, w / { v i, v j } Στην περι πτωση αυτη η συνιστω σα C ij στην οποι α ανη κουν οι v i, v j, για κα θε ζευ γος i, j, i j ει ναι ε να μονοπα τι με τα v i και v j στα α κρα του Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 180 / 182

Έστω οι συνιστω σες C ij, C jl των G ij, G jl Περίπτωση 2b2b2a: Τα μονοπα τια C ij και C jl ε χουν κοινη κορυφη διαφορετικη απο την v j Έστω x μια κοινη κορυφη των δυο μονοπατιω ν (διαφορετικη απο την v j ) v i x v l v j v i (λ) x χ(x) = j Η x ε χει 2 γει τονες με χρω μα i και 2 γει τονες με χρω μα l Οι γει τονες της x δεν χρησιμοποιου ν 2 χρω ματα εκ των οποι ων ε να ει ναι διαφορετικο του j. Έστω λ το αχρησιμοποι ητο χρω μα Χρωματι ζουμε την x με το χρω μα λ Το τε, οι v i και v j βρι σκονται σε διαφορετικε ς συνιστω σες του G ij Υπα ρχει χρωματισμο ς του G με (G) χρω ματα [περι πτωση 2b1] v l v j Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 181 / 182

Περίπτωση 2b2b2b: Τα μονοπα τια C ij, C jl ε χουν μο νη κοινη κορυφη την v j v j w v i v l v j w v i Έστω w η γειτονικη της v j κορυφη στο μονοπα τι C ij (v j v i ) Στο μονοπα τι C jl (v j v l ) ανταλλα σσω τα χρω ματα j με l Στον νε ο χρωματισμο, ε στω h θεωρω την συνιστω σα C h v i v j που ενω νει τις κορυφε ς v i με v j Η C h v i v j περιλαμβα νει κο μβους με χρω ματα l και i. Λο γω του ο τι ο βαθμο ς του v j στην C h v i v j ει ναι ι σος με 1, και η w ει ναι γειτονικη στην v j και το χρω μα της w ανη κει στο μονοπα τι C h v i v j (v j v i ) Η C h v i v l περιλαμβα νει κο μβους με χρω ματα i και j. Λο γω του ο τι ο βαθμο ς της v i στο C h v i v l ει ναι ι σος με 1, και οι βαθμοι ο λων των κορυφω ν του μονοπατιου ει ναι ι σοι με 2, και ο τι το παλιο μονοπα τι απο την v i προς την w εξακολουθει να ει ναι στο G ij, η w ανη κει στην C h v i v l Στην περι πτωση αυτη, μπορου με να βρου με χρωματισμο του G [περι πτωση 2b2b2a] v l Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 182 / 182