Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Πολυπολική ανάπτυξη Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει την πολυπολική ανάπτυξη του δυναμικού σε σφαιρικές και καρτεσιανές συντεταγένες. 2
Περιεχόμενα ενότητας Πολυπολική ανάπτυξη δυναμικού σε σφαιρικές συντεταγμένες Πολυπολική ανάπτυξη δυναμικού σε καρτεσιανές συντεταγμένες 3
Εισαγωγή Έστω πυκνότητα φορτίου που βρίσκεται εντός συγκεκριμένου εύρους. «Μακρυά» από την περιοχή της κατανομής φορτίου, η πυκνότητα φορτίου συμπεριφέρεται σαν σφαίρα ή σημειακό φορτίο. Άρα, μακρυά από την περιοχή της κατανομής, μπορούμε να αναπτύξουμε το δυναμικό σε σφαιρικές αρμονικές και να κρατήσουμε τους πρώτους όρους. Μ αυτόν τον τρόπο θα έχουμε μια πολύ καλή προσέγγιση του δυναμικού. Αυτή η λογική εύρεσης του δυναμικού χρησιμεύει στις περιπτώσεις που η κατανομή φορτίου είναι αρκετά πολύπλοκη και δυσκολεύει τον υπολογισμό του δυναμικού. 4
Πολυπολική ανάπτυξη σε σφαιρικές Θέλουμε να βρούμε το δυναμικό, μακρυά από την κατανομή φορτίου. Είχαμε πει ότι = 4π x x l,m 2l + r < l r > l+ Y lm θ, φ Y lm θ, φ. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε ότι r r. Άρα r l = 4π x x 2l + r l+ Y lm θ, φ Y lm θ, φ. l,m 5
Θεώρημα Green και πολυπολικές ροπές Συνεχίζουμε εφαρμόζοντας το θεώρημα Green. Επομένως θα έχουμε: 4π Y lm (θ, φ) Φ x = 2l + r l+ ρ(x ) r 2 dr sinθ dθ dφ r l Y lm (θ, φ ) l,m Ορίζουμε τους συντελεστές q lm = ρ(x ) r 2 dr sinθ dθ dφ r l Y lm (θ, φ ) Αυτές είναι οι πολυπολικές ροπές σε σφαιρικές συντεταγμένες. Έτσι η έκφραση για το δυναμικό (το πολυπολικό ανάπτυγμα του δυναμικού) είναι Φ x = 4π Y lm (θ,φ) l,m q 2l+ r l+ lm. 6
Ο μονοπολικός όρος Για l = 0, θα έχουμε και m = 0. Αυτός είναι ο μονοπολικός όρος. Θα ισχύει λοιπόν ότι q 00 = ρ(x )Y 00 (θ, φ ) d 3 x. Έχουμε ότι Y 00 θ, φ = 4π και ρ x d 3 x = Q. Οπότε q 00 = Q 4π και Φ 0 x = Q r. Παρατηρούμε ότι η μονοπολική ροπή q 00 είναι ανάλογη του φορτίου. 7
Διπολικοί όροι (Ι) Ο δεύτερος όρος του αναπτύγματος είναι για l =. Άρα οι δυνατές τιμές του m είναι m =,0,. Έχουμε q 0 = ρ r, θ, φ r Y 0 θ, φ r 2 sinθ dr dθ dφ, με Y 0 θ, φ = 3 4π cosθ. Επομένως q 0 = 3 4π ρ r, θ, φ r 2 sinθ r cosθ dr dθ dφ. Όμως r cosθ = z. Στο σημείο αυτό, ορίζουμε την ηλεκτρική διπολική ροπή ως p = ρ x x d 3 x. Άρα θα έχουμε q 0 = 3 4π ρ(x ) z d 3 x Το ολοκλήρωμα ρ(x ) z d 3 x είναι η z συνιστώσα της διπολικής ροπής. 8
Διπολικοί όροι (ΙΙ) Άρα q 0 = 3 4π p z. Επίσης, q = ρ r, θ, φ όπου Y θ, φ = 3 8π sinθe iφ. Αντικαθιστούμε e iφ = cosφ isinφ και καταλήγουμε ότι q = 3 8π Y θ, φ r r 2 sinθ dr dθ dφ, ρ x x d3 x i ρ x y d 3 x = 3 8π p x ip y Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι q = 3 8π p x + ip y 9
Πολυπολικό ανάπτυγμα σε καρτεσιανές συντεταγμένες Αναπτύσσουμε κατά Taylor την συνάρτηση x x. Το ανάπτυγμα Taylor γενικά για μια συνάρτηση f(x ) σε τρεις διαστάσεις είναι f x = f 0 + f(0) x x i + 2 f(0) x i 2 x i x i x j + j Άρα για την x x x x θα έχουμε: = x + x i x i x x + 2 x ix j 2 x i x j x x x =0 x =0 + 0
Υπολογισμός των όρων Για τον δεύτερο όρο θα έχουμε x i x i x x x =0 = x i (x x i ) x x 3 x =0 Για τον τρίτο όρο θα έχουμε 2 x ix j 2 x i x j x x x =0 = = x i r i r 3 = 2 x 2 x 2 + x x x x =0 2 x 2 x 2 x x 2 x x x =0 με i, j =,2,3 και = x x x x 2 + x 2 x 2 2 + x 3 x 3 2. 2 +
Tο δυναμικό Καταλήγουμε λοιπόν ότι x 2 ix 2 j x i x j x x x =0 = 2 x ix j 3x i x j r 2 δ ij r 5. Επομένως για το δυναμικό θα έχουμε ρ(x ) Φ x = x x d3 x = ρ(x ) r + x i r i r 3 + 2 x ix j 3x i x j r 2 δ ij r 5 d 3 x = r ρ(x ) d 3 x + r 2 r i ρ(x ) x i d 3 x + 2 3x i x j r 2 δ ij r 5 ρ (x ) x ix jd 3 x 2
Το δυναμικό και η τετραπολική ροπή Ο πρώτος όρος είναι ο μονοπολικός και είναι q = ρ(x ) d 3 x. Ο δεύτερος είναι ο διπολικός και είναι p i = ρ(x ) x i d 3 x. Ορίζουμε το τετράπολο ως Q ij = 3ρ (x ) x ix jd 3 x. Έτσι το δυναμικό (μέχρι τον τετραπολικό όρο) γράφεται Φ x = q r + r 2 p iri + 6 3x i x j r 2 δ ij r 5 Q ij + 3
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 5
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ανδρέας Τερζής. Ανδρέας Τερζής «Κλασική Ηλεκτροδυναμική. Πολυπολική ανάπτυξη». Έκδοση:.0. Πάτρα 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/phy958/ 6
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 7