Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 Περιγραφή θεματικής ενότητας Μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης του Poisson και η εξίσωσης του Laplace. Συνοριακές συνθήκες στον Ηλεκτρομαγνητισμό. Θεώρημα μοναδικότητας. Η μέθοδος των ειδώλων. Επίλυση εξίσωσης του Laplace σε καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγμένες. Ανάπτυγμα σε πολύπολα. Εκπαιδευτικοί Στόχοι Υπολογισμός του βαθμωτού δυναμικού με επίλυση της διαφορικής εξίσωσης του Laplace σε καρτεσιανές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες με τη χρήση της μεθόδου διαχωρισμού των μεταβλητών καθώς και με τη βοήθεια προσεγγιστικών μεθόδων (ανάπτυγμα σε πολύπολα).

3 Ενότητα 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΎ 1 Εξίσωση Poisson Η επίλυση ηλεκτροστατικών προβλημάτων ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης Poisson με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Είδη συνοριακών συνθηκών Dirichelet: Το δυναμικό V είναι γνωστό σε μια επιφάνεια Neumann: Η κάθετη συνιστώσα της κλίσης του δυναμικού ( V) η είναι γνωστή σε μια επιφάνεια ( η το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια) Μικτές συνθήκες: Συνδυασμός των παραπάνω 2 1

4 Θεώρημα του Earnshaw Tο δυναμικό δεν μπορεί να έχει ακρότατα σε μια περιοχή όπου δεν υπάρχουν φορτία. Απόδειξη: Δίνουμε παρακάτω μια απλοποιημένη απόδειξη για μία και δύο διαστάσεις. Στη μία διάσταση η εξίσωση του Laplace δίνει: επομένως δεν υπάρχουν ακρότατα Στις δύο διαστάσεις χρησιμοποιώντας και πάλι την εξίσωση του Laplace Ενώ για την Hessian παίρνουμε Επομένως δεν υπάρχουν ακρότατα. 3 Θεώρημα της μέσης τιμής Η τιμή του δυναμικού στο κέντρο μιας (ιδεατής) σφαίρας η οποία ΔΕΝ περιέχει φορτία ισούται με τη μέση τιμή του δυναμικού στην επιφάνεια της σφαίρας. Το θεώρημα αυτό βρίσκει εφαρμογή στην αριθμητική επίλυση της εξίσωσης του Laplace. 4 2

5 Θεώρημα της μοναδικότητας Η τιμή του δυναμικού ϕ σε μια περιοχή του χώρου V προσδιορίζεται μονοσήμαντα (εκτός από μια σταθερά) όταν η τιμή του δυναμικού ή της κάθετης συνιστώσας της κλίσης του δυναμικού είναι καθορισμένη στα σύνορα της περιοχής. Έστω φ 1, φ 2 δύο λύσεις της εξίσωσης του Poisson ( με την ίδια κατανομή φορτίων και συνοριακές συνθήκες), εφαρμόζοντας τα παραπάνω για ϕ= φ 1 - φ 2 παίρνουμε (*) όπου ο τελευταίος όρος μηδενίζεται λόγω της (*) 5 Επομένως Θεώρημα της μοναδικότητας (συνέχεια) Αν στο περίβλημα του χώρου (S V ) ή τότε το πρώτο μέλος μηδενίζεται ενώ από το δεύτερο μέλος (ολοκλήρωμα θετικής ποσότητας) έχουμε σε όλο το χώρο και επομένως οι δύο λύσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά και επομένως αντιστοιχούν στο ίδιο ηλεκτρικό πεδίο 6 3

6 Μέθοδος των Ειδώλων Παράδειγμα 1: Φορτισμένο σωματίδιο κοντά σε αγώγιμο γειωμένο επίπεδο. αρχικό πρόβλημα ισοδύναμο πρόβλημα z +q αγωγός είδωλο x -q y Ασκήσεις: Παράδειγμα 2 (σελ 161) 7 Επίλυση Laplace στη μία διάσταση (καρτεσιανές συντεταγμένες) Παράδειγμα: Ομοιόμορφα φορτισμένη πλάκα μεγάλων διαστάσεων ανάμεσα από δύο αγώγιμες πλάκες μεγάλων διαστάσεων. αγωγός Ι ΙΙ z φορτισμένη πλάκα σ Λόγω συμμετρίας περιμένουμε το δυναμικό να εξαρτάται μόνο από το z Στην περιοχή Ι έχουμε αγωγός Στην περιοχή ΙΙ έχουμε Οι συνοριακές συνθήκες είναι (τύπου Dirichelet) (τύπου Neumann) 8 4

7 V=0 Επίλυση Laplace συνέχεια Οι συνοριακές συνθήκες δίνουν και τελικώς 9 z y 0 Επίλυση Laplace σε 2 διαστάσεις (καρτεσιανές συντεταγμένες) V=0 V 0 d x Παράδειγμα: Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από δύο άπειρα γειωμένα επίπεδα τοποθετημένα στις θέσεις x = 0 και x = d. Στο επίπεδο y = 0 τοποθετείται αγωγός με δυναμικό V 0. Να υπολογιστεί το δυναμικό στον κενό χώρο μεταξύ των αγωγών. Λόγω συμμετρίας αναμένουμε το δυναμικό να μην εξαρτάται από το z, δηλαδή V(x, y). Η εξίσωση του Laplace στον κενό χώρο ανάμεσα από τους αγωγούς με συνοριακές συνθήκες Θεωρώντας λύση χωριζόμενων μεταβλητών V x, y = X x Y(y) η εξίσωση παίρνει τη μορφή όπου λ σταθερά. 10 5

8 Συνεπώς Επίλυση Laplace καρτεσιανές Γενικώς η διαφορική ω x = λω(x) έχει ως λύσεις είτε επαλληλία ημιτόνων και συνημίτονων ω x = A sin λx + B cos λx, λ < 0, είτε εκθετικών ω x = Ce λx + De λx, λ > 0. Η συνοριακή συνθήκη για τη μεταβλητή y απαιτεί το δυναμικό να μηδενίζεται y, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η Y(y) δεν μπορεί να αποτελείται από περιοδικές συναρτήσεις (ημίτονα/ συνημίτονα) αλλά είναι φθίνουσα εκθετική συνάρτηση. Επομένως λ > 0 λ = k 2 και 11 Επίλυση Laplace καρτεσιανές Οι συνοριακές συνθήκες απαιτούν που οδηγούν (με ενοποίηση των δύο αυθαίρετων σταθερών D B=C) σε Η γενική λύση εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των ανωτέρω (απείρων) λύσεων 12 6

9 Επίλυση Laplace καρτεσιανές Οι (άπειρες) αυθαίρετες σταθερές C n υπολογίζονται από την εναπομένουσα συνοριακή συνθήκη Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με παίρνουμε Χρησιμοποιώντας τη σχέση ορθογωνιότητας (της βάσης Fourier) για 13 και Επίλυση Laplace καρτεσιανές παίρνουμε και τελικά μόνο τα περιττά n συνεισφέρουν Οπότε διαλέγοντας n=2m+1 Ασκήσεις: Προβλήματα 3.12,3.14 (σελ 178) 14 7

10 Επίλυση Laplace, καρτεσιανές Η λύση μπορεί να γραφεί και σε κλειστή μορφή ως Γραφική αναπαράσταση του δυναμικού V(x, y) 15 Σφαιρικές συντεταγμένες Σε σφαιρικές συντεταγμένες η εξίσωση Laplace γράφεται ως Συστήματα με σφαιρική συμμετρία Σε ένα σύστημα το οποίο παρουσιάζει σφαιρική συμμετρία το δυναμικό δε θα εξαρτάται από τις συντεταγμένες θ, φ οπότε η εξίσωση του Laplace γράφεται Με αυτή τη μέθοδο μπορούμε να επιλύσουμε προβλήματα τα οποία στο πρώτο Κεφάλαιο επιλύσαμε με τη βοήθεια του Νόμου του Gauss. 16 8

11 Σφαιρική συμμετρία Παράδειγμα: Αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R βρίσκεται σε σταθερό δυναμικό V 0. Να υπολογιστεί το δυναμικό παντού στο χώρο. V 0 Θεωρώντας, εκτός της σφαίρας, την εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες με το δυναμικό να εξαρτάται μόνο από το r Η συνοριακές συνθήκες απαιτούν Και τελικά βρίσκουμε 17 Διαφορική εξίσωση Legendre Η διαφορική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση του Legendre. Η εξίσωση παρουσιάζει συνήθη ανώμαλα σημεία στo x = +1, x = 1. Για l 0,1,2, οι λύσεις παρουσιάζουν ανωμαλίες στα σημεία x = +1, x = 1. Για l = 0,1,2, η εξίσωση του Legendre έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις τις οποίες συμβολίζουμε ως P l x και Q l x. Τα P l x ονομάζονται πολυώνυμα Legendre και δίνονται από Για τις συναρτήσεις Legendre Q l x έχουμε αντίστοιχα Τα Q l x παρουσιάζουν απειρισμούς για x = ±1. Επομένως οι μόνες λύσεις οι οποίες Είναι παντού πεπερασμένες είναι τα πολυώνυμα Legendre P l x. 18 9

12 Πολυώνυμα Legendre Τα πολυώνυμα Legendre ικανοποιούν τη σχέση ορθογωνιότητας Τα πολυώνυμα Legendre μπορούν να παραχθούν από μια γεννήτρια συνάρτηση ως οι συντελεστές του αναπτύγματος σε σειρά Μερικές ακόμη ιδιότητες Ασκήσεις: Προβλήματα Σφαιρικές συντεταγμένες: Αξονική Συμμετρία Σε ένα σύστημα το οποίο παρουσιάζει αξονική συμμετρία (θεωρώντας τον άξονα z ως άξονα συμμετρίας) το δυναμικό δεν εξαρτάται από τη συντεταγμένη θ Υποθέτοντας λύσεις χωριζόμενων μεταβλητών παίρνουμε Επομένως 20 10

13 Για το γωνιακό μέρος έχουμε Αξονική Συμμετρία Θέτοντας x = cos θ Η οποία συμπίπτει με την εξίσωση του Legendre για λ = l(l+1) και επομένως για πεπερασμένες παντού λύσεις 21 Για το ακτινικό μέρος έχουμε Αξονική Συμμετρία Η εξίσωση αυτή αποτελεί ειδική μορφή της διαφορικής εξίσωσης του Euler και μπορεί να επιλυθεί ως εξής: Αλλάζοντας μεταβλητή r= e t μετατρέπεται σε γραμμική διαφορική με χαρακτηριστική εξίσωση 22 11

14 Αξονική Συμμετρία Επομένως Τελικά βρίσκουμε για το δυναμικό και η γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός όλων των ανωτέρω l = 0,1,2, 23 Αξονική συμμετρία Παράδειγμα: Η επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R βρίσκεται σε δυναμικό V R, θ = V 0 cos θ. Να υπολογιστεί το δυναμικό παντού στο χώρο, δεδομένου ότι το δυναμικό μηδενίζεται στο άπειρο και είναι πεπερασμένο στο r = 0 x z y Η διάταξη έχει αξονική συμμετρία ως προς τον άξονα των z. Η επίλυση μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα προβλήματα (α) Για r > R το δυναμικό θα ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace με γενική λύση Οι συνοριακές συνθήκες είναι 24 12

15 Αξονική Συμμετρία Όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legendre. Επομένως βρίσκουμε (β) Για r < R το δυναμικό θα ικανοποιεί επίσης την εξίσωση του Laplace με γενική λύση 25 Αξονική Συμμετρία Θα πρέπει επίσης να απαιτήσουμε το δυναμικό θα πρέπει να είναι πεπερασμένο παντού. Η συνθήκη αυτή εφαρμοζόμενη για r = 0 δίνει Σε αυτήν την περίπτωση οι συνοριακές συνθήκες είναι Δηλαδή και εισάγοντας για ευκολία x = cos θ Προχωρώντας όπως στην προηγούμενη περίπτωση, δηλ. πολλαπλασιάζοντας με τα πολυώνυμα και ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε Και τελικά 26 13

16 Αξονική Συμμετρία Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται ως εξής Παρατηρούμε ότι η παράλληλη προς την επιφάνεια της σφαίρας ( θ ) συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχής για r = R, ενώ για την κάθετη συνιστώσα ( r ) έχουμε Από τις συνθήκες ασυνέχειας του ηλεκτρικού πεδίου μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Ασκήσεις: Παράδειγμα 8(σελ 184), Προβλήματα 3.18,3.19,3.21, 3.26 και 3.37, Ανάπτυγμα σε πολύπολα Είχαμε αναφέρει στο προηγούμενο Κεφάλαιο ότι το δυναμικό μιας πεπερασμένης κατανομής φορτίων ρ(x) δίνεται από Μπορούμε να αναπτύξουμε τον όρο για r > r. Χρησιμοποιώντας την γεννήτρια συνάρτηση των πολυωνύμων Legendre με t = r r, x = r r βρίσκουμε 28 14

17 Ανάπτυγμα σε πολύπολα Αντικαθιστώντας στην σχέση για το δυναμικό Φορτίο Διπολική ροπή Τετραπολική ροπή 29 Τετραπολική ροπή Η τετραπολική ροπή έχει 9 συνιστώσες οι οποίες όμως δεν είναι όλες ανεξάρτητες καθώς και Επομένως μόνο 5 από τις 9 συνιστώσες είναι ανεξάρτητες 30 15

18 Ανάπτυγμα σε πολύπολα Παράδειγμα: Εφαρμόστε το πολυπολικό ανάπτυγμα στον υπολογισμό του δυναμικού τριών φορτίων q 1 = q, q 2 = q και q 3 = 2q τα οποία βρίσκονται στις θέσεις z = +a, z = a και z = 0 αντίστοιχα. Η πυκνότητα φορτίου δίνεται από Το συνολικό φορτίο μηδενίζεται q ολ = 0 Η διπολική ροπή δίνεται από Για την τετραπολική ροπή έχουμε Χρησιμοποιώντας 31 Βρίσκουμε Ανάπτυγμα σε πολύπολα και με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τελικά παίρνουμε Ασκήσεις: Προβλήματα 3.38,

19 Δυναμικό φορτισμένης ράβδου Άσκηση: Ευθύγραμμο σύρμα μήκους L φέρει φορτίο Q ομοιόμορφα κατανεμημένο. Να υπολογιστούν προσεγγιστικά το δυναμικό σε απόσταση r L. Το συνολικό φορτίο είναι Q. Για τη διπολική ροπή παίρνουμε 33 Δυναμικό φορτισμένης ράβδου Για την τετραπολική ροπή έχουμε ομοίως βρίσκουμε ομοίως βρίσκουμε 34 17

20 Δυναμικό φορτισμένης ράβδου 35 18

21 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

22 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.