Υποψήφιος Διδάκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ.,

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 28 Άρθρο 1815 Συγκριτική διερεύνηση διαφόρων μεθόδων επιλογής των εντασιακών μεγεθών διαστασιολόγησης κατά την γραμμική ανάλυση με χρονική ολοκλήρωση Comparative evaluation of different methods of selecting the design sectional forces for r/c frame elements in the context of linear response history analysis Κωνσταντίνος ΚΩΣΤΙΝΑΚΗΣ 1, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία γίνεται συγκριτική αξιολόγηση επτά διαφορετικών μεθόδων επιλογής των εντασιακών μεγεθών που απαιτούνται για τον υπολογισμό του διαμήκους οπλισμού στοιχείων από οπλισμένο σκυρόδεμα κατά την εφαρμογή της Γραμμικής Ανάλυσης με Χρονική Ολοκλήρωση. Πρώτα παρουσιάζονται με συντομία οι επτά αυτές μέθοδοι και στη συνέχεια αναλύεται ένα μονώροφο και διπλά συμμετρικό κτίριο για 15 διαφορετικές σεισμικές διεγέρσεις. Οι διεγέρσεις περιγράφονται από τις δύο οριζόντιες συνιστώσες τους, των οποίων τα επιταχυνσιογραφήματα εφαρμόζονται ταυτόχρονα κατά μήκος δύο οριζοντίων και κάθετων μεταξύ τους αξόνων του κτιρίου. Για κάθε ζεύγος επιταχυνσιογραφημάτων υπολογίζεται η απόκριση και στη συνέχεια τα ποσοστά οπλισμού χρησιμοποιώντας τις επτά παραπάνω μεθόδους επιλογής των εντασιακών μεγεθών. Από τα αποτελέσματα των αναλύσεων προκύπτει ως γενικό συμπέρασμα ότι το ποσοστό του διαμήκους οπλισμού δομικών στοιχείων σκυροδέματος επηρεάζεται σημαντικά από τη μέθοδο επιλογής των εντασιακών μεγεθών διαστασιολόγησης, ενώ ορισμένες από τις διερευνηθείσες μεθόδους δίνουν έως και διπλάσια ποσοστά οπλισμού σε σχέση με κάποιες άλλες. ABSTRACT : The objective of the present paper is the comparative evaluation of seven different methods of selecting the internal forces needed for the calculation of the longitudinal reinforcing steel area in concrete frame elements when the Linear Response History Analysis is used. First, the seven methods are briefly presented. Then, a single-story symmetric building subjected to 15 strong earthquake ground motions is analysed. The two horizontal components of seismic motion are applied simultaneously along the horizontal orthogonal axes of the building. For each ground motion the longitudinal reinforcing steel area at all critical cross sections is calculated using the seven aforementioned methods. Based on the results of the whole investigation, the following conclusions can be drawn: a) The required longitudinal reinforcing steel area is significantly affected by the method used for selecting the design sectional forces in the frame elements, b) Some of the seven methods lead to longitudinal reinforcement which is twice larger than the reinforcement determined by other ones. 1 Υποψήφιος Διδάκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ., email: kkostina@civil.auth.gr 2 Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ., email: minak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ., email: avram@civil.auth.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μεταξύ των μεθόδων σεισμικής ανάλυσης κατασκευών που προβλέπονται από τους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς (EC8, FEMA, NEHRP, ΕΑΚ) είναι και η (Γραμμική ή μη Γραμμική) Ανάλυση με Χρονική Ολοκλήρωση επιταχυνσιογραφημάτων (Response History Analysis 1 ). Κατά την εφαρμογή της εν λόγω μεθόδου χρησιμοποιούνται ζεύγη πραγματικών ή συνθετικών επιταχυνσιογραφημάτων και γίνεται βήμα προς βήμα υπολογισμός των εντασιακών και μετακινησιακών μεγεθών του φορέα, ενώ ακολουθεί διαστασιολόγηση με τις κλασικές μεθόδους υπολογισμού διαμήκους οπλισμού. Η Γραμμική Ανάλυση με Χρονική Ολοκλήρωση παρουσιάζει κάποια προβλήματα κατά την εφαρμογή της, λόγω των ασαφειών που υπάρχουν στις κανονιστικές διατάξεις. Ο τρόπος επιλογής των επιταχυνσιογραφημάτων, η μέθοδος αντιστοίχισής τους προς το φάσμα σχεδιασμού (scaling), η γωνία εφαρμογής της διέγερσης, η δόκιμη (δηλαδή ασφαλής, αλλά όχι υπερβολικά συντηρητική) επιλογή των τελικών εντασιακών μεγεθών που θα χρησιμοποιηθούν για τη διαστασιολόγηση αποτελούν κάποια από τα προβλήματα που παρουσιάζονται κατά την εφαρμογή της εν λόγω μεθόδου ανάλυσης. Ιδιαιτέρως κρίσιμοι είναι οι τρόποι επιλογής αφενός μεν της διεύθυνσης εφαρμογής (δηλαδή του προσανατολισμού) της σεισμικής δράσης και αφετέρου των τελικών εντασιακών μεγεθών με τα οποία θα γίνει η διαστασιολόγηση, καθώς, αν και αποτελούν παράγοντες που επηρεάζουν σημαντικά τα προκύπτοντα μεγέθη απόκρισης και τα απαιτούμενα ποσοστά οπλισμού, δεν προσδιορίζονται με σαφήνεια στα διάφορα κανονιστικά κείμενα. Στην παρούσα εργασία γίνεται προσπάθεια διερευνητικής αξιολόγησης των πιθανών μεθόδων διαστασιολόγησης για μεγέθη ορθής έντασης (αξονικά και ροπές) κατά την εφαρμογή της Γραμμικής Ανάλυσης με Χρονική Ολοκλήρωση. Ως αριθμητικό παράδειγμα επελέχθη ένας μονώροφος και διπλά συμμετρικός φορέας, ο οποίος διαστασιολογήθηκε για 15 ζεύγη οριζοντίων επιταχυνσιογραφημάτων, ενώ για κάθε ζεύγος καταγραφών εξετάστηκαν επτά διαφορετικές μέθοδοι διαστασιολόγησης. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΝΟΝΙΣΤΙΚΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ Διεύθυνση εφαρμογής της σεισμικής δράσης Τόσο στον ΕΑΚ όσο και στον NEHRP δεν αναφέρεται με σαφήνεια η διεύθυνση των αξόνων κατά μήκος των οποίων πρέπει να εφαρμόζεται η σεισμική δράση, ενώ η FEMA αναφέρει ότι οι συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης πρέπει να εφαρμόζονται κατά τους ορθογώνιους άξονες x και y της κατασκευής, θεωρώντας ίσως ότι για κτίρια με ορθογωνική κάτοψη οι άξονες αυτοί συμπίπτουν με τους άξονες της κατασκευής, αλλά αφήνοντας στην κρίση του μηχανικού τον καθορισμό των παραπάνω αξόνων σε κτίρια γενικότερης μορφολογίας. Σύμφωνα με τον EC8, η σεισμική δράση σχεδιασμού πρέπει να εφαρμόζεται κατά μήκος όλων των σχετικών οριζόντιων διευθύνσεων, ενώ για τα κτίρια με κατακόρυφα στοιχεία σε 1 Σημειώνεται ότι τόσο ο δυστυχώς συχνά χρησιμοποιούμενος αγγλικός όρος time history analysis όσο και η ελληνική κατά λέξη μετάφρασή του ανάλυση χρονοϊστορίας είναι γλωσσικά παντελώς αδόκιμος και πρέπει να αποφεύγονται. 2

δύο κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις, η σεισμική δράση πρέπει να εφαρμόζεται κατά μήκος των διευθύνσεων αυτών. Συμπερασματικά μπορεί κανείς να πει ότι κανένα κανονιστικό κείμενο δεν καθορίζει με σαφήνεια και πληρότητα τη διεύθυνση εφαρμογής της σεισμικής δράσης, ενώ η απλοποιητική εφαρμογή των επιταχυνσιογραφημάτων κατά μήκος των αξόνων της κατασκευής, ακόμη και στην περίπτωση ορθογωνικής κάτοψης, μπορεί να οδηγήσει σε σημαντική υποεκτίμηση των μεγεθών απόκρισης όπως έχει τεκμηριωθεί σε σχετικές πρόσφατες δημοσιεύσεις (Athanatopoulou 25, Athanatopoulou et al 25, Athanatopoulou and Avramidis 26, Αθανατοπούλου et al 26). Υπολογισμός των μεγεθών απόκρισης Ο EC8, o NEHRP και η FEMA ορίζουν ότι αν το πλήθος των χρησιμοποιούμενων καταγραφών είναι τουλάχιστον επτά, πρέπει να χρησιμοποιηθούν ως τιμές σχεδιασμού οι μέσοι όροι των τιμών για το εκάστοτε μέγεθος απόκρισης, ενώ αν οι καταγραφές είναι τουλάχιστον τρεις, ως τιμές σχεδιασμού πρέπει να λαμβάνονται οι δυσμενέστερες τιμές για το κάθε μέγεθος. Για τη διαστασιολόγηση όμως των υποστυλωμάτων απαιτούνται τρία εντασιακά μεγέθη: η αξονική δύναμη και οι ροπές κάμψεως ως προς τους δύο κύριους άξονες της διατομής. Εν τούτοις, κανένα κανονιστικό κείμενο δεν περιγράφει τον τρόπο επιλογής των συνδυασμών των ανωτέρω μεγεθών που θα χρησιμοποιηθούν για τη διαστασιολόγηση, αφήνοντας έτσι ανοικτή τη δυνατότητα να γίνει η διαστασιολόγηση με τις δυσμενέστερες τιμές όλων των μεγεθών οι οποίες βέβαια δεν είναι ταυτόχρονες. ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΣΙΜΗ ΓΩΝΙΑ Η κατασκευή υφίσταται σεισμική κίνηση του εδάφους που περιγράφεται από τα καταγραφέντα επιταχυνσιογραφήματα βάσης ϋ ag (t) και ϋ bg (t) κατά μήκος δύο οριζοντίων ορθογωνικών αξόνων. Χρησιμοποιούνται οι παρακάτω προσανατολισμοί της σεισμικής διέγερσης: Διέγερση αθ : Το επιταχυνσιογράφημα ϋ ag (t) εφαρμόζεται κατά μήκος του άξονα p και το ϋ bg (t) κατά μήκος του άξονα w (Σχήμα 1). Το τυχαίο μέγεθος απόκρισης αυτής της διέγερσης συμβολίζεται με R,. αθ Διέγερση α : Το επιταχυνσιογράφημα ϋ ag (t) εφαρμόζεται κατά μήκος του άξονα x και το ϋ bg (t) κατά μήκος του άξονα y (Σχήμα 1), όπου x και y οι άξονες του καθολικού συστήματος αναφοράς. Το τυχαίο μέγεθος απόκρισης αυτής της διέγερσης συμβολίζεται με R,. α Διέγερση α9 : Το επιταχυνσιογράφημα ϋ ag (t) εφαρμόζεται κατά μήκος του άξονα y και το ϋ bg (t) κατά μήκος του άξονα x (Σχήμα 1). Το τυχαίο μέγεθος απόκρισης αυτής της διέγερσης συμβολίζεται με R,. α9 Η τιμή τυχόντος μεγέθους απόκρισης αθ θ i R, (,t) είναι συνάρτηση της γωνίας θ i και του χρόνου t. Το πρόβλημα που τίθεται είναι να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή του εξεταζόμενου μεγέθους απόκρισης, καθώς και η διεύθυνση της διέγερσης (θ cr ), για την οποία εμφανίζεται η μέγιστη τιμή στα πλαίσια της Γραμμικής Ανάλυσης με Χρονική Ολοκλήρωση. Όπως έχει αποδειχτεί (Athanatopoulou, 25), η μέγιστη τιμή ενός μεγέθους απόκρισης (έντασης) συναρτήσει του χρόνου δίνεται από τη σχέση: 3

Σχήμα 1. Διεγέρσεις αθ, α και α9. 2 2 ( R, α R, α ) R (t) = (t) + (t) o 9 1/ 2 Από τη χάραξη της καμπύλης ± R o (t) προκύπτει η ακραία τιμή του ζητούμενου μεγέθους απόκρισης, καθώς και η χρονική στιγμή (t cr ) που πραγματοποιείται: R 2 2 ( R, α R, α ) = maxr, = R (t ) = (t ) + (t ) και minr, = R (t ) (1a,b) cr αθ o cr cr 9 cr αθ o cr 1/ 2 Οι αντίστοιχες κρίσιμες γωνίες θ cr1 (μέγιστη ακραία τιμή) και θ cr2 (ελάχιστη ακραία τιμή), δίνονται από τις σχέσεις: 1 R, α9(t cr ) θ cr1 =α (t cr ) = tan και θ θ cr2= cr1-π (2a,b) R, α(t cr) Επιπλέον, η τιμή του μεγέθους απόκρισης R κατά την τυχούσα χρονική στιγμή t για γωνία θ εφαρμογής της σεισμικής διέγερσης προκύπτει από τη σχέση: R, ( θ, t) = R, ( t) cosθ + R, ( t) sin θ (3) αθ i α i α9 i ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Μέθοδος ακραίων τάσεων για γωνία α= ο (ΜΤ ακρ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιείται μία ανάλυση του κτιρίου με συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης παράλληλες προς τους κατασκευαστικούς του άξονες x και y (διέγερση α, Σχήμα 1). Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α κάθε διατομής. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι χρονοσυναρτήσεις των τάσεων (σ Α (t), α, σ B (t), α, σ C (t), α, σ D (t), α ) στις τέσσερεις γωνίες A, B, C και D των ορθογωνικών διατομών των δομικών στοιχείων και προσδιορίζονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή κάθε μιας από αυτές, καθώς και οι αντίστοιχες χρονικές στιγμές t 1 και t 2, στις οποίες εμφανίζονται. Έτσι λοιπόν, για κάθε μία από τις τέσσερεις γωνίες της κάθε ορθογωνικής διατομής προκύπτουν δύο συνδυασμοί διαστασιολόγησης: Ν(t i ), α, Μ ξ (t i ), α, M η (t i ), α, με i=1,2, οπότε για ορθογωνική διατομή προκύπτουν οι οκτώ συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 1 : 4

Πίνακας 1. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΤ ακρ maxσ Α,α N, maxσα,α Μ ξ, maxσα,α Μ η, maxσα,α minσ Α,α N, minσα,α Μ ξ, minσα,α Μ η, minσα,α maxσ B,α N, maxσb,α Μ ξ, maxσb,α Μ η, maxσb,α minσ B,α N, minσb,α Μ ξ, minσb,α Μ η, minσb,α maxσ C,α N, maxσc,α Μ ξ, maxσc,α Μ η, maxσc,α minσ C,α N, minσc,α Μ ξ, minσc,α Μ η, minσc,α maxσ D,α N, maxσd,α Μ ξ, maxσd,α Μ η, maxσd,α minσ D,α N, minσd,α Μ ξ, minσd,α Μ η, minσd,α Μέθοδος ακραίων ταυτόχρονων δυνάμεων για γωνία α= ο (ΜΔ ταυτ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιείται μία ανάλυση του κτιρίου με συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης παράλληλες με τους κατασκευαστικούς του άξονες x και y (διέγερση α, Σχήμα 1). Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α. Στη συνέχεια προσδιορίζονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή κάθε ενός από τα παραπάνω εντασιακά μεγέθη, καθώς και οι ταυτόχρονες τιμές των υπόλοιπων μεγεθών. Επομένως, για κάθε διατομή ελέγχου προκύπτουν οι έξι συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 2 : Πίνακας 2. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΔ ταυτ maxn, α Μ ξ, maxn,α Μ η, maxn,α minn, α Μ ξ, minn,α Μ η, minn,α N, maxmξ,α maxμ ξ, α Μ η, maxmξ,α N, minmξ,α minμ ξ, α Μ η, minμξ,α N, maxmη,α Μ ξ, maxmη,α maxμ η, α N, minmη,α Μ ξ, minmη,α minμ η, α Μέθοδος ακραίων δυνάμεων για γωνία α= ο (ΜΔ ακρ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιείται μία ανάλυση του κτιρίου με συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης παράλληλες με τους κατασκευαστικούς άξονες x και y (διέγερση α, Σχήμα 1). Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α. Στη συνέχεια προσδιορίζονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθενός από τα παραπάνω εντασιακά μεγέθη και για κάθε διατομή ελέγχου προκύπτουν οι παρακάτω οκτώ συνδυασμοί διαστασιολόγησης, οι οποίοι δεν αποτελούν ταυτόχρονες τριάδες εντασιακών μεγεθών, αλλά δυσμενείς συνδυασμούς των μέγιστων τιμών τους, οι οποίοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τις ανάγκες της διαστασιολόγησης. Έτσι προκύπτουν οι οκτώ συνδυασμοί του Πίνακα 3 : Πίνακας 3. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΔ ακρ maxn, α maxμ ξ, α maxμ η, α maxn, α maxμ ξ, α minμ η, α maxn, α minμ ξ, α maxμ η, α maxn, α minμ ξ, α minμ η, α minn, α maxμ ξ, α maxμ η, α minn, α maxμ ξ, α minμ η, α minn, α minμ ξ, α maxμ η, α minn, α minμ ξ, α minμ η, α 5

Μέθοδος μεγίστων απολύτων τιμών για γωνία α= ο (ΜΔ απολ ) Κατά τη μέθοδο αυτή, η οποία αποτελεί απλοποίηση της παραπάνω μεθόδου διαστασιολόγησης ΜΔ ακρ, πραγματοποιείται μία ανάλυση του κτιρίου με συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης παράλληλες με τους κατασκευαστικούς άξονες x και y (διέγερση α, Σχήμα 1). Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α. Στη συνέχεια προσδιορίζονται η μέγιστη απόλυτη τιμή καθενός από τα παραπάνω εντασιακά μεγέθη και για κάθε διατομή ελέγχου προκύπτουν οι οκτώ συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 4 : Πίνακας 4. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΔ απολ max N, α max Μ ξ, α max Μ η, α max N, α max Μ ξ, α -max Μ η, α max N, α -max Μ ξ, α max Μ η, α max N, α -max Μ ξ, α -max Μ η, α -max N, α max Μ ξ, α max Μ η, α -max N, α max Μ ξ, α -max Μ η, α -max N, α -max Μ ξ, α max Μ η, α -max N, α -max Μ ξ, α -max Μ η, α Μέθοδος Ακραίων Τάσεων (ΜΤ ακρ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιούνται δύο αναλύσεις του κτιρίου για γωνίες διέγερσης και 9 ο. Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α, καθώς και Ν(t), α9, Μ ξ (t), α9, M η (t), α9. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι χρονοσυναρτήσεις των τάσεων (σ Α (t), α, σ B (t), α, σ C (t), α, σ D (t), α και σ Α (t), α9, σ B (t), α9, σ C (t), α9, σ D (t), α9 ) στις τέσσερεις γωνίες των διατομών των δομικών στοιχείων. Ακολουθεί ο προσδιορισμός των κρίσιμων τιμών (μέγιστης και ελάχιστης) των τάσεων, των κρίσιμων γωνιών διέγερσης (θ cr1 και θ cr2 ), καθώς και της κρίσιμης χρονικής στιγμής t cr για κάθε μια από τις τέσσερεις τάσεις με τη βοήθεια των σχέσεων 1a,b και 2a,b. Έτσι λοιπόν, για κάθε μία από τις τέσσερεις γωνίες τυχούσας ορθογωνικής διατομής και με τη βοήθεια της σχέσης 3 προκύπτουν δύο συνδυασμοί διαστασιολόγησης: Ν(θ cri, t cr ), Μ ξ (θ cri, t cr ), M η (θ cri, t cr ), με i=1, 2. Επομένως, για τις τέσσερεις γωνίες της κάθε ορθογωνικής διατομής προκύπτουν οι οκτώ συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 5 : Πίνακας 5. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΤ ακρ maxσ Α N, maxσα Μ ξ, maxσα Μ η, maxσα minσ Α N, minσα Μ ξ, minσα Μ η, minσα maxσ B N, maxσb Μ ξ, maxσb Μ η, maxσb minσ B N, minσb Μ ξ, minσb Μ η, minσb maxσ C N, maxσc Μ ξ, maxσc Μ η, maxσc minσ C N, minσc Μ ξ, minσc Μ η, minσc maxσ D N, maxσd Μ ξ, maxσd Μ η, maxσd minσ D N, minσd Μ ξ, minσd Μ η, minσd Μέθοδος ακραίων ταυτόχρονων δυνάμεων (ΜΔ ταυτ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιούνται δύο αναλύσεις του κτιρίου, για γωνίες διέγερσης και 9 ο. Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, 6

M η (t), α, και Ν(t), α9, Μ ξ (t), α9, M η (t), α9. Ακολουθεί ο προσδιορισμός των κρίσιμων τιμών τους (μέγιστης και ελάχιστης), των κρίσιμων γωνιών, καθώς και της κρίσιμης χρονικής στιγμής κάθε μιας από αυτές με τη βοήθεια των σχέσεων 1a,b και 2a,b. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι ταυτόχρονες τιμές των υπόλοιπων εντασιακών μεγεθών με τη βοήθεια της σχέσης 3. Επομένως, σε κάθε διατομή προκύπτουν οι έξι συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 6 : Πίνακας 6. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΔ ταυτ maxn Μ ξ, maxn Μ η, maxn minn Μ ξ, minn Μ η, minn N, maxmξ maxμ ξ Μ η, maxmξ N, minmξ minμ ξ Μ η, minμξ N, maxmη Μ ξ, maxmη maxμ η N, minmη Μ ξ, minmη minμ η Μέθοδος ακραίων δυνάμεων (ΜΔ ακρ ) Κατά τη μέθοδο αυτή πραγματοποιούνται δύο αναλύσεις του κτιρίου για γωνίες διέγερσης και 9 ο. Έτσι προκύπτουν οι χρονοσυναρτήσεις των εντασιακών μεγεθών Ν(t), α, Μ ξ (t), α, M η (t), α, και Ν(t), α9, Μ ξ (t), α9, M η (t), α9. Ακολουθεί ο προσδιορισμός των κρίσιμων τιμών τους με τη βοήθεια των σχέσεων 1a,b και 2a,b. Οι τιμές αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τις ανάγκες της διαστασιολόγησης, αν και δεν αποτελούν ταυτόχρονες τριάδες εντασιακών μεγεθών, αλλά δυσμενείς συνδυασμούς των μέγιστων τιμών τους. Έτσι, σε κάθε διατομή προκύπτουν οι οκτώ συνδυασμοί διαστασιολόγησης του Πίνακα 7 : Πίνακας 7. Συνδυασμοί διαστασιολόγησης με τη μέθοδο ΜΔ ακρ maxn maxμ ξ maxμ η maxn maxμ ξ minμ η maxn minμ ξ maxμ η maxn minμ ξ minμ η minn maxμ ξ maxμ η minn maxμ ξ minμ η minn minμ ξ maxμ η minn minμ ξ minμ η Στη συνέχεια, στα εντασιακά μεγέθη των παραπάνω συνδυασμών όλων των μεθόδων διαστασιολόγησης προστίθενται τα αντίστοιχα μεγέθη του κατακόρυφου συνδυασμού δράσεων G+,3Q και τα μεγέθη που προκύπτουν είναι τα τελικά μεγέθη με τα οποία γίνεται η διαστασιολόγηση. Υπολογίζεται ο διαμήκης οπλισμός για κάθε τριάδα μεγεθών και για κάθε μέθοδο επιλέγεται ο δυσμενέστερος από τους έξι ή οκτώ (ανάλογα με τη μέθοδο). Κτιριακό προσομοίωμα ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Μελετάται ένα μονώροφο διπλά συμμετρικό κτίριο από οπλισμένο σκυρόδεμα, η κάτοψη του οποίου καθώς και οι θεωρούμενοι κατασκευαστικοί του άξονες x και y απεικονίζονται στο Σχήμα 2. Το δομικό σύστημα αποτελείται από 16 τετραγωνικούς στύλους πλευράς.35m και 7

24 δοκούς διαστάσεων.2x.5m, ενώ στη στάθμη του ορόφου θεωρήθηκε πλήρης διαφραγματική λειτουργία. Οι δυσκαμψίες των δομικών στοιχείων θεωρήθηκαν ίσες με αυτές του σταδίου Ι, δηλαδή δεν έγινε χρήση μειωτικών συντελεστών (αρηγμάτωτες διατομές). Τα υποστυλώματα θεωρήθηκαν πλήρως πακτωμένα στο έδαφος. Το ύψος του ορόφου είναι 4.5m, ενώ η μάζα του ελήφθη ίση με 18.91t και θεωρήθηκε συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της στάθμης του ορόφου. Το σκυρόδεμα είναι κατηγορίας C2/25 με μέτρο ελαστικότητας Ε=29GPa, ενώ ο χάλυβας είναι ποιότητας S5. Τέλος, το ποσοστό απόσβεσης θεωρήθηκε ίσο με 5% για όλες τις ιδιομορφές. Σχήμα 2. Κάτοψη εξεταζόμενου φορέα. Περιγραφή αναλύσεων Έγιναν αναλύσεις του κτιρίου για 15 διαφορετικές σεισμικές διεγέρσεις χρησιμοποιώντας τη Γραμμική Ανάλυση με Χρονική Ολοκλήρωση (Linear Response History). Η επιλογή των καταγραφών έγινε με βάση την κατηγορία του εδάφους και με τη βοήθεια των πινάκων του παραρτήματος C της FEMA44. Επελέγησαν επιταχυνσιογραφήματα που καταγράφηκαν σε έδαφος που ανήκει στην κατηγορία C της FEMA, κατηγορία που αντιστοιχεί περίπου στην κατηγορία B του ΕΑΚ23. Κάθε καταγραφή αποτελείται από δύο επιταχυνσιογραφήματα που εφαρμόζονται ταυτόχρονα στην κατασκευή και αντιστοιχούν στις δύο οριζόντιες και κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες της διέγερσης. Τα επιταχυνσιογραφήματα αντιστοιχίστηκαν σύμφωνα με τη μεθοδολογία της FEMA356 στο ελαστικό φάσμα του ΕΑΚ για έδαφος κατηγορίας Β και ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας I (μέγιστη σεισμική επιτάχυνση εδάφους ίση με,16g). Τα χαρακτηριστικά των καταγραφών που επελέγησαν παρουσιάζονται στον Πίνακα 8. Για κάθε καταγραφή πραγματοποιήθηκε ανάλυση με το πρόγραμμα SAP2 και έγινε διαστασιολόγηση των στύλων και των δοκών του φορέα για μεγέθη ορθής έντασης, δηλαδή 8

υπολογίστηκαν τα απαιτούμενα ποσοστά διαμήκους οπλισμού των κρίσιμων διατομών με τις 7 διαφορετικές μεθόδους που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Η διαστασιολόγηση έγινε σύμφωνα με τις διατάξεις του ΕΚΟΣ2 λαμβάνοντας υπόψη και τα κατακόρυφα φορτία, ενώ σε κάθε περίπτωση ελέγχθηκε αν τα υπολογισθέντα ποσοστά οπλισμού βρίσκονταν μέσα στα όρια που απαιτεί ο ΕΚΟΣ2 (1-4 για τους στύλους και 2,53-11,47 για τις δοκούς). Ημερομηνία Σεισμός Πίνακας 8. Χαρακτηριστικά καταγραφών Αριθμός σταθμού Γωνία καταγραφής Peak Ground Acceleration (cm/s 2 ) Scale Factor 15/1/1979 Imperial Valley 551 315 2.2 1.84 9/2/1971 San Fernando 853 9 17.9 2.24 9/2/1971 San Fernando 269 21 133.4 2.69 28/6/1992 Landers 12149 167.8 1.52 17/1/1989 Loma Prieta 58378 153. 2.36 17/1/1989 Loma Prieta 57383 9 166.9 1.33 17/1/1989 Loma Prieta 5865 494.5.67 17/1/1989 Loma Prieta 476 67 349.1.52 17/1/1989 Loma Prieta 58135 36 433.1.47 17/1/1989 Loma Prieta 5813 9 11.8 2.27 17/1/1989 Loma Prieta 5764 121.6 1.86 24/4/1984 Morgan Hill 476 67 95. 4.79 17/1/1994 Northridge 23595 9 7.6 3.9 17/1/1994 Northridge 24278 36 54.2.5 17/1/1994 Northridge 24271 84.9 3.21 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στα Σχήματα 3 και 4 απεικονίζονται τα απαιτούμενα ποσοστά διαμήκους οπλισμού των στύλων και των δοκών (λόγω διπλής συμμετρίας παρατίθενται τα δεδομένα μόνο των μισών δοκών του φορέα) για τις καταγραφές Landers (αριθμός σταθμού: 12149) και Loma Prieta (αριθμός σταθμού: 58378) για κάθε μέθοδο διαστασιολόγησης. Πρέπει να σημειωθεί ότι οι μέθοδοι ΜΔ απολ, ΜΤ ακρ, ΜΔ ταυτ και ΜΔ ακρ για τους στύλους και όλες οι μέθοδοι για τις δοκούς δίνουν συμμετρικά αποτελέσματα, κάτι που οφείλεται στη διπλή συμμετρία με ίσες οριζόντιες δυσκαμψίες του κτιρίου που μελετήθηκε. Όσον αφορά στους στύλους, από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων για όλες τις καταγραφές που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία προκύπτει το συμπέρασμα ότι η μέθοδος ΜΔ ακρ δίνει στις περισσότερες περιπτώσεις σημαντικά μεγαλύτερα ποσοστά οπλισμού σε σχέση με τις υπόλοιπες μεθόδους διαστασιολόγησης (π.χ. για το στύλο C12 έδωσε σχεδόν διπλάσιο οπλισμό από τη ΜΤ ακρ (Σχ. 4)), κάτι που είναι αναμενόμενο, καθώς χρησιμοποιείται ο συνδυασμός που περιλαμβάνει τις μέγιστες τιμές για τις κρίσιμες γωνίες όλων των εντασιακών μεγεθών. Επί πλέον, διαπιστώνεται ότι οι μέθοδοι ΜΔ ακρ και ΜΔ απολ, οι οποίες είναι και αυτές που βρίσκονται πιο κοντά στη λογική που διέπει τους περισσότερους σύγχρονους κανονισμούς, δίνουν για κάποια στοιχεία μεγαλύτερα ποσοστά οπλισμού από τη μέθοδο ΜΤ ακρ, η οποία αποτελεί και την πλέον ορθολογική αντιμετώπιση του θέματος, ενώ για κάποια άλλα (π.χ. στύλοι C1, C2, C3, C4 και C5 της καταγραφής της 9

Loma Prieta, Σχήμα 4, δίνουν ευμενέστερα αποτελέσματα. Οι μέθοδοι ΜΤ ακρ και ΜΔ ταυτ δίνουν τα μικρότερα ποσοστά οπλισμού, αφού καμία από τις δύο δεν λαμβάνει υπόψη της την κρίσιμη γωνία της σεισμικής διέγερσης, αλλά χρησιμοποιούν τα εντασιακά μεγέθη που προκύπτουν κατά την εφαρμογή της διέγερσης με γωνία ο ως προς τους άξονες του κτιρίου. Τέλος, η μέθοδος ΜΔ ταυτ δίνει (για το συγκεκριμένο κτίριο) παρόμοια αποτελέσματα με τη μέθοδο ΜΤ ακρ. Αναφορικά με τις δοκούς πρέπει να σημειωθεί ότι οι μέθοδοι ΜΤ ακρ, ΜΔ ταυτ και ΜΔ ακρ ταυτίζονται μεταξύ τους. Το ίδιο συμβαίνει και με τις μεθόδους ΜΤ ακρ, ΜΔ ταυτ και ΜΔ ακρ, επειδή οι δοκοί καταπονούνται σε μονοαξονική κάμψη. Για να διευκολυνθεί η σύγκριση των μεθόδων ορίστηκε το ποσοστό απόκλισης των αποτελεσμάτων της μεθόδου i ως προς τη μέθοδο j: As,i As,j Π A, j = 1 (4) A s, j όπου A s,i ή (A s,j ): το εμβαδόν του οπλισμού που προέκυψε με χρήση της μεθόδου i ή (j). Στον Πίνακα 9 δίνονται τα μέγιστα ποσοστά απόκλισης που προέκυψαν για όλα τα στοιχεία και για όλες τις διεγέρσεις που μελετήθηκαν αναφορικά με τη μέθοδο ΜΤ ακρ, η οποία κρίνεται ως η πλέον ορθολογική. Στον Πίνακα 1 δίνονται τα αντίστοιχα ποσοστά απόκλισης αναφορικά με τη μέθοδο ΜΔ απολ, η οποία κρίνεται ως η πλέον συμβατή με τους κανονισμούς. Στον Πίνακα 11 δίνονται οι μέσες τιμές των ποσοστών απόκλισης για όλες τις διατομές, αναφορικά με τη μέθοδο ΜΤ ακρ. Οι εν λόγω αποκλίσεις υπολογίστηκαν τόσο για την περίπτωση που θα χρησιμοποιηθούν τρεις καταγραφές (οπότε υπολογίζονται οι μέγιστες τιμές των ποσοστών οπλισμού), όσο και για την περίπτωση που θα χρησιμοποιηθούν επτά καταγραφές για τη διαστασιολόγηση (οπότε υπολογίζονται οι μέσοι όροι των ποσοστών οπλισμού). Πίνακας 9. Μέγιστα ποσοστά απόκλισης αναφορικά με τη μέθοδο ΜΤ ακρ Στύλοι δοκοί ΜΤ Μέθοδος ΜΤ ακρ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ ΜΔ απολ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ, ΜΔ ταυτ, ακρ ΜΔ ΜΔ ακρ απολ ΠΑ, ΜΤακρ -29.4-29.4 37.51 37.51-23.2 68.31-78.78-75 Πίνακας 1. Μέγιστα ποσοστά απόκλισης αναφορικά με τη μέθοδο ΜΔ απολ Στύλοι δοκοί ΜΤ ΜΤ ακρ, ΜΔ ταυτ, ΜΤ ακρ, Μέθοδος ακρ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ ΜΤ ακρ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ ΜΔ ακρ ΜΔ ταυτ, ΜΔ ακρ ΠΑ, ΜΔαπολ -37.7-37.5-12.33-27.28-35.3 57.85-29.67 299.9 Πίνακας 11. Μέσες τιμές των ποσοστών απόκλισης αναφορικά με τη μέθοδο ΜΤ ακρ Στύλοι δοκοί Μέθοδος ΜΤ ακρ ΜΤ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ ΜΔ απολ ΜΔ ταυτ ΜΔ ακρ, ΜΔ ταυτ, ακρ ΜΔ ακρ ΜΔ απολ 3σεισμοί -17.8-17.3-1.63.41-6.52 51.2-31.33-29.38 7σεισμοί -11.2-12.11 9.75 12.77-4.76 55.99-34.63-29.24 1

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάστηκαν 7 διαφορετικές μέθοδοι διαστασιολόγησης για μεγέθη ορθής έντασης (αξονικά και ροπές) κατά την Γραμμική Ανάλυση με Χρονική Ολοκλήρωση και συγκρίθηκαν μεταξύ τους με βάση ένα μονώροφο διπλά συμμετρικό φορέα, με ίσες οριζόντιες δυσκαμψίες κατά μήκος των κυρίων διευθύνσεων του. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προέκυψαν οι εξής διαπιστώσεις: ΜΤακρ ΜΔταυτ ΜΔακρ ΜΔαπολ ΜTακρ ΜΔταυτ MΔακρ 35 3 25 2 15 ρ ( ) 1 5 C 1κάτω C1άνω C 2κάτω C2άνω C3κάτω C3άνω C4κάτω C 4άνω C5κάτω C 5άνω C6κάτω C6άνω C7κάτω C7άνω C8κάτω C8άνω C9κάτω C9άνω C1κάτω C 1άνω C11κάτω C 11άνω C12κάτω C 12άνω C13κάτω C 13άνω C14κάτω C 14άνω C15κάτω C 15άνω C 16κάτω C 16άνω 7 ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω ΜΔαπολ άνω ΜΔαπολ κάτω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω 6 5 4 ρ( ) 3 2 1 BX1αρ BX1δεξ BX2αρ BX2δεξ BX3αρ BX3δεξ BX4αρ BX4δεξ BX5αρ BX5δεξ BX6αρ BX6δεξ BY1αρ BY1δεξ BY2αρ BY2δεξ BY3αρ BY3δεξ BY4αρ BY4δεξ BY5αρ BY5δεξ BY6αρ BY6δεξ Σχήμα 3. Ποσοστά διαμήκους οπλισμού για το σεισμό Landers (αριθμός σταθμού: 12149). 11

ΜΤακρ ΜΔταυτ ΜΔακρ ΜΔαπολ ΜTακρ ΜΔταυτ MΔακρ 4 35 3 25 2 15 1 5 C1κάτω C1άνω C2κάτω C2άνω C3κάτω C3άνω C4κάτω C4άνω C5κάτω C5άνω C6κάτω C6άνω C7κάτω C7άνω C8κάτω C8άνω C9κάτω C9άνω C1κάτω C1άνω C11κάτω C11άνω C12κάτω C12άνω C13κάτω C13άνω C14κάτω C14άνω C15κάτω C15άνω C16κάτω C16άνω 8 ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω ΜΔαπολ άνω ΜΔαπολ κάτω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω 7 6 5 4 3 2 1 BX1αρ BX1δεξ BX2αρ BX2δεξ BX3αρ BX3δεξ BX4αρ BX4δεξ BX5αρ BX5δεξ BX6αρ BX6δεξ BY1αρ BY1δεξ BY2αρ BY2δεξ BY3αρ BY3δεξ BY4αρ BY4δεξ BY5αρ BY5δεξ BY6αρ BY6δεξ ρ( ) ρ( ) Σχήμα 4. Ποσοστά διαμήκους οπλισμού για το σεισμό Loma Prieta (αριθμός σταθμού: 58378). 12

ΜΤακρ ΜΔταυτ ΜΔακρ ΜΔαπολ Μτακρ ΜΔταυτ MΔακρ 35 3 25 2 15 1 5 C1κάτω C1άνω C2κάτω C2άνω C3κάτω 7 ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω ΜΔαπολ άνω ΜΔαπολ κάτω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ άνω ΜΤακρ,ΜΔταυτ,ΜΔακρ κάτω 6 5 4 ρ( ) ρ ( ) C3άνω C4κάτω C4άνω C5κάτω C5άνω C6κάτω C6άνω C7κάτω C7άνω C8κάτω C8άνω C9κάτω C9άνω C1κάτω C1άνω C11κάτω C11άνω C12κάτω C12άνω C13κάτω C13άνω C14κάτω C14άνω C15κάτω C15άνω C16κάτω C16άνω 3 2 1 BX1αρ BX1δεξ BX2αρ BX2δεξ BX3αρ BX3δεξ BX4αρ BX4δεξ BX5αρ BX5δεξ BX6αρ BX6δεξ BY1αρ BY1δεξ BY2αρ BY2δεξ BY3αρ BY3δεξ BY4αρ BY4δεξ BY5αρ BY5δεξ BY6αρ BY6δεξ Σχήμα 5. Μέσοι όροι ποσοστών διαμήκους οπλισμού για τις 15 σεισμικές διεγέρσεις. Υπάρχουν μεγάλες διαφορές στα ποσοστά οπλισμού που υπολογίζονται με τις διαφορετικές μεθόδους διαστασιολόγησης. Σε ορισμένα δομικά στοιχεία η μέθοδος ΜΔ ακρ έδωσε σχεδόν διπλάσιο οπλισμό από την ΜΤ ακρ. 13

Οι μέθοδοι ΜΤ ακρ και ΜΔ ταυτ, οι οποίες στηρίζονται στα εντασιακά μεγέθη για διέγερση κατά μήκος των αξόνων του κτιρίου, δίνουν τα μικρότερα ποσοστά οπλισμού (-29.4% έναντι της ΜΤ ακρ και -37.5% έναντι της ΜΔ απολ ). Οι μέθοδοι ΜΔ ακρ και ΜΔ απολ, οι οποίες δεν λαμβάνουν υπόψη τους την κρίσιμη γωνία της σεισμικής διέγερσης, βρίσκονται όμως πιο κοντά στη λογική που διέπει τους περισσότερους κανονισμούς, δίνουν σε σχέση με την ΜΤ ακρ, για το συγκεκριμένο κτίριο, αυξημένα ποσοστά οπλισμού στα υποστυλώματα (+37.5%) και μειωμένα στις δοκούς (-78.78%). Οι μέθοδοι που δεν λαμβάνουν υπόψη τη γωνία διέγερσης (ΜΤ ακρ, ΜΔ ταυτ, ΜΔ ακρ και ΜΔ απολ ) δίνουν ιδιαίτερα χαμηλά ποσοστά οπλισμού στις δοκούς σε σχέση με τις άλλες μεθόδους (-78.78%). Οι αποκλίσεις των ποσοστών οπλισμού στις οποίες οδηγούν οι περισσότερες από τις μεθόδους διαστασιολόγησης από τα ποσοστά οπλισμού που προκύπτουν αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος ΜΤ ακρ είναι παρόμοιες είτε χρησιμοποιηθούν 3 είτε 7 σεισμικές διεγέρσεις (βλ. Πίνακα 11 ). Τα ανωτέρω συμπεράσματα, αν και βασίζονται στη μελέτη ενός μόνο κτιρίου και μάλιστα μονώροφου και συμμετρικού, είναι ενδεικτικά για το μέγεθος της διακύμανσης των αποτελεσμάτων σε περιπτώσεις ασάφειας των κανονισμών, η οποία συνήθως οδηγεί σε διαφορετική ερμηνεία των διατάξεων τους από τους μελετητές. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Athanatopoulou, A.M., (25), Critical orientation of three correlated seismic components, Engineering Structures, 27(1), pp. 31-312. Athanatopoulou, A.M., Tsourekas, A. and Papamanolis, G., (25), Variation of response with incident angle under two horizontal correlated seismic components, Earthquake Resistant Engineering Structures V, Skiathos, Greece, pp. 183-192. Athanatopoulou, A.M., Avramidis, I.E., (26), Effects of seismic directivity on structural response, The Second fib Congress, Naples, Italy, paper ID 8-15. Α. Μ. Αθανατοπούλου, Κ. Αναστασιάδης & Ι. Ε. Αβραµίδης, (26), Επιρροή της διεύθυνσης διέγερσης στα µεγέθη απόκρισης κατά τη χρονολογική µέθοδο ανάλυσης, 15 ο Συνέδριο Σκυροδέματος, Αλεξανδρούπολη, τομ. Β, σελ. 35-45. Eurocode 8, (23), Design of structures for earthquake resistance, Part 1: General Rules, Seismic Actions and Rules for Buildings, European Committee for Standardization. Ε.Κ.Ο.Σ. 2, Ελληνικός Κανονισμός Οπλισμένου Σκυροδέματος, ΥΠΕΧΩΔΕ. Ε.Α.Κ. 23, Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός, ΥΠΕΧΩΔΕ. FEMA 274 (NEHRP), (1997), Commentary on the guidelines for the seismic rehabilitation of buildings, Federal Emergency Management Agency. FEMA 356, (2), Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings, Federal Emergency Management Agency. FEMA 44, (24), Improvement of nonlinear static seismic analysis procedures, Federal Emergency Management Agency. NEHRP (FEMA 45), (23), Recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures, Federal Emergency Management Agency. SAP2, Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures. Computers and Structures, Inc. 14