ΑΡΧΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Αγωγιμότητα σε ημιαγωγούς Required Text: Microelectronic Devices, Keith Leaver (1 st Chapter)
Μέτρηση του μ e και προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου Πρόβλημα: προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου σε ημιαγωγό και υπολογισμός του mobility μ e ή μ p. Ιδέα: εφαρμογή της μεθόδου του J.J. Thomson (1897) για την εύρεση του προσήμου των ηλεκτρονίων. Εφαρμογή στη συγκεκριμένη περίπτωση με αντίστοιχη μέτρηση μεγεθών του φαινομένου Hall και υπολογισμός της πυκνότητας φορέων φορτίου n e ή n p σε ημιαγωγό από την τιμή της αγωγιμότητας (σ) του ημιαγωγού. 2
Μέτρηση του μ e και προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου xx : B x zz : -v z zz : J z Εμφάνιση φαινομένου Laplace F y = B x ( e) ( v z ) = B x e v z Κίνηση των φορτίων στον yy και εμφάνιση τάσης του Δυναμικού Hall που αποδίδεται στο δημιουργούμενο πεδίο 3
Μέτρηση του μ e και προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου Αποδεικνύεται ότι: V HALL 1 n Υπόθεση: όλα τα e έχουν την ίδια ταχύτητα: v z = µ e E z Τότε λόγω συγκέντρωσης φορτίων εμφανίζεται ηλεκτρικό πεδίο στον yy, Ε y. Στην ισορροπία οι αντίστοιχες δυνάμεις είναι ίσες: B x e v z + ( e) E y = 0 4
Μέτρηση του μ e και προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου Επειδή: J z = n e v z v z = J z n e Τότε: Bx Jz VHALL Ey = = ne d VHALL 1 = = R B J d n e x z HALL R HALL είναι η Σταθερά HALL για τον αντίστοιχο ημιαγωγό. Στην περίπτωση οπών: R HALL 1 = pe 5
Μέτρηση του μ e και προσδιορισμός του προσήμου των φορέων φορτίου Με δεδομένο ότι : σ σ = ne µ µ = µ = σ ne e e e HALL Αυτή η κινητικότητα καλείται κινητικότητα Hall (Hall mobility) και η τιμή της δεν είναι δυνατόν να είναι ακριβής, αλλά προσεγγιστική λόγω της υπόθεσης, ότι οι ταχύτητες όλων των φορέων φορτίου είναι ίσες. R 6
Ερμηνεία της κινητικότητας οπών (μ p ) Πώς φανταζόμαστε την κίνηση φορέων φορτίου σε p-type? Πειραματικά προκύπτει ότι η μ p εμφανίζει εξάρτηση από την θερμοκρασία και τις προσμίξεις του ημιαγωγού. Αυτό σημαίνει ότι εμφανίζουν παρόμοιες ιδιότητες με αυτές των ηλεκτρονίων. Δηλαδή, αφενός έχουν θερμικές ιδιότητες και αφετέρου συγκρούονται με προσμίξεις του πλέγματος ή με άτομα αυτό υπό θερμική ταλάντωση. Αρα και οι οπές πρέπει να αντιμετωπίζονται ως σωματίδια με θερμική κινιτική ενέργεια E K = 1 2 m h c2 = 3 2 kt 7
Ερμηνεία της κινητικότητας οπών (μ p ) Συνεπώς dν dt = e E m h Και όταν η επιτάχυνση διαρκεί χρόνο Με την m h να είναι η ισοδύναμη μάζα των οπών (σταθερά αναλογίας) Οπότε µ h = ν Ε = e τ Οι οπές πρέπει να αντιμετωπίζονται ως σωματίδια (όπως τα ηλεκτρόνια) με κινητικότητα που μεταβάλλεται συναρτήσει της θερμοκρασίας και της πρόσμιξης. m h τ = 1 1 + 1 τ I τ L 8
Ταχύτητα Κορεσμού (saturation velocity) Η ταχύτητα ολίσθησης των ηλεκτρονίων και των οπών δεν αυξάνονται γραμμικά σε μεγάλα ηλεκτρικά πεδία, αφού το πλησιάζει και έτσι η πιο πάνω ανάλυση δεν υφίσταται. c 2 ν Το όριο ονομάζεται ταχύτητα κορεσμού (Saturation Velocity ) ν sat ν sat µ 9
Συνολικό ρεύμα ολίσθησης Οι ενδογενείς και οι αντισταθμισμένοι ημιαγωγοί περιέχουν και ελεύθερα ηλεκτρόνια και διαθέσιμες οπές, οπότε: J = J + J = ( neµ + neµ ) E e h e h Τότε σi σ i = ni e ( µ e + µ h) ni = ni = 1.4 10 m e ( µ + µ ) για σ=4 10-4 S/m και Τ=300Κ Σε εξωγενείς ημιαγωγούς η σχέση αυτή δεν ισχύει, γιατί πάντα αριθμός φορέων μειονότητας <<< αριθμό φορέων πλειονότητας Αντισταθμισμένος ημιαγωγός είναι ημιαγωγός με προσμίξεις όπου n=p γιατί N D =N A e h 16 3 10
Φορείς μειονότητας Σε όλους τους ημιαγωγούς (Ενδογενείς και Εξωγενείς) ακόλουθων φαινομένων: Φαινόμενο γένεσης ζευγών ηλεκτρονίων-οπών, λόγω θερμικών ταλαντώσεων με ενέργεια μεγαλύτερη του ενεργειακού χάσματος E g. Για κάθε ηλεκτρόνιο που γενιέται υπάρχει και η αντίστοιχη οπή Φαινόμενο επανασύνδεσης ηλεκτρονίων-οπών, λόγω τυχαίας «παγίδευσης» ηλεκτρονίων κατά τον αντικρισμό τους με οπές με απώλεια ενέργειας E g. 11
Φορείς μειονότητας : γινόμενο np Ρυθμός γένεσης (G) και ρυθμός επανασύνδεσης (R) ζευγών ηλεκτρονίων-οπών είναι ο αριθμός των ζευγών ελεύθερων ηλεκτρονίων-οπών που δημιουργούνται ή επανασυνδέονται στη μονάδα του όγκου και του χρόνου. Σε θερμική ισορροπία: G=R Ο G είναι ανεξάρτητος προσμίξεων (ακόμα και σε εξωγενείς ημιαγωγούς) αφού εξαρτάται κυρίως απο τη θερμοκρασία. Συνεπώς, σε θερμική ισορροπία και ο R θα είναι ανεξάρτητος προσμίξεων. 12
Φορείς μειονότητας: γινόμενο np Ομως, με δεδομένο ότι τα ηλεκτρόνια και οι οπές κινούνται όπως τα άτομα αερίου, ο ρυθμός «αντικρισμού» μιας οπής από ηλεκτρόνιο θα είναι ανάλογη της πυκνότητας των ηλεκτρονίων (n). Συνεπώς ο ρυθμός «αντικρισμού» όλων των οπών από ηλεκτρόνια θα είναι ανάλογος του γινομένου των αντίστοιχων πυκνοτήτων (np). Αρα ο ρυθμός επανασύνδεσης θα είναι: R= n p f( T) Με δεδομένα ότι R=G και ότι ο ρυθμός δίδυμης γένεσης (G) είναι ανεξάρτητος των προσμίξεων, το γινόμενο np θα πρέπει να είναι ανεξάρτητο των n και p. Για ενδογενή ημιαγωγό (n i =p i ) n p = ni pi = ni 2 13
Φορείς μειονότητας Για εξωγενή ημιαγωγό n τύπου όπου n=n D θα ισχύει: 2 2 ni ni pn = = nn ND Για εξωγενή ημιαγωγό p τύπου όπου p=n A θα ισχύει: n p = n 2 i = n i p p Ετσι μπορούμε να υπολογίσουμε την πυκνότητα των φορέων μειονότητας σε ημιαγωγό με προσμίξεις. Παράδειγμα: n i =10 16 & Si n-type με N D =10 21 m -3 θα έχει p n =10 11 m -3. Στο χώρο ενός τρανζίστορ με V=(10μm) 3, φορείς μειοψηφίας=10-4! 14 2 N A
Διάχυση ηλεκτρονίων οπών Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται όπως τα άτομα αερίου (συνεπεία της θερμικής τους κίνησης). Ετσι έχουν την τάση να διαχέονται (diffuse) προς περιοχές μικρότερης συγκέντρωσης. Γι αυτό πολλές φορές η συγκέντρωση των φορέων μειονότητας είναι συνάρτηση της θέσης τους. 15
Διάχυση ηλεκτρονίων οπών Στη στη περιοχή του x η πυκνότητα ηλεκτρονίων είναι n x ( ) Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων στο είναι n(x) λ x dn dx x λ x Η ροή απο αριστερά προς τα δέξια είναι 1 2 u x (n(x) λ x Η ροή απο δέξια προς τα αριστερά είναι 1 2 ux(n(x) + λ x dn dx ) dn dx ) 16
Διάχυση ηλεκτρονίων οπών Συνεπώς η συνολική ροή είναι F = 1 2 u x (n(x) λ x dn dx ) 1 2 u x (n(x) + λ x F = ( u x λ ) dn x dx = D e dn dx dn dx ) = u x λ x dn dx D e Οπου φορέων είναι ο συντελεστής διάχυσης των Η πυκνότητα ρεύματος απο τη διάχυση είναι J = ed e dn dx 17
Διάχυση ηλεκτρονίων οπών Στην περίπτωση ύπαρξης εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου Ε και διαφορά πυκνότητας ηλεκτρονίων τότε: dn J = neµ ee+ ede dx dp J = peµ he+ edh dx 18
Σχέση Einstein Η κινητικότητα μ και ο συντελεστής διάχυσης D εξαρτόνται απο τη θερμική κίνηση, ετσι αναμένουμε κάποια σχέση μεταξύ τους! Μέση Ελεύθερη Διαδρομή Ηλεκτρονίου (λ) λ x = λ y = λ z λ x 2 + λ y 2 + λ z 2 = λ 2 Συνεπώς λ x 2 = λ 2 3 και με παρόμοιο τρόπο c x 2 = c2 3 έτσι D = c x λ x =! c 2 # " 3 $ &.! λ 2 # % " 3 $ & = λ % 3 ( c 2 ) 19
Σχέση Einstein D e = λ 3 µ e = e τ = e. m e m e λ ( c 2 ) & & E ( c 2 ) K = 1 2 m e c2 = 3 2 kt D e µ e = kt e Η σχέση του Einstein μας δίνει τη δυνατότητα να βρήσκουμε τον συντελεστή διάχυσης απο τη κινητικότητα των φορέων!!! 20