Διάδοση και Ανάκλαση Κυματισμών σε Βυθισμένο Διαπερατό Κυματοθραύστη

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 23 Διάδοση και Ανάκλαση Κυματισμών σε Βυθισμένο Διαπερατό Κυματοθραύστη Ε. Β. KΟΥΤΑΝΤΟΣ Θ. Β. ΚΑΡΑΜΠΑΣ Χ. Γ. ΚΟΥΤΙΤΑΣ Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ. Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη Στη εργασία αυτή εξετάζεται η διάδοση και η ανάκλαση των κυματισμών παρουσία βυθισμένου, διαπερατού κυματοθραύστη. Το μαθηματικό ομοίωμα που συντάσσεται βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με δημοσιευμένα πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα γεγονός που επιβεβαιώνει την αξιοπιστία του μαθηματικού ομοιώματος. Μελετάται επίσης το φαινόμενο της ανταλλαγής μάζας ρευστού μέσω της πορώδους διεπιφάνειας. Η ροή στο πορώδες μέσο προσδιορίζεται λύνοντας την εξίσωση Laplace για το δυναμικό Φ της ροής, σε ένα δισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο, με χρήση των κατάλληλων οριακών συνθηκών. Ακολουθεί ο υπολογισμός των ταχυτήτων στο πορώδες μέσο με βάση την προκύπτουσα κατανομή του δυναμικού ροής.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι βυθισμένοι κυματοθραύστες χρησιμοποιούνται ευρέως για την προστασία ακτών κυρίως για την απόσβεση των κυματισμών και τον έλεγχο της στερεομεταφοράς. Ο προσπίτων κυματισμός μερικώς διαπερνά την κατασκευή, μερικώς ανακλάται και μερικώς σκεδάζεται. Η καταστροφή ενέργειας οφείλεται κυρίως στον μηχανισμό της θραύσης. Η αποτελεσματικότητα των συγκεκριμένων κατασκευών εξαρτάται κυρίως από το ελεύθερο ύψος της κατασκευής και το πλάτος της στέψης τους. Όταν ο βυθισμένος κυματοθραύστης είναι διαπερατός, κατασκευασμένος από λιθορριπή, σημαντικό ρόλο παίζουν και τα χαρακτηριστικά του πορώδους υλικού. Οι διαπερατοί βυθισμένοι κυματοθραύστες μπορεί να έχουν και κατακόρυφα μέτωπα [7]. Στην περίπτωση αυτή το υλικό συγκρατείται με μεταλλικό πλέγμα. Υπάρχει εκτεταμένος αριθμός εργασιών που αναφέρεται στο θέμα των βυθισμένων κυματοθραυστών. Στην εργασία [] παρουσιάστηκε σειρά πειραματικών μετρήσεων σε βυθισμένους αδιαπέρατους κυματοθραύστες από όπου και προέκυψε ημιεμπειρικό κριτήριο θραύσης. Στην εργασία [6] παρουσιάστηκε ένα αριθμητικό μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων προκειμένου να διερευνηθεί το εξεταζόμενο φαινόμενο χωρίς να συμπεριληφθεί η θραύση. Πειράματα μεγάλης κλίμακας παρουσιάστηκαν στις εργασίες [7] και [3] όπου διερευνήθηκε η θραύση των κυματισμών στη βυθισμένη κατασκευή. Στην εργασία [6] παρουσιάστηκε ένα αριθ- Υποβλήθηκε: 28.3.22 Έγινε δεκτή: 3.9.23 μητικό μοντέλο Boussinesq μη γραμμικών διασπειρόμενων κυματισμών, που προσδιορίζει αριθμητικά τη θραύση με βάση ένα ημιεμπειρικό κριτήριο και συγκρίνει τα αποτελέσματα με πειραματικά δεδομένα. Ο αριθμός, όμως, των εργασιών που πραγματεύονται το πρόβλημα των διαπερατών, βυθισμένων κυματοθραυστών είναι περιορισμένος. Στην εργασία [8] παρουσιάστηκε ένα αριθμητικό μοντέλο βασισμένο στη γραμμική θεωρία κυματισμών που αναφέρεται σε βυθισμένους, διαπερατούς κυματοθραύστες. Οι ίδιοι συγγραφείς παρουσίασαν στην εργασία [9] το αριθμητικό τους μοντέλο συμπεριλαμβάνοντας τη θραύση των κυματισμών. Το κριτήριο θραύσης που χρησιμοποίησαν προέκυψε μετά από σειρά πειραμάτων, τα οποία περιλαμβάνονται στη συγκεκριμένη εργασία. Στην εργασία [5] παρουσιάστηκε μία αναλυτική λύση του προβλήματος για γραμμικούς κυματισμούς χωρίς να συμπεριληφθεί η θραύση ενώ στην εργασία [] παρουσιάστηκε σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων σχετικά με την επίδραση του πορώδους στη δημιουργία υψηλών αρμονικών. Στην εργασία [4] παρουσιάστηκαν πειραματικά αποτελέσματα για ορθογωνικό, βυθισμένο διαπερατό κυματοθραύστη υπό την επίδραση γραμμικών κυματισμών. Στις εργασίες [3] και [4] παρουσιάζεται ένα μη γραμμικό αριθμητικό μοντέλο με εξισώσεις τύπου Boussinesq για τη διερεύνηση της διάδοσης μη γραμμικών κυματισμών σε πορώδεις κατασκευές. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται ένα αριθμητικό μοντέλο διασπειρόμενων κυματισμών, το οποίο βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq και εφαρμόζεται στην περίπτωση των βυθισμένων, διαπερατών κυματοθραυστών περιλαμβάνοντας παράλληλα και τη θραύση των κυματισμών στην κατασκευή. Παρουσιάζεται η σύζευξη του ολοκληρωμένου στο βάθος κυματικού μοντέλου με ένα δισδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο για την επίλυση της ροής στο πορώδες μέσο, στο σώμα της βυθισμένης κατασκευής. 2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Hi: ύψος προσπίπτον κυματισμού

24 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Hr: ύψος ανακλώμενου κυματισμού Ht: ύψος διαδιδόμενου κυματισμού Cr: συντελεστής ανάκλασης (Hr/Hi) Ct: συντελεστής διάδοσης (Ht/Hi) u: μέση οριζόντια ταχύτητα q: ειδική παροχή q f : ειδική παροχή διήθησης στο πορώδες μέσο λ : πορώδες d: βάθος θάλασσας B: πλάτος κυματοθραύστη ζ: διακύμανση ελεύθερης επιφάνειας v t : τεχνητός συντελεστής ιξώδους f: συντελεστής τριβής στην εξωτερική παρειά του κυματοθραύστη Κ: συντελεστής διαπερατότητας του πορώδους μέσου Κ p : συντελεστής γεωμετρικής διαπερατότητας του πορώδους μέσου α : συντελεστής αντίστασης c r : συντελεστής αδρανείας τη θραύση των κυματισμών σε βυθισμένους διαπερατούς κυματοθραύστες. Οι συγγραφείς κατέληξαν στο παρακάτω ημιεμπειρικό κριτήριο όσο αφορά τη θραύση των κυματισμών στην κατασκευή (Σχήμα ): /L o =27tanh(k o (h ) b ) (3) όπου είναι το ύψος κύματος κατά τη θραύση, L o το μήκος κύματος στα βαθιά νερά, k o ο αριθμός κύματος στα βαθιά νερά και (h ) b το βάθος της άνω παρειάς του κυματοθραύστη στο σημείο θραύσης. Το συγκεκριμένο ημιεμπειρικό κριτήριο θραύσης έχει παρόμοια μορφή με το ανάλογο κριτήριο, επίσης ημιεμπειρικό, που παρατίθεται στην εργασία [5]: /L b =42tanh(k b (h ) b ) (4) όπου L b είναι το μήκος κύματος στο σημείο θραύσης και k b =2π/L b κατά τη θραύση. Συγκριτική παρουσίαση των δύο ημιεμπειρικών κριτηρίων θραύσης παρουσιάζεται στο σχήμα 2. Στο παρόν κυματικό μοντέλο υιοθετείται το κριτήριο θραύσης που περιγράφεται από τη σχέση 3. 6 3. ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ 3.. Το κυματικό μοντέλο Το κυματικό μοντέλο βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq και συντίθεται από τις παρακάτω εξισώσεις [2], [2]: Εξίσωση συνέχειας : q q t x Εξίσωση ορμής: f 2 3 2 u u d u u +u +g = +d 2 xd t x x 3 x t x t 3 3 2 2 2 2 u u l (u sh s) +Bd +g +2Bdd 2 3 x +g - d 2 2 x t x x t x 2 x όπου ζ είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, q η ειδική παροχή q=u(d+ζ), U η μέση οριζόντια ταχύτητα, d το βάθος, d x η κλίση πυθμένα, B=/5, q f η ειδική παροχή, στην περίπτωση της διαπερατής κατασκευής, μέσω της οποίας ποσοτικοποιείται η ανταλλαγή μάζας ρευστού ανάμεσα στη θάλασσα και στο πορώδες μέσο, λ είναι το πορώδες u s και h s η μέση ταχύτητα και το ύψος του πορώδους μέσου. 3.2. Εισαγωγή στο κυματικό μοντέλο της θραύσης των κυματισμών Στην εργασία [9] παρουσιάζεται πειραματική και αριθμητική μελέτη που αφορά την αποτελεσματικότητα και () (2) /L o (experiments) 2.8.4 Porosity 9 Porosity.44 Best agreement.2.4.6.8 /L o (equation) Σχήμα : Εξαγωγή του κριτηρίου θραύσης βάσει πειραματικών μετρήσεων σε βυθισμένο, διαπερατό κυματοθραύστη, [9]. Figure : Derivation of wave breaking criterion based on experimental measurements over submerged, permeable, breakwater, [9]. Η προσομοίωση της απώλειας ενέργειας στην περιοχή του κυματοθραύστη λόγω θραύσης των κυματισμών γίνεται με την εισαγωγή στο δεξιό μέλος της εξίσωσης ορμής ενός τεχνητού συντελεστή ιξώδους: v όπου 2 u x t 2 (5) v t =( )d gd (m 2 /s) (6) Στο κυματικό μοντέλο περιγράφεται και η τριβή στην εξωτερική επιφάνεια του κυματοθραύστη μέσω του παρα-

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 25 κάτω όρου, ο οποίος προστίθεται επίσης στο δεξιό μέλος της εξίσωσης ορμής (σχ. 2): f - u u 2 d όπου f ο συντελεστής τριβής. /L o.8.6.4.2 Rojanakamthorn et al 99 Miche 95.4 k o (h ) b Σχήμα 2: Σύγκριση ημιεμπειρικών κριτηρίων θραύσης σε βυθισμένο, διαπερατό κυματοθραύστη, [9] [5]. Figure 2: Comparison of the semi-empirical breaking criteria over submerged, permeable, breakwater, [9] [5]. 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΡΟΗΣ ΣΤΟ ΠΟΡΩΔΕΣ ΜΕΣΟ Η ανάλυση της ροής στο πορώδες μέσο γίνεται μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace: 2 Φ= (8) όπου Φ το δυναμικό ροής. Η εξίσωση επιλύεται πεπλεγμένα σε κάθε χρονικό βήμα με τις κατάλληλες χρονικά μεταβαλλόμενες οριακές συνθήκες. Η ελεύθερη επιφάνεια σε κάθε υπολογιστικό κόμβο του κυματικού μοντέλου χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί σε κάθε χρονικό βήμα η πίεση στη διεπιφάνεια θάλασσας-πορώδους μέσου βάση της σχέσης (9) σύμφωνα με τους Cruz et al (997), [4] δίνεται από τη σχέση: 2 2 2 ( d z) ( d ) u P g( z) 2 x t z ws z d Η παραπάνω σχέση (9) προκύπτει από την ολοκλήρωση, ως προς z, της κατακόρυφης εξίσωσης ορμής υποθέτοντας (7) (9) ότι η κατανομή της κατακόρυφης ταχύτητας δίνεται από: x s w=- d+z u + w () z d Έχοντας υπολογίσει την πίεση σε κάθε υπολογιστικό κόμβο του δισδιάστατου αριθμητικού μοντέλου, στην διεπιφάνεια θάλασσας πορώδους κατασκευής μπορούμε να υπολογίσουμε το δυναμικό της ροής στα συγκεκριμένα όρια λύνοντας τη γενικευμένη εξίσωση Bernoulli: 2 ps cr t + z + +gz+ = 2 () όπου c r και α αντίστοιχα οι συντελεστές αδράνειας και αντίστασης του πορώδους. Στον πυθμένα γίνεται η υπόθεση του αδιαπέρατου ορίου: xd x + z = (2) Στο επόμενο βήμα μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace προσδιορίζεται η κατανομή του δυναμικού στο δισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο και ακολουθεί ο υπολογισμός των ταχυτήτων στη διαπερατή κατασκευή με βάση τις σχέσεις: u s s x (3) w =- (4) z όπου Κ ο συντελεστής διαπερατότητας. Μετά τον υπολογισμό των ταχυτήτων στη διαπερατή κατασκευή η ολοκλήρωση σε μια αντιπροσωπευτική επιφάνεια ελέγχου στη διεπιφάνεια παρέχει τις ειδικές παροχές που απορρέουν ή εισρέουν στο πορώδες μέσο και ποσοτικοποιούνται στην εξίσωση συνέχειας μέσω του προσθέτου όρου στο δεξιό μέλος (σχ. ). 5. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 5.. Συγκρίσεις με τα πειραματικά αποτελέσματα των Lee Huang (996) Στην εργασία των Lee and Huang (996), [4], παρατίθεται σειρά πειραματικών αποτελεσμάτων που αφορούν τη διερεύνηση της αποτελεσματικότητας βυθισμένων διαπερατών κυματοθραυστών ορθογωνικής διατομής. Χρησιμοποιήθηκε μεταλλικό πλέγμα για τη συγκράτηση του τού πορώδους υλικού (χαλίκι). Το υλικό αυτό θεωρείται ομογενές και ισότροπο με τις ακόλουθες ιδιότητες Kp=3.37-9 m 2, α=.47, c r =.5, λ=.4 όπου Kp η γεωμετρική διαπερατότητα του πορώδους υλικού. Οι συντελεστές α και c r σχετίζονται με τον τύπο της πορώδους κατασκευής. Οι τιμές που υιοθετούνται παρατίθενται στην συγκεκριμένη πειραματική

26 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 μελέτη. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κατασκευής ήταν Β/(2h)=.268, F/h=5, h=m σύμφωνα με τους συμβολισμούς του σχήματος 3. Στο σχήμα 4 παρουσιάζεται η σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων. Η ικανοποιητική συμφωνία των αποτελεσμάτων φανερώνει την αξιοπιστία του αριθμητικού ομοιώματος. 5.2. Συγκρίσεις με τα αριθμητικά αποτελέσματα των Rojanakamthorn et al (99) Στην εργασία των Rojanakamthorn et al (99), [9], παρουσιάζεται αριθμητικό ομοίωμα βασισμένο στη γραμμική θεωρία κυματισμών για τη διερεύνηση της αποτελεσματικότητας βυθισμένων, διαπερατών κυματοθραυστών. Ο βυθισμένος κυματοθραύστης είναι ορθογωνικής διατομής κατασκευασμένος από ισότροπο και ομογενές υλικό. Στα σχήματα 5(α) και 5(β) παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τις δύο αριθμητικές μεθόδους. Όπως φαίνεται στα συγκεκριμένα σχήματα, τα αποτελέσματα βρίσκονται σε ικανοποιητική συμφωνία. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κατασκευής ήταν B=3m, F/h= ενώ τα χαρακτηριστικά του πορώδους υλικού, α=32, λ=9, c r = και Kp=3.37-7 m 2. Οι συντελεστές διάδοσης είναι μικρότεροι από αυτούς που μετρήθηκαν σε μη διαπερατή κατασκευή με παρόμοια γεωμετρικά χαρακτηριστικά [6], λόγω της επιπλέον απώλειας της ενέργειας στο πορώδες μέσο. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στη συγκεκριμένη εργασία παρουσιάζεται ένα αριθμητικό μοντέλο διασπειρόμενων κυματισμών το οποίο βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq και εφαρμόζεται στην περίπτωση βυθισμένων διαπερατών κυματοθραυστών περιλαμβάνοντας παράλληλα και τη θραύση των κυματισμών στην κατασκευή. Παρουσιάζεται η σύζευξη του ολοκληρωμένου στο βάθος κυματικού μοντέλου με ένα δισδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο για την επίλυση της ροής στο πορώδες μέσο, στο σώμα της βυθισμένης κατασκευής. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με δημοσιευμένα πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα γεγονός που επιβεβαιώνει την αξιοπιστία του μαθηματικού ομοιώματος. Το αριθμητικό μοντέλο εφαρμόζεται σε τυπικές συνθήκες για τον ελληνικό χώρο και μελετάται το φαινόμενο της ανταλλαγής μάζας ρευστού μέσω της πορώδους διεπιφάνειας, η διαμόρφωση του δυναμικού και του πεδίου ταχυτήτων στο σώμα της βυθισμένης κατασκευής και αποτυπώνεται η δυναμική συμπεριφορά της μάζας νερού στο πορώδες μέσο κάτω από την επίδραση θραυόμενων κυματισμών. 5.3. Εφαρμογή του αριθμητικού μοντέλου Το αριθμητικό μοντέλο εφαρμόζεται με σκοπό να διερευνηθεί και να παρουσιαστεί η διαμόρφωση του δυναμικού και του πεδίου ταχυτήτων στο σώμα της κατασκευής, στην περίπτωση κυματαγωγού με βάθος ίσο προς 4m και περίοδο κύματος Τ= 5 sec. Το βάθος αυτό προσεγγίζει ρεαλιστικά τα βάθη στα οποία εφαρμόζονται οι βυθισμένοι κυματοθραύστες για την μερική προστασία ακτών (κυρίως από τη διαβρωτική δράση των κυματισμών, εξαιτίας της μείωσης της καμπυλότητας του κύματος που πλήττει την ακτή). Επίσης η συγκεκριμένη περίοδο είναι τυπική για τους κυματισμούς στον παράκτιο χώρο της Ελλάδας. Το ελεύθερο ύψος πάνω από τον κυματοθραύστη είναι 2m. Η διαπερατότητα της κατασκευής είναι K=. m/s και το υλικό κατασκευής θεωρείται ομογενές και ισότροπο με χαρακτηριστικά α=, c r = και λ=.4. Στο σχήμα 6 φαίνεται η διαμόρφωση του δυναμικού και του πεδίου ταχυτήτων κατά τη διάρκεια της περιόδου του εξεταζομένου κύματος καθώς και οι ταχύτητες εισροής και εκροής στο πορώδες μέσο που διαμορφώνονται στη διεπιφάνεια θάλασσας-κυματοθραύστη. Έτσι, διαμορφώνονται περιοχές στο σώμα του κυματοθραύστη στις οποίες παρατηρείται εισροή νερού και αντίστοιχες περιοχές από τις οποίες παρατηρείται εκροή προς τη θάλασσα. z (m) d f(z,t) x (m) f(z,t) d /dz MSL f(z,t) Σχήμα 3: Διαπερατός, βυθισμένος κυματοθραύστης, Οριακές συνθήκες, γεωμετρία και σημειολογία του εξεταζόμενου προβλήματος. Figure 3: Permeable, submerged breakwater, Boundary conditions and definition sketch of the examined problem.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 27 7 6 5 Lee et al (996) Present model present model Rojanakamthorn (989) Ct Ct 4.4 3 2.4.2.6 2 2.4 kh.4.8 2 6 h o /L o Lee et al (996) Present model present model Rojanakamthorn (989) Cr Ct.4.4.2.6 2 2.4 kh Σχήμα 4: Συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε μονολιθικό, διαπερατό, βυθισμένο κυματοθραύστη. Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων (Lee & Huang, 996). Figure 4: Reflection and transmission coefficients in a monolithic, permeable, submerged breakwater. Comparison of numerical and experimental results (Lee & Huang, 996)..4.8 2 6 h o /L o Σχήμα 5: Συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε μονολιθικό, διαπερατό, βυθισμένο κυματοθραύστη. Σύγκριση με τα αριθμητικά αποτελέσματα των Rojanakamthorn et al (99). Figure 5: Reflection and transmission coefficients in a monolithi, permeable, submerged breakwater. Comparison with the numerical resultsof Rojanakamthorn et al (99).

28 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 (A) (B).4 4.4 4.35 4.3 4.25 4.2 4.5 4. 4.5 4 3.95 3.9 3.85 3.8.4 t.4 (A).4. m/s (B).4 4.3 4.25 4.2 4.5 4. 4.5 4 3.95 3.9 3.85 3.8 3.75 3.7.4 t+t/4.4.4. m/s (A) (B).4 4.2 4.5 4. 4.5 4 3.95 3.9 3.85 3.8 3.75 3.7 3.65 3.6.4 t+t/2.4.4.m/s Σχήμα 6: Εφαρμογή του αριθμητικού μοντέλου στην περίπτωση διαπερατού, βυθισμένου κυματοθραύστη. Διαμόρφωση των πεδίων δυναμικού Φ (m 2 /s) και ταχύτητας κατά τη διάρκεια της κυματικής περιόδου στο σώμα της κατασκευής. Figure 6: Application of the numerical model in the case of permeable, submerged, monolithic breakwater. Potential field Φ (m 2 /s) and velocity field formulation in the body of the structure during the wave period.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 29 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Iwata K., Kawasaki K., Kim D.-S. (996) Breaking limit, breaking and post breaking wave deformation due to submerged structures, Proc. 25 o Intr. Conf. Coastal Engineering Conference, A.S.C.E., pp. 2338-235. 2. Karambas Th. V., (999), A unified model for periodic non linear dispersive wave in intermediate and shallow water, Journal of Coastal Research, vol. 5,, pp.28-39. 3. Kriezi E. E., Karambas Th. V., Prinos P., Tilegrafos A., Gironella X. and Mosso C. (999) Reflection and transmission for submerged and rubble-mound breakwater, Coastal Structures 99, ed Losada, pp. 689-696. 4. Lee, J. F., Huang, S., (996), Wave interaction with submerged porous structures, Proceedings of 8 th Chinese Conference on Coastal Engineering, pp. 273-282 (in Chinese). 5. Losada, I. J., Silva, R., And Losada, M.A., (996). 3-D non breaking regular wave interaction with submerged breakwaters, Coast. Engrg., 28, 229-248. 6. Mizutani, N., Mostafa, A.M. and Iwata, K. (998) Nonlinear regular wave, submerged breakwater and seabed dynamic interaction, Coast.Engrg., 33, 77-22. 7. Rivero, F., Archilla, A., Ginorella, X. and Connors, A. (998) Largescale hydrodynamic experiments in submerged breakwaters, Proc., Coast. Dyn. 97, ASCE, Reston, Va.,754-762. 8. Rojanakamthorn, S., Isobe, M., Watanabe, A., (989), A mathematical model of wave transformation over a submerged breakwater, Coastal Engineering in Japan, Vol. 32, No 2, pp. 29-234. 9. Rojanakamthorn, S., Isobe, M., Watanabe, A., (99), Modeling of wave transformation on submerged breakwater, Coastal Engineering, Chapter 8, pp. 6-73.. Wei G. and Kirby T. (995). Time-dependent numerical code for extended Boussinesq equations. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, vol. 2, no 5, pp. 25-26.. Losada I. J., M.D. Petterson and M.A. Losada, (997) Harmonic generation past a submerged porous step. Coastal Engineering, vol. 3, pp. 28-34. 2. Madsen, P. A, Murray R. and Sorensen O. R. (99). A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics. Coastal Engineering, vol. 5, pp. 37-388. 3. Cruz, C., Isobe, M., Watanabe, A., (992), Nonlinear wave transformation over a submerged permeable breakwater, Proc. 23 rd Coastal Engineering Conf., ASCE, pp. -4. 4. Cruz, C., Isobe, M., Watanabe, A., (997), Boussinesq equations for wave transformation on porous beds, Coastal Engineering, 3, pp. 25-54. 5. Miche, R., (95), Le pouvoir reflechissant des ouvres maitime exposes a l action de la houle, (in French), Annales Ponts et Chausses, 2 Annee, pp. 285-39. 6. Ε. Β. Κουτάντος, Χ. Γ. Kουτίτας, (22), Θραυόμενοι κυματισμοί σε βυθισμένο μονολιθικό κυματοθραύστη, Υδροτεχνικά, υποβλήθηκε προς δημοσίευση. 7. Requejo S., C. Vidal. I. J. Losada (22) Modelling of wave loads and hydraulic performance of vertical peremable structures, Coastal Engineering, 2. Ε. Β. Κουτάντος Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Μεταπτυχιακός Ερευνητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 54 6 Θεσσαλονίκη Θ. Β. Καραμπάς Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών, Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων, Τέρμα Μαγνησίας, 62 24, Σέρρες Χ. Γ. Κουτίτας Καθηγητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος,Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 54 6 Θεσσαλονίκη

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Extended summary Wave Propagation and Reflection over Submerged Permeable Breakwaters Ε. V. KΟUTANDOS TH. V. KARAMBAS C. G. ΚΟUTITAS Civil Engineer A.U.TH. Professor of T.E.I. of Serres Professor A.U.TH. Summary The efficiency of submerged, permeable breakwaters is studied in the present paper, using a finite-difference, mathematical model based on the Boussinesq type equations. Numerical results are compared to published experimental and numerical results satisfactorily. The flow in the porous medium is studied solving implicitly the Laplace equation for the potential of flow Φ in a 2dv computational grid using the appropriate boundary conditions. The time variable boundary conditions are provided by the wave model. The calculation of flow potential in the porous medium makes possible the determination of the velocity field in the permeable structure.. INTRODUCTION Submerged monolithic breakwaters have been widely used for coastal protection as energy dissipators and sediment transport controllers. The incident wave is partially transmitted, partially reflected and partially dissipated. Energy is dissipated mainly due to wave breaking and through the generation of eddies at the edges of the breakwater. Efficiency of the submerged, monolithic breakwater depends on the free board, the crest width and the permeable material characteristics in the case of permeable structure. In the present work a finite difference depth-averaged wave propagation model is developed coupled with a 2DV model for the determination of the flow field in the porous medium and its impact on the wave characteristics. 2. THE NUMERICAL MODEL 2.. The wave model The wave propagation model is based on the Boussinesq type equations. The model is applied in shallow and intermediate waters for which d/l< and can mainly describe waves of period 2-7 secs. The mathematical model Submitted: Mar. 28. 22 Accepted: Sep. 3. 23 is composed by equations and 2, [2], [2]: 2.2. Wave breaking over the submerged structure In [9], a semiempirical criterion is presented for wave breaking over submerged, porous breakwaters (equation 6 and figure ). A similar semiempirical criterion was presented in [5]. A comparative presentation of the two criteria is presented in figure 2. The criterion described by equation 6 is adopted in the present model. The simulation of the energy loss occurring in the specified area mainly due to wave breaking is introduced in the wave model via an artificial eddy viscocity coefficient (equation 3) applied in breakwater regions in which the breaking criterion is valid. At the right hand side of the momentum equation an additional term is added (equation 3). Excessive friction is also represented in the wave model via an additional term (equation 5) in the right hand side of the momentum equation. 3. ANALYSIS OF THE FLOW FIELD IN THE POROUS MEDIUM As it is seen in fig., the flow field in the two dimensional porous region is determined by solving the Laplace equation (8), solved implicitly at every time step in conjunction with the appropriate time-variable, boundary conditions for the potential of the flow Φ provided by the wave model. The surface elevation at the computational nodes of the wave model can be used each time step in order to evaluate the pressure at the nodes of the top, right and left boundary of the 2dv computational domain using equation (9) proposed by Cruz et al (997) in [4]. After the calculation of the pressure at the nodes of the top, right and left boundary conditions, the flow potential at every node can be evaluated using the generalized Bernoulli s equation (). Therefore top, right and left

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 23, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 3 boundary conditions are a function of the surface elevation in the specified section and time (Φ=f(z,t)). At the porous region bottom the impermeable boundary condition is applied (equation 2). In the following, once the solution of the Laplace equation in the porous medium has provided, the potential at the inner computational nodes and the velocity field in the permeable region can be determined using equations 3 and 4. After the determination of the horizontal and vertical velocities in the porous region, the integration inside an elementary representative volume at the interface boundary provides the infiltration-exfiltration fluxes represented in the wave model continuity equation via the extra term at the right hand side of the equation. 4. COMPARISON AGAINST PUBLISHED EXPERIMENTAL AND NUMERICAL RESULTS 4.. Comparisons against Lee and Huang (996) experimental results Lee and Huang (996), [4], conducted experiments aiming at investigating wave interaction with submerged porous structures. The submerged breakwater is an homogeneous, isotropic structure with rectangular section. The medium properties are Kp=3.37* -9 m 2, α=.47, c r =.5, λ=.4, where, c r represents the inertia coefficient, Kp the intrinsic permeability of the porous medium, α the resistance coefficient and λ the porosity. Following the notations of figure 3, the geometric characteristics of the structure are: Β/(2h)=.268, F/h=5, h=m. Figure 4 depicts that the reflection coefficient numerical results of the present model, relate reasonably well with the experimental data. 4.2. Comparisons against the Rojanakamthorn et al (99) numerical results mathematical model is also presented on the basis of the modified mild-slope equation. The submerged breakwater is a homogeneous, isotropic structure of a rectangular section. Figures 5(α) and 5(β) shows that the numerical results of the present model, for the transmission and the reflection coefficients, are in reasonable agreement with the numerical results of the present model using a friction coefficient of order, O(f)=. Following the notations of figure 3, the geometric characteristics of the structure are: B=3m, F/ h=. The medium properties are α=32, λ=9, c r = και Kp=3.37* -7 m 2. 4.3. Application of the numerical model The mathematical model was applied to wave channel 4 m deep, representing a realistic depth related to the construction of a submerged breakwater protecting the coastal regions from erosion. The wave period was Τ= 5 sec which is typical for the coastal environment of Greece. The freeboard depth is 2m. The medium properties are K=. m/s, α=, c r =, λ=.4. In figure 6 the potential and velocity fields are depicted in the body of the structure during a wave period. The water mass exchange phenomenon (infiltrationexfiltration ) is clearly observed in the relevant figure. 5. CONCLUSIONS A finite difference numerical model is developed and tested for the investigation of the efficiency of permeable, submerged, monolithic breakwaters. The model is tested against experimental and numerical results in the case of wave breaking over the structure. The comparison show good agreement between the numerical results of the present model and the available experimental and numerical results. Analysis in the case of a permeable structure reveals the potential and velocity fields formed in the porous medium. The water mass exchange phenomenon (infiltrationexfiltration) is also examined and certain mechanisms that govern the phenomenon are at a certain degree revealed. Rojanakamthorn et al (99), [9], conducted experiments aiming at investigating wave interaction with submerged porous structures and deriving a breaking criterion for waves propagating over such structures. In this work, a Ε. V. Κoutandos Civil Engineer, Postgraduate Researcher, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.TH., 54 6 Thessaloniki. Th. V. Karambas Professor T.E.I of Serres, Dr Civil Engineer, Department of Civil Engineering, Terma Magnisias, 62 24 Serres. Ch. G. Κoutitas Professor, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.TH., 54 6 Thessaloniki.