2 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
Περιεχόμενα η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 4 3 η Άσκηση... 5 4 η Άσκηση... 7 Χρηματοδότηση... 9 Σημείωμα Αναφοράς... 0 Σημείωμα Αδειοδότησης... 2
Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 2 ης Διάλεξης η Άσκηση Η κατανομή unif(a,b) ορίζεται ως εξής:, 0, ύ Θεωρείστε ένα πρόβλημα δύο κατηγοριών/ενδεχομένων (ω και ω 2 ) και επιλύστε το ακόλουθο ερώτημα: Εάν οι εκ των προτέρων πιθανότητες είναι ίσες, βρείτε το όριο απόφασης και την πιθανότητα λάθους αν το ενδεχόμενο ω έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας unif(0,2) και το ενδεχόμενο ω 2 έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας unif(,4) χρησιμοποιώντας ένα «κατά Bayes» σύστημα λήψης απόφασης. Ενδεικτική λύση Οι εκ των προτέρων πιθανότητες είναι ίσες και επομένως ο κανόνας απόφασης του Bayes παίρνει τη μορφή: Αποφάσισε ω αν p(x/ω )> p(x/ω 2 ), διαφορετικά αποφάσισε ω 2 Η γραφική παράσταση που δείχνει τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των δύο κατηγοριών είναι η εξής: /2 /3 p(x/ω ) p(x/ω 2 ) 2 3 4 5 6 Το όριο απόφασης είναι προφανώς το x=2. Η πιθανότητα λάθους ισούται με το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου, δηλαδή ίσο με 2. 3
2 η Άσκηση Έστω οι δύο παρακάτω μονοδιάστατες κατανομές πυκνότητας πιθανότητας που αντιστοιχούν σε δύο κατηγορίες (πιθανές εκδοχές) ω και ω 2, αντίστοιχα: Θεωρείστε ότι P(ω )= P(ω 2 ). Βρείτε τις περιοχές απόφασης και την πιθανότητα λάθους αν εφαρμοστεί ένα «κατά Bayes» σύστημα λήψης απόφασης. Ενδεικτική λύση Οι εκ των προτέρων πιθανότητες είναι ίσες και επομένως ο κανόνας απόφασης του Bayes παίρνει τη μορφή: Αποφάσισε ω αν p(x/ω )> p(x/ω 2 ), διαφορετικά αποφάσισε ω 2 Η γραφική παράσταση που δείχνει τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των δύο κατηγοριών είναι η εξής: 0,5 (,5 0,5) ω ω 2 Το όριο απόφασης είναι προφανώς το x=,5, διότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή. Επίσης, για τον ίδιο λόγο το σημείο τομής τους έχει συντεταγμένες x=,5, y=0,5. 4
Η πιθανότητα λάθους ισούται με το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τριγώνου, δηλαδή ίσο με. 3 η Άσκηση Έστω οι δύο παρακάτω μονοδιάστατες κατανομές πυκνότητας πιθανότητας που αντιστοιχούν σε δύο κατηγορίες (πιθανές εκδοχές) ω και ω 2, αντίστοιχα: Θεωρείστε ότι P(ω )= 2 P(ω 2 ). Βρείτε τις περιοχές απόφασης και την πιθανότητα λάθους αν εφαρμοστεί ένα «κατά Bayes» σύστημα λήψης απόφασης. Ενδεικτική λύση O κανόνας απόφασης του Bayes έχει τη μορφή: Αποφάσισε ω αν p(ω /x)> p(ω 2 /x), διαφορετικά αποφάσισε ω 2 p(ω /x)> p(ω 2 /x) p(x/ω ) P(ω )> p(x/ω 2 ) P(ω 2 ) p(x/ω ) 2P(ω 2 )> p(x/ω 2 ) P(ω 2 ) p(x/ω ) 2 > p(x/ω 2 ) Η γραφική παράσταση που δείχνει τις εκ των υστέρων πιθανότητες των δύο κατηγοριών είναι η εξής: 5
2 πp p(ω /x) Α Δ p(ω 2 /x) Γ Β ω ω 2 Θα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο τριγώνων. Πρώτα θα βρούμε την ευθεία y = ax + b που περνάει από τα σημεία A(,2) και B(2,0) 0= 2a + b b= 2a b = 4 2 = a + b 2 = a 2a a = 2 y = 2x + 4 Στη συνέχεια θα βρούμε την ευθεία y = ax + b που περνάει από τα σημεία Γ(,2) και Δ(2,0) 0= a + b b= a b = = 2a + b = 2a a a = y = x Εξισώνοντας τις δύο ευθείες έχουμε: 2x + 4 = x 3x = 5 x =,67 y =,67 y = 0,67 Επομένως, το σημείο τομής τους έχει συντεταγμένες x=,67, y=0,67. Η πιθανότητα λάθους ισούται με το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τριγώνου, δηλαδή ίσο με. 6
4 η Άσκηση Υποθέστε ότι έχουμε ένα δισδιάστατο χώρο χαρακτηριστικών x=[x, x 2 ], δύο κατηγορίες/ενδεχόμενα ω και ω 2 και ότι οι p(x,x 2 ω ) και p(x,x 2 ω 2 ) ακολουθούν Κανονική κατανοµή µε τις ίδιες διασπορές σ 2 =4 και µέση τιµή μ =[2,8] και μ 2 =[8,2], αντίστοιχα. Έστω επίσης ότι P(ω)=4P(ω 2 ) Αν χρησιµοποιήσουµε ένα «κατά Bayes» σύστημα λήψης απόφασης:. Ποιες είναι οι δύο συναρτήσεις απόφασης g (x,x 2 ) και g 2 (x,x 2 ); 2. Ποιο είναι το σύνορο (όριο) απόφασης και τι μορφή έχει; Ενδεικτική λύση Οι συναρτήσεις απόφασης (διακρίνουσες συναρτήσεις) είναι οι εξής:, /,, /, /,, / Κανόνας απόφασης: Αν,, αποφάσισε ω, διαφορετικά αποφάσισε ω 2., 2 2, 2 2 Όριο απόφασης:,, 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 4 8 8 7
4 8 2 8 8 8 2 4 8 4 4 6 64 8 6 64 4 4 4 8 4 4 6 64 6 64 4 4 0 4 2 2 0 40 4. Το όριο απόφασης είναι μια ευθεία γραμμή της μορφής y=ax+b με a= και 4. Για να βρούμε ποια περιοχή είναι η ω και ποια η ω 2 αρκεί να δοκιμάσουμε ένα σημείο. Δοκιμάζουμε λοιπόν το (0,0): 0,0 0,0 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 2 8 8 2 40. Ισχύει, άρα 0,0 0,0, δηλαδή το σημείο (0,0) ανήκει στην ω. 0, 4 0,924 0, 4 0,924 x 2 ω ω 2 0 2 x 8
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 9
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 2 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων». Έκδοση:.0. Πάτρα 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt2. 0
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.