Εαρινό εξάμηνο 2011 09.03.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά 7 ο αιώνα π.χ 44 ο αιώνα μ.χ.
Ραφαήλ (1483-1520) 1520) «ΗΗ σχολή των Αθηνών» (~1510)
Ευκλείδης (325 265 π.χ.), (Αλεξάνδρεια) Έργα Στοιχεία εδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική Περί βαρέων και ελαφρών σωμάτων
Στοιχεία του Ευκλείδη («εισαγωγή στα μαθηματικά») Συλλογή από 13 βιβλία-κεφάλαια: ββλί Παρουσιάζονται με λογική σειρά οι βάσεις για τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής. ηλαδή βάσεις για την αριθμητική (θεωρία ρ αριθμών), για την γεωμετρία (σημεία, ευθείες, επίπεδα, κύκλοι, σφαίρες) και για την γεωμετρική άλγεβρα. Έτσι στηρίχτηκε κατά ένα μεγάλο μέρος στο έργο προηγούμενων μαθηματικών. Θεωρούμε ότι η διάταξη (σειρά) των προτάσεων είναι δική του όπως και πολλές από τις αποδείξεις. Τα βιβλία 1-6 αναφέρονται στη στοιχειώδη γεωμετρία του επιπέδου Τα βιβλία 7-9 αναφέρονται στη θεωρία των αριθμών. Το ββλί βιβλίο 10 αναφέρεται στους άρρητους. Τα βιβλία 11-13 αναφέρονται στη στερεομετρία.
Ιπποκράτης της Χίου (~470 π.χ 410 π.χ.) έγραψε και αυτός «Στοιχεία» Σ ί Θεαίτητος ο Αθηναίος(417 369 π.χ.) Αρχύτας ο Ταραντίνος (428 347 π.χ.) «περιστερά» Εύδοξος από την Κνίδο (408 355 π.χ.)
Οροι α. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. β. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. γ. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. δ. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. ε. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ς. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. ζ. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. η. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. θ. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. ι.ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν. ια.ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς. ιβ.ὀξεῖα δὲἡἐλάσσων ὀρθῆς. ιγ.ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. ιδ. Σχῆμά ἐστι τὸὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. Ιε. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ις. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. ιζ.διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον. ιη.ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν. ιθ.σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰὑπὸτριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰὑπὸπλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα. κ.τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς. κα.ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. κβ.τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. κγ.παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷἐπιπέδῳ οὖσαι καὶἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
Αἰτήματα α. Αιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. β. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν. γ. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. δ. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. ε. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Ορισμός 10: όταν μία ευθεία τέμνει μία άλλη έτσι ώστε οι εφεξής γωνίες να είναι ίσες, τότε οι γωνίες αυτές λέγονται ορθές και οι ευθείες κάθετες η μία προς την άλλη Αίτημα 4: όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες η μία προς την άλλη
Ορισμός 23: Παράλληλες είναι οι ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και που δεν τέμνονται Αίτημα 5: Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός ς και επί τα αυτά» γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες.
Πρόταση 1, βιβλίο 1
Πρόταση 1 Με πλευρά δοθέν ευθύγραμμο τμήμα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο ίνεται το ΑΒ κατασκευή κύκλου με κέντρο το Α, κύκλου με κέντρο το Β (ακτίνα ΑΒ) έστω C το σημείο τομής Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων Χρησιμοποιεί: 1. Αίτημα 3 (κατασκευή κύκλου) 2. Αίτημα 1 (κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος) 3. Κοινή έννοια 1 (ίσα προς τρίτο και μεταξύ τους ίσα)
Πρόταση 32, βιβλίο 1
Πρόταση 47, (Πυθαγόρειο Θεώρημα)
Στο παραπάνω σχήμα: ΑΒ =ΒΓΖ, ΑΒ =1/2 κόκκινου Β ΛΜ, ΒΓΖ=1/2 ΒΖΗΑ Άρα ΒΖΗΑ=κόκκινο Β ΛΜ ΒΖΗΑ+ΑΓΚΘ=ΒΓΕ ΑΓΚΘ=κόκκινο ΛΜΓΕ
Κατασκευή τετραγώνου (ορ. 22 ισόπλευρα+ορθογώνια) με δοθείσα πλευρά, (πρόταση 46) Κατασκευή ευθείας κάθετη προς δοθείσα ευθεία, πρ. 11. Κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσου με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και με δεδομένο το ένα άκρο, (πρ. 2) Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρ. 1) Αν δύο τρίγωνα έο έχουν δύο πλευρές ίσες αντίστοιχα α και τις βάσεις τους ίσες, τότε η γωνία η περιεχόμενη από τις ίσες πλευρές είναι ίση, (πρ. 8) Κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσου με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και με δεδομένο το ένα άκρο, (πρ. 2)
Κατασκευή τετραγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρόταση 46) Κατασκευή παραλλήλου από δοθέν σημείο προς δοθείσα ευθεία, (πρ. 31) Αίτημα 1(από δύο διαφορετικά σημεία περνάει μία ευθεία) Κατασκευή γωνίας ίση προς δοθείσα γωνία, της οποίας δίνεται η μία πλευρά και η κορυφή της επί δεδομένης ευθείας, (πρ.23) Αίτημα 2(το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα) Αν οι εντός και εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (πρ. 27) Σε κάθε τρίγωνο, κάθε εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε εντός και απέναντι γωνία του, (πρ. 16) να διχοτομηθεί δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα (πρ. ρ 10) κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου (πρ. 1) να διχοτομηθεί δοθείσα γωνία (πρ. 9) δύο τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, θα έχουν και τις τρίτες πλευρές ίσες και θα είναι ίσα, δηλ. θα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους, (πρ. 4) αίτημα 2 πρ. 2 (κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσο με δεδομένο) πρ. 15: αν δύο ευθείες τέμνονται, σχηματίζουν τις κατακορυφήν γωνίες ίσες μεταξύ τους (πρ. 13) αν ημιευθεία συναντήσει ευθεία και σχηματισθούν γωνίες, τότε είτε αυτές είναι ορθές, είτε το άθροισμά τους είναι δύο ορθές. κοινές έννοιες (άθροισμα και αφαίρεση ίσων σε (από) ίσα
Κατασκευή τετραγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρόταση 46) Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε οι εντός-εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (πρ. 29) Πρ. 13 Οι γωνίες είναι ορθές ή το άθροισμά τους είναι ίσο με δύο ορθές. Αίτημα 5 (αν εντός και επί τα αυτά άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές τότε οι ευθείες τέμνονται) πρώτη πρόταση που χρειάζεται το αίτημα 5 Κοινό αξίωμα (ισότητα προς τρίτο και μεταξύ τους ίσα)
Πυθαγόρειο Θεώρημα, πρ. 47, απόδειξη συνέχεια αίτημα 4: όλες οι ορθές γωνίες ίσες μεταξύ τους Πρ. 41: αν ένα παραλληλόγραμμο έχει την ίδια βάση με τρίγωνο που περιέχεται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από αυτό του τριγώνου Πρόταση 48: θέτει και αποδεικνύει την αντίστροφη πρόταση του Πυθαγορείου Θεωρήματος!
Το τετράγωνο είναι ένα σχήμα. Στο Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε άθροισμα τετραγώνων. Τι σημαίνει αυτό? Οπότε τι σημαίνει εμβαδόν? (δεν είναι ανάμεσα στους ορισμούς!
Γεωμετρική Άλγεβρα Βιβλίο 2 (γενικευμένο παράδειγμα) a (b+c+d)= a b+ a c +a d
Πρόταση 4, βιβλίο 2, Στοιχεία: Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί από σημείο σε δύο τμήματα, το τετράγωνο του όλου τμήματος είναι ίσο με τα τετράγωνα των δύο τμημάτων και το διπλάσιο ορθογώνιο που ορίζουν τα δύο τμήματα
Α ΘΚ+ΛΕΗΘ =ΓΕΖΒ
Πρόταση 5, βιβλίο 2, Στοιχεία Αν ευθ. τμήμα διαιρεθεί από το μέσο του σε δύο ίσα τμήματα και από ένα σημείο του σε δύο άνισα τμήματα, το ορθογώνιο που ορίζουν τα άνισα τμήματα μαζί με τετράγωνο που έχει πλευρά το τμήμα με άκρα τα σημεία διαίρεσης είναι ίσα με το τετράγωνο που έχει πλευρά το μισό του αρχικού τμήματος. ADHK+LEGH=CBFE
Βιβλίο 2
Πρόταση 11, βιβλίο 2, Στοιχεία Να διαιρεθεί δοθέν τμήμα ώστε το ορθογώνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος. Ερμηνεία: τμήμα =ΑΒ=α, ΑΒDC τετράγωνο, χωρίζουμε ΑΒ σε ΑΗ και ΗΒ. θέλουμε το x=ah να είναι τέτοιο ώστε HBDΚ =HGFA. Λύση: Έστω Ε το μισό του AC, ΕF=EB AFGH τετράγωνο τότε ΑΗ=x
Βιβλίο 7 Βιβλίο 9 Θεωρία Αριθμών
Υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων, βιβλίο 9, πρ. 20 «Αν δοθεί οποιοδήποτε πλήθος πρώτων αριθμών τότε υπάρχουν πάντα περισσότεροι από αυτό το πλήθος» Ορισμός 12: πρώτος λέγεται ο αριθμός που μετριέται μόνο από τη μονάδα Απόδειξη με γενικευμένο παράδειγμα (δίνονται 3 πρώτοι και αποδεικνύεται ότι υπάρχει τέταρτος) και με εις άτοπον απαγωγή.
Παρένθεση: Η συνάρτηση ζ(s) του Riemann (1826-1866) και Κατανομή πρώτων αριθμών (1859) Η υπόθεση του Riemann: τα μη τετριμμένα μηδενικά της ζ(s) ) έχουν τη μορφή ½+i t όπου t πραγματικός.
Παρένθεση: Η συνάρτηση ζ(s) του Riemann (1826-1866) και Κατανομή πρώτων αριθμών (1859) Όταν Re(s)>1 τότε Και όταν 0< Re(s)<1 ισχύει (τα s=-2,-4, μηδενίζουν την ζ(s) και είναι τα τετριμμένα μηδενικά της)
Βιβλίο 12 a: A= d : D 2 2 (δες διάλεξη 2.03.11 και Εύδοξος)
Στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη υπάρχουν κάποια κενά και ελλείψεις (χρειάζονται και άλλοι ορισμοί και αξιώματα.) ) ενδεικτικά 1.1: κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου: γιατί οι δύο κύκλοι τέμνονται? Ορισμός εμβαδού? Πλήρης αξιωματοποίηση της Ευκλείδιας (3-διάστατης) γεωμετρίας επιχειρήθηκε από τον Hilbert το 1899 στο βιβλίο του Grundlagen der Geometrie (βάσεις της Γεωμετρίας). Πρότεινε 21 αξιώματα, (χρησιμοποίησε 9 πρωταρχικές έννοιες (3 όρους: σημείο, ευθεία, επίπεδο και 6 βασικές σχέσεις για αυτές τις έννοιες, όπως ανήκει και ισότητα). Το 1902 αποδείχτηκε ότι ένα από τα 21 αξιώματα ήταν περιττό.
David Hilbert: 1862-1943 Γερμανία Συλλογή 23 προβλημάτων το 1900 στο διεθνές συνέδριο σο Παρίσι (υπόθεση του Riemmann, Goldbach) Πανεπιστήμιο του Göttingen από το 1895 69 Ph.D., Felix Bernstein, Hermann Weyl Richard Courant, Erich Hecke, Wilhelm Ackermann Ernst Zermelo, John von Neumann, Emmy Noether
Στη Θεωρία των αναλλοίωτων ο Hilbert το 1888 απέδειξε θώ θεώρημα ύπαρξης πεπερασμένου σύνολο γεννητόρων Gordan : Das ist nicht iht Mathematik. tik Das ist Theologie. (απορρίπτοντας την πρώτη φορά την εργασία στο Math. Annalen ) 1920: πρόγραμμα ρα α του Hilbert =«μεταμαθηματικά». εα αθη α ά Ήθελε να δείξει ότι 1. Όλα τα μαθηματικά παράγονται από ένα σωστά διαλεγμένο πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων και 2. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι συνεπές όμως το 1931 ο Godel με το Θεώρημα της μη πληρότητας απέδειξε έδεξε ότι είναι αδύνατο α να αποδειχθεί οδεχθε η συνέπεια ή ασυνέπεια.
Βραβεία στα μαθηματικά: Fields medal (αντίστοιχο του Nobel 15,000 $ κάθε 4 χρόνια 1936, 1950) Προκήρυξη για 1 εκατομμύριο δολλάρια Clay Mathematics Institute: Riemann hypothesis, Poincaré conjecture, Hodge conjecture, Swinnerton Dyer conjecture, solution of the Navier Stokes equations, formulation of Yang Mills theory, and determination of whether NP problems are actually P problems.
Η εικασία του Poincaré (1904) στη Τοπολογία Perelman (1966-) Ρωσία 2002 (η απόδειξη) 2006 (η αποδοχή) 2006: Fields medal [κάθε 4 χρόνια] (αρνήθηκε) 2010: βραβείο 1,000,000 $ Clay Institute (αρνήθηκε) ρ ή η
Ασκήσεις Να συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες στην απόδειξη της πρότασης 12.2 [Στοιχεία] Να αποδείξετε τη μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. Να επιχειρηματολογήσετε γιατί ο Ευκλείδης δε χρησιμοποίησε αποδείξεις όπως στις διαφάνειες 6 και 7, (28.2.11) για την απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
Να αποδείξετε την πρόταση 211 2.11, [Στοιχεία] Να χρησιμοποιήσετε τη πρόταση 2.11 για να βρείτε τη γραφικά τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Η επόμενη πρόταση περιγράφει τον τρόπο εύρεσης του κέντρου δοθέντος κύκλου. Να κάνετε το αντίστοιχο σχεδιάγραμμα και να αποδείξετε (σύγχρονα) την αντίστοιχη πρόταση. Να εξηγήσετε την απόδειξη της πρότασης 920 9.20, [Στοιχεία] ί για την πληθυκότητα των πρώτων αριθμών.