Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 10: Δυναμοσειρές Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ορισμός. Σύγκλιση. Παραγώγιση/ολοκλήρωση. Σειρές Taylor και Maclauri. 4
Στόχοι Μέσα από αυτήν την ενότητα, οι φοιτητές θα μπορούν να εξετάζουν τη σύγκλιση δυναμοσειρών, θα μάθουν να παραγωγίζουν και να ολοκληρώνουν δυναμοσειρές, θα είναι σε θέση να προσεγγίζουν συναρτήσεις με πολυωνυμικές εκφράσεις. 5
Δυναμοσειρές Δυναμοσειρά της μεταβλητής x με κέντρο το x 0 καλείται μια σειρά της μορφής 0 a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) 0 0 1 0 0 όπου οι αριθμοί a,, αποτελούν τους συντελεστές της δυναμοσειράς. τα μερικά αθροίσματα της σειράς είναι πολυώνυμα του x Δυναμοσειρά με κέντρο το x = 0 καλείται μια σειρά της μορφής 0 ax a0 a1x ax 6
Σύγκλιση (1/3) Η δυναμοσειρά 0 0 ax ax συγκλίνει για x = x 0, όταν η σειρά 0 είναι συγκλίνουσα. Κάθε δυναμοσειρά axσυγκλίνει για x = 0, αφού Παράδειγμα 0 0 x 0: a0 a a 0... a 0... a Για ποιες τιμές του x συγκλίνει η δυναμοσειρά ; 0 1 0 0 x 7
Σύγκλιση (2/3) Αν μια δυναμοσειρά συγκλίνει για κάποιο x = x 0 0, τότε συγκλίνει απολύτως για κάθε x με x x. Αν μια δυναμοσειρά δε συγκλίνει για κάποιο x = x 0 0, τότε θα δε συγκλίνει για κανένα x με x x. Για μια δυναμοσειρά 0 ax συγκλίνει μόνο για x = 0, θα ισχύει μία από τις περιπτώσεις: συγκλίνει για κάθε x, υπάρχει R > 0, για τον οποίο η δυναμοσειρά συγκλίνει απολύτως όταν x R και αποκλίνει όταν x R. ακτίνα σύγκλισης 0 0 8
Για μια δυναμοσειρά Σύγκλιση (3/3) 0 ax, αν 1 a R ή R lim ( R 0 ή R ) τότε: lim a a 1 α) αν R = 0, η δυναμοσειρά συγκλίνει μόνο για x = 0, β) αν R = +, η δυναμοσειρά συγκλίνει για κάθε x, γ) αν R (0, + ), η δυναμοσειρά συγκλίνει όταν x < R και δε συγκλίνει όταν x > R. δεν εξάγεται συμπέρασμα για x = R, οπότε οι περιπτώσεις όπου x = ±R εξετάζονται ξεχωριστά 9
Παραγώγιση /ολοκλήρωση δυναμοσειράς Αν η δυναμοσειρά a ( x x ) έχει ακτίνα σύγκλισης R > 0, 0 τότε η συνάρτηση που ορίζεται ως στο διάστημα (x 0 R, x 0 + R) είναι παραγωγίσιμη, με και ολοκληρώσιμη, με 0 0 f( x) a ( x x ) f ( x) a ( 0) x x 1 a 0 1 1 f( x) dx ( x x0) c 1 1 10
Σειρές Taylor και Maclauri Αν μια συνάρτηση f μπορεί να αναπαρασταθεί με μια δυναμοσειρά, δηλ. αν τότε αυτή θα είναι της μορφής f( x) a ( x x ) που αποτελεί τη σειρά Taylor της συνάρτησης f γύρω από το x 0. 0 *Για x 0 = 0, η σειρά ονομάζεται σειρά Maclauri. Μια συνάρτηση δεν ισούται πάντα με τη σειρά Taylor/Maclauri που προκύπτει από τη συνάρτηση. f ( x ) f x x x ( ) 0 ( ) ( 0) 0! 0 11
Θεώρημα Taylor Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R, με + 1 συνεχείς παραγώγους στο διάστημα [a, b]. Αν x [a, b] με x x 0, τότε υπάρχει ξ μεταξύ των x και x 0, τέτοιος ώστε Όπου f( x) T( x) R( x) ( k) ( 1) f ( x0) k f () ξ T( x) ( x x0), R( x) ( x x0) k! ( 1)! k0 1 πολυώνυμο Taylor της f γύρω από το x 0 υπόλοιπο Αν για κάποιο x είναι lim R( x) 0, τότε ( ) f ( x0) f( x) ( x x0)! 0 12
Πολυώνυμα Taylor T () x 2 1 fx () 1 x T () x 8 T () x 5 13
Τέλος Ενότητας 14
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte259/ 15
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommos.org/liceses/by-c-d/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 16
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 17