Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 1

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά

3 Πίνακας Περιεχομένων B.10 Το Ανάπτυγμα TAYLOR Εισαγωγή Παρατήρηση Το Ανάπτυγμα TAYLOR - Ασκήσεις Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Ασκηση Ασκηση Παράδειγμα Ασκηση Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα... 8 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 3

4 10..7 Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Πρόβλημα... 9 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 4

5 B.10 Το Ανάπτυγμα TAYLOR 10.1 Εισαγωγή Τα πολυώνυμα είναι οι πιο απλές συναρτήσεις που εμφανίζονται στην ανάλυση και διευκολύνουν σημαντικά τους υπολογισμούς, αριθμητικούς και αναλυτικούς. Έτσι, πολλές φορές επιθυμούμε να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση, όταν αυτή είναι πολύπλοκη, με ένα πολυώνυμο, αρκεί η διαφορά της συνάρτησης από την πολυωνυμική της προσέγγιση να είναι αρκετά μικρή. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να προσεγγίσουμε μια δεδομένη συνάρτηση με πολυώνυμα. Η επιλογή εξαρτάται από την χρήση της προσέγγισης αυτής. Εδώ ενδιαφερόμαστε να βρούμε ένα πολυώνυμο που να έχει την ίδια τιμή με την συνάρτηση f και τις παραγώγους της σε ένα δεδομένο σημείο. Για παράδειγμα αν προσεγγίσουμε την f με ένα γραμμικό πολυώνυμο, αν δηλαδή γράψουμε τότε θα ισχύει f P c c και f P c 1 0 f P c 1 1 δηλαδή το πολυώνυμο και η παράγωγος θα έχουν την ίδια τιμή στο σημείο,f. Αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι η γραφική παράσταση του πολυωνύμου P είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f() στο σημείο (α, f(α)). Αν τώρα προσεγγίσουμε την συνάρτηση f με ένα πολυώνυμο P δευτέρου βαθμού f P c c c 0 1 τότε θα ισχύει, f P c, f P c 0 1 f P c έχουμε δηλαδή σύμπτωση της συνάρτησης αλλά και των δύο πρώτων παραγώγων στο σημείο (α, f(α)). Τώρα η γραφική παράσταση του P όχι μόνο είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (α, f(α)) αλλά έχει και την ίδια καμπυλότητα με την γραφική παράσταση της f στο σημείο (α, f(α)). Ας θεωρήσουμε επομένως ότι η συνάρτηση y f() είναι παραγωγίσιμη μέχρι τάξεως (n+1), σε κάποιο διάστημα Ι που περιέχει το σημείο =α. Προσπαθούμε τώρα να βρούμε ένα πολυώνυμο y Pn, βαθμού n, του οποίου η τιμή στο σημείο να ισούται με την τιμή της συνάρτησης f στο ίδιο σημείο και επίσης οι τιμές των παραγώγων του μέχρι τάξεως n στο σημείο να ισούνται με τις τιμές των αντιστοίχων παραγώγων της συναρτήσεως f στο ίδιο σημείο. Δηλαδή θέλουμε να έχουμε P f, P f, P f,... P f (1.1) n n n n n Eίναι φυσικό να περιμένουμε, σύμφωνα με τα παραπάνω, ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο θα βρίσκεται κατά κάποιο τρόπο πολύ "κοντά" στην συνάρτηση f. Εάν το πολυώνυμο μορφή Pn είναι εκπεφρασμένο σε δυνάμεις του τότε αυτό θα έχει την Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 5

6 n n 0 1 n P c c c... c (1.) Για τον προσδιορισμό των συντελεστών c k, k 0,1,...,n χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1.1) και έχουμε n 0 P c f n1 P c c... nc c f (1.3) 1 n 1 όπου P c 3c... n n 1 c c f n n 3 n... n n P n!c f n n n f f c0 f, c1 f, c,...,cn (1.4)! n! Με την βοήθεια των σχέσεων (1.4) το πολυώνυμο (1.) γράφεται Εάν συμβολίσουμε με Το n f f f n Pn f... (1.5) 1!! n! Rn την διαφορά της συναρτήσεως f και Pn έχουμε n n f f f f Pn Rn f... Rn (1.6) 1!! n! Rn ονομάζεται υπόλοιπο και όταν είναι σχετικά "μικρό" το πολυώνυμο Pn "καλή" προσέγγιση για την συνάρτηση f. Αποδεικνύεται ότι το υπόλοιπο Rn όπου το ξ είναι μεταξύ του α και του. μπορεί να πάρει την μορφή (Lagrange) n n1 f n 1! R n1 θεωρείται Η σχέση (1.6) ονομάζεται ανάπτυγμα Taylor με υπόλοιπο (και όταν =0 ανάπτυγμα Maclaurin με υπόλοιπο) για την συνάρτηση f(). Eάν στην σχέση (1.6) το n τότε θα έχουμε n n f f f n f n f f... (1.8) 1!! n! n0 n! Η σχέση 1.8) ονομάζεται ανάπτυγμα Taylor, (και όταν α=0 ανάπτυγμα Maclaurin) για την συνάρτηση f(). Τα διάφορα P 1, P,..., P n με τα οποία, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, προσεγγίζουμε την συνάρτηση ονομάζονται πολυώνυμα Taylor Παρατήρηση Η ενότητα αυτή περιλαμβάνει και άλλα θέματα όπως η σύγκλιση των σειρών, μορφές και υπολογισμοί του υπολοίπου κ.α. τα οποία όμως αποτελούν αντικείμενο επόμενου μαθήματος. (1.7) Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 6

7 10. Το Ανάπτυγμα TAYLOR - Ασκήσεις Παράδειγμα Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f e σε σειρά MacLaurin Παράδειγμα Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f Παράδειγμα Να αναπτυχθεί η συνάρτηση Παράδειγμα e σε σειρά McLaurin. f e σε δυνάμεις του 3. Να ευρεθούν οι πέντε πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος της f e για α= Παράδειγμα Να αναπτυχθεί σε σειρά MacLaurin η συνάρτηση f ln Παράδειγμα Να αναπτυχθεί σε σειρά MacLaurin η συνάρτηση f Παράδειγμα Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f Παράδειγμα ln σε δυνάμεις του -1. ln για 0. Να ευρεθούν οι πέντε πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος της f - ln σε δυνάμεις του Παράδειγμα Να αναπτυχθεί σε σειρά MacLaurin η συνάρτηση f sin Παράδειγμα Να ευρεθεί το ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης f sin στο σημείο Παράδειγμα f sin Παράδειγμα Να ευρεθούν οι πέντε πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος MacLaurin της f cos Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 7

8 Ασκηση Να αναπτυχθεί σε σειρά MacLaurin η f cos Ασκηση Να ευρεθεί το ανάπτυγμα της f tan Παράδειγμα 1 Να ευρεθούν οι πέντε πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος MacLaurin της Ασκηση 1 Να ευρεθούν οι 3 πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος Παράδειγμα 1 f sin Παράδειγμα 1 f tan f e tan f sin Παράδειγμα Να ευρεθεί το ανάπτυγμα McLaurin της f sinh 10.. Παράδειγμα Να ευρεθεί το ανάπτυγμα McLaurin thw f cosh Παράδειγμα Να ευρεθεί το ανάπτυγμα MacLaurin της f Παράδειγμα Να ευρεθεί το ανάπτυγμα της f 1 1 η συνάρτηση Παράδειγμα Να υπολογισθεί η βάση των φυσικών λογαρίθμων e με ακρίβεια Παράδειγμα Να υπολογισθεί το 0. e με ακρίβεια Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 8

9 10..7 Παράδειγμα Να υπολογισθεί το sin0.5 με ακρίβεια Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ln1.4 με προσέγγιση Παράδειγμα Να υπολογισθεί το όριο lim ln Παράδειγμα sin tan Να υπολογισθεί το όριο lim Παράδειγμα sin Να ευρεθεί το lim 3 0 Καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 που μπορούμε να την μελετήσουμε με την βοήθεια του κανόνα του L'Hopital. Μπορούμε Όμως να χειρισθούμε το θέμα με την βοήθεια του αναπτύγματος Taylor. Η τεχνική αυτή πολλές φορές αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιμη. 3 5 Επειδή sin... 3! 5! 3 5 και sin... 3! 5! έχουμε 5 sin 1 sin lim lim.... 3! 5! ! sin 1 Και επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής lim Το ίδιο θέμα μπορούμε να το μελετήσουμε με την βοήθεια του κανόνα του L' Hopital Παράδειγμα Να ευρεθεί το lim 0 sin tan Παράδειγμα sinh sin Να υπολογισθεί το όριο lim 0 cosh cos Πρόβλημα Η ολική σχετικιστική ενέργεια ενός σωματιδίου είναι Nα συγκριθεί η ενέργεια c E mc 1 αυτή με την κλασσική κινητική ενέργεια E 1 m. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 9

10 Σημειώματα Α) Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της Μαθηματικής Ανάλυσης προέρχεται από τις σημειώσεις του Επίκουρου Καθηγητή κ. Γεωργίου Ν. Μπροδήμα για τις ανάγκες διδασκαλίας του ομώνυμου μαθήματος στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Β) Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ν. Μπροδήμας. «Μαθηματική Ανάλυση. Ενότητα Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY191/ Γ) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Δ) Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ όσον υπάρχει). Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά 10