ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2) και έχει ταχύτητα u=(4,4) (θεωρούμε πρόβλημα δύο διαστάσεων). Στο σωματίδιο ασκείται μία μόνο δύναμη της οποίας η μία συνιστώσα αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο f(t)=(4t,4). Διατυπώστε τις εξισώσεις που διέπουν την κίνηση του σωματιδίου και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Euler με βήμα Δt=1 για να υπολογίσετε το διάνυσμα κατάστασης του σωματιδίου σε δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές (t=1 & t=2). 2. Ζωγραφίστε την δεύτερης τάξης καμπύλη Hilbert Β 2 καθώς και τις καμπύλες μικρότερης τάξης που απαιτούνται για να φτάσετε στο αποτέλεσμα. 3. Έστω ότι έχουμε το τετραγωνικό πλέγμα δειγμάτων μιας συνάρτησης f(x,y) που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Οι τιμές των δειγμάτων της συνάρτησης, από αριστερά προς τα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω είναι: 90, 120, 120, 120, 80, 80, 80, 130, 130, 70, 70, 130, 140, 140, 140, 90. Θέλουμε να σχεδιάσουμε μια προσέγγιση με ευθύγραμμα τμήματα της ισοσταθμικής καμπύλης f(x,y)=100 χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο marching squares. Σχεδιάστε την έξοδο του αλγορίθμου αυτού, υπολογίζοντας και το ακριβές σημείο όπου η προσέγγιση αυτή θα τμήσει τις πλευρές του πάνω αριστερά «κελιού». 4. Σε μια εφαρμογή διαθέτουμε δείγματα μιας συνάρτησης z=f(x,y) πάνω σε ένα τριγωνικό πλέγμα αποτελούμενο από ισόπλευρα τρίγωνα. Επιθυμούμε να δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο για την προσέγγιση ισoσταθμικών καμπύλών c=f(x,y) (c σταθερά) της συνάρτησης ανάλογο με τον αλγόριθμο marching squares. Πόσες και ποιες διαφορετικές περιπτώσεις ισόπλευρων τριγώνων έχουμε ανάλογα με τις τιμές της συνάρτησης στις κορυφές τους και ποια είναι η θέση του ευθύγραμμου τμήματος που προσεγγίζει την συνάρτηση σε κάθε περίπτωση; Θεωρούμε ότι οι κορυφές όπου οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες του c συμβολίζονται με λευκό κύκλο και αυτές όπου οι τιμές της συνάρτησης είναι μικρότερες του c με
μαύρο κύκλο. Πόσες και ποιες από αυτές τις περιπτώσεις είναι μοναδικές; Υπάρχουν «ασαφείς» περιπτώσεις όπως στην περίπτωση του αλγορίθμου marching squares, και αν ναι ποιες είναι αυτές; 5. Περιγράψτε τη διαδικασία για τον υπολογισμό των πιθανών τομών των δύο ακτινών και του κυρτού πολυγώνου που απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, θεωρώντας το πολύγωνο ως τομή ευθειών. 6 Περιγράψτε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα quadtrees για την αναπαράσταση εικόνων δύο τόνων (άσπρο-μαύρο) σε διάφορα επίπεδα λεπτομέρειας. 7 Σχεδιάστε σε μορφή δένδρου την αρθρωτή δομή που περιγράφεται από το παρακάτω τμήμα κώδικα OpenGL part1(); part4(); part3(); part9(); part2(); part5();
part6(); part8(); part7(); 8. Δύο σωματίδια p, q με μάζα m p =m q =2 είναι συνδεδεμένα με εικονικό ιδανικό ελατήριο μηδενικού μήκους ηρεμίας και σταθεράς ελατηρίου k=2. Τα σωματίδια κατά τη χρονική στιγμή t=0 έχουν θέσεις και ταχύτητες x p (0)=(0,0), x q (0)=(3,2), u p (0)=(0,0), u q (0)=(1,2) (θεωρούμε πρόβλημα δύο διαστάσεων). Διατυπώστε τις εξισώσεις που διέπουν την κίνηση των σωματιδίων και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Euler με βήμα Δt=1 για να υπολογίσετε τα διανύσματα κατάστασης των σωματιδίων σε δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές (t=1 & t=2). 9 α) Πως ορίζεται η κλασματική διάσταση; Ποια είναι η κλασματική διάσταση του χαλιού του Sierpinski που δημιουργείται αναδρομικά χωρίζοντας κάθε φορά ένα τετράγωνο σε 9 ίσα «υπο-τετράγωνα» και αφαιρώντας το κεντρικό; β) Υποθέτοντας ότι i) ο χρόνος που χρειάζεται για να γίνει η απεικόνιση μιας σκηνής με επίπεδη τοπική σκίαση είναι αμελητέος ii) ο χρόνος που χρειάζεται για τον υπολογισμό των χρωμάτων των patches μιας σκηνής με την τεχνική radiosity και της απεικόνισης της ίδιας σκηνής με την τεχνική ray tracing είναι ίδιος, ποια τεχνική από τις radiosity και ray tracing θα χρησιμοποιούσατε για να πετύχετε γρηγορότερη δημιουργία μιας σχεδιοκίνησης (animation) στην οποία η κάμερα κινείται μέσα σε
ένα δωμάτιο οι θέσεις των αντικειμένων του οποίου παραμένουν σταθερές; Εξηγήστε την απάντησή σας. γ) Το τετραδικό δέντρο (quad-tree) στα αριστερά της παρακάτω εικόνας αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη υποδιαίρεση του τετραγώνου στα δεξιά. Σε κάθε κόμβο, τα παιδία από τα δεξιά προς αριστερά αντιστοιχούν στα πάνω αριστερά, πάνω δεξιά, κάτω δεξιά και κάτω αριστερά τεταρτημόρια. Ζωγραφίστε την συγκεκριμένη υποδιαίρεση τοποθετώντας και τα αντίστοιχα γράμματα σε κάθε τετράγωνο. δ) i) Χρησιμοποιήστε την τεχνική BSP tree για να παραστήσετε την χωρική διάταξη των πολυγώνων που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. B Α C D E F G H Σχεδιάστε το σχετικό δένδρο ξεκινώντας από το πολύγωνο E, εξηγώντας τα βήματα σας. ii) Διασχίστε το δένδρο με τη μέθοδο forward-in-order και δώστε την σειρά επίσκεψης των κόμβων-πολυγώνων, εξηγώντας τον τρόπο διάσχισης. iii) Επαναλάβετε την κατασκευή του δένδρου ξεκινώντας αυτή τη φορά από το πολύγωνο A και διασχίσετε το με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Είναι η σειρά των πολυγώνων ίδια; ε) Προτείνετε μια απλή μέθοδο ελέγχου ύπαρξης τομής (ναι/όχι) μιας σφαίρας με μια ευθεία που να μην απαιτεί την εύρεση των σημείων τομής (αν υπάρχουν). 10. Σε δύο σωματίδια p, q με μάζα m p =m q =1 επιδρά μια ελκτική δύναμη της μορφής ± f = d 2 d όπου d = x p- x q και d συμβολίζει το μέτρο ενός διανύσματος. Τα σωματίδια
κατά τη χρονική στιγμή t=0 έχουν θέσεις και ταχύτητες x p (0)=(0,0), x q (0)=(2,4), u p (0)=(1,1), u q (0)=(0,4) (θεωρούμε πρόβλημα δύο διαστάσεων). Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Euler με βήμα Δt=1 για να υπολογίσετε τα διανύσματα κατάστασης των σωματιδίων στη χρονική στιγμή t=2.