Τι είναι Αποκοπή (clip)?
|
|
- Ίσις Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αποκοπή
2 Τι είναι Αποκοπή (clip)? Η διαδικασία απεικόνισης μόνο των τμημάτων των αντικειμένων που βρίσκονται μέσα σε μια περιοχή Από μεγαλύτερη 2Δ σκηνή στην οποία έχουμε ήδη τιμές για τα piels Κατά την διάρκεια της μετατροπής των αντικειμένων σε piel
3 Γιατί χρησιμοποιούμε αποκοπή ( clip)? Δεν υπάρχει λόγος να αναπαραστούμε αντικείμενο εκτός του παραθύρου θέασης (viewing window - clipping window)
4 Τι είναι η αποκοπή (clipping)? Αναλυτικός υπολογισμός των αναλογιών των σημείων τομής με το παράθυρο θέασης
5 Τι είναι Η διαδικασία απεικόνισης μόνο των τμημάτων των αντικειμένων που βρίσκονται μέσα σε μια περιοχή. Αποκοπή αντικειμένου (π.χ.ευθυγράμων τμημάτων, πολυγώνου) ως προς ένα συγκεκριμένο αντικείμενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραμίδα, κύβος). Το αντικείμενο αποκοπής ορίζει εκείνο το τμήμα του χώρου που ενδιαφέρει τον παρατηρητή σχετικά με το ποιες επιφάνειες μιας τρισδιάστατης σκηνής μπορεί αυτός να δει.
6 Αποκοπή σε τι? Παράθυρο θέασης Up Θέση ματιού Σημείο εστίασης Back Towards Righ Κώνος θέασης
7 Η αποκοπή στις 3Δ Γίνεται για: αποφυγή αντεστραμμένης εμφάνισης αντικειμένων που βρίσκονται πίσω από τον παρατηρητή. σημαντική μείωση όγκου δεδομένων που προωθούνται προς την παράσταση στην οθόνη(φίλτρο). Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Διαγραφή Πίσω Επιφανειών 3Δ Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Υφή Απόκρυψη Γραμμών/ Επιφανειών Προβολή Γραφική σωλήνωση εξόδου
8 Αποκοπή στις 2Δ-Αποκοπή σημείων Παράθυρο αποκοπής: Είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (συμβολίζει την οθόνη). Ένα σημείο με συντεταγμένες, Είναι μέσα στο παράθυρο αν min ma, min ma Διαφορετικά είναι εκτός οπότε και αποκόπτεται. ( ma, ma ) min ma ( min, min ) (, ) min ma (', ')
9 Γρήγορη αποκοπή Βελτιστοποίηση: γρήγορη αποκοπή Πώς μπoρούμε γρήγορα να αποφασίσουμε εάν το τμήμα μιας γραμμής είναι ολόκληρο μέσα στο παράθυρο θέασης? Ελέγχω και τα δύο άκρα
10 Γρήγορη αποκοπή Πώς γνωρίζω ότι μια γραμμή είναι εκτός του παραθύρου θέασης? A: Εάν και τα δυο άκρα της γραμμής βρίσκονται στην λάθος πλευρά τότε απλά αποκόπτω τη γραμμή
11 Αποκοπή γραμμών στο παράθυρο θέασης Συνδυασμός Αποδοχή γραμμών που και τα δυο σημεία βρίσκονται εντός του παραθύρου θέασης Απόρριψη γραμμών που και τα δύο σημεία βρίσκονται εντός της ίδια πλευράς του παραθύρου θέασης Διαφορετικά, αναγωγή στις απλές περιπτώσεις με διαίρεση της γραμμής σε δύο τμήματα
12 Αποκοπή ευθείας (αλγόριθμος μέσου) Σε κάθε σημείο P(,) του επιπέδου αντιστοιχίζουμε με βάση το παράθυρο δύο παραμέτρους ΙΧ και ΙY με πιθανές τιμές -,0,+. Συνολικά το επίπεδο χωρίζεται σε 9 περιοχές, με διαφορετικό συνδυασμό ΙΧ και ΙΥ το καθένα. ΙΧ=- ΙΥ=+ ΙΧ=0 ΙΥ=+ ΙΧ=+ ΙΥ=+ Οριζόντια: Ίδια τιμή στο IY ma ΙΧ=- ΙΥ=0 P (, ) ΙΧ=0 ΙΥ=0 P 2 ( 2, 2 ) ΙΧ=+ ΙΥ=0 Κάθετα: Ίδια τιμή στο IΧ min ΙΧ=- ΙΧ=0 ΙΧ=+ ΙΥ=- min ΙΥ=- ma ΙΥ=-
13 Αποκοπή ευθείας (αλγόριθμος μέσου) Χωρίζουμε το επίπεδο σε 9 περιοχές, στηριζόμενοι στους διαφορετικούς συνδυασμούς IΧ και IY. Κάνουμε έλεγχο αν το ευθύγραμμο τμήμα είναι ολόκληρο μέσα στο ορθογώνιο αποκοπής ή αν είναι ολόκληρο έξω από αυτό. Διαφορετικά, υπολογισμός του μέσου του ευθυγράμμου τμήματος και χωρισμός του σε δύο τμήματα. Αναδρομική εφαρμογή του αλγορίθμου και στα δύο ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν. ΙΧ=- ΙΧ=0 ΙΧ=+ ΙΥ=+ ΙΥ=+ ΙΥ=+ ΙΧ=- ΙΥ=0 P (, ) ΙΧ=0 P 2 ( 2, 2 ) ΙΥ=0 M((P.+P 2.)/2, (P.+P 2.)/2)) ma ΙΧ=+ ΙΥ=0 min ΙΧ=- ΙΧ=0 ΙΧ=+ ΙΥ=- min ΙΥ=- ma ΙΥ=-
14 Αποκοπή ευθείας (αλγόριθμος μέσου) midpoin(p,p 2, min, ma, min, ma ) Poin P,P 2 ; floa min, ma, min, ma ; {poin M; /*Υπολογισμός IX,IY,IX2,IY2*/ if((ix==0)&&(iy==0)&&(i2==0)&&(iy2==0)) /*Το P P 2 είναι εντός παραθύρου*/ else if ((IX==IX2)&&IX!=0)) (IY==IY2)&&(IY!=0)) /*To P P 2 είναι εκτός παραθύρου*/ else {/*Υπολογισμός του μέσου Μ*/ M.=(P.+P 2.)/2; M. =(P.+P 2.)/2; /*Αναδρομική εφαρμογή στα δύο ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν*/ midpoin( P,M, min, ma, min, ma ); midpoin( M,P 2, min, ma, min, ma ); } }
15 Αποκοπή ευθείας (Cohen-Suherland) Χωρίζουμε το επίπεδο σε περιοχές με βάση το ορθογώνιο αποκοπής. Κάνουμε έλεγχο αν το ευθύγραμμο τμήμα είναι ολόκληρο μέσα στο ορθογώνιο αποκοπής ή αν είναι ολόκληρο έξω από αυτό. Αλλιώς, υπολογισμός της τομής του ευθυγράμμου τμήματος με το παράθυρο αποκοπής και χωρισμός του σε δύο τμήματα. Αναδρομική εφαρμογή σε ένα από τα δύο ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν.
16 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Cohen - Suherland Αλγόριθμος Cohen - Suherland: Αρχικά φθηνός έλεγχος για απλές περιπτώσεις. Π.χ. A B έξω, C Dμέσα. Για άλλα ευθύγραμμα τμήματα, κόψιμο με ευθεία παραθύρου & αναδρομή. B G J A min K C E D ma H ma F min I
17 Αποκοπή ευθείας (Cohen-Suherland) Χωρισμός του χώρου ως εξής: ο bi= για την περιοχή πάνω από την ευθεία =ma 2ο bi= για την περιοχή κάτω από την ευθεία =min π.χ. το Po έχει κωδικό 0000 γιατί βρίσκεται Κάτω από την =ma Πάνω από την =min 3ο bi= για την περιοχή δεξιά από την ευθεία =ma 4ο bi= για την περιοχή αριστερά από την ευθεία =min Αριστερά της =ma Δεξιά της =min P ο (,) ma min min ma
18 Αποκοπή ευθείας (Cohen-Suherland) Αλγόριθμος Cohen-Suherland: Για κάθε άκρο (,) ενός ευθύγραμμου τμήματος υπολογίζουμε των κώδικα της περιοχής στην οποία βρίσκεται. Το ο bi του κώδικα αντιστοιχεί στο πρόσημο της παράστασης ( ma -) Αν είναι αρνητικό σημαίνει πως το ο bi στον κώδικα θα είναι το και άρα το άκρο (,) θα βρίσκεται πάνω από την = ma Το 2ο bi αντιστοιχεί στο πρόσημο της παράστασης (- min ) Το 3ο bi αντιστοιχεί στο πρόσημο της παράστασης ( ma -) Το 4ο bi αντιστοιχεί στο πρόσημο της παράστασης (- min ) P 0 (,) 00 ο bi = ma ο bi =0 00 min 000 ma 00 min P
19 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Cohen - Suherland Υπολόγισε κώδικες c, c2 για P, P. 2 Αν c c2 0000, P P είναι εντός (π.χ. ). Αν c c2 0000, P P2 είναι εκτός (π.χ. A B ). Διαφορετικά: Εύρεση ευθείας παραθύρου που αντιστοιχεί σε bi με διαφορετικές τιμές. Τομή με ευθεία. P P 2 2 Αναδρομική κλήση για εσωτερικό τμήμα ως προς ευθεία. C D
20 Αποκοπή ευθείας (Cohen-Suherland) Αν cuc2=0000 τότε το ευθύγραμμο τμήμα βρίσκεται εντός του παραθύρου (το ότι η ένωση των δύο κωδικών είναι 0, σημαίνει πως και οι δύο κωδικοί αποτελούνται από μηδενικά μόνο, άρα και τα δύο άκρα είναι στην περιοχή 0000) Αν c c2 0 τότε το ευθύγραμμο τμήμα είναι εκτός του παραθύρου ( το ότι η τομή των δύο κωδικών είναι διάφορη του μηδενός σημαίνει πως θα υπάρχει τουλάχιστον ένας άσσος στο ίδιο bi των δύο κωδικών, άρα και τα δύο άκρα θα βρίσκονται στην ίδια περιοχή ( πάνω από την =ma ή κάτω από την =min ή δεξιά από την =ma ή αριστερά από την =min), άρα το ευθύγραμμο τμήμα θα βρίσκεται όλο εκτός του παραθύρου) Διαφορετικά, προσδιορίζουμε ένα σημείο τομής ως εξής: Συγκρίνουμε τους κωδικούς των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος Βρίσκουμε ένα bi στο οποίο διαφέρουν
21 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Cohen - Suherland A B C D E 000 F 000 G 000 H 00 B G J A min Το Το A B CD Για το EF παίρνουμε την τομή με την ευθεία =min αφού το δεύτερο bi των E, F είναι διαφορετικό και στην συνέχεια καλείται αναδρομικά για το τμήμα F I επειδή το δεύτερο bi του F είναι μηδέν H K ma C E D εκτός παραθύρου αφού εντός παραθύρου αφού ma F min I
22 Αποκοπή ευθείας (Cohen-Suherland) Βρίσκουμε την ευθεία που αντιστοιχεί σε αυτό το bi και υπολογίζουμε το σημείο τομής του ευθύγραμμου τμήματος με την ευθεία αυτή. Το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα χωρίζεται σε δύο και επιλέγουμε εκείνο το ευθύγραμμο τμήμα με ένα άκρο το σημείο τομής και το άλλο άκρο να είναι εκείνο το άκρο του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος που είχε τιμή 0 στο bi του κωδικού που διέφεραν τα δύο αρχικά άκρα. Εφαρμογή του αλγορίθμου αναδρομικά σε εκείνο το ευθύγραμμο τμήμα που επιλέχθηκε CS (P,P 2, min, ma, min, ma ) Poin P,P 2 ; floa min, ma, min, ma ; { in c,c 2 ; poin I; c = code (P ); /*Υπολογισμός του κώδικα του P */ c 2 = code (P 2 ); if ( (c c 2 )==0) /* To P P 2 είναι εντός του παραθύρου*/ else if ( (c &c 2 )!=0) /* To P P 2 είναι εκτός του παραθύρου*/ else { inersec ( P,P 2,I, min, ma, min, ma ); if eoeriko (P ) CS (I,P 2, min, ma, min, ma ); else CS (P,I, min, ma, min, ma ); } } Η ρουτίνα inersec υπολογίζει το Ι, ένα σημείο τομής μεταξύ του P, P2 και ευθείας παραθύρου. Η ρουτίνα eoeriko υπολογίζει εάν P βρίσκεται στο ημιεπίπεδο της ευθείας τομής όπου και το παράθυρο
23 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Liang - Barsk Bάση παραμετρικής εξίσωσης της Για σημεία εντός παραθύρου ισχύει: ή αλλιώς ή με 2 2 2,, P P 2 2 2, 0,, P P P P ma min ma min ma ma min min,, 4, i q p i i ma 4 4 min 3 3 ma 2 2 min,,,, q p q p q p q p ή με και
24 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Liang - Barsk Αρίθμηση ακμών παραθύρου. Παράθυρο: τομή 4 ορατών ημιεπιπέδων. ορατό ημιεπίπεδο πλευράς 4 A 2 2 ma B μη ορατό ημιεπίπεδο πλευράς min Τομή με ευθεία ακμής 3 ma qi i :, i 4 p i min Αν 0, P P παράλληλη ακμής p i 2 Αν 0, P P μπαίνει στο ορατό ημιεπίπεδο ακμής p i 2 Αν p i 0, P P2 βγαίνει από ορατό ημιεπίπεδο ακμής i Αν q i 0, P στο ορατό ημιεπίπεδο ακμής Αν q i 0, P στο μη ορατό ημιεπίπεδο ακμής i i i i
25 2Δ Αποκοπή Ευθυγράμμων Τμημάτων: Αλγόριθμος Liang - Barsk Υπολογισμός άκρων τμήματος 2 που βρίσκονται εντός παραθύρου. 2 q i ma pi q i min pi p p i i 0, 0, i 4 i και εξασφαλίζουν επιλογή άκρων 2 αν τομή εκτός τμήματος. Αν τότε P εκτός παραθύρου. 2 2 P Διαφορετικά υπολογισμός αποκοπής από., 2
26
27
28
29 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Suherland - Hodgman Κατάλληλος για αποκοπή τυχαίου (κυρτού ή μη κυρτού) πολυγώνου με κυρτό πολύγωνο (παράθυρο) αποκοπής. m διαδοχικά βήματα του αλγορίθμου για m πλευρές παραθύρου αποκοπής. Είσοδος στο βήμα i i 2 m : πολύγωνο μετά από αποκοπή με πλευρά i-. παράθυρο αποκοπής πλευρά 3 Αρχικό πολύγωνο πλευρά 4 πλευρά πλευρά 2 Αποκοπή πολυγώνου ως προς την πλευρά Αποκοπή πολυγώνου ως προς την πλευρά 2 Τελικό πολύγωνο Αποκοπή πολυγώνου ως προς την πλευρά 3 Αποκοπή πολυγώνου ως προς την πλευρά 4
30 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Suherland - Hodgman Ένα πολύγωνο ορίζεται από κορυφές του P, P2,, P n με φορά αντίθετη από αυτή των δεικτών του ρολογιού. Πλευρές P P2 P2 P3,, Pn Pn,, P P Βήμα i εξετάζει τη σχέση κάθε πλευράς με ακμή παραθύρου i. n S P Εσωτερικό S Εξωτερικό Πλευρά παραθύρου P P S P S P S Ευθεία αποκοπής Περίπτωση έξοδος αυτή η κορυφή καταχωρείται στην έξοδο Περίπτωση 2 έξοδος Περίπτωση 3 0 έξοδοι Περίπτωση 4 2 έξοδοι Για κάθε πλευρά S P του πολυγώνου που προέκυψε από το προηγούμενο βήμα της αποκοπής, προστίθενται στη λίστα κορυφών του νέου πολυγώνου 0, ή 2 κορυφές ανάλογα με τη θέση της πλευράς σε σχέση με την ευθεία αποκοπής.
31 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Suherland - Hodgman Παράδειγμα βήματος αλγορίθμου Suherland - Hodgman. S P P2 P3 P4 P5 P 6 P P P3 P4 P5 P6 P 2 Περίπτωση 2 4 Αποτελέσματα P2 P3 P4 I I2P P 6 Πλευρά παραθύρου Οι κορυφές του νέου πολυγώνου που προέκυψε μετά από το παραπάνω βήμα της αποκοπής είναι: P, P2, P3, P4, I, I2, P6
32 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Suherland - Hodgman Καθoρισμός της σχέσης της κορυφής P r, με την πλευρά παραθύρου K,. L2, 2 Πλευρές παραθύρου ορίζονται με φορά αυτή των δεικτών του ρολογιού. Εξίσωση ευθείας αποκοπής s c 0. με 2 s = c = P P εσωτερική αν εξωτερική αν sr c 0 sr c 0
33 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Greiner - Hormann Κατάλληλος για τυχαία πολύγωνα αποκοπής (C), προς αποκοπή (S). Mη κυρτά, self-inersecing (αλλά κλειστά). Μείωση απόδοσης σε σχέση με Suherland - Hodgman. Κατάλληλος για αποκοπή στον αλγόριθμο αντιταύτισης του Camull. Bασίζεται στον δείκτη περιστροφών (winding number).μετρά πόσες στροφές ολοκληρώνει ακτίνα με ένα άκρο το να διαγράφει περίμετρο καμπύλης (πολυγώνου). Για κάθε +ve στροφή, για κάθε -ve στροφή., A και το άλλο, A, A A A
34 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Greiner - Hormann Για τον δείκτη περιστροφών ισχύουν: Ο δείκτης περιστροφών δεν αλλάζει εφόσον δεν μεταβάλλεται η τοπολογική σχέση του A με τη γ. Αν το A είναι εκτός της καμπύλης τότε, A. Αν το A μετακινηθεί και διασταυρώσει φορά τη γ, τότε το αυξάνεται ή μειώνεται κατά. Αν το βρίσκεται εντός της γ, τότε το είναι περιττός αριθμός, διαφορετικά είναι άρτιος. Αν μετακινήσουμε το A και διασχίσουμε τη γ τότε, A ή, A Αντίστοιχο ελέγχου ημιευθείας προς άπειρο. 0 A, A, A
35 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Greiner - Hormann Αλγόριθμος Greiner - Hormann: Βήμα :» Ακολουθούμε περίμετρο S φορά ξεκινώντας από κάποια κορυφή του.» Σε κάθε τομή με C η γραφίδα αλλάζει κατάσταση.» Αρχική κατάσταση εξαρτάται από σχέση αρχικής κορυφής. (εντός, εκτός) με C.» Τελικό αποτέλεσμα: τμήματα του S εντός C (σχήμα β). Βήμα 2: Αντίστοιχο με εναλλαγή S και C (σχήμα γ). Βήμα 3: Ένωση αποτελεσμάτων βημάτων & 2 (σχήμα δ). S S S C C C (α) (β) (γ) (δ)
36 2Δ Αποκοπή Πολυγώνων: Αλγόριθμος Greiner - Hormann Αποτέλεσμα μπορεί να μην είναι συνεκτικό πολύγωνο. Δομή (διπλά συνδεδεμένη λίστα) προβλέπει ειδικούς δείκτες για ένωση τμημάτων. On m με n,m τα πλήθη ακμών των S και C. Αποκοπή υπολογίζει το C S. Greiner - Hormann γενικεύεται για C S, C S, S C
37 3Δ Αποκοπή Αντικείμενο αποκοπής στις 3 διαστάσεις: περιορισμένη πυραμίδα (προοπτική προβολή) κύβος (παράλληλη προβολή) Υπάρχουν 6 επίπεδα αποκοπής που ορίζουν το τρισδιάστατο αντικείμενο αποκοπής.
38 3Δ Αποκοπή: Cohen - Suherland 3Δ 6 - bi κωδικοί για να κωδικοποιήσουμε τη θέση του κάθε άκρου του ευθύγραμμου τμήματος σε σχέση με το αντικείμενο αποκοπής. Έστω ότι χρησιμοποιούμε κύβο αποκοπής. Επίπεδα αποκοπής: =min, =ma, =min, =ma, z=zmin, z=zma ο Bi = z δηλ. το σημείο βρίσκεται πίσω από τον κύβο p zma 2ο Βi = z p zmin 3ο Bi = p ma 4ο Bi = p min 5ο Bi = p ma 6ο Bi = p min Αν c c , P P2 είναι εντός του κύβου αποκοπής Αν c c , P P2 είναι εκτός. Διαφορετικά Εύρεση επιφάνειας κύβου που αντιστοιχεί σε bi με διαφορετικές τιμές. Τομή με επιφάνεια. Αναδρομική P P 2 κλήση για εσωτερικό τμήμα ως προς επιφάνεια. P,, z p p p
39 3Δ Αποκοπή: Cohen - Suherland 3Δ Τομή ευθύγραμμου τμήματος και επιπέδου με χρήση παραμετρικής εξίσωσης. Π.χ. τομή με =Y Αν, υπάρχει σημείο τομής με συντεταγμένες: P 2 P z z z z z z Y Y, 0,,,, Y z z Y Y z z Y
40 Αρχικό πολύγωνο Αποκομμένο πολύγωνο 3Δ Αποκοπή: Αλγόριθμος Suherland - Hodgman 3Δ 6 στάδια αποκοπής για τα 6 επίπεδα (αντί για 4 που είχαμε στις 2Δ). Αποκοπή με z=z ma Αποκοπή με z=z min Αποκοπή με = ma Αποκοπή με = min Αποκοπή με = ma Αποκοπή με = min Παρόμοια λειτουργία του αλγορίθμου όπως και στις 2 διαστάσεις με εξαίρεση: Έλεγχος αν P,, z βρίσκεται στην εσωτερική ή στην εξωτερική πλευρά του επιπέδου αποκοπής. Για τυχαίο επίπεδο αποκοπής (α,b,c,d) με εξίσωση f,,z a b cz d ελέγχουμε το πρόσημο της f (P) Υπολογισμός τομής ευθύγραμμου τμήματος με το επίπεδο αποκοπής: όπως στον Cohen - Suherland 3Δ ( τρόπος).
41 Ερωτήσεις. Πότε ένα σημείο βρίσκεται μέσα στο παράθυρο αποκοπής σύμφωνα με i. τον αλγόριθμο σημειακής αποκοπής και ii. τον αλγόριθμο του μέσου; i. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο σημειακής αποκοπής ένα σημείο (,) βρίσκεται μέσα στο παράθυρο αποκοπής όταν minma και minma ii. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο του μέσου ένα σημείο (,) βρίσκεται μέσα στο παράθυρο αποκοπής όταν οι μεταβλητές ΙΧ και ΙΥ που κρατώνται για αυτό έχουν και οι δύο την τιμή Στον αλγόριθμο του μέσου ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα ευθύγραμμο τμήμα να βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο παράθυρο αποκοπής; a. (IX==0)&&(IΧ2==0) b. (IY==0)&&(IY2==0)) c. (IX==0)&&(IY==0)&&(IX2==0)&&(IY2==0) d. (IX==0)&&(IY==0) Σωστή απάντηση c. 3. Στον αλγόριθμο του μέσου ποια από τις παρακάτω συνθήκες αρκεί να ισχύει ώστε ένα ευθύγραμμο τμήμα να βρίσκεται ολόκληρο εκτός του παραθύρου αποκοπής; a. (IX==IX2)&&(IΥ!=0) b. (IX==IX2)&&(IX!=0) c. (IY==IY2)&&(IΧ2!=0) d. (IY==IY2)&&(IΧ!=0) Σωστή απάντηση b.
42 Ερωτήσεις 4. Στον αλγόριθμο του Cohen-Suherland ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα ευθύγραμμο τμήμα να βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο παράθυρο αποκοπής; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. a. c c2=0000 b. c c c. c c2=0000 d. c c Σωστή απάντηση a. Και αυτό γιατί από τις ιδιότητες της ένωσης, γνωρίζουμε πως για να είναι το αποτέλεσμα της ένωσης δύο bis (δυνατές τιμές 0 και ) ίσο με το 0, θα πρέπει και τα δύο bis να είναι ίσα με. Με την ίδια λογική, αν η ένωση των δύο τετράμπιτων κωδικών είναι 0000, σημαίνει πως και οι δύο κωδικοί αποτελούνται μόνο από μηδενικά.επομένως, και τα δύο άκρα του ευθύγραμμου τμήματος βρίσκονται στην περιοχή 0000, και άρα ολόκληρο το ευθύγραμμο τμήμα θα βρίσκεται μέσα στο παράθυρο αποκοπής. 5. Στον αλγόριθμο του Cohen-Suherland ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα ευθύγραμμο τμήμα να βρίσκεται ολόκληρο έξω από το παράθυρο αποκοπής; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. a. c c2=0000 b. c c c. c c2=0000 d. c c Σωστή απάντηση d. Και αυτό γιατί από τις ιδιότητες της τομής γνωρίζουμε πως για να είναι το αποτέλεσμα της τομής δύο bis (δυνατές τιμές 0 και ) διαφορετικό το μηδενός και άρα ίσο με το, θα πρέπει και τα δύο bis να είναι ίσα με. Με την ίδια λογική, αν η τομή των δύο τετράμπιτων κωδικών είναι διαφορετική του 0000, σημαίνει πως θα υπάρχει τουλάχιστον ένας άσσος στο ίδιο bi των δύο κωδικών, άρα και τα δύο άκρα θα βρίσκονται στην ίδια περιοχή ( πάνω από την =ma ή κάτω από την =min ή δεξιά από την =ma ή αριστερά από την =min), και άρα το ευθύγραμμο τμήμα θα βρίσκεται ολόκληρο εκτός του παραθύρου)
43 Ασκήσεις. Εφαρμόστε στο παρακάτω πολύγωνο τον αλγόριθμο αποκοπής Suherland- Hodgman. Η αποκοπή να γίνει ως προς τις πλευρές T, L,B,R. Κορυφές αρχικού πολυγώνου:,2,3,4 i. Αποκοπή ως προς την πλευρά Τ: Κορυφές πολυγώνου 2,Α,Β,4, ii. Αποκοπή ως προς την πλευρά L: Κορυφές πολυγώνου A,B,4,,2 iii. Αποκοπή ως προς την πλευρά B: Κορυφές πολυγώνου B,4,D,C,2,A iv. Αποκοπή ως προς την πλευρά R: Κορυφές πολυγώνου G,H,D,C,E,F,A,B Άρα, το τελικό πολύγωνο είναι το εξής:
Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου) ως προς αντικείµενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραµίδα, κύβος). Για αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων όπισθεν παρατηρητή. Για σηµαντική µείωση όγκου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου
Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line
Διαβάστε περισσότεραΑποκοπή ευθυγράμμων τμημάτων
Αλγόριθμος των Cohen-Sutherland Αποκοπή ευθυγράμμων τμημάτων Χαρακτηριστικά (Attrbutes LEFT : αριστερά της ευθείας LEFT RIGHT: δεξιά της ευθείας RIGHT ΤΟΡ : άνω της ευθείας TO BOTTO: κάτω της ευθείας BOTTO
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής
Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμός Παρατήρησης
Μετασχηματισμός Παρατήρησης Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων Σύστημα Συντεταγμένων Παρατηρητή. Σύνθεση βασικών μετασχηματισμών. Καθορίζει όρια αποκοπής & παραμέτρους προβολής Θα εξετάσουμε ΜΠ Ι και Θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΑπαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή των φυσικών συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε συντεταγμένες της συσκευής απεικόνισης (δημιουργία μετασχηματισμού απεικόνισης) αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Αποκοπή Οι αλγόριθμοι αποκοπής έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αποτελεσματικοί στο να εντοπίζουν τα τμήματα μίας σκηνής ή ενός αντικειμένου σε συντεταγμένες προβολής που βρίσκονται
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Έννοιες παραθύρων (windowing) Αποκοπή (clipping)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Αποκοπή στις 3D Διαστάσεις
ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αποκοπή στις 3D Διαστάσεις Πασχάλης Ράπτης ttp://aetos.it.teite.gr/~praptis praptis@it.teite.gr 2 Περιεχόμενα Θα δούμε μερικά demos προοπτικών προβολών
Διαβάστε περισσότεραΣτο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε
Κεφάλαιο 6 Αποκοπή (clipping) Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε η διαδικασία προβολής µεµονωµένων σηµείων και µόνο προς το τέλος του κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστηριακές Ασκήσεις Απεικόνισης - Αποκοπής
Φροντιστηριακές Άσκηση Βρες τον πίνακα μετασχηματισμού που θα σχεδιάζει σημεία που περιέχονται σε ένα παράθυρο του οποίου η χαμηλότερη αριστερή γωνία είναι στο (3,3) και η ψηλότερη δεξιά γωνία είναι στο
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότερα5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων
5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Ευθεία Κύκλος Έλλειψη Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Ευθεία 3 Κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία
Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
Διαβάστε περισσότεραΗ διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)
Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ
ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότερα2. Ιδιότητες Συναρτήσεων
Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Το πρώτο βήμα για τη λύση μιας άσκησης που περιέει μια συνάρτηση είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της α) Κάθε πολυωνυμική
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής
Γεωμετρικές Σκιές Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Περιεχόμενα Σ1 Χαρακτηριστικά Σκιών στα Γραφικά Σ2 Απλές Σκιές Σ3 Σύγχρονοι Αλγόριθμοι Σκιών 2 Εισαγωγή (1) Οι σκιές είναι σημαντικές στην κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και
7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραF x h F x f x h f x g x h g x h h h. lim lim lim f x
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, ) ΘΕΜΑ Α 1 Έχουμε F h F f( h) g h f() g f( h)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D
1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.
ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΝα απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΓια να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )
() Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:...
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 13 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.
Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο Εργασίας για την y=αx 2
Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
Διαβάστε περισσότεραΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3
Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο
Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 & 3
Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότερα1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ
ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Αν =e t και y=e t να δείξετε ότι : y d y +χ dy = d d Αν χ= d d t και ψ=τοξημt,
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων
Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού
Διαβάστε περισσότερα6 Γεωμετρικές κατασκευές
6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα
Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
. ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ονοματεπώνυμο :.. Τμήμα:.Αρ.
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 12/ 06 /2015 ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ( 07:45 09:45) Βαθμός :.. Ολογράφως
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5- Σημειώσεις
Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ
Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότερα