ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014

ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Ονομασία Γωνιών ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος ΑΖ ή υ α Από την κορυφή Α στο μέσο Μ της απέναντι πλευράς. Χωρίζει την γωνία Α σε δύο ίσες γωνίες ˆ ˆ 1. Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Το Ζ λέγεται προβολή του Α στη ΒΓ Το τμήμα ΖΒ λέγεται προβολή του ΑΒ στη ΒΓ Το ύψος ΑΖ στο ορθογώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Συμπίπτει με την πλευρά ΑΒ. Το ύψος ΑΖ στο αμβλυγώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Για να φέρουμε κάθετη, προεκτείνουμε την απέναντι πλευρά. 1

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Γ-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Γ-Π-Γ Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Π-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΩ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ : Κάθε τρίγωνο έχει 6 κύρια στοιχεία, 3 πλευρές και 3 γωνίες. Για να είναι λοιπόν ίσα δύο τρίγωνα θα έπρεπε να έχουν και τα 6 αυτά στοιχεία τους ίσα ένα προς ένα. Όμως με τα κριτήρια ισότητας μπορούμε με 3 μόνο στοιχεία από κάθε τρίγωνο να λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Παράδειγμα : Πλευρές Γωνίες. ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, ˆ, ˆ, ˆ Α Β, Α Γ, Β ' Γ ', ˆ ', ˆ ', ˆ ' και γράφουμε : ' '(...) Π-Γ-Π ' '(...) ' ' ' ˆ ˆ '(...) μέσα στις παρενθέσεις γράφουμε το λόγο για τον οποίο τα στοιχεία αυτά είναι ίσα επάνω στο βέλος γράφουμε ποιο κριτήριο χρησιμοποιούμε για να είναι τα τρίγωνα ίσα Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν β = β, ˆ = ˆ ' και Να αποδείξετε ότι : i) ˆ = ˆ ' ii) α = α και γ = γ Απάντηση με μεθοδολογία: δα = δ α. Σχεδιάζω δύο τρίγωνα και σημειώνω στο σχήμα με ίδια σύμβολα τα ίσα στοιχεία, που μου δίνει η εκφώνηση. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ «γιατί μου ζητήθηκε ( ˆ = ˆ ') που ανήκουν στα παραπάνω τρίγωνα και γιατί γνωρίζω αρκετά στοιχεία για τα τρίγωνα αυτά». '() Εκφώνηση Π-Γ-Π άρα τα τρίγωνα έχουν και τα '() Εκφώνηση ΑΔΓ=Α'Δ'Γ' ˆ ˆ υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. ˆ ˆ '() ˆ ˆ ως μισά ίσων γωνιών Γ = Γ δ, δ διχοτόμοι και ˆ= ˆ α α Α Α' Τέλος συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ '() ˆ ˆ '() ˆ ˆ '() Εκφώνηση Εκφώνηση προηγούμενο Γ-Π-Γ ˆ ˆ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα ΑΒΓ=Α'Β'Γ' α = α υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. γ = γ

Λυμένο Παράδειγμα ο: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ : ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ( Εκφώνηση ) Π-Γ-Π ( Εκφώνηση ) ΑΒΔ = ΑΓΕ ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές ) ίσων γωνιών Β ˆ = Γˆ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : ΑΔ = ΑΕ άρα το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΓ :...... (... )......... (... ) ΑΒΖ = ΑΕΓ........ (.........) άρα τα τρίγωνα έχο υν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα. και. :.................... ()... ()... ()............ =.... άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =...... =...... =... άρα το τρίγωνο... είναι ισοσκελέ ς 3

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΓΕΝΙΚΑ : Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν: μία πλευρά ίση και ένα οποιοδήποτε ακόμη στοιχείο τους (πλευρά γωνία) ένα προς ένα ίσο, τότε είναι ίσα. Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. α) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΗΕ : α) β) ˆ ˆ ( Εκφώνηση ) ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) Κρ.Ορθ.Τριγ. άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα ΒΔΖ = ΓΕΗ δηλαδή : Δ Ζ = Ε Η β) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΕΚ : ˆ ˆ ( κοινή γωνία ) ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) Κρ.Ορθ.Τριγ. ΑΔΛ = ΑΕΚ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : Δ Λ = Ε Κ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. :...... ()......... =......... ()......... άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =... Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. :...... ()......... =......... ()......... άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =... 4

Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα να αποδείξετε ότι και τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. : ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ...... (... )........... (.... ) άρα τα τρίγωνα έχουν και τα... =... υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =...... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι : α) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι α = α, υ α = υ α και μ α = μ α, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΜ και Α Δ Μ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α Μ Γ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ : Μία μεγάλη άσκηση που για να λυθεί χρειάζεται να συγκρίνουμε 3 ζεύγη τριγώνων. Με κάθε σύγκριση κερδίζουμε νέα στοιχεία ώστε να συγκρίνουμε τα επόμενα ζεύγη τριγώνων. 5

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Η πρώτη δυσκολία που συναντούμε είναι η κατανόηση της άσκησης και η δημιουργία σχήματος. Η δυσκολία αυτή μπορεί να ξεπεραστεί διαβάζοντας όχι ολόκληρη την άσκηση, αλλά τμηματικά σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και μέρος του σχήματος. π.χ. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. Διαβάζω : «ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ» και σχεδιάζω ισοσκελές τρίγωνο Διαβάζω : «ΑΒ = ΑΓ» και ονομάζω ΑΒ και ΑΓ τις ίσες πλευρές. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών» και ονομάζω Δ το μέσο της ΑΒ και Ε το μέσο της ΑΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν» και μεταφράζω «απέχουν ίσες αποστάσεις» Θυμάμαι ότι η έννοια της απόσταση σημείου από ευθεία σημαίνει την κάθετη από το σημείο προς την ευθεία. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν α) από τη βάση ΒΓ» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς την ΒΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν β) από τις ίσες πλευρές του» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Αφού έχουμε ολοκληρώσει το σχήμα, είναι σημαντικό να σημειώσουμε επάνω του τα στοιχεία που δόθηκαν (άμεσα ή έμμεσα ) ότι είναι ίσα, χρησιμοποιώντας το ίδιο σύμβολο και να γράψουμε στη στήλη με τα δεδομένα μας αυτά που γνωρίζουμε. π.χ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Παρατηρείστε ότι στο σχήμα και τα δεδομένα έχουμε σημειώσει Β = Γ γιατί μας έδωσε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Πώς θα επιλέξουμε τα ζεύγη των τριγώνων που θα συγκρίνουμε. Η επιλογή μας γίνεται με δύο βασικά κριτήρια 1) το ζητούμενο της άσκησης και ) τα στοιχεία που ήδη μας έχουν δώσει. π.χ. Στο προηγούμενο πρόβλημα: 1) Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές ή ότι ΔΜ = ΜΕ. Ψάχνουμε λοιπόν ζεύγη τριγώνων που να έχουν πλευρές τις ΔΜ και ΜΕ, παρατηρείστε ότι αυτά είναι τα ΒΔΜ και ΓΕΜ. ) Κοιτάζοντας στο σχήμα ποια τρίγωνα έχουν τα περισσότερα σύμβολα σημειωμένα επάνω στις πλευρές ή τις γωνίες τους ξεχωρίζουμε πάλι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ. Πώς θα κάνουμε την σύγκριση. Στη σύγκριση των δύο τριγώνων προσέχουμε : 1) Να χρησιμοποιήσουμε τρία στοιχεία από το πρώτο τρίγωνο που επιλέξαμε και να τα συγκρίνουμε με τρία στοιχεία του δεύτερου τριγώνου ) Να δικαιολογούμε κάθε φορά γιατί τα στοιχεία αυτά είναι ίσα, σύμφωνα με αυτά που μας έχει δώσει η εκφώνηση και όχι επειδή φαίνονται ίσα. 3) Να ελέγχουμε σε ποιο κριτήριο ισότητας τριγώνων στηριζόμαστε, ώστε να απαντήσουμε «άρα τα τρίγωνα είναι ίσα». 4) Μην ξεχνάτε αποδεικνύοντας ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχετε και τα υπόλοιπα 3 στοιχεία τους ίσα. 6

τότότεαβτ<α<β+γβγ νφυλλο ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.7 3.16 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων που έχουν μία (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. ΚΥΚΛΟΣ : Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν μία ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ενός τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Ανισοτικές σχέσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Σύντομα : Αξ>Βˆ ˆ Αεξ>ˆ ˆεΓΠόρισμα Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή αμβλεία γωνία Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από 180 0 ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ΓΠόρισμα Σύντομα : ΑΒ<ΑΓνˆ ˆάΓ<ΒνάεΓ<ˆ <Βˆ Α Αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντί της πλευρά είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την διαφορά τους. Σύντομα β-γ:ά Η τελευταία σχέση είναι γνωστή και ως τριγωνική ανισότητα. 7

Β=ΑΓΑνΚΒ=ότεΚΒΚτίστροφαΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.7 3.16 Κάθετες και πλάγιες ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου. Σύντομα :άταν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια τμήματα τότε : Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. Σύντομα : να άτότεανάτότβ ΑΚεκαιανΒΒΚΚΚΙΙ ΓΘΕΩΡΗΜΑ <<ΑΑΕΕ 8

Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου Η ευθεία ΟΒ λέγεται διακεντρική ευθεία. Το τμήμα ΟΒ συμβολίζεται με δ. Η ακτίνα του κύκλου είναι η ΟΑ = R. Η ευθεία ε λέγεται : Η ευθεία ε και ο κύκλος έχουν κοινά σημεία : Σχέση της ακτίνας R με την δ = ΟΒ Επιπλέον 1. Εξωτερική του κύκλου κανένα δ > R. Εφαπτόμενη του κύκλου Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική 3. Τέμνουσα του κύκλου Δύο τα Α και Α που λέγονται σημεία τομής. δ < R, ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Απόδειξη : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ : ΑΟ = ΒΟ = R ΟΡ κοινή είναι ορθογώνια άρα θα είναι ίσα Επομένως ΡΑ = ΡΒ ΠΟΡΙΣΜΑ Αν Ρ ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική του ευθεία ΟΡ : Είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής. Διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων στα σημεία επαφής. ΑΣΚΗΣΗ 9

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ, ρ) Το τμήμα ΚΛ συμβολίζεται με δ και λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων. Για τις θέσεις των κύκλων λέμε : Οι δύο κύκλοι έχουν κοινά σημεία : Σχέση της ακτίνων R και ρ με την δ Αριθμός κοινών εφαπτομένων 1. Ο κύκλος (Λ,ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (Κ,R) κανένα δ < R - ρ Καμιά. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (Κ,R) Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R - ρ Mία 3. Οι κύκλοι (Λ,ρ) και (Κ,R) τέμνονται Δύο τα Α και Β που λέγονται σημεία τομής. R ρ < δ < R +ρ Δύο εξωτερικές 4. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου (Κ,R) Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R +ρ Δύο εξωτερικές και Μία εσωτερική 5. Ο κύκλος (Λ,ρ) βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου (Κ,R) κανένα δ > R +ρ Δύο εξωτερικές και Δύο εσωτερικές ΘΕΩΡΗΜΑ Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής. ΑΣΚΗΣΗ 10

ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 Παράλληλες ευθείες ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Οι γωνίες α, δ, ζ, η λέγονται εντός Οι γωνίες β, γ, ε, θ λέγονται εκτός Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται επί τα αυτά μέρη Δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας ε3 λέγονται εναλλάξ ΘΕΩΡΗΜΑ I Απόδειξη : Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Έστω ω = φ. Αν οι ευθείες ε1, ε τέμνονται σε σημείο Γ, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. Άρα ε1 // ε Σύντομα : ωˆ και φˆ εντός εναλλάξ ε1 // ε και ωˆ = φˆ Σύντομα: ΠΟΡΙΣΜΑ I Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ή εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές τότε είναι παράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙI Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σύντομα : ωˆ και φˆ εντός επι τα αυτά ε1 // ε και ωˆ + φˆ = 180 0 Απόδειξη : Σύντομα : ε1 ε3 ε1 // ε ε ε3 Αίτημα παραλληλίας ή Ευκλείδειο αίτημα Πράγματι : ω = φ = 900. Άρα ε 1 // ε Από το σημείο Α εκτός της ευθείας ε μπορώ να κατασκευάσω μόνο μία παράλληλη προς αυτή, την ε1. Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μία παράλληλη προς αυτή. ˆ και φˆ εντός, εκτός επι τα αυτά ω ε1 // ε και ωˆ = φˆ 11

και εε/εε/ε/ε331/εκαι εε ε1ιδιότητες παραλλήλων ευθειών ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Πρόταση I Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη τότε σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Απόδειξη : Σύντομα: ω ˆ και φ ˆ εντός εναλλάξ ω ˆ = φˆ και ε 1// ε Αν ˆ και ˆ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε x ˆ = ˆ. Τότε επειδή αυτές είναι εντός εναλλάξ και είναι ίσες, θα είναι Αx // ε. Κατά συνέπεια θα υπάρχουν δύο παράλληλες προς την ε που είναι άτοπο. Άρα ˆ = ˆ. ΠΟΡΙΣΜΑ Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη τότε σχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, και εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές Σύντομα: ω ˆ και φ ˆ εντός, εκτός επι τα αυτά και ε // ε 1 ω ˆ και φ ˆ εντός επι τα αυτά και ε // ε 1 Σύντομα:1 ω ˆ = φˆ 0 ω ˆ + φ ˆ = 180 Πρόταση ΙI Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία τότε θα είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Απόδειξη : Αν δύο ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει την μία από αυτές τότε θα τέμνει και την εεεεινε εεηνεάλλη.11καιιι ιπρόταση μνιττέ/τέμντηαν η ε δεν έτεμνε την ε θα ήταν ε // ε έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε πράγμα αδύνατο, άρα η ε τέμνει την ε ΠΟΡΙΣΜΑ εαν μία ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, θα 1είναι κάθετη και στην άλλη. ε Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι : ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι : παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ 1

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου Απόδειξη : ΘΕΩΡΗΜΑ Οι τρείς μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. το Ο λέγεται περίκεντρο Οι μεσοκάθετοι των ΒΓ και ΑΒ τέμνονται στο Ο, αφού τέμνονται οι κάθετες ευθείες τους ΑΒ και ΒΓ. Όμως κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Άρα ΟΑ = ΟΒ και ΟΒ = ΟΓ, επομένως και ΟΑ = ΟΓ άρα και η ΟΜ μεσοκάθετος της ΑΓ. Απόδειξη : ΘΕΩΡΗΜΑ Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται στο Ι, αφού ˆ ˆ ˆ ˆ το Ι λέγεται έκκεντρο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ˆ ˆ Το Ι ως σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές των γωνιών Β και Γ δηλ. ΙΘ=ΙΖ και ΙΘ=ΙΝ. Άρα αφού ΙΖ=ΙΝ θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ. Άρα ΑΔ διχοτόμος της Α. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 13 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Άθροισμα γωνιών τριγώνου Απόδειξη : Από μία κορυφή του τριγώνου π.χ. την Α, φέρουμε την ευθεία xy // ΒΓ. ˆ ως εντός εναλλάξ των Τότε παραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΒ και ˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ ˆ ˆ έ Αλλά ˆ ΘΕΩΡΗΜΑ Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. ˆ ˆ ˆ έ Άρα ΠΟΡΙΣΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 600. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες, μία προς μία, είναι : ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι : παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου Το Άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι : 1 3 4 5... ς έ θ ρ ο ) 4 ν ( Το Άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι : 4 ορθές 14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 15

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 16

ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.1-5.5 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Ορισμός : Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. ΠΡΟΣΟΧΗ! Γνωρίζουμε ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο (Δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ) και προσπαθούμε να αποδείξουμε τις προτάσεις. Οι αποδείξεις : Για τα 1) και ) γίνονται με σύγκριση των τριγώνων ΑΒΔ και ΓΒΔ. Για το 3) με σύγκριση των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 1) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. 4) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες ΠΡΟΣΟΧΗ! Γνωρίζουμε τις προτάσεις και προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο. Δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ Οι αποδείξεις : Για τα 1) και 4) γίνονται με σύγκριση των τριγώνων ΑΒΔ και ΓΒΔ. Για το 3) με σύγκριση των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ και για το ) λαμβάνουμε υπόψη ότι το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 4 ορθές. ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή ΡΟΜΒΟΣ Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 17

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΠΡΟΣΟΧΗ! Δεν σημαίνει ότι αν ένα τετράπλευρο έχει μία από αυτές τις ιδιότητες θα είναι παραλ/μο, ορθογώνιο, ρόμβος ή τετράγωνο αντίστοιχα. Πλάγιο παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο 1 Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες 3 Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες 4 Όλες οι πλευρές του είναι ίσες 5 Δύο διαδοχικές του πλευρές ίσες 6 Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες 7 Όλες οι γωνίες του είναι ορθές ( ίσες ) 8 Δύο διαδοχικές του γωνίες ίσες 9 Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται 10 Οι διαγώνιοί του είναι ίσες 11 Οι διαγώνιοί του είναι κάθετες 1 Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ : ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια γωνία ορθή Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες Έχει τρείς γωνίες ορθές Όλες οι γωνίες του είναι ίσες Έχει όλες τις πλευρές του ίσες Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και κάθετες 18

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.1-5.5 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 19

0

ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 ΘΕΩΡΗΜΑ I Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά κα ίσο με το μισό της. Δ μέσο της ΑΒ ΒΓ ΔΕ =/ / Ε μέσο της ΑΓ ΠΡΟΣΟΧΗ! Απόδειξη : Προεκτείνουμε την ΔΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλ/μο αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ=// ΓΖ, οπότε ΔΒ=//ΓΖ αφού ΑΔ=ΔΒ Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο οπότε : (i) ΔΖ//ΒΓ άρα ΔΕ//ΒΓ και (ii) ΔΖ=ΒΓ ή ΔΕ=ΒΓ ή ΔΕ= ΘΕΩΡΗΜΑ II Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσον της τρίτης πλευράς. Δ μέσο της ΑΒ Ε μέ σο της ΑΓ ΔΕ // ΒΓ ΘΕΩΡΗΜΑ III Αν τρείς (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ε1 // ε // ε3 ΔΕ = ΕΖ ΑΒ = ΒΓ ΘΕΩΡΗΜΑ IV Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα /3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Δ μέσο της ΒΓ Ε μέσο της ΑΓ ΑΘ= ΑΔ, ΒΘ= ΒΕ, ΓΘ= ΓΖ 3 3 3 Ζ μέσο της ΑΒ ΘΕΩΡΗΜΑ V Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο ( Η ορθόκεντρο) Οι κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η, αποτελούν την ορθοκεντρική τετράδα δηλ. κάθε ένα από αυτά είναι ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν τα άλλα τρία σημεία. 1

ΘΕΩΡΗΜΑ VΙ Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 0 ˆ Αν Α=90 ΑΜ διάμεσος ΠΡΟΣΟΧΗ! ΑΜ = ΒΓ Απόδειξη : Φέρουμε την διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ Το ΜΔ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΜΓ. Οπότε ΜΔ // ΑΒ Αλλά ΑΒ ΑΓ επομένως και ΜΔ ΑΓ Άρα το ΜΔ είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΜΓ Οπότε ΑΜ = ΜΓ δηλαδή ΑΜ = ΘΕΩΡΗΜΑ VΙΙ Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. ΒΜ = ΜΓ ΑΜ = ΒΓ 0 ˆ Α=90 ΘΕΩΡΗΜΑ VΙΙΙ Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 300, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Αν Αˆ = 90 0 και Βˆ = 3 0 0 ΠΡΟΣΟΧΗ! ΒΓ ΑΓ= αντίστροφα Αν Αˆ = 90 0 ΒΓ κα ι ΑΓ= Βˆ = 30 0 Απόδειξη : Γνωρίζουμε : Α=900 και Β=300 Επειδή Β=300 τότε Γ = 900 300 = 600 Φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και είναι Έτσι Α = Γ = 600 Οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Επομένως ΑΓ ΠΡΟΣΟΧΗ! Απόδειξη Αντίστροφο : 0 Γνωρίζουμε : Α=90 και Φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και είναι αφού Οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Έτσι Γ = 600 Επομένως Β = 900 600 =300

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.6, 5.7, 5.8, 5.9

4

ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.10-5.1 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ορισμός : Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. ΘΕΩΡΗΜΑ I Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και είναι ίση με το ημιάθροισμά τους. Δηλ. i) ii) EZ // AB, ΕΖ // ΓΔ ΑΒ + ΓΔ ΕΖ = ΠΟΡΙΣΜΑ Η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγώνιων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και είναι ίσο με την ημιδιαφορά τους. Δηλ. i) ii) ΚΛ // AB, ΚΛ = ΓΔ ΚΛ // ΓΔ ΑΒ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ορισμός : Ισοσκελές λέγεται το Τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις : i) Οι γωνίες που πρόσκεινται στις βάσεις είναι ίσες. ˆΑ = Β ˆ και Δ ˆ = Γˆ ii) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. ΑΓ = ΒΔ 5

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : i) Οι γωνίες που πρόσκεινται στις βάσεις είναι ίσες. Απόδειξη : Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο τότε : ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ Φέρουμε τα ύψη ΑΗ και ΒΚ. Τότε τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΚΓ θα είναι ίσα γιατί έχουν : 1) ˆ ˆ 0 Η = Κ = 90 ) ΑΔ = ΒΓ 3) ΑΗ = ΒΚ = ύψος τραπεζίου οπότε θα είναι : Γ ˆ = Δˆ Επειδή ˆ ˆ 0 Α + Δ = 180 και ˆ ˆ 0 Β + Γ = 180 (ως εντός και επί τα αυτά μέρη ) έχουμε ˆ ˆΑ = Β ii) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. Απόδειξη : Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο τότε : ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ Τότε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ θα είναι ίσα γιατί έχουν : 1) ΑΔ = ΒΓ ˆ ˆ ) ΔΓ κοινή 3) ΑΔΓ = ΒΓΔ ˆ ( Δ = Γ ˆ ) οπότε θα είναι : ΑΓ = ΒΔ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο που λέγεται περίκεντρο, κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου Οι διχοτόμοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Ι που λέγεται έγκεντρο, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου Οι διάμεσοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ που λέγεται βαρύκεντρο Τα ύψη των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Η που λέγεται ορθόκεντρο 6

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.10, 5.11 7

ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 8

=ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.1 6.7 Εισαγωγικά ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Επίκεντρη γωνία λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου. Εγγεγραμμένη γωνία λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στον κύκλο και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου. Το τόξο που περιέχεται στη γωνία ˆ λέγεται αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης ή της επίκεντρης γωνίας Γωνία χορδής και εφαπτομένης λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στον κύκλο και η μία πλευρά της είναι τέμνουσα του κύκλου ενώ η άλλη πλευρά της εφαπτομένη του κύκλου. Στις γωνίες αυτές δεν δίνουμε ονόματα και δεν θα ασχοληθούμε με αυτές. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Πορίσματα Σύντομα : φ=ˆ ήˆ ˆ ω Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. ΑΣΚΗΣΕΙΣ : : Σχολικό βιβλίο σελ. 13 Σύντομα : =φαπόδειξη ˆωˆ ωφˆ Απόδειξη : Σχολικό βιβλίο σελ. 14 9

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο Εγγράψιμο τετράπλευρο Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερεις κορυφές του. ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. Πόρισμα Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του. Αποδείξεις : Σχολικό βιβλίο σελ. 131 1) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α ˆ = 10 και Β ˆ = 80 εξ Να βρείτε τις γωνίες Β, ˆ Γ ˆ και Δ ˆ του τετραπλεύρου. 0 0 30