Ο ρόλος των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων: Σύγκριση της επίδοσης Κυπρίων και Ελλαδιτών μαθητών

Ο ρόλος των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων: Σύγκριση της επίδοσης Κυπρίων και Ελλαδιτών μαθητών Δεληγιάννη Ελένη Πανεπιστήμιο Κύπρου Ηλία Ιλιάδα Πανεπιστήμιο Κύπρου Γαγάτσης Αθανάσιος Πανεπιστήμιο Κύπρου Καρανίκκης Φοίβος Πανεπιστήμιο Κύπρου Αμπράζης Στυλιανός Πανεπιστήμιο Αθήνας Χρυσοστόμου Μαριλένα Πανεπιστήμιο Κύπρου Παναούρα Αρετή Πανεπιστήμιο Frederick Περίληψη Η παρούσα έρευνα συγκρίνει τον τρόπο αντιμετώπισης έργων πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων από μαθητές των δύο πρώτων τάξεων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης σε Κύπρο και Ελλάδα. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές και στις δύο χώρες αντιμετωπίζουν με τρόπο αποσπασματικό τα διάφορα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων παρόλο ότι αναφέρονται στην ίδια έννοια. Στην Α γυμνασίου οι Ελλαδίτες μαθητές παρουσιάζουν στεγανοποιημένη συμπεριφορά κυρίως ως προς αναπαραστατική λειτουργία που εμπλέκεται ενώ για τους Κύπριους μαθητές παρουσιάζεται το φαινόμενο της στεγανοποίησης τόσο ως προς το πεδίο αναπαράστασης όσο και ως προς την αναπαραστατική λειτουργία. Το συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρείται για τους Ελλαδίτες μαθητές και στη Β γυμνασίου. Αντίθετα, οι Κύπριοι μαθητές παρουσιάζουν σχετική βελτίωση στη Β γυμνασίου εντοπίζοντας την κοινή υποκείμενη δομή σε ορισμένες περιπτώσεις έργων διαφορετικών αναπαραστατικών λειτουργιών. Τόσο οι Κύπριοι όσο και οι Ελλαδίτες μαθητές φαίνεται να μην αντιμετωπίζουν στεγανοποιημένα τα έργα επίλυσης προβλήματος με διάφορα πεδία αναπαράστασης, υποδεικνύοντας την αλληλεπίδραση της ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και της επίλυσης προβλήματος όσον αφορά στην εννοιολογική κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων. Εισαγωγή Θεωρητικό Πλαίσιο Τα μαθηματικά παρουσιάζουν μια ιδιαιτερότητα σε σχέση με τα άλλα γνωστικά αντικείμενα λόγω του ότι η μαθηματική γνώση δεν μπορεί να γίνει κατανοητή με εμπειρικό τρόπο, αφού μια έννοια των μαθηματικών δεν είναι δυνατόν να έχει άμεση δίοδο πρόσβασης (Duval, 2006). Τα τελευταία χρόνια έχει αναγνωριστεί ευρέως η κεντρική θέση που κατέχουν τα διάφορα πεδία αναπαράστασης στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών (Gagatsis & Elia, 2005; Gagatsis, Kyriakides, & Panaoura, 2004). Ενδεικτικά, ένα από τα κριτήρια που περιλήφθηκε πρόσφατα στα Principles and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) σχετίζεται με τη χρήση αναπαραστάσεων κατά τη μαθησιακή διαδικασία. Σε αυτό επισημαίνεται ότι είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές να αναπαριστούν τις μαθηματικές έννοιες με τρόπο που να έχει νόημα για τους ίδιους έστω και αν οι αναπαραστάσεις που πιθανόν να χρησιμοποιήσουν να μην είναι οι συμβατικές. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να μαθαίνουν να χρησιμοποιούν τις συμβατικές μορφές αναπαράστασης κατά τρόπο που να διευκολύνεται η μάθηση και η επικοινωνία των μαθηματικών εννοιών (NCTM, 2000). Ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζουν τα διάφορα συστήματα αναπαράστασης και η αλλαγή πεδίου αναπαράστασης στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης φαίνεται από το μεγάλο αριθμό 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 177

ερευνών που εξετάζουν το συγκεκριμένο θέμα. Οι έρευνες στο χώρο των αναπαραστάσεων θα μπορούσαν να ταξινομηθούν σε πέντε κύριες κατηγορίες ανάλογα με το περιεχόμενό τους: α) Η πρώτη κατηγορία περιλαμβάνει έρευνες που εστιάζονται στην έννοια της αναπαράστασης (π.χ. Duval, 2006; Kaput, 1987) β) Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει έρευνες που προτείνουν μια θεωρία αναπαράστασης (π.χ. Δημητρίου, 1993; Goldin, 1998; Roth & McGinn, 1998). γ) Η τρίτη κατηγορία περιλαμβάνει έρευνες που συσχετίζουν τις αναπαραστάσεις με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος (π.χ. Elia & Gagatsis, 2006; Cifarelli, 1998; Lesh, Post, & Behr, 1987). δ) Η τέταρτη κατηγορία περιλαμβάνει έρευνες που εξετάζουν τις αναπαραστάσεις σε σχέση με συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες (π.χ. Ασβεστά & Γαγάτσης, 1995; Hitt, 1998; Michaelidou, Gagatsis & Pitta-Pantazi, 2004; Elia, Panaoura, Eracleous & Gagatsis, 2007). ε) Η πέμπτη κατηγορία περιλαμβάνει έρευνες που εξετάζουν τις αναπαραστάσεις και τη μετάβαση από ένα πεδίο αναπαράστασης σε άλλο (π.χ. Gagatsis, Elia, & Mougi, 2002; Gagatsis & Shiakalli, 2004). Ο όρος «αναπαράσταση» αναφέρεται σε ένα νοητικό σύμβολο ή έννοια (signified and referenced concept), το οποίο αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο υλικό σύμβολο (signifier and referent material sign) (Kaput, 1987). Μια βασική διάκριση που επισημαίνεται στην περιοχή των αναπαραστάσεων είναι ανάμεσα στις εσωτερικές/ νοητικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις (DeWindt-King & Goldin, 2003; Goldin & Shteingold, 2001; Goldin & Kaput, 1996). Οι εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρονται στους πιθανούς νοητικούς σχηματισμούς ή εικόνες που οικοδομούν τα υποκείμενα για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγματικότητα (Hiebert & Carpenter, 1988), ενώ οι εξωτερικές αναπαραστάσεις αντιπροσωπεύουν τους εξωτερικούς συμβολικούς φορείς, οι οποίοι αποσκοπούν στην αναπαράσταση μιας συγκεκριμένης πραγματικότητας (Dufour-Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987). Η εξωτερική αναπαράσταση μαθηματικών ιδεών είναι αναγκαία για την παρουσίαση και την επικοινωνία μαθηματικών ιδεών και μπορεί να έχει μια ή περισσότερες μορφές (Hiebert & Carpenter, 1992). Συγκεκριμένα, επισημαίνονται από τους Lesh, Post και Behr (1987) πέντε διαφορετικά είδη συστημάτων εξωτερικών αναπαραστάσεων σε σχέση με τη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος: κείμενα, χειριστικά μοντέλα/αντικείμενα, στατικές εικόνες ή διαγράμματα, γλώσσες και γραπτά κείμενα. Ιδιαίτερα σημαντική για αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση είναι η αμφίδρομη σχέση αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις (Goldin & Shteingold, 2001). Από τη μια, το άτομο εξωτερικεύει ενέργειες που πηγάζουν από εσωτερικές δομές αφού εξαιτίας της φύσης τους οι εσωτερικές αναπαραστάσεις δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμες. Η ύπαρξη και η δομή τους υποδηλώνεται από την εξωτερική συμπεριφορά του ατόμου, κυρίως με βάση την αλληλεπίδρασή του με εξωτερικές αναπαραστάσεις (Hiebert & Carpenter, 1992). Από την άλλη, το άτομο εσωτερικεύει πράξεις μέσα από την αλληλεπίδρασή του με εξωτερικές φυσικές δομές ενός συμβολικού συστήματος. Ο τρόπος με τον οποίο το άτομο αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει μια εξωτερική αναπαράσταση βασίζεται στις νοητικές αναπαραστάσεις που έχει ήδη οικοδομήσει ως αποτέλεσμα προηγούμενων εμπειριών και γνώσεων (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου & Σιακαλλή, 2001). Κατά συνέπεια, η κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας μπορεί να γίνει αντιληπτή με αναφορά σε εσωτερικά συνεχώς 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 178

αναπτυσσόμενα και δομημένα δίκτυα αναπαραστάσεων (Hiebert & Carpenter, 1992). Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθησιακή διαδικασία καθορίζουν σε σημαντικό βαθμό τα όσα μαθαίνει ο μαθητής και το πόσο εύκολα επιτυγχάνεται η κατανόηση των εννοιών στα μαθηματικά (Cheng, 2000). Λειτουργούν δηλαδή ως χρήσιμα εργαλεία για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, την εννοιολογική κατανόηση και την επικοινωνία μαθηματικών εννοιών (Greeno & Hall, 1997). Ειδικότερα, η ανάγκη χρήσης ποικιλίας αναπαραστάσεων συνδέεται με την οικονομία επεξεργασίας, τη συμπληρωματικότητα των πεδίων αναπαράστασης και τη δομή της αναπαράστασης σε σχέση με την κατανόηση (Duval, 1987; Duval, 1993; Gagatsis, 1997). Ο Duval (1987) επισημαίνει ότι κάθε πεδίο αναπαράστασης χαρακτηρίζεται από διαφορετικές δυνατότητες. Κάθε αναπαράσταση είναι γνωστικά μερική ως προς αυτό που παριστάνει και το κάθε πεδίο αναπαριστά διαφορετικές πτυχές του πεδίου μιας κατάστασης, οπότε η όσο το δυνατόν πληρέστερη κατανόηση μιας έννοιας βασίζεται στο συνδυασμό τουλάχιστον δύο πεδίων αναπαράστασης (Γαγάτσης et al., 2001). Άρα ο συντονισμός των διαφόρων σημειωτικών συστημάτων δεν αποτελεί συνέπεια αλλά προϋπόθεση της κατανόησης στα μαθηματικά (Duval, 2006). Ωστόσο, αυτή η πολλαπλότητα των αναπαραστάσεων αυξάνει τη δυσκολία και την πολυπλοκότητα της μάθησης των μαθηματικών αφού αναμένεται από το μαθητή να αντιληφθεί τις κοινές ιδιότητες των διαφορετικών αναπαραστάσεων που αναφέρονται στην ίδια έννοια, την κοινή υποκείμενη μαθηματική έννοια ώστε να κατορθώσει να οικοδομήσει την έννοια που αποτελεί στόχο της διδασκαλίας (Γαγάτσης et al., 2001). Κατά συνέπεια, η αναγνώριση και αξιοποίηση των σχέσεων δομής ανάμεσα σε αναπαραστάσεις που διαφέρουν όσον αφορά στα εξωτερικά χαρακτηριστικά είναι σύμφυτη με τη μαθηματική γνώση (Greer & Harel, 1998). Η δυσκολία ορισμένων μαθητών να συνδέσουν τα διάφορα πεδία αναπαράστασης υποδηλώνει την ύπαρξη στεγανοποίησης. Το φαινόμενο αυτό υποδεικνύει μια γνωστική δυσκολία στην επίτευξη μιας ευέλικτης μετάβασης μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων για την ίδια μαθηματική έννοια (Duval, 2002). Οι Vinner και Dreyfus (1989) χρησιμοποιούν τον όρο της στεγανοποίησης όχι μόνο όσον αφορά στις αναπαραστάσεις αλλά με μια πιο διευρυμένη ερμηνεία. Συγκεκριμένα, οι ερευνητές αυτοί επισημαίνουν ότι η στεγανοποίηση προκύπτει όταν ένα άτομο διαθέτει δύο διαφορετικά, πιθανόν αντίθετα σχήματα μίας γνωστικής δομής. Η ασυνέπεια στη συμπεριφορά του αποτελεί ένδειξη του συγκεκριμένου φαινομένου. Σχετικά, οι Lesh κ.ά. (1987) υποστηρίζουν ότι η κατανόηση μιας έννοιας προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας, όταν αυτή παρουσιάζεται με μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης, την ικανότητα ευέλικτου χειρισμού της έννοιας μέσα στα συγκεκριμένα συστήματα αναπαράστασης και την ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο. Η ταξινομία του Hitt (1998) προχωρεί ένα βήμα πάρα πέρα από αυτήν των Lesh κ.ά. (1987), διακρίνοντας τα εξής επίπεδα οικοδόμησης της έννοιας: Επίπεδο 1: Τα υποκείμενα έχουν ανακριβείς ιδέες για την έννοια (μη συναφές μείγμα διαφόρων αναπαραστάσεων της έννοιας. Επίπεδο 2: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να εντοπίζουν διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας. Επίπεδο 3: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να κάνουν μετάφραση με διατήρηση του νοήματος από το ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο. Επίπεδο 4: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να συνδυάζουν δύο συστήματα αναπαράστασης. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 179

Επίπεδο 5: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να συνδυάζουν διάφορα συστήματα αναπαράστασης με στόχο την επίλυση προβλήματος. Η ικανότητα αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης αναφέρονται σύμφωνα με την παρούσα έρευνα στην ευχέρεια χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων μιας μαθηματικής έννοιας από τους μαθητές. Παράλληλα, εξετάζεται η σχέση της ευχέρειας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος, η οποία αναγνωρίζεται ως ο πρωταρχικός σκοπός της διδασκαλίας των μαθηματικών (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Διάφοροι ερευνητές (π.χ. Lesh et al., 1987; Niemi, 1996; Hitt, 1998; Cramer, Post, & DelMas, 2002; Gagatsis & Shiakalli, 2004) επισημαίνουν ότι η ικανότητα μετασχηματισμού στο ίδιο σύστημα αναπαράστασης και από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο σχετίζεται με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος και την εννοιολογική κατανόηση εννοιών. Παρόλα αυτά δεν έχει εξεταστεί συστηματικά η σχέση μεταξύ της ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων για μια μαθηματική έννοια σε σχέση με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος με διαφορετικά πεδία αναπαράστασης όταν οι μαθητές βρίσκονται σε ένα κρίσιμο στάδιο μετάβασης. Μια προσπάθεια διερεύνησης του σχετικού θέματος επιχειρήθηκε πρόσφατα από τους Deliyianni, Elia, Panaoura και Gagatsis (in press, 2008a), οι οποίοι επισημαίνουν ότι η ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων προβλέπει σε σημαντικό βαθμό την επίδοση των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων με ποικιλία αναπαραστάσεων στη συγκεκριμένη έννοια. Η σχέση αυτή όμως ποικίλλει ανάλογα με το πεδίο αναπαράστασης του προβλήματος και τις γνωστικές διαδικασίες που απαιτούνται για την επίλυσή του (Deliyianni et al., 2008a). Η διερεύνηση του θέματος με άξονα την κατανόηση ρητών αριθμών δεν είναι τυχαία. Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες (α) από πρακτικής άποψης, αφού η ικανότητα αποτελεσματικού χειρισμού των ρητών αριθμών βελτιώνει την ικανότητα κατανόησης και χειρισμού προβλημάτων της καθημερινής ζωής, (β) από ψυχολογικής άποψης λόγω του γεγονότος ότι οι ρητοί αριθμοί παρέχουν στους μαθητές τη δυνατότητα να αναπτύξουν και να επεκτείνουν νοητικές δομές οι οποίες είναι απαραίτητες για τη συνεχή πνευματική ανάπτυξη και (γ) από μαθηματικής άποψης, αφού η κατανόηση των ρητών αριθμών αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο βασίζονται οι στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983). Λόγω της σημαντικότητάς τους η κατανόηση των ρητών αριθμών αποτέλεσε τις τελευταίες δεκαετίες το επίκεντρο του ενδιαφέροντος των ερευνητών (π.χ. Mack, 2000; Lamon, 2001; Cramer, Post & DelMas, 2002; Ni & Zhou, 2005), οι οποίοι προσέγγισαν το θέμα από διάφορες οπτικές γωνίες. Φαίνεται όμως ότι παρά τη σημασία τους οι ρητοί αριθμοί αποτελούν, όπως επισημαίνεται ερευνητικά (π.χ. Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Niemi, 1996; Boulet, 1998; Moss, 2005) μια από τις πιο περίπλοκες μαθηματικές έννοιες που συναντούν οι μαθητές τόσο στην πρωτοβάθμια όσο και στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Τα ερευνητικά αποτελέσματα των Deliyianni, Panaoura, Elia και Gagatsis (in press, 2008b) επισημαίνουν δύο διαστάσεις εννοιολογικής κατανόησης της πρόσθεσης κλασμάτων: την ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και την ικανότητα επίλυσης προβλήματος με διάφορα πεδία αναπαράστασης. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση του τρόπου αντιμετώπισης έργων των δύο διαστάσεων εννοιολογικής κατανόησης της πρόσθεσης κλασμάτων από τους Κύπριους και Ελλαδίτες μαθητές Α και Β γυμνασίου. Παράλληλα επιχειρείται σύγκριση του τρόπου αντιμετώπισης των έργων αυτών από τους μαθητές των δύο χωρών για τον εντοπισμό ομοιοτήτων και διαφορών στη συμπεριφορά τους. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 180

Μεθοδολογία Δείγμα Δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 1053 μαθητές Α και Β γυμνασίου στην Κύπρο και την Ελλάδα. Συγκεκριμένα, λαμβάνουν μέρος 406 Κύπριοι μαθητές Α γυμνασίου, 466 Κύπριοι μαθητές Β γυμνασίου, 97 Ελλαδίτες μαθητές Α γυμνασίου και 84 Ελλαδίτες μαθητές Β γυμνασίου. Τα δεδομένα όσον αφορά στους Κύπριους μαθητές έχουν συλλεγεί στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος του Πανεπιστημίου Κύπρου MED19, το οποίο διερευνά το ρόλο των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών κατά τη μετάβαση των μαθητών από την πρωτοβάθμια στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Τα δεδομένα στην Ελλάδα έχουν συλλεγεί στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας για απόκτηση μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών του Στέλιου Αμπράζη στο Πανεπιστήμιο Αθήνας. Διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας Σε όλους τους μαθητές που λαμβάνουν μέρος στην έρευνα δόθηκε δοκίμιο διάρκειας 40 λεπτών, το οποίο οι μαθητές έλυσαν χωρίς οποιαδήποτε διευκρίνιση ή βοήθεια. Μέσα συλλογής δεδομένων Για τη συλλογή των δεδομένων της παρούσας έρευνας χρησιμοποιήθηκε το δοκίμιο πρόσθεσης κλασμάτων, το οποίο κατασκευάστηκε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος MED19. Συγκεκριμένα, το δοκίμιο διερευνά την εννοιολογική κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων με βάση τις εξής δύο διαστάσεις: ευχέρεια χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και ικανότητα επίλυσης προβλήματος με πολλαπλές αναπαραστάσεις (Deliyianni et al., 2008b). Η ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων εξετάζεται στη παρούσα έρευνα με έργα α) αναγνώρισης της πρόσθεσης κλασμάτων σε ποικιλία διαγραμματικών αναπαραστάσεων, β) χειρισμού στο συμβολικό πεδίο αναπαράστασης της πρόσθεσης κλασμάτων και γ) μετάφρασης από το συμβολικό στο διαγραμματικό πεδίο αναπαράστασης και αντίστροφα. Οι διαγραμματικές αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στην παρούσα έρευνα είναι η κυκλική και ορθογώνια επιφάνεια εμβαδού και το γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής. Όσον αφορά τα προβλήματα κάθε δοκίμιο περιλαμβάνει τρία προβλήματα: διαγραμματικό πρόβλημα, λεκτικό πρόβλημα με βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση, λεκτικό πρόβλημα. Επιπλέον, περιλαμβάνεται ένα λεκτικό πρόβλημα αιτιολόγησης. Αναλυτικά, το δοκίμιο πρόσθεσης κλασμάτων περιλαμβάνει: Έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων (REfLa, REfCa, REfRa, REfLb, REfRb) και ετερώνυμων (REfLc, REfRc, REfCc) κλασμάτων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα των έργων αναγνώρισης της πρόσθεσης κλασμάτων είναι το εξής: 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 181

Βάλε σε κύκλο το διάγραμμα ή τα διαγράμματα που το σκιασμένο μέρος αντιστοιχεί στην εξίσωση 3/14 + 5/14. 0 1 (REfLa) (REfCa) (REfRa) Έργα μετάφρασης από διαγραμματική σε συμβολική αναπαράσταση της πρόσθεσης κλασμάτων. Η πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων παρουσιάζεται στην αριθμητική γραμμή (COfLSs) και σε κυκλική επιφάνεια εμβαδού (COfCSs), ενώ η πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων στην αριθμητική γραμμή (COfLSd) και σε ορθογώνιο διάγραμμα (COfRSd). Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το πιο κάτω: Γράψε την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων που αντιστοιχεί στο σκιασμένο μέρος του πιο κάτω διαγράμματος: Εξίσωση:... (COfRSd) Έργα μετάφρασης από συμβολική σε διαγραμματική αναπαράσταση της πρόσθεσης κλασμάτων. Οι μαθητές κλήθηκαν στα συγκεκριμένα έργα να αναπαραστήσουν εξισώσεις πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων σε κυκλικό διάγραμμα (COfSCs) και στην αριθμητική γραμμή (COfSLs), και εξισώσεις πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων στην ορθογώνια επιφάνεια εμβαδού (COfSRd) και στην αριθμητική γραμμή (COfSLd). Χαρακτηριστικό έργο μετάφρασης από συμβολική σε διαγραμματική αναπαράσταση είναι το πιο κάτω: Δείξε την πιο κάτω εξίσωση στο διάγραμμα: 1/12 + 7/12=. (COfSLs) 0 1 Έργα συμβολικού χειρισμού ομώνυμων (TRfSa, TRfSd) και ετερώνυμων (TRfSb, TRfSc) κλασμάτων. Για παράδειγμα: 1/6 + 4/12 =.. (TRfSb) Διαγραμματικό πρόβλημα πρόσθεσης κλασμάτων με άγνωστη ποσότητα τους προσθετέους (PfD). Κάθε είδος λουλουδιού είναι φυτεμένο στο μέρος του ορθογώνιου κήπου που φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα: 8 24 1 4 1 6 1 12 1 24 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 182 1 8

Με ποια τρία είδη είναι φυτεμένα τα 3/4 του κήπου; Λεκτικό πρόβλημα το οποίο συνοδεύεται με βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση και άγνωστη ποσότητα στους προσθετέους (PfVD). Ένα εργοστάσιο χυμού παράγει διαφορετικά είδη φυσικού χυμού ως εξής: - Το 1/4 της παραγωγής είναι χυμός γκρέιπφρουτ. - Τα 5/18 της παραγωγής είναι χυμός πορτοκάλι. - Τα 3/36 της παραγωγής είναι χυμός ντομάτας. - Τα 2/9 της παραγωγής είναι χυμός ροδάκινο. - Το 1/18 της παραγωγής είναι χυμός μήλου. - Τα 4/36 της παραγωγής είναι χυμός μήλου. Ποια τέσσερα είδη χυμών αποτελούν το 1/2 της παραγωγής; Λεκτικό πρόβλημα στο οποίο η έννοια της πρόσθεσης κλασμάτων αποτελεί ενδιάμεσο στάδιο και απαιτείται για την επίλυσή του γνώση της ερμηνείας του κλάσματος ως λόγου σύμφωνα με τους Behr κ.ά. (1983) (JfV). Ο υπεύθυνος ενός τσίρκου προετοιμάζει την παράσταση που θα δοθεί σε λίγες μέρες. Στις σημειώσεις του έγραψε τη χρονική διάρκεια κάθε προγράμματος: Πρόγραμμα με παλιάτσους: Πρόγραμμα με ακροβάτες: Πρόγραμμα ταχυδακτυλουργού: Μουσικοχορευτικό πρόγραμμα: Πρόγραμμα με ζώα: 1/2 της ώρας 1/6 της ώρας 1/3 της ώρας 2/1 της ώρας 1 ώρα Γράψε σε μορφή κλάσματος, τι μέρος της συνολικής χρονικής διάρκειας της παράστασης αποτελεί το μουσικοχορευτικό πρόγραμμα (Evapmib, 2007). 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 183

Έργο αιτιολόγησης στο οποίο εμπλέκεται η έννοια της πρόσθεσης ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων. Όταν προσθέσεις δύο κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Συμφωνείς/ Διαφωνείς με την άποψη αυτή; Δικαιολόγησε την απάντησή σου (Δεληγιάννη, Ελία, Παναούρα & Γαγάτσης, 2007). Ανάλυση δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων εφαρμόστηκε η ανάλυση ομοιότητας (Lerman, 1981) με τη χρήση του στατιστικού προγράμματος CHIC (Gras, Peter, Briand, & Philippe, 1997). Αποτελέσματα Στο Διάγραμμα 1, το οποίο παρουσιάζει τις σχέσεις ομοιότητας μεταξύ των έργων του δοκιμίου κλασμάτων, σύμφωνα με τον τρόπο αντιμετώπισής τους από τους μαθητές της Α γυμνασίου, οι οποίοι φοιτούν στην Κύπρο, σχηματίζονται δύο κλάσεις σχέσεων ομοιότητας. Διάγραμμα 1. Σχέσεις ομοιότητας της συμπεριφοράς που επέδειξαν οι Κύπριοι μαθητές της Α Γυμνασίου, στα διάφορα έργα του δοκιμίου κλασμάτων Η πρώτη κλάση περιλαμβάνει δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται τρία έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων σε διαγραμματικές αναπαραστάσεις με αριθμό υποδιαιρέσεων πολλαπλάσιο του αριθμού του παρονομαστή, ένα έργο χειρισμού 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 184

πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων και το έργο αιτιολόγησης. Στη δεύτερη υποομάδα εμπεριέχονται έργα μετάφρασης από αριθμητική γραμμή σε συμβολική αναπαράσταση πρόσθεσης τόσο ομώνυμων, όσο και ετερώνυμων κλασμάτων και έργα αναγνώρισης ομώνυμων κλασμάτων στην αριθμητική γραμμή και στην κυκλική επιφάνεια εμβαδού. Η δεύτερη κλάση αποτελείται από δύο υποομάδες. Η πρώτη υποομάδα περιλαμβάνει δύο έργα χειρισμού πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων, το διαγραμματικό και το λεκτικό πρόβλημα. Σε αυτή την υποομάδα περιλαμβάνονται δύο έργα μετάφρασης ομώνυμων κλασμάτων από συμβολική αναπαράσταση σε κυκλική αναπαράσταση και σε αριθμητική γραμμή και ένα έργο μετάφρασης της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων από συμβολική αναπαράσταση σε επιφάνεια ορθογωνίου. Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται δύο έργα μετάφρασης κλασμάτων το πρώτο έργο είναι μετάφραση πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων από κυκλική σε συμβολική αναπαράσταση, ενώ το δεύτερο έργο είναι μετάφραση πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων από ορθογώνια επιφάνεια σε συμβολική αναπαράσταση. Στην ίδια υποομάδα συμπεριλαμβάνονται τρία έργα αναγνώρισης ετερώνυμων κλασμάτων σε όλες τις διαγραμματικές αναπαραστάσεις. Τέλος, σε αυτή την υποομάδα περιλαμβάνεται ένα έργο χειρισμού πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων σε συμβολική μορφή και το λεκτικό πρόβλημα πρόσθεσης κλασμάτων που συνοδεύεται από βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση. Γενικά, οι μαθητές της Α τάξης γυμνασίου φαίνεται ότι επιδεικνύουν μεγαλύτερη συνέπεια ως προς την αναπαράσταση που περιλαμβάνεται στα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων παρά ως προς την εμπλεκόμενη υπό-έννοια της πρόσθεσης ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων. Για παράδειγμα, οι μαθητές συμπεριφέρονται με όμοιο τρόπο όταν επιλύουν έργα μετάφρασης πρόσθεσης κλασμάτων από συμβολική σε διαγραμματική αναπαράσταση, ανεξάρτητα αν εμπλέκονται ετερώνυμα ή ομώνυμα κλάσματα. Παρατηρείται λοιπόν το φαινόμενο της στεγανοποίησης, αφού αντί οι μαθητές να εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά σε έργα που εμπλέκουν τις ίδιες υπό-έννοιες, εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά σε έργα μετάφρασης με την ίδια αρχική αναπαράσταση. Επιπλέον, σε κάποιες περιπτώσεις οι μαθητές αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα που επιτελούν την ίδια λειτουργία και εμπλέκουν τη ίδια υπό-έννοια, όπως για παράδειγμα κατά την επίλυση έργων αναγνώρισης της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων ή χειρισμού ετερώνυμων κλασμάτων. Γενικά, δεν παρατηρείται όμως όμοια συμπεριφορά των μαθητών σε έργα που αναπαριστούν την ίδια υπό-έννοια και εκφράζονται μέσα από διαφορετικές λειτουργίες και αναπαραστάσεις (Δεληγιάννη κ.ά., 2007). Όσον αφορά στην επίλυση προβλήματος, δεν παρατηρείται στεγανοποίηση των συγκεκριμένων έργων σε σχέση με τα έργα ευελιξίας πολλαπλών αναπαραστάσεων, κάτι που υποδεικνύει τη στενή σχέση και αλληλεπίδραση των δύο διαστάσεων για την εννοιολογική κατανόηση κλασμάτων (Δεληγιάννη κ.ά., 2007; Deliyianni et al., 2008b). Η διασύνδεση όμως των έργων επίλυσης προβλήματος με τα έργα ευελιξίας πολλαπλών αναπαραστάσεων γίνεται με τρόπο αποσπασματικό. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 185

Διάγραμμα 2. Σχέσεις ομοιότητας της συμπεριφοράς που επέδειξαν οι Ελλαδίτες μαθητές της Α Γυμνασίου, στα διάφορα έργα του δοκιμίου κλασμάτων. Στο Διάγραμμα 2, το οποίο παρουσιάζει τις σχέσεις ομοιότητας μεταξύ των έργων του δοκιμίου των κλασμάτων, σύμφωνα με τον τρόπο αντιμετώπισης τους από τους μαθητές της Α γυμνασίου, οι οποίοι φοιτούν στην Ελλάδα, διαφαίνονται δύο κλάσεις. Η πρώτη κλάση περιλαμβάνει δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται δύο έργα χειρισμού πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων σε συμβολική μορφή. Οι μαθητές στο έργο αιτιολόγησης συμπεριφέρονται με όμοιο τρόπο με τα δύο αυτά έργα χειρισμού. Η δεύτερη υποομάδα αποτελείται από δύο μεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία όλα τα έργα μετάφρασης εκτός το έργο μετάφρασης από την αναπαράσταση ορθογωνίου σε συμβολική αναπαράσταση. Η δεύτερη κατηγορία συμπεριλαμβάνει το έργο μετάφρασης από ορθογώνια επιφάνεια σε συμβολική αναπαράσταση, τα δύο προβλήματα με κύρια και βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση με άγνωστη ποσότητα τους προσθετέους και τα έργα αναγνώρισης πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων. Η δεύτερη κλάση αποτελείται από δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα ανήκουν δύο έργα χειρισμού πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων ενώ στην δεύτερη υποομάδα συμπεριλαμβάνονται έργα αναγνώρισης πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων. Από τα πιο πάνω φαίνεται ότι οι Ελλαδίτες μαθητές επιδεικνύουν μεγαλύτερη συνέπεια ως προς τη λειτουργία που οι αναπαραστάσεις επιτελούν στα έργα μετάφρασης παρά ως προς την εμπλεκόμενη. Ως εκ τούτου, δεν παρατηρείται στεγανοποίηση ως προς την αρχική αναπαράσταση στα έργα μετάφρασης αφού οι Ελλαδίτες μαθητές αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο τα έργα μετάφρασης από διαγραμματική σε συμβολική αναπαράσταση και το αντίστροφο. Από την άλλη τα έργα αναγνώρισης και χειρισμού ομαδοποιούνται με βάση τόσο την εμπλεκόμενη λειτουργία όσο και τη σχετική έννοια. Με άλλα λόγια, οι μαθητές αντιμετωπίσουν με τον ίδιο τρόπο έργα που επιτελούν την ίδια λειτουργία και εμπλέκουν την ίδια υπό-έννοια. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 186

Συγκεκριμένα, τα έργα αναγνώρισης, τα οποία αναφέρονται στην πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων, ομαδοποιούνται στην πρώτη κλάση, ενώ αυτά που αναφέρονται στην πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων ομαδοποιούνται στη δεύτερη κλάση. Τέλος, όσον αφορά στα έργα χειρισμού, δηλαδή δύο έργα χειρισμού πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων ομαδοποιούνται στην πρώτη κλάση, ενώ δύο έργα ετερώνυμων κλασμάτων ομαδοποιούνται στη δεύτερη κλάση. Όσον αφορά στην επίλυση προβλήματος οι Ελλαδίτες μαθητές της Α γυμνασίου αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο την επίλυση των προβλημάτων με κύρια ή βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση λόγω πιθανόν της κοινής μαθηματικής δομής των δύο προβλημάτων (με άγνωστο τους προσθετέους). Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι τα έργα επίλυσης προβλήματος δεν παρουσιάζονται στεγανοποιημένα από τα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων. Με βάση τα Διαγράμματα 1 και 2, τόσο στους Ελλαδίτες όσο και στους Κύπριους μαθητές της Α γυμνασίου παρατηρείται το φαινόμενο της στεγανοποίησης. Οι μαθητές φαίνεται ότι δεν αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης με βάση την εμπλεκόμενη έννοια των ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων. Αντίθετα, αντιμετωπίζουν αποσπασματικά τα έργα με βάση την εμπλεκόμενη αναπαράσταση ή αναπαραστατική λειτουργία. Οι Κύπριοι μαθητές στην Α Γυμνασίου φαίνεται να παρουσιάζουν και τα δύο είδη στεγανοποίησης (Δεληγιάννη κ.ά., 2007). Αντίθετα, οι Ελλαδίτες μαθητές φαίνεται να έχουν ξεπεράσει το στάδιο στεγανοποίησης ως προς την εμπλεκόμενη αναπαράσταση. Παρόλα αυτά, αντιμετωπίζουν κυρίως με όμοιο τρόπο έργα που επιτελούν την ίδια λειτουργία ανεξάρτητα από την εμπλεκόμενη έννοια. Στο Διάγραμμα 3 ομαδοποιούνται τα έργα που αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο από τους μαθητές της Β γυμνασίου. Διάγραμμα 3. Σχέσεις ομοιότητας της συμπεριφορά που επέδειξαν οι Κύπριοι μαθητές της Β Γυμνασίου, στα διάφορα έργα του δοκιμίου κλασμάτων 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 187

Σχηματίζονται συνολικά δύο κλάσεις ομοιότητας. Στην πρώτη κλάση ομαδοποιούνται σχεδόν όλα τα έργα χειρισμού κλασμάτων, τόσο ετερώνυμων όσο και ομώνυμων. Αυτό υποδηλώνει ότι οι μαθητές της Β τάξης άρχισαν να εξοικειώνονται με τα έργα χειρισμού κλασμάτων και να τα αντιμετωπίζουν με παρόμοιο τρόπο είτε είναι ομώνυμα είτε ετερώνυμα. Ακόμη, στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται έργα μετάφρασης ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων μετάφραση πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων από κυκλική επιφάνεια σε συμβολική αναπαράσταση και μετάφραση πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων από ορθογώνια επιφάνεια σε συμβολική αναπαράσταση. Τέλος, σε αυτή την υποομάδα ανήκουν ένα έργο αναγνώρισης ομώνυμων κλασμάτων, το έργο αιτιολόγησης και το διαγραμματικό πρόβλημα. Στην δεύτερη κλάση περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Η πρώτη υποομάδα περιλαμβάνει το πρόβλημα πρόσθεσης κλασμάτων σε λεκτική μορφή με βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση και ένα έργο χειρισμού ομώνυμων κλασμάτων σε συμβολική μορφή. Ακόμη, στη συγκεκριμένη υποομάδα συμπεριλαμβάνονται έργα μετάφρασης ομώνυμων κλασμάτων από συμβολική αναπαράσταση σε κυκλική αναπαράσταση και έργα μετάφρασης ετερώνυμων κλασμάτων από συμβολική αναπαράσταση σε ορθογώνια επιφάνεια και από αριθμητική γραμμή σε συμβολική αναπαράσταση. Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται έργα μετάφρασης ομώνυμων κλασμάτων από συμβολική αναπαράσταση σε αριθμητική γραμμή και αντιστρόφως. Ακόμη, σε αυτή την υποομάδα ομαδοποιούνται έργα αναγνώρισης πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων στην αριθμητική γραμμή και στην επιφάνεια ορθογωνίου και το λεκτικό πρόβλημα. Με βάση το Διάγραμμα 3 φαίνεται ότι οι μαθητές της Β γυμνασίου σε επιμέρους περιπτώσεις αντιμετωπίζουν με τον ίδιο τρόπο έργα που επιτελούν διαφορετική λειτουργία αλλά έχουν την ίδια υποκείμενη υπό-έννοια, υποδηλώνοντας βελτίωση στην επίδοσή τους. Για παράδειγμα, αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα αναγνώρισης και μετάφρασης ομώνυμων κλασμάτων. Φαίνεται όμως ότι σε άλλες περιπτώσεις αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα ίδιας λειτουργίας που εμπλέκουν την ίδια υπό-έννοια. Συγκεκριμένα αντιμετωπίζουν με τον ίδιο τρόπο έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων. Από την άλλη, αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα μετάφρασης με την ίδια αρχική αναπαράσταση, διαγραμματική ή συμβολική, ανεξάρτητα από την εμπλεκόμενη έννοια κάτι που υποδηλώνει στεγανοποίηση ως προς την εμπλεκόμενη αναπαράσταση. Στα προβλήματα με κύρια ή βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση οι μαθητές παρουσιάζουν την ίδια συμπεριφορά με κάποια έργα μετάφρασης που εμπλέκουν ορθογώνια και κυκλική επιφάνεια εμβαδού αλλά και έργα χειρισμού και αναγνώρισης πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων. Η όμοια συμπεριφορά τους στα έργα επίλυσης προβλημάτων και ευχέρειας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων υποδηλώνει ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν τις λειτουργίες αναπαράστασης και κατά τη σύνθετη διαδικασία της επίλυσης προβλήματος πιθανόν λόγω της ανάπτυξης της εννοιολογικής τους κατανόησης. Παρόλα αυτά, το γεγονός ότι μόνο ορισμένα έργα ευχέρειας χρήσης αναπαραστάσεων αντιμετωπίζονται με όμοιο τρόπο με κάποια προβλήματα και ορισμένα άλλα με τα υπόλοιπα προβλήματα υποδεικνύει ότι υπάρχει εν μέρει μορφή στεγανοποίησης. Οι μαθητές γενικά φαίνεται ότι δεν έχουν κατανοήσει ότι τα έργα αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης αναφέρονται στην ίδια έννοια οπότε ο τρόπος αντιμετώπισής τους σε σχέση με τα έργα επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης δεν μπορεί να γίνεται αποσπασματικά (Δεληγιάννη κ.ά., 2007). 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 188

Διάγραμμα 4. Σχέσεις ομοιότητας της συμπεριφοράς που επέδειξαν οι Ελλαδίτες μαθητές της Β Γυμνασίου, στα διάφορα έργα του δοκιμίου κλασμάτων. Στο Διάγραμμα 4 ομαδοποιούνται τα έργα που αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο από τους μαθητές της Β γυμνασίου στην Ελλάδα. Στο διάγραμμα αυτό διαφαίνονται τρεις κλάσεις. Στην κλάση 1 περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται τα έργα χειρισμού της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων, το έργο μετάφρασης από τη συμβολική μορφή στην ορθογώνια επιφάνεια της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων, το έργο αιτιολόγησης και το έργο αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων στην κυκλική επιφάνεια με αριθμό υποδιαιρέσεων διαφορετικό του παρονομαστή. Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων στα οποία εμπλέκεται η έννοια της ισοδυναμίας και όλα τα έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων. Στη δεύτερη κλάση περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται τα έργα χειρισμού της πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων, το έργο επίλυσης προβλήματος με λεκτική παρουσίαση δεδομένων και έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων. Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνεται ένα έργο χειρισμού της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων, το έργο μετάφρασης από την αριθμητική γραμμή στη συμβολική μορφή της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων και το λεκτικό πρόβλημα με βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση. Στην κλάση 3 περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υπό-ομάδα περιλαμβάνονται τα έργα μετάφρασης από τη συμβολική μορφή στην κυκλική επιφάνεια και αριθμητική γραμμή της πρόσθεσης ομώνυμων ή ετερώνυμων κλασμάτων και το έργο επίλυσης προβλήματος με κύρια διαγραμματική αναπαράσταση. Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται τα έργα μετάφρασης από τις τρεις διαγραμματικές αναπαραστάσεις στη συμβολική μορφή της πρόσθεσης ομώνυμων ή ετερώνυμων κλασμάτων. Με βάση το Διάγραμμα 4 φαίνεται ότι οι Ελλαδίτες μαθητές της Β γυμνασίου αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο τα περισσότερα έργα μετάφρασης ανεξάρτητα από την υποομάδα που 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 189

εμπλέκουν αφού τα συγκεκριμένα ξεχωρίζουν σχεδόν όλα από τα υπόλοιπα έργα διαφορετικών λειτουργιών στην κλάση 3, υποδεικνύοντας μια μορφή στεγανοποίησης ως προς την αναπαραστατική λειτουργία αλλά όχι ως προς την αρχική αναπαράσταση. Επιπλέον, οι μαθητές φαίνεται να αντιμετωπίζουν με τον ίδιο τρόπο έργα που επιτελούν ίδια λειτουργία και εμπλέκουν την ίδια υπό-έννοια. Ενδεικτικά, παρουσιάζουν ίδια συμπεριφορά στα έργα αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων ή στα έργα χειρισμού πρόσθεσης ετερώνυμων κλασμάτων. Από την άλλη δε φαίνεται σχεδόν πουθενά στο διάγραμμα να αντιμετωπίζουν με ίδιο τρόπο έργα που επιτελούν διαφορετική λειτουργία και εμπλέκουν την ίδια υπό-έννοια κάτι που υποδεικνύει αποσπασματική κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων. Η μόνη περίπτωση που θα μπορούσε να ειπωθεί ότι αντιμετωπίζουν με ίδιο τρόπο έργα διαφορετικών λειτουργιών αλλά της ίδιας υπόέννοιας είναι στην περίπτωση κάποιων έργων αναγνώρισης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων τα οποία αντιμετωπίζουν με παρόμοιο τρόπο με ένα έργο χειρισμού και ένα έργο μετάφρασης της πρόσθεσης ομώνυμων κλασμάτων. Όσον αφορά στην επίλυση προβλήματος φαίνεται να λύνονται από τους μαθητές με βάση την αναπαράσταση που εμπλέκουν. Για το λόγο αυτό οι μαθητές αντιμετωπίζουν με συνέπεια την επίλυση λεκτικού προβλήματος και λεκτικού προβλήματος με βοηθητική διαγραμματική αναπαράσταση (PfVda, PfVa). Αξίζει να σημειωθεί όμως ότι γενικά δε φαίνεται να αντιμετωπίζουν αποστασιοποιημένα τα έργα επίλυσης προβλήματος σε σχέση με τα υπόλοιπα έργα. Από τα Διαγράμματα 3 και 4, εντοπίζεται βελτίωση της επίδοσης των Κυπρίων μαθητών της Β γυμνασίου. Σε αρκετές περιπτώσεις οι συγκεκριμένοι μαθητές αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο έργα διαφορετικών λειτουργιών που σχετίζονται με την πρόσθεση ομώνυμων ή ετερώνυμων κλασμάτων. Ωστόσο, σύμφωνα με το Διάγραμμα 3 το φαινόμενο της στεγανοποιήσης ως προς την εμπλεκόμενη αναπαράσταση ή λειτουργία είναι ακόμη παρόν και στη Β γυμνασίου. Από την άλλη, οι Ελλαδίτες μαθητές φαίνεται να παρουσιάζουν ακόμη το φαινόμενο της στεγανοποίησης ως προς την εμπλεκόμενη λειτουργία ακόμη πιο έντονο. Όσον αφορά στην επίλυση προβλήματος τόσο οι Κύπριοι όσο και οι Ελλαδίτες μαθητές δεν παρουσιάζουν το φαινόμενο της στεγανοποίησης ως προς τα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων. Ωστόσο, δεν υπάρχει συνέπεια στον τρόπο αντιμετώπισης των έργων των δύο διαστάσεων εννοιολογικής κατανόησης κλασμάτων. Συμπεράσματα Σκοπός της συγκεκριμένης έρευνας είναι η σύγκριση του τρόπου αντιμετώπισης έργων πρόσθεσης κλασμάτων στις δύο πρώτες τάξεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στην Κύπρο και την Ελλάδα. Τα έργα διακρίνονται σε δυο διαστάσεις κατανόησης της συγκεκριμένης έννοιας, την ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και την επίλυση προβλήματος με διάφορα πεδία αναπαράστασης πρόσθεσης κλασμάτων (Deliyianni et al., 2008b). Οι μαθητές στην Κύπρο έρχονται σε επαφή μέσα από τα σχολικά εγχειρίδια με ποικιλία αναπαραστάσεων και αναπαραστατικών λειτουργιών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση όσον αφορά στα κλάσματα (Deliyianni, Elia, Panaoura & Gagatsis, 2007, Δεληγιάννη κ.ά., 2007). Παρόλα αυτά φαίνεται ότι οι διαφορές που εντοπίστηκαν από τους Δεληγιάννη κ.ά. (2007) στα σχολικά εγχειρίδια των δύο βαθμίδων ως προς τις αναπαραστάσεις και τις λειτουργίες που αυτές επιτελούν φαίνεται να επηρεάζουν τη συμπεριφορά των μαθητών στην Α γυμνασίου στα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και επίλυσης προβλήματος με διάφορα πεδία 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 190

αναπαράστασης. Ως εκ τούτου, οι Κύπριοι μαθητές στην Α γυμνασίου αντιμετωπίζουν αποσπασματικά τα έργα ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων είτε ως προς την αναπαράσταση που εμπλέκεται (συμβολική, διαγραμματική) είτε ως προς την αναπαραστατική λειτουργία που επιτελείται (αναγνώριση, χειρισμός, μετάφραση) (Δεληγιάννη κ.ά., 2007; Deliyianni et al., 2007). Από την άλλη, οι Ελλαδίτες μαθητές στην Α γυμνασίου φαίνεται να έχουν ξεπεράσει το στάδιο στεγανοποίησης ως προς την εμπλεκόμενη αναπαράσταση. Αντιμετωπίζουν όμως με όμοιο τρόπο έργα που επιτελούν την ίδια λειτουργία είτε λαμβάνοντας υπόψη την υποκείμενη έννοια είτε όχι. Οι Κύπριοι μαθητές στη Β γυμνασίου παρουσιάζουν βελτίωση αφού σε αρκετές περιπτώσεις αντιμετωπίζουν έργα που επιτελούν διαφορετικές λειτουργίες αλλά εμπλέκουν την πρόσθεση ομώνυμων ή ετερώνυμων κλασμάτων με τον ίδιο τρόπο. Η βελτίωση αυτή αποδίδεται στη γνωστική ανάπτυξη και τη μάθηση που λαμβάνει χώρα από την Α στη Β γυμνασίου. Εντούτοις, δε φαίνεται να αντιμετωπίζουν με συνέπεια όλα τα έργα αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης που αναφέρονται στην πρόσθεση ομώνυμων ή ετερώνυμων κλασμάτων (Δεληγιάννη κ.ά., 2007; Deliyianni et al., 2007). Από την άλλη, οι Ελλαδίτες μαθητές στη Β γυμνασίου φαίνεται να αντιμετωπίζουν δυσκολίες όσον αφορά στον εντοπισμό της κοινής υποκείμενης έννοιας της πρόσθεσης κλασμάτων. Ως εκ τούτου, δεν αντιμετωπίζουν με όμοιο τρόπο τα έργα αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης που εμπλέκουν την ίδια υπό-έννοια. Αντίθετα, παρουσιάζεται εντονότερα το φαινόμενο της στεγανοποίησης ως προς τη λειτουργία που οι αναπαραστάσεις επιτελούν. Αξίζει, να σημειωθεί εξάλλου ότι ο τρόπος αντιμετώπισης κάποιων έργων παραμένει ο ίδιος για τους Κύπριους και Ελλαδίτες μαθητές τόσο στην Α όσο και στη Β γυμνασίου υποδηλώνοντας τη στασιμότητα στην επίδοσή τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Η επίλυση προβλήματος με ποικιλία αναπαραστάσεων δε φαίνεται να αντιμετωπίζεται από τους Ελλαδίτες και Κύπριους μαθητές στην Α και Β γυμνασίου με τρόπο διαφορετικό από τα έργα ευελιξίας πολλαπλών αναπαραστάσεων. Δεν παρατηρείται δηλαδή αποσπασματική αντιμετώπισή τους κάτι που υποδεικνύει ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται τη σχέση αλληλεπίδρασης των δύο διαστάσεων εννοιολογικής κατανόησης της πρόσθεσης κλασμάτων την οποία επισημαίνουν οι Deliyianni κ.ά. (2008b). Ωστόσο, η αποσπασματική αντιμετώπιση των έργων αναγνώρισης, χειρισμού και μετάφρασης της πρόσθεσης ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων αντικατοπτρίζεται και στον τρόπο αντιμετώπισης των έργων επίλυσης προβλήματος. Λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση στα έργα πολλαπλών αναπαραστάσεων όπως εντοπίζονται στην παρούσα έρευνα, θα ήταν ενδιαφέρουσα η διεξαγωγή στο μέλλον μιας διαχρονικής και συγκριτικής έρευνας που να εξετάζει την επίδοση μαθητών Κύπρου και Ελλάδας όταν μεταβαίνουν από την Στ τάξη του δημοτικού στην Α γυμνασίου. Αναφορές Ξενόγλωσσες Behr, M., Lesh, R., Post, T. & Silver, E. (1983). Rational number concepts. In R. Lesh and M. Landau (Eds.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (pp. 91-125). New York: Academic Press. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 191

Boulet, G. (1999). Large halves, small halves: Accounting for children s ordering of fractions. Focus on Learning Problems in Mathematics, 21 (3), 48-66. Cheng, P.C.H. (2000). Unlocking conceptual learning in mathematics and science with effective representational systems. Computers and Education, 33, 109-130. Cifarelli, V. (1998). The development of mental representations as a problem solving activity. The Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 238-264. Cramer, K., Post, T. & delmas, R. (2002). Initial fraction learning by fourth-and fifth grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33 (2), 111 144. DeWindt-King, A.M. & Goldin, G. A. (2003). Children s visual imagery: Aspects of cognitive representation in solving problems with fractions. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2(1), 1-42. Deliyianni, E., Elia, I, Panaoura, A. & Gagatsis, A. (2007). The functioning of representations in Cyprus mathematics textbooks. In E. P. Avgerinos & A. Gagatsis (Eds.), Current Trends in Mathematics Education (pp. 155-167). Rhodes: Cyprus Mathematics Society & University of Aegean. Deliyianni, E., Elia, I., Panaoura, A. & Gagatsis, A. (in press, 2008a). The role of representations in the understanding of fractions in elementary and secondary education. Proceedings of the 11 th International Congress of Mathematics Education. Monterrey, Mexico: ICME. Deliyianni, E., Panaoura, A., Elia, I. & Gagatsis, A. (in press, 2008b). A structural model for fraction understanding related to representations and problem solving. In O. Figueras and A. Sepulveda (Eds), Proceedings of the 32 nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Morelia, Mexico: PME. Dufour-Janvier, B., Bednarz, N. & Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representation. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 109-122). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), 1-16. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131. Duval, R. (1993). Registres de representation semiotique et fonctionnement cognitif de la pensee. Annales de Didactique et Sciences Cognitives, 37-65. Duval, R. (1987). Ο ρόλος της ερμηνείας στη μάθηση των μαθηματικών. Διάσταση, 2, 56-74. Elia, I. & Gagatsis, A. (2006). The effects of different modes of representations on mathematical problem solving: Two experimental programs. In J. Novotna, H. Moraova, M. Kratka & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of the 30 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 25-32). Prague: Charles University. Elia, I., Panaoura, A., Eracleous, A. & Gagatsis, A. (2007). Relations between secondary pupils conceptions about functions and problem solving in different representations. International Journal of Science and Mathematics Education, 5, 533 556. Gagatsis, A. (1997). Problemi di interpretazione connessi con il concetto di funzione. La Mathematica e la sua Didattica, 2, 132-149. Gagatsis, A. & Elia, I. (2005). Il concetto di funzione e le sue rappresentazioni nell educazione secondaria. Bollettino dei Docenti di Matematica, 50, 41-54. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 192

Gagatsis, A., Elia, I. & Mougi, A. (2002). The nature of multiple representations in developing mathematical relations. Scientia Paedagogica Experimentalis, 39(1), 9-24. Gagatsis, A., Kyriakides, L. & Panaoura, A. (2004). Assessing the cross-cultural applicability of number lines in conducting arithmetic operations using structural equation modeling: A comparative study between Cypriot, Italian and Greek primary pupils. World Studies in Education, 5(1), 85-101. Gagatsis, A. & Shiakalli, M. (2004). Ability to translate from one representation of the concept of function to another and mathematical problem solving. Educational Psychology, 24(5), 645-657. Goldin, G.A. (1998). Representational systems, learning, and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 137-165. Goldin, G. A. & Kaput, J. J. (1996). A joint perspective of the idea of representation in learning and doing mathematics. In von L. P. Steffe & Mahwah (Eds.), Theories of Mathematical Learning (pp. 397-430). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Systems of representation and the development of mathematical concepts. In A. A. Cuoco & F. R. Curcio (Eds.), The Role of Representation in School Mathematics (pp. 1-23). Boston, Virginia: NCTM. Gras, R., Peter, P., Briand, H. & Philippe, J. (1997). Implicative Statistical Analysis. In C. Hayashi, N. Ohsumi, N. Yajima, Y. Tanaka, H. Bock & Y. Baba (Eds.), Proceedings of the 5 th Conference of the International Federation of Classification Societies (Vol. 2, pp. 412-419). Tokyo, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. Greer, B. & Harel, G. (1998). The role of isomorphism in mathematical cognition. The Journal of Mathematical Behavior, 17 (1), 5-24. Greeno, J. G. & Hall, R.P. (1997). Practicing representation: Learning with and about representational forms, Phi Delta Kappan, 78, 361-367. Hiebert, J. & Carpenter, T. (1988). Learning and teaching with understanding. In D.A. Grouws & T.J. Cooney (Eds.), Effective Mathematics Teaching (pp. 65-97). Mahwah, NJ: Lawerence Erlbaum Associates. Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.65 97). New York: Macmillan Publishing Company. Hitt, F. (1998). Difficulties in the Articulation of Different Representations Linked to the Concept of Function. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 123-134. Kaput, J. J. (1987). Representation Systems and Mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 19-26). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Lamon, S. (2001). Presenting and representing. From fractions to rational numbers. In A. A. Cuoco & F. R. Curcio (Eds.), The Role of Representation in School Mathematics (pp. 146-165). Boston, Virginia: NCTM. Lerman, I.C. (1981). Classification et Analyse Ordinale des Données. Paris: Dunod. Lesh, R., Post, T. & Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, (pp. 33-40). Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 193

Mack, N. (2000). Long term effects of building on informal knowledge in a complex content domain. The case of multiplication of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 19, 307 332. Meletiou-Mavrotheris, M., & Stylianou, D. (2003). Advancing from elementary to secondary school mathematics in Cyprus: a step or a leap? In L. Rogers & J. Novotná (Eds.), Effective learning and teaching of mathematics from to primary to secondary school (pp.53-81). Bologna: Pitagora. Michaelidou, N., Gagatsis, A. & Pitta- Pantazi, D. (2004). The number line as a representation of decimal numbers: A research with sixth grade students. In M. Johnsen Hoines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: Vol. 3 (pp. 305 312). Bergen, Norway: Bergen University College. Moss, J. (2005). Pipes, tubes, and beakers: New approaches to teaching the rational-number system. Retrieved 15 August, 2007 from http://books.nap.edu/openbook.php?record_id=10126&page=309 National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: Va, NCTM. Ni, Y. & Zhou, Y. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number biases. Educational Psychologist, 40 (1), 27 52. Niemi, D. (1996). Assessing Conceptual Understanding in Mathematics: Represenations. Problem Solutions, Justifications, and Explanations. The Journal of Educational Research, 89 (6), 351-363. Roth, W. M. & McGinn, M. K. (1998). Inscriptions: Towards a theory of representing as social practice. Review of Educational Research, 68(1), 35-59. Vinner, S. & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education, 20(4), 266Y356. Ελληνόγλωσσες Ασβεστά, Α. & Γαγάτσης, Α. (1995). Προβλήματα ερμηνείας και η έννοια της συνάρτησης. Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), Διδακτική και Ιστορία των Μαθηματικών (σσ. 19-38). Θεσσαλονίκη: Erasmus ICP-94-G-2011/11. Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε. & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες Αναπαράστασης και Μάθηση των Μαθηματικών. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου, ERASMUS IP. Δημητρίου, Α. (1993). Γνωστική Ανάπτυξη: Μοντέλα Μέθοδοι Εφαρμογές. Θεσσαλονίκη: Art of Text. Δεληγιάννη, Ε., Ηλία, Ι. & Παναούρα, Α. (2007). Ικανότητα χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων στα κλάσματα: Η μετάβαση από την πρωτοβάθμια στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Στου Α. Γαγάτση (Επιμ.), Προβλήματα Μάθησης των Μαθηματικών κατά τη Μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο-Εκπαιδευτική Μεταρρύθμιση. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (1995). Διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα: Δαρδάνος. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 194