Χρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας

Σχετικά έγγραφα
Άλγεβρες Διεργασιών και Σχέσεις Ισοδυναμίας

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Άλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση

x k Ax k Bu k y k Cx k Du k «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων»

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 2. Σύντομες Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Ημερομηνία Παράδοσης: 04/04/16

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα:

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)

CWB-NC: The Concurrency Workbench of the New Century

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA)

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού (ΗR Κεφάλαιο 3.4)

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 8-1

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

p (R 1 (R 2 R 3 )) q pr 1 r 1, r 1 R 2 r 2, r 2 R 3 q p (R 1 R 2 ) r 2 και r 2 R 3 q p ((R 1 R 2 ) R 3 ) q άρα R 1 (R 2 R 3 ) (R 1 R 2 ) R 3

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση

Joel Hass, Chrisopher Heil & Maurice D. Weir.

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Αλγόριθμοι για αυτόματα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Χρόνος και Άλγεβρες Διεργασιών

Ολοκληρωμένα Κυκλώματα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Γεννήτριες Συναρτήσεις

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Simplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

2. Β Εξισώσεις Με Απόλυτες Τιμές

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

Γεννήτριες Συναρτήσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων

Transcript:

Χρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Σχέσεις ισοδυναμίας time bisimultion untime bisimultion wek time bisimultion region grphs ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-1

Time Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται χρονική δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S 2. Αν s s' τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε t t' και (t, s ) S 3. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S 4. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι χρονικά ισοδύναμες ως s t. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-2

Παράδειγμα 1 Τα πιο κάτω αυτόματα είναι χρονικά ισοδύναμα αφού τα χρονικά συστήματα που τους αντιστοιχούν συνδέονται από μια σχέση χρονικής δυπροσομοίωσης. Μια σχέση χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: R = {((A,[x = ]),(A,[x = ])) Rel 0 } {((Β,[x = +1]),(Β,[x = ])) Rel 0 } {((C,[x = ]),(C,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-3

Παράδειγμα 2 Τα πιο κάτω αυτόματα δεν είναι ισοδύναμα. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-4

Untime Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται μη-χρονική δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, τότε για κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S 2. Αν s s' τότε υπάρχουν t και τέτοια ώστε t t' και (t, s ) S 3. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S ' 4. Αν t t' τότε υπάρχουν s και τέτοια ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι μη-χρονικά ισοδύναμες ως s u t. Δύο χρονικά ισοδύναμα συστήματα είναι και μη-χρονικά ισοδύναμα. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-5

Παράδειγμα 3 Τα συστήματα είναι μη-χρονικά ισοδύναμα και όχι χρονικά ισοδύναμα. Μια σχέση μη-χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: {((A,[x = ]),(A,[x = ])) 01, 0 2} {((A,[x = ]),(A,[x = ])) >1, >2} {((B,[x = ]),(B,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-6

Ασθενής Χρονική Δυπροσομοίωση Ορίζουμε την πιο κάτω σχέση μεταβάσεων που απορροφά τις εσωτερικές ενέργειες: s s s t t t iff iff iff s... t s s 0 i1 s' t' n 1 i t n t ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-7

Wek Time Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται χρονική ασθενής δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, τότε για κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S ' 2. Αν s s' τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε t t ' και (t, s ) S 3. Αν τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s t t' s' και (t, s ) S 4. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι χρονικά ασθενώς ισοδύναμες ως s t. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-8

Παράδειγμα 4 Τα πιο κάτω αυτόματα είναι χρονικά ασθενώς ισοδύναμα. Μια σχέση ασθενούς χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: {((A,[x = ]),(A,[x = ])) Rel 0 } {((Β,[x = +1]),(Α,[x = ])) Rel 0 } {((C,[x = ]),(Β,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-9

Αυτοματοποιημένη Ανάλυση Ακόμα και τα πιο απλά χρονικά συστήματα που έχουμε μελετήσει (χρονικά αυτόματα, διεργασίες της TCCS) διαθέτουν μη πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Πως μπορεί να επιτευχθεί η χρονική τους ανάλυση; (αυτοματοποιημένος έλεγχος ισοδυναμιών ή μοντελοέλεγχος) Χρησιμοποιώντας την έννοια των γράφων περιοχών (region grphs). H βασική ιδέα των γράφων αυτών είναι η ομαδοποίηση «ισοδύναμων» καταστάσεων των ρολογιών σε ένα πεπερασμένο αριθμό κλάσεων: Έστω v και v δύο συναρτήσεις ρολογιών. Ορίζουμε τη σχέση ισοδυναμίας έτσι ώστε Αν v v τότε (l, v) u (l, v ) για κάθε κατάσταση αυτομάτου l H έχει πεπερασμένο αριθμό κλάσεων ισοδυναμίας. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-10

Παράδειγμα ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-11

Βασικές Έννοιες Έστω Rel. Τότε Γράφουμε γιατοακέραιοτμήματου, και frc() για - Παράδειγμα: 2.34519 = 2, frc(2.34519) = 0.34519. Έστω χρονικό αυτόματο Α και ρολόι αυτού x. Γράφουμε c x για τη μεγαλύτερη σταθερά με την οποία συγκρίνεται το ρολόι x στο αυτόματο. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-12

Ισοδυναμία ρολογιών (περιοχές) Δύο συναρτήσεις ρολογιών v και v είναι ισοδύναμες, v v, αν 1. Για κάθε ρολόι x τέτοιο ώστε v(x) c x ή v (x) c x έχουμε ότι v(x) = v(x) 2. Για κάθε ρολόι x τέτοιο ώστε v(x) c x έχουμε ότι frc(v(x)) = 0 αν και μόνο αν frc(v (x)) = 0 3. Για κάθε ζεύγος ρολογιών x τέτοιο ώστε v(x) c x ή v(y) c x έχουμε ότι frc(v(x)) frc(v(y)) αν και μόνο αν frc(v (x)) frc(v (y)) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-13

Περιοχές Μια περιοχή ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-14

Περιοχή Έστω συνάρτηση ρολογιών v. Γράφουμε [v] γιατοσύνολοόλωντων καταστάσεων που είναι ισοδύναμες με την v: [v] = {v v v} Ορισμός: Περιοχή είναι μια κλάση ισοδυναμίας της [v]. Θεώρημα: Για οποιαδήποτε κατάσταση l και συναρτήσεις μεταβλητών v και v που προέρχονται από την ίδια περιοχή (v v ) έχουμε ότι: (l, v) u (l, v) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-15

Γράφος Περιοχών Ένας γράφος περιοχών είναι ένα σύστημα μεταβάσεων του οποίου οι καταστάσεις έχουν τη μορφή (l, [v]) και (l, [v]) rg (l, [v ]) αν και μόνο αν (l, v) rg (l, v ) για κάποια ενέργεια (l, [v]) rg (l, [v ]) n (l, v) rg (l, v ) για κάποια χρονική καθυστέρηση Ο γράφος περιοχών οποιουδήποτε αυτομάτου έχει πεπερασμένο μέγεθος. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-16

Εφαρμογή των Περιοχών Γράφων Πλεονεκτήματα: Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για έλεγχο χρονικής δυπροσομοίωσης και χρονικής ασθενούς δυπροσομοίωσης. Όπως επίσης και για μοντελοέλεγχο. Μειονεκτήματα: Τομέγεθοςτουςείναιμεγάλο Εκθετικό ως προς τον αριθμό των ρολογιών και της τιμής c x για το κάθε ένα από αυτά. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-17