ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ, ΔΥΝΑΜΙΚΗ HURST-KOLMOGOROV ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Σταμάτης Μπατέλης Έφη Μόσχου

Περιεχόμενα 1.Εισαγωγή... 3 2.Κλίμα και Κλιματική αλλαγή... 4 2.1 Κλίμα... 4 2.2 Κλιματική αλλαγή... 4 2.3 Κλιματικά μοντέλα και αβεβαιότητα... 11 3. Δυναμική Hurst-Kolmogorov... 13 3.1 Πως προσδιορίζεται η δυναμική Hurst-Kolmogorov σε μια χρονοσειρά... 14 4. Το φαινόμενο Hurst-Kolmogorov και το κλίμα... 16 4.1 Στασιμότητα και αλλαγή... 16 4.2 Στοχαστικά Εργαλεία... 18 4.3 Ποσοτικός προσδιορισμός της δυναμικής HK... 20 5. Το φαινόμενο Hurst στη Διαχείριση Υδατικών Πόρων... 23 Βιβλιογραφία... 24 Ιστοσελίδες... 25

1.Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια ακούγεται ολοένα και συχνότερα η απειλή της ανθρωπογενούς κλιματικής αλλαγής και λαμβάνονται διαρκώς νέα μέτρα για τον περιορισμό της βλάβης που έχει προκαλέσει ο άνθρωπος στο κλίμα σε παγκόσμιο επίπεδο. Τα διάφορα σενάρια προβλέπουν τη ραγδαία αύξηση της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα και κατ επέκταση την αύξηση της θερμοκρασίας στο άμεσο αλλά και στο πιο μακρινό μέλλον. Μέρος της επιστημονικής κοινότητας αμφισβητεί αυτά τα καταστροφικά σενάρια τα οποία στο σύνολό τους βασίζονται σε μια προσπάθεια ντετερμινιστικής ερμηνείας και πρόβλεψης των μηχανισμών του κλίματος. Έπειτα από παράθεση των ανάλογων στοιχείων προκύπτει ότι το κλίμα είναι διαρκώς μεταβαλλόμενο και αβέβαιο, στις διάφορες χρονικές κλίμακες. Η δυναμική Hurst-Kolmogorov παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς εξηγεί με ικανοποιητική ακρίβεια τη συμπεριφορά διαφόρων τυχαίων συστημάτων. Η συμπεριφορά αυτή εμφανίζεται σε πολλές υδρομετεωρολογικές μεταβλητές και όχι μόνο και είναι ενδεικτική της εμμονής που υπάρχει σε μια χρονοσειρά παρατηρήσεων της μεταβλητής. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε τα διάφορα κλιματικά στοιχεία και την αβεβαιότητα από την οποία χαρακτηρίζονται οι μεταβολές τους στις διάφορες χρονικές κλίμακες, συσχετίζοντας τα με τη δυναμική Hurst-Kolmogorov.

2.Κλίμα και Κλιματική αλλαγή 2.1 Κλίμα Με τον όρο κλίμα αναφερόμαστε στη σύνθεση των διαφόρων στοιχείων καιρού για ένα μακρύ χρονικό διάστημα. Ο όρος είναι της ελληνιστικής εποχής και αποδίδεται στον αστρονόμο Ίππαρχο, το 2 ο αιώνα π.χ.. Προέρχεται ετυμολογικά από τη λέξη «κλίνω» και σχετίζεται με την κλίση των ακτινών του ήλιου. Στη σύγχρονη εποχή οι επίσημοι ορισμοί για το κλίμα δεν είναι ιδιαίτερα σαφείς, δεν έχουν την απαιτούμενη εσωτερική επιστημονική συνέπεια ενώ σε πολλές περιπτώσεις έρχονται σε διαφωνία μεταξύ τους. Είναι γεγονός ότι για τον ορθό ορισμό του κλίματος απαιτούνται γνώσεις στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων. 2.2 Κλιματική αλλαγή Τα τελευταία χρόνια ακούγεται πολύ συχνά το φαινόμενο της «κλιματικής αλλαγής» ενώ λαμβάνει ολοένα και μεγαλύτερες διαστάσεις η οικονομική και πολιτική διάστασή του. Τεράστια χρηματικά ποσά δαπανώνται για την έρευνα σχετικά με την κλιματική αλλαγή. Ταυτόχρονα λαμβάνονται πολλών ειδών μέτρα για τον περιορισμό του φαινομένου τα οποία επιβαρύνουν οικονομικά σε μεγάλο βαθμό τους εμπλεκόμενους φορείς τόσο σε κρατικό όσο και σε παγκόσμιο επίπεδο. Οι επιστημονικοί ορισμοί που αφορούν την κλιματική αλλαγή και πάλι στερούνται ακρίβειας. Πιο συγκεκριμένα, δεν εξηγείται η τυχαιότητα και η συστηματικότητα που αφορούν την κλιματική αλλαγή ενώ παράλληλα δεν είναι σαφές το χρονικό διάστημα το οποίο εξετάζεται κάθε φορά. Τέλος, θα ήταν ίσως περιττό να αναφερόμαστε σε αλλαγή του κλίματος καθώς όπως θα δούμε παρακάτω είναι μια διαδικασία που συμβαίνει τα τελευταία 4.5 δισεκατομμύρια χρόνια, όσο δηλαδή και η ηλικία της Γης. Η φυσική βάση για όλα όσα αναφέρονται παραπάνω είναι η αδιαμφισβήτητη αύξηση του CO 2 (διοξείδιο του άνθρακα) στην ατμόσφαιρα, το οποίο θεωρείται από πολλούς επιστήμονες το βασικό αέριο του φαινομένου του θερμοκηπίου. Η αύξηση της συγκέντρωσης του CO 2 και κατ επέκταση η επιδείνωση του φαινομένου του θερμοκηπίου, αποδίδεται κατά κύριο λόγο στις ανθρωπογενείς δραστηριότητες και ιδιαίτερα στις καύσεις των ορυκτών καυσίμων για την παραγωγή ενέργειας. Επίσης, αναφέρεται πολύ συχνά ότι ως αποτέλεσμα της υψηλής συγκέντρωσης του CO 2, αυξάνεται η μέση θερμοκρασία του πλανήτη σε ανησυχητικά

επίπεδα ενώ επιπλέον τα υπάρχοντα κλιματικά μοντέλα προβλέπουν αυτή την αύξηση να είναι ακόμα μεγαλύτερη τα επόμενα χρόνια. Σε ότι αφορά τα όσα αναφέρονται παραπάνω, πρέπει να επισημανθεί ότι αφενός το φαινόμενο του θερμοκηπίου είναι ζωτικής σημασίας για τον πλανήτη καθώς διατηρεί τη μέση θερμοκρασία σε επίπεδα κατάλληλα για την ανάπτυξη των διαφόρων μορφών ζωής. Αφετέρου, αντίθετα με αυτό που είναι ευρέως διαδεδομένο, το βασικό αέριο του θερμοκηπίου το οποίο και απορροφά το μεγαλύτερο μέρος της ηλιακής ακτινοβολίας είναι οι υδρατμοί της ατμόσφαιρας. Τέλος, αναφορικά με τις εκπομπές CO 2 στην ατμόσφαιρα, εκτιμάται ότι μόνο το 2.5 έως 3.0% οφείλεται σε ανθρωπογενείς δραστηριότητες, ενώ το υπόλοιπο εκλύεται από διάφορες φυσικές διεργασίες όπως είναι για παράδειγμα η αναπνοή των φυτών, η ηφαιστειακή δραστηριότητα, κλπ (Koutsoyiannis 2011). Ιδιαίτερα σημαντικό είναι το γεγονός ότι η όποια αύξηση της θερμοκρασίας δεν κυμαίνεται σε ανησυχητικά επίπεδα. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1 όπου απεικονίζονται δορυφορικά δεδομένα της μέσης θερμοκρασίας της γης και πως αυτή διαμορφώνεται από το 1979 μέχρι σήμερα, η μέγιστη αύξηση είναι της τάξης του 0.5 C. Πρέπει να αναφερθεί σε αυτό το σημείο ότι η αύξηση της θερμοκρασίας εμφανίζεται σχεδόν ταυτόχρονα με την αντίστοιχη αύξηση της συγκέντρωσης του CO 2 γεγονός που είναι ενδεικτικό της ύπαρξης συσχέτισης μεταξύ των δύο μεγεθών χωρίς όμως να αποσαφηνίζεται ποιο είναι το αίτιο και ποιό το αιτιατό.

Σχήμα 2.1 : Απόκλιση της δορυφορικά μετρημένης θερμοκρασίας από τη μέση θερμοκρασία. (Πηγή: UAH) Εκτός από τα σενάρια που παρουσιάζουν τη θερμοκρασία της Γης να αυξάνεται δραματικά τα επόμενα έτη, ένα άλλο φαινόμενο το οποίο αποδίδεται επίσης στην αλλαγή του κλίματος παγκοσμίως είναι το λιώσιμο των πάγων και η αύξηση της μέσης στάθμης της θάλασσας. Είναι γεγονός ότι οι πάγοι της Αρκτικής αυξάνονται το χειμώνα και μειώνονται το καλοκαίρι. Συγκεκριμένα, η ελάχιστη διάρκεια των αρκτικών πάγων παρατηρείται το Σεπτέμβριο ενώ η μέγιστη το Μάρτιο. Αδιαμφισβήτητα, σύμφωνα με τα υπάρχοντα στοιχεία, παρατηρείται μια μείωση της ελάχιστης έκτασης των πάγων της Αρκτικής το Σεπτέμβριο, κάτι το οποίο ασφαλώς δεν είναι ενδεικτικό της συνολικής κατάστασης του κλίματος σε παγκόσμιο επίπεδο. Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε ότι ακριβή στοιχεία υπάρχουν για τα τελευταία 30 με 40 έτη, τα οποία είναι ιδιαίτερα μικρή περίοδος για να μπορούμε να εξάγουμε οποιοδήποτε γενικό συμπέρασμα (Koutsoyiannis 2011). Επιπλέον, για να έχουμε μια συνολική εικόνα για τον πλανήτη θα ήταν πιο λογικό να εξετάσουμε τι πραγματικά συμβαίνει και στους δύο πόλους από κοινού. Κάτι τέτοιο φαίνεται ακολούθως στο Σχήμα 2.2 στο οποίο παρουσιάζονται οι εκτάσεις των πάγων της Αρκτικής, της Ανταρκτικής καθώς επίσης και η συνολική τους έκταση. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, είναι εμφανής η εποχιακή αυξομείωση της έκτασης των πάγων τόσο στο

Βόρειο όσο και στο Νότιο ημισφαίριο ενώ στο σύνολό τους παρατηρείται σχετική σταθερότητα με πολύ μικρή τάση μείωσης. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι η μικρή μείωση των πάγων, στο Βόρειο ημισφαίριο κυρίως, ενώ αποτελεί γεγονός δε μπορεί προς το παρόν σε καμία περίπτωση να αποδοθεί στον ανθρωπογενή επηρεασμό του κλίματος. Σχήμα 2.2 : Έκταση πάγων Αρκτικής, Ανταρκτικής και συνολική έκταση. (Πηγή: UAH) Σε ότι αφορά τη στάθμη της θάλασσας, όπως προκύπτει από παλαιοκλιματικά δεδομένα, αυξάνεται πολύ λιγότερο απ ότι αυξανόταν μερικές χιλιάδες χρόνια πριν, ενώ τα τελευταία έτη αυξάνεται σε πολύ περιορισμένο βαθμό. Στο ακόλουθο Σχήμα 2.3 απεικονίζεται η μεταβολή της στάθμης της θάλασσας τα τελευταία 20000 έτη περίπου, όπου είναι εμφανής η ραγδαία αύξηση που έχει συμβεί και η σχετική σταθερότητα των τελευταίων 5000 ετών περίπου. Σε ότι αφορά το πρόσφατο παρελθόν, στο Σχήμα 2.4 απεικονίζεται η ελάχιστη αυξητική τάση των τελευταίων χρόνων.

Σχήμα 2.3 : Μεταβολή της μέσης στάθμης της θάλασσας από παλαιοκλιματικά δεδομένα. (Πηγή: Global Warming Art) Σχήμα 2.4 : Μεταβολή της μέσης στάθμης της θάλασσας από μετρήσεις του πρόσφατου παρελθόντος. (Πηγή: UAH) Όπως προκύπτει από τα όσα αναφέρονται παραπάνω, το κλίμα και οι μηχανισμοί μεταβολής του δεν είναι κάτι το οποίο είναι πλήρως κατανοητό ακόμα. Προσπαθώντας να αποκτήσουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα για την αλλαγή του κλίματος και πότε αυτή ξεκίνησε, θα

εξετάσουμε τα αποτελέσματα που προκύπτουν στις διάφορες χρονικές κλίμακες σε ότι αφορά τη μέση θερμοκρασία. Ακολούθως στο Σχήμα 2.5 φαίνεται η μέση θερμοκρασία του πλανήτη τα τελευταία 30 έτη περίπου όπως αυτή προκύπτει από τα υπάρχοντα στοιχεία και είναι εμφανής η αυξητική τάση της κατά τα προηγούμενα έτη. Σχήμα 2.5 : Εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας τα τελευταία 30 έτη. (Πηγή: Koutsoyiannis et al. 2009) Αντίθετα, αν δούμε τι συμβαίνει σε αρκετά μεγαλύτερη χρονική κλίμακα, η εικόνα εμφανίζεται τελείως διαφορετική. Συγκεκριμένα, στα Σχήματα 2.6 και 2.7 παρουσιάζεται η εξέλιξη της θερμοκρασίας σε χρονικές κλίμακες των 10000 και 50000 ετών αντίστοιχα όπως προκύπτει από την επεξεργασία παλαιοκλιματικών δεδομένων. Κοιτώντας τα σχήματα, είναι εμφανής η μη σταθερότητα και η διαρκής μεταβολή της. Εξάγεται εύκολα λοιπόν το συμπέρασμα ότι τα κλιματικά στοιχεία ήταν και είναι μεταβαλλόμενα.

Σχήμα 2.6 : Εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας τα τελευταία 10000 έτη. (Πηγή: Koutsoyiannis et al. 2009) Σχήμα 2.7 : Εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας τα τελευταία 50000 έτη. (Πηγή: Koutsoyiannis et al. 2009)

2.3 Κλιματικά μοντέλα και αβεβαιότητα Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο υποκεφάλαιο, τα υπάρχοντα κλιματικά μοντέλα, στο σύνολό τους παρουσιάζουν μια επερχόμενη αύξηση στη θερμοκρασία σε παγκόσμιο επίπεδο. Όπως έχει αποδειχθεί οι εκτιμήσεις των κλιματικών μοντέλων απέχουν πολύ από την πραγματικότητα και συγκεκριμένα τα κλιματικά μοντέλα δεν μπορούν να παράγουν το γνωστό παρελθόν (Koutsoyiannis et al. 2008; Tsaknias et al. 2011). Στο ακόλουθο Σχήμα 2.8 φαίνονται τα αποτελέσματα από τη μελέτη των Koutsoyiannis et al. (2008), όπου ελέγχθηκαν διάφορα κλιματικά μοντέλα του IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change) σε οκτώ συνολικά θέσεις ελέγχου με μεγάλες διαθέσιμες χρονοσειρές βροχόπτωσης και θερμοκρασίας. Είναι εμφανές ότι τα αποτελέσματα των μοντέλων που αφορούν τη μέση θερμοκρασία διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό από την πραγματικότητα, ενώ ανάλογη είναι η εικόνα και σε ότι αφορά τη βροχόπτωση. Σχήμα 2.8 : Παρατηρημένες αλλαγές στην κλιματική θερμοκρασία σε σύγκριση με αυτές που προβλέπουν τα μοντέλα για τον 20ο αιώνα. (Πηγή: Koutsoyiannis et al. 2008) Παρόμοια είναι τα αποτελέσματα στις μελέτες των Anagnostopoulos et al. (2010) και Tsaknias et al. (2011), όπου επεκτάθηκε η διερεύνηση των Koutsoyiannis et al. (2008), τα οποία παρατίθενται ακολούθως στο Σχήμα 2.9.

Σχήμα 2.9 : Συγκρίσεις των παρατηρημένων επιφανειακών μέσων τιμών της θερμοκρασίας και της βροχόπτωσης στις ΗΠΑ με αποτελέσματα τριών κλιματικών μοντέλων του IPCC TAR και IPCC AR4 αντίστοιχα. (Πηγή: Anagnostopoulos et al. 2011) Συγκεκριμένα, οι προβλέψεις των κλιματικών μοντέλων όχι μόνο είναι ασύμβατες με την πραγματικότητα αλλά υπερεκτιμούν το μέγεθος των ακραίων φαινομένων. Τίθεται λοιπόν εύλογα το ερώτημα αν τα μαθηματικά μοντέλα, ενώ αδυνατούν να παράγουν το πρόσφατο παρελθόν μπορούν να προβλέψουν με ακρίβεια το μέλλον, σε ένα τόσο πολύπλοκο και χαοτικό σύστημα όπως είναι το κλίμα (Tsaknias et al. 2011).

3. Δυναμική Hurst-Kolmogorov Ο Hurst, ένας βρετανός υδρολόγος, δουλεύοντας πάνω στο σχεδιασμό του φράγματος του Ασουάν και μελετώντας τις χρονοσειρές του Νείλου, παρατήρησε πως παρόλο που σε τυχαία γεγονότα συμβαίνουν υψηλές και χαμηλές τιμές, σε μια φυσική διαδικασία η τάση να συμβαίνουν τέτοια γεγονότα είναι μεγαλύτερη. Πιο συγκεκριμένα, σε μια φυσική διαδικασία, τείνουν να συμβαίνουν αυτά τα γεγονότα σε ομάδες (εμμονή). Μάλιστα, βρήκε πως τα γεγονότα σε μια χρονοσειρά δεν είναι τυχαία αλλά καθορίζονται από τη φύση του συστήματος στο οποίο περιέχονται. Εκτός, από τον Hurst, και ο Andey Kolmogorov, που ήταν ένας διακεκριμένος Ρώσος μαθηματικός, είχε προτείνει μια στοχαστική διαδικασία που περιέγραφε τη συμπεριφορά αυτή από το 1940. Προς τιμήν των δύο αυτών επιστημόνων το φαινόμενο αναφέρεται ως δυναμική Hurst-Kolmogorov (HK). Πάνω σε αυτή τη θεωρία, υπάρχει ο συντελεστής Hurst που υπολογίζει αυτή την εμμονή. Συγκεκριμένα, συσχετίζει την αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς με το ρυθμό που αυτή μειώνεται όταν αυξάνεται η χρονική υστέρηση (lag) των ζευγών. Με άλλα λόγια, ενώ σε μια χρονοσειρά θα περιμέναμε πως η αυτοσυσχέτιση με lag=1 θα ήταν μεγάλη και μετά όσο αυξάνονταν η χρονική υστέρηση, αυτή θα μειωνόταν απότομα, παρατηρείται πως λόγω της εμμονής δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο αλλά η αυτοσυσχέτιση συνεχίζει να παίρνει σημαντικές μη μηδενικές τιμές. Ο συντελεστής Hurst είναι ενδεικτικός της συμπεριφοράς μιας μεταβλητής ως προς τη χρονική υστέρηση. Πιο αναλυτικά : Όταν η τιμή του συντελεστή Hurst ισούται με 0.5, τότε δείχνει τυχαία μεταβολή (λευκός θόρυβος). Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ του στοιχείου στο χρόνο t και t+1. Εάν η τιμή αυτή είναι 0<Η<0.5 τότε υπάρχει συμπεριφορά αντίθετη της εμμονής, δηλαδή μια αύξηση της τιμής ακολουθείται από μια μείωση της τιμής. Εάν η τιμή αυτή είναι 0.5<Η<1 τότε η χρονοσειρά αυτή έχει εμμονή. Δηλαδή μια μεγάλη τιμή έχει μεγάλη πιθανότητα να ακολουθείται από μια μεγάλη τιμή και το αντίστοιχο για μικρότερες τιμές, ακόμη και για μεγάλη χρονική υστέρηση. Όσο το Η τείνει στο 1 τόσο μεγαλύτερη είναι αυτή η τάση. Φυσικές διεργασίες που περιγράφονται από χρονοσειρές αυτής της κατηγορίας είναι πιο δύσκολο να

προβλεφθούν, γιατί παρουσιάζουν μεγαλύτερη αβεβαιότητα (Markonis and Koutsoyiannis 2013). Στο ακόλουθο Σχήμα 3.1 φαίνεται η εμμονή που εμφανίζεται στις μετρήσεις της ελάχιστης στάθμης του ποταμού Νείλου, όπως αυτή προκύπτει από ιστορικά δεδομένα. Είναι εμφανής η τάση των ακραίων γεγονότων, τόσο των μέγιστων όσο και των ελάχιστων, να συμβαίνουν κατά ομάδες. Σχήμα 3.1: Ελάχιστη στάθμη του ποταμού Νείλου. (Πηγή: Koutsoyiannis 2010a) 3.1 Πως προσδιορίζεται η δυναμική Hurst-Kolmogorov σε μια χρονοσειρά Ποσοτικά, η δυναμική Hurst-Kolmogorov προσδιορίζεται από το δείκτη Hurst (H). Στη βιβλιογραφία υπάρχουν διάφορες μέθοδοι υπολογισμού σε μια χρονοσειρά, τόσο γραφικές όσο και αναλυτικές. Η γενική μορφή φαίνεται παρακάτω. Ο Hurst έδειξε ότι: Rts, Rs = = Ks R ts, H, για H>0.5 Όπου, R: Εύρος, S: τυπική απόκλιση του δείγματος, s: το μήκος της χρονοσειράς και K: μια σταθερά. Ισχύει ότι :

log( Rs) = log( K) + H log( s ) Αυτό είναι μια εξίσωση ευθείας της μορφής : Η κλίση αυτής της γραμμής αποτελεί το δείκτη H. Για να προκύψει αυτή η γραμμή πρέπει να πάρουμε διάφορα μήκη χρονοσειράς (πχ. Για 2,4,6,8,10,12 χρόνια κτλ.) για τα οποία να υπολογίσουμε το R(t,s), το S(t,s) και τέλος διαιρώντας κάθε ζεύγος να υπολογίσουμε το ανοιγμένο R(s) για κάθε μήκος χρονοσειράς. Ο υπολογισμός του συντελεστή Hurst με τη μέθοδο αυτή φαίνεται ακολούθως στο Σχήμα 3.2 (Μακρόπουλος 2013). Διάφορες άλλες απλές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τον προσεγγιστικό προσδιορισμό του δείκτη Hurst, μία από τις οποίες χρησιμοποιούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Η ανάλυση των υφιστάμενων μεθόδων δεν έγκειται στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Σχήμα 3.2 : Παράδειγμα υπολογισμού του δείκτη Hurst στο excel. (Πηγή: Μακρόπουλος 2013)

4. Το φαινόμενο Hurst-Kolmogorov και το κλίμα Είναι γεγονός ότι η περιγραφή απλών συστημάτων μπορεί να είναι ικανοποιητικά εφικτή μέσα από απλοποιημένους φυσικούς νόμους. Η κατάσταση είναι εντελώς διαφορετική σε ότι αφορά την περιγραφή και κατανόηση πιο σύνθετων συστημάτων όπως αυτό του κλίματος. Συγκεκριμένα, η επιστημονική κοινότητα μέσα από μια μακροσκοπική μελέτη και περιγραφή των διαφόρων φαινομένων προσπαθεί να δώσει ερμηνείες και να πραγματοποιήσει μακροπρόθεσμες προβλέψεις όπως είδαμε και σε προηγούμενο κεφάλαιο. Στο σημείο αυτό τίθεται το ζήτημα της στασιμότητας ή μη, το οποίο επιδιώκει να αποδώσει αμετάβλητες ιδιότητες σε πολύπλοκα συστήματα όπως είναι το κλίμα. 4.1 Στασιμότητα και αλλαγή Σύμφωνα με τον επιστημονικό ορισμό, μια στοχαστική ανέλιξη θεωρείται αυστηρά στάσιμη αν η συνάρτηση κατανομής της δεν επηρεάζεται από το χρόνο, ενώ στάσιμη με την ευρεία έννοια θεωρείται αν η μέση τιμή της παραμένει αμετάβλητη ενώ η αυτοσυνδιασπορά της εξαρτάται μόνο από τη διαφορά του χρόνου. Αντίθετα, μια μη στάσιμη ανέλιξη χαρακτηρίζεται από στατιστικά χαρακτηριστικά ντετερμινιστικής εξάρτησης από το χρόνο. Διευκρινίζεται λοιπόν ότι η στασιμότητα δεν είναι συνώνυμη της σταθερότητας ενώ αντίστοιχα, η μη στασιμότητα δεν είναι συνώνυμη της μεταβολής (Κουτσογιάννης 2013; Koutsoyiannis 2010a). Ακολούθως στο Σχήμα 4.1 φαίνεται η σημασία της χρονικής κλίμακας στην οποία εξετάζουμε τη στασιμότητα ή τη μη στασιμότητα μιας συνθετικής χρονοσειράς. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο σχήμα, εξετάζοντας τη χρονοσειρά σε κλίμακα πενήντα χρονικών βημάτων, αυτή εμφανίζει στασιμότητα, ενώ για εκατό χρονικά βήματα έχουμε μια διαφορετική εικόνα η οποία θα μπορούσε να είναι ένδειξη μη στασιμότητας. Τέλος, κοιτάζοντας το τελευταίο σχήμα, στα επιμέρους χρονικά παράθυρα τίποτα δεν είναι στάσιμο. Ωστόσο, η χρονοσειρά μελετώντας την ενιαία εμφανίζει στασιμότητα.

. Σχήμα 4.1 : Συνθετική χρονοσειρά για την αποσαφήνιση των όρων στασιμότητας και μη στασιμότητας στις διάφορες χρονικές κλίμακες. (Πηγή: Koutsoyiannis 2010a)

Όπως είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο, τα αποτελέσματα των κλιματικών μοντέλων δεν επαληθεύονται στο πρόσφατο παρελθόν και αμφισβητείται η εγκυρότητά τους σε ότι αφορά το μέλλον. Πιο συγκεκριμένα, αμφισβητείται η δυνατότητα να προβλεφθεί και να εξηγηθεί με ντετερμινιστικούς όρους το κλίμα στο σύνολό του. Οι διάφορες κλιματικές παράμετροι εξεταζόμενες υπό τη χρονική κλίμακα του πρόσφατου παρελθόντος εμφανίζουν αξιοσημείωτες μεταβολές. Εξετάζοντας όμως μακροσκοπικά τι συμβαίνει σε κλίμακα χιλιάδων ετών, οι χρονοσειρές παρατηρήσεων των κλιματικών στοιχείων εμφανίζουν μια εμμονή, δηλαδή τα ακραία γεγονότα τείνουν να συμβαίνουν σε ομάδες. Μια στοχαστική βάση για τη μελέτη των διαφόρων μεταβολών και τάσεων, προσφέρεται μέσα από κλιμακωτές ανελίξεις οι οποίες είναι ιδιαίτερα συνεπείς με την υπόθεση των κλιματικών διακυμάνσεων σε πολλαπλές χρονικές κλίμακες, μια συμπεριφορά που δεν είναι άλλη από τη συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov (Koutsoyiannis 2010a; Koutsoyiannis 2010b; Koutsoyiannis 2003). 4.2 Στοχαστικά Εργαλεία Για την καλύτερη εκτίμηση της συμπεριφοράς HK αναφέρονται συνοπτικά τρία στοχαστικά εργαλεία τα οποία έχουν σημασία μόνο σε στάσιμες χρονοσειρές. Τα εργαλεία αυτά αναλύονται παρακάτω. Το πρώτο είναι το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης (autocorrelerogram), το οποίο απεικονίζει την αυτοσυσχέτιση μιας μεταβλητής σε σχέση με τη χρονική υστέρηση. Στο Σχήμα 4.2, είναι εμφανές ότι η αυτοσυσχέτιση εμφανίζει σημαντικές μη μηδενικές τιμές ακόμη και για μεγάλη χρονική υστέρηση, το οποίο είναι ενδεικτικό μακροχρόνια εξάρτησης (Koutsoyiannis 2010a).

Σχήμα 4.2 : Εμπειρική αυτοσυσχέτιση χρονοσειράς σε σύγκριση με θεωρητική αυτοσυσχέτιση Μαρκοβιανής διαδικασίας. (Πηγή: Koutsoyiannis 2010a) Το δεύτερο εργαλείο είναι το δυναμικό φάσμα (power spectrum) το οποίο περιγράφει την αυτοσυσχέτιση σε συνάρτηση με τη συχνότητα μέσα από μετατροπή Fourier. Στο Σχήμα 4.3, η αρνητική κλίση της κόκκινης γραμμής δείχνει τη σημασία της διακύμανσης σε μικρότερες συχνότητες σε σχέση με τις μεγαλύτερες συχνότητες, το οποίο είναι επίσης ένδειξη της μακράς διάρκειας εξάρτησης. Βέβαια αυτή η μέθοδος δεν επιτρέπει ακριβή εκτίμηση λόγω του τραχύ σχήματος (Koutsoyiannis 2010a). Σχήμα 4.3 : Εμπειρική ανάλυση του δυναμικού φάσματος (Πηγή: Koutsoyiannis 2010a). Τέλος, σαφέστερη απεικόνιση εμμονικής συμπεριφοράς (HK) δίνει το κλιμακόγραμμα (climacogram), το οποίο συσχετίζει την τυπική απόκλιση σ (k) με την κλίμακα. Η αρνητική

κλίση που προκύπτει αν προστεθεί στη μονάδα δίνει το συντελεστή Hurst. Επίσης, προκύπτει η σχέση: Στο ακόλουθο Σχήμα 4.4 φαίνεται το εμπειρικό κλιμακόγραμμα σε σχέση με το θεωρητικό του λευκού θορύβου και με αυτό της Μαρκοβιανής διαδικασίας όπου είναι εμφανής η μικρή κλίση των εμπειρικών παρατηρήσεων η οποία είναι ενδεικτική εμμονικής συμπεριφοράς. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι για υψηλές τιμές του συντελεστή H (>0.75) θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η αμερόληπτη τιμή, υπολογίζοντας το συντελεστή c k (H) (Koutsoyiannis 2010a; Koutsoyiannis 2003). Σχήμα 4.4 : Το εμπειρικό κλιμακόγραμμα σε σύγκριση με το θεωρητικό του λευκού θορύβου και της Μαρκοβιανής διαδικασίας. (Πηγή: Koutsoyiannis 2010a) 4.3 Ποσοτικός προσδιορισμός της δυναμικής HK Λαμβάνοντας δείγμα θερμοκρασιών χιονιού στη Γροιλανδία, το οποίο έχει προκύψει από παλιοκλιματικά δεδομένα. Το αρχικό δείγμα αποτελείται από 3994 τιμές για τις οποίες υπολογίστηκε ο δείκτης Hurst σε φύλλο του excel. Ο δείκτης Hurst βρέθηκε ίσος με 0.88 για κλίμακα ίση με 120. Τα δεδομένα προέρχονται από το NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration). Ακολούθως στο Σχήμα 4.5 φαίνεται η απεικόνιση των τιμών στο χρόνο, όπου είναι εμφανής η εμμονή της χρονοσειράς. Αντίστοιχα, στο Σχήμα 4.6 φαίνεται το κλιμακόγραμμα όπου

Τυπική απόκλιση σ -2000-1500 -1000-500 0 500 1000 1500 2000 Θερμοκρασία (ᵒC) αποτυπώνονται σε λογαριθμικούς άξονες η χρονική κλίμακα και η τυπική απόκλιση. Η κλίση που δείχνει το δείκτη Hurst βρέθηκε ίση με -0.12 (Η=1+slope). Τέλος, στο Σχήμα 4.7 φαίνεται ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης και πως αυτός μεταβάλλεται με τη χρονική υστέρηση. -25-26 -27-28 -29-30 -31-32 -33-34 -35 Χρονολογία Σχήμα 4.5 : Απεικόνιση χρονοσειράς παλαιοκλιιματικών δεδομένων. 1,0 Slope=-0.12 0,1 1 10 100 Κλίμακα k Σχήμα 4.6 : Κλιμακόγραμμα χρονοσειράς παλαιοκλιματικών δεδομένων.

Αυτοσυσχέτιση 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Χρονική υστέρηση Σχήμα 4.7 : Διάγραμμα αυτοσυσχέτισης.

5. Το φαινόμενο Hurst στη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Είδαμε σε προηγούμενα κεφάλαια ότι τα κύρια κλιματικά και υδρολογικά στοιχεία εμφανίζουν τη συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov. Πιο συγκεκριμένα, οι εμφανίσεις των ακροτάτων συμβαίνουν κατά ομάδες και συχνότερα απ ότι προβλέπεται με την κλασσική στατιστική. Σε ότι αφορά τον τομέα της διαχείρισης των υδατικών πόρων, το φαινόμενο αυτό θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά το σχεδιασμό. Σε αντίθετη περίπτωση οδηγούμαστε σε υποεκτίμηση της συχνότητας των ακραίων τιμών. Με άλλα λόγια, μια ακραία τιμή έρχεται συχνότερα απ ότι είναι αναμενόμενο και επιπλέον θα διαρκέσει περισσότερο, όπως για παράδειγμα η ξηρασία στην Αθήνα, διάρκειας επτά ετών.

Βιβλιογραφία Κουτσογιάννης Δ., Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους, Εκπαιδευτικές Σημειώσεις ΕΜΠ, 2013. Μακρόπουλος Χ., Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων, Εκπαιδευτικές Σημειώσεις ΕΜΠ, 2013. Anagnostopoulos G. G., D. Koutsoyiannis, A. Christofides, A. Efstratiadis, and N. Mamassis, A comparison of local and aggregated climate model outputs with observed data, Hydrological Sciences Journal, 55 (7), 1094 1110, 2010. Koutsoyiannis, D., Climate change, the Hurst phenomenon, and hydrological statistics, Hydrological Sciences Journal, 48 (1), 3 24, 2003. Koutsoyiannis D., Hurst-Kolmogorov dynamics and uncertainty, Workshop on Nonstationarity, Hydrologic Frequency Analysis, and Water Management, Boulder, Colorado, USA, International Center for Integrated Water Resources Management, US Army Corps of Engineers, United States Geological Survey, US Department of the Interior - Bureau of Reclamation, National Oceanic and Atmospheric Administration, US Environmental Protection Agency, Colorado State University, 2010a. Koutsoyiannis D., A random walk on water, Hydrology and Earth System Sciences, 14, 585 601, 2010b. Koutsoyiannis D., Το κλίμα αλλάζει εδώ και 4.5 δισεκατομμύρια χρόνιa, Το κλίμα της γης: αλλάζει ή το αλλάζουμε;, Αθήνα, Σύλλογος αποφοίτων Massachusetts Institute of Technology, Σύλλογος αποφοίτων University of Michigan, Αθήνα, 2011. ( http://itia.ntua.gr/el/docinfo/1181/ ) Koutsoyiannis D., A. Efstratiadis, N. Mamassis, and A. Christofides, On the credibility of climate predictions, Hydrological Sciences Journal, 53 (4), 671 684, 2008. Koutsoyiannis D., Montanari A., Lins H. F., Cohn T. A., Climate, hydrology and freshwater: towards an interactive incorporation of hydrological experience into climate research, Hydrological Sciences Journal, 54 (2), 394 405, 2009. Tsaknias D., D. Bouziotas, A. Christofides, A. Efstratiadis, and D. Koutsoyiannis, Statistical comparison of observed temperature and rainfall extremes with climate model outputs, European Geosciences Union General Assembly 2011, Geophysical Research Abstracts, Vol. 13, Vienna, EGU2011-3454, European Geosciences Union, 2011.

Ιστοσελίδες UAH (University of Alabama in Hutsville, Satellite Based Temperature of the Global Lower Atmosphere) (http://www.drroyspencer.com/wpcontent/uploads/uah_lt_1979_thru_feb_2013_v5.5.png) (http://www.climate4you.com/seaice.htm#irac JAXA recent Arctic sea ice extent) Global Warming Art (http://www.globalwarmingart.com/) NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) (ftp://ftp.ncdc.noaa.gov/pub/data/paleo/icecore/)