ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ"

Κασσιέπεια Ζηναις Αντωνιάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις, προσπαθώντας να περιοριστούν οι απαντήσεις σας στο διαθέσιµο χώρο για κάθε ερώτηση. 1. Ξεκινώντας από µια ακολουθία µερικών χιλιάδων τυχαίων αριθµών από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα (0, 1) πρόκειται να παραχθεί µια ακολουθία τυχαίων αριθµών µε κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 150 και τυπική απόκλιση 30. Αν οι τέσσερις πρώτοι όροι της πρώτης ακολουθίας είναι 0.464, 0.768, 0.495, 0.517, δώστε τον πρώτο όρο της δεύτερης ακολουθίας. (1 µονάδα) 2. Με βάση µια χρονοσειρά µηνιαίων παροχών ποταµού, καταστρώθηκε το µοντέλο PAR(1) της µορφής X s = a s X s 1 + b s V s, όπου X s η παροχή το µήνα s, V s τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ s, τυπική απόκλιση 1 και θετική ασυµµετρία, και a s και b s παράµετροι. Αν για τον Αύγουστο είναι a s = 0.7, b s = 1 m 3 /s, µ s = 1, τότε (1) δώστε τη µέση τιµή της παροχής του Αυγούστου, αν η µέση τιµή της παροχής του Ιουλίου είναι 5 m 3 /s (2) δώστε σηµειακή πρόγνωση της παροχής του Αυγούστου αν η παροχή του Ιουλίου είναι 60% της µέσης τιµής της και (3) εξηγήστε ποιο από τα πάνω και κάτω όρια µιας πρόγνωσης διαστήµατος της τιµής του Αυγούστου (για δεδοµένο συντελεστή εµπιστοσύνης) θα απέχει περισσότερο από τη σηµειακή πρόγνωση. (1 µονάδα)

2 2 3. Σε µια λεκάνη απορροής καταστρώθηκε ένα στοχαστικό µοντέλο που συνδέει την ετήσια απορροή µε την ετήσια βροχή µε τη σχέση X t = 0.2 Χ t Y t + V t, όπου X t η διαφορά της ετήσιας απορροής από τη µέση τιµή της, Y t η διαφορά της ετήσιας βροχής από τη µέση τιµή της και V t τυχαία µεταβλητή ανεξάρτητη από τις Χ t 1, V t και V t 1. Υπολογίστε το συντελεστή αυτοσυσχέτισης της απορροής για υστέρηση 1, θεωρώντας ότι ο αντίστοιχος συντελεστής της βροχής είναι µηδενικός. (1 µονάδα) 4. Αναλύστε και αιτιολογήστε τη σηµασία των µεθόδων της στοχαστικής υδρολογίας στον υδρολογικό σχεδιασµό ενός υδρευτικού ταµιευτήρα και της σήραγγας εκτροπής του ίδιου συγκροτήµατος έργων, µε δεδοµένο ότι στη θέση των έργων υπάρχει αξιόπιστο δείγµα συνεχούς παροχής για µια περίοδο 40 ετών. (1 µονάδα)

3 3 5. Ο υδρολογικός σχεδιασµός ταµιευτήρα αντιµετωπίζεται µε δύο εναλλακτικά στοχαστικά µοντέλα, το AR(1) και το FGN. Και στα δύο µοντέλα η µέση τιµή, η τυπική απόκλιση, ο συντελεστής ασυµµετρίας και ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για υστέρηση 1 έχουν ακριβώς ίδιες τιµές. (1) Εξηγήστε ποιο από τα δύο µοντέλα αναµένεται να δώσει δυσµενέστερα αποτελέσµατα σχεδιασµού και γιατί. (2) ώστε την εξίσωση του µοντέλου AR(1) αν ο συντελεστής Hurst του FGN είναι 0.7. (1 µονάδα) 6. Έστω Χ t χρονοσειρά απορροών µικρής χρονικής βάσης (π.χ. ωριαία) σε θέση Α ποταµού και Y t χρονοσειρά απορροών µε την ίδια µικρή χρονική βάση σε θέση Β ποταµού, κατάντη του Α. Η µέση χρονική «διάρκεια» της διαδροµής του νερού από τη θέση Α προς τη θέση Β είναι της τάξεως 2-4 ωρών, ανάλογα µε τις υδραυλικές συνθήκες. Η χρονοσειρά Yt παρουσιάζει κάποια κενά, λόγω βλάβης των οργάνων, ενώ η χρονοσειρά Xt θεωρείται αξιόπιστη και πλήρης. (α) Κάνετε σκαρίφηµα της αναµενόµενης µορφής του σύνθετου συσχετογράµµατος των σειρών αυτών (0.5 µονάδες) (β) Να δώσετε τη µαθηµατική αναδροµική µορφή φίλτρου Kalman για τη συµπλήρωση των κενών της δεύτερης χρονοσειράς (0.5 µονάδες).

4 4 7. Έστω ότι έχετε διαθέσιµα 30 έτη µηνιαίων παρατηρηµένων τιµών χρονοσειράς βροχοπτώσεων, (δηλαδή = 360 τιµές) την οποία επεξεργάζεστε για περιοδικότητες µε αυτοσυχετογράµµατα και FFT (Fast Fourier Transform). Θεωρώντας ότι η σειρά παρουσιάζει µόνον την εµφανή 12µηνη περιοδικότητα και καµία άλλη, δώστε σχηµατικά σε διάγραµµα την αναµενόµενη µορφή: (α) του αυτοσυσχετογράµµατος της χρονοσειράς (0.5 µονάδες) (β) του φάσµατος της σειράς στο πεδίο συχνοτήτων (0.5 µονάδες) (γ) Ποιά είναι η βασική συχνότητα κατά FFT για το δείγµα αυτό; (0.5 µονάδες) (δ) Ποιά είναι η µεγαλύτερη συχνότητα κατά FFT για το δείγµα αυτό; (0.5 µονάδες)

5 5 8. Η χρονοσειρά ετησίων απορροών Χ t λεκάνης απορροής θωρείται στάσιµη και έχει µέσο όρο m = m 3 /s, τυπική απόκλιση s = m 3 /s και συντελεστές αυτοσυσχέτισης 1 ης και 2 ης τάξης αντίστοιχα: και (α) Θεωρώντας µοντέλο AR(1) και τους πέντε ακόλουθους τυχαίους αριθµούς τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής , , , , να παράγετε συνθετικά διαδοχικές τιµές της χρονοσειράς αυτής (1 Μονάδες 1) (β) Θεωρώντας µοντέλο AR(2) και τους ίδιους τυχαίους αριθµούς τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής να παράγετε συνθετικά διαδοχικές τιµές της χρονοσειράς αυτής (1 µονάδα)

Σχετικά έγγραφα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων