Pushover Energy Approach of Nonlinear Static Analysis Pushover

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας 5 7 Νοεµβρίου, 28 Άρθρο 1951 Ενεργειακή Θεώρηση της Στατικής Ανελαστικής Ανάλυσης Pushover Energy Approach of Nonlinear Static Analysis Pushover Χρήστος ΚΟΤΑΝΙ ΗΣ 1, Ιωάννης Ν. ΟΥ ΟΥΜΗΣ 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται µια ενεργειακή θεώρηση της ανελαστικής στατικής ανάλυσης (Nonlinear Static Analysis ή Static Pushover ή απλά Pushover) κατά την οποία προτείνεται η αντικατάσταση της µετακίνησης οροφής που χρησιµοποιείται στην κλασική καµπύλη Pushover (τέµνουσα βάσης µετακίνηση οροφής), από µία ενεργειακά ι- σοδύναµη µετακίνηση u en, η οποία προκύπτει συναρτήσει του έργων των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων που δρουν στην κατασκευή. Παρέχονται αναλυτικοί τύποι υπολογισµού του έργου των οριζόντιων εξωτερικών δυνάµεων οι οποίες δρουν στους ορόφους Ν-ώροφου πλαισίου µε ατενή ζυγώµατα, καθώς και της ενεργειακά ισοδύναµης οριζόντιας µετακίνησης u en. Η προτεινόµενη µεθοδολογία εφαρµόζεται σε αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα πολυώροφων πλαισίων οπλισµένου σκυροδέµατος (διατµητικό πλαίσιο, µεικτό πλαίσιο µε ισχυρά τοιχώµατα, σύστηµα συζευγµένων τοιχωµάτων), τα οποία αναλύονται µε στατική ανελαστική ανάλυση. Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων επιβεβαίωσαν της ευρέως διαδεδοµένη άποψη ότι η χρήση της µετακίνησης οροφής ως καθολικού δείκτη σεισµικής αντοχής της κατασκευής είναι αυθαίρετη και µπορεί να οδηγήσει σε εσφαλµένη εκτίµηση της ικανότητας της κατασκευής να απορροφά σεισµική ενέργεια, σε αντίθεση µε την προτεινόµενη ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση, η οποία οδηγεί σε ενεργειακά συνεπείς καµπύλες pushover. ABSTRACT : This paper presents an energy approach of Pushover Analysis ethod. It proposes the replaceent of roof displaceent that is used in classic base shear roof displaceent pushover curve with an equivalent energy displaceent u en, calculated as a function of the work of external lateral forces acting on the structure. Consistent analytical forulas are provided for the calculation of work of lateral forces acting on the floors of an N-storey frae with rigid floor diaphrags and of the equivalent energy-based displaceent. The proposed ethodology is applied on characteristic ulti-storey concrete fraes (oent frae, wall-frae syste, coupled shear walls) which are analyzed using Pushover Analysis. Results indicated that classic base shear roof displaceent pushover curve could lead to incorrect estiation of the aount of seisic energy the structure is able to dissipate, whereas the proposed energy-based displaceent leads to an energy consistent equivalent SDOF syste. 1 ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός, υποψήφιος διδάκτωρ, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, eail: ckotanid@civil.auth.gr 2 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, eail: doud@civil.auth.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για τον σχεδιασµό των νέων κατασκευών οι µηχανικοί χρησιµοποιούν κυρίως ελαστικές στατικές ή δυναµικές µεθόδους ανάλυσης οι οποίες µπορούν να εφαρµοστούν µε σχετική ευκολία και περιγράφονται µε σαφήνεια από τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς. Όταν εξετάζεται η σεισµική επάρκεια ενός υπάρχοντος δοµήµατος ή όταν απαιτείται ακριβέστερος προσδιορισµός της ανελαστικής σεισµικής απόκρισης της κατασκευής, δύο είναι οι ευρέως αποδεκτές ανελαστικές µέθοδοι ανάλυσης: Η ανελαστική δυναµική ανάλυση, η οποία µπορεί να εφαρµοστεί σε όλα τα είδη κατασκευών και είναι γνωστή µε τον όρο Nonlinear Dynaic Analysis (NDA) ή Tie- History για συντοµία. Η ανελαστική στατική ανάλυση ή στατική υπερωθητική ανάλυση η οποία είναι γνωστή µε τον όρο Nonlinear Static Analysis (NSA), Static Pushover ή απλά Pushover. Μπορεί να εφαρµοστεί σε µια ευρεία κατηγορία κτιρίων, τα οποία όµως πρέπει να ι- κανοποιούν συγκεκριµένα κριτήρια. Ο βασικός σκοπός της µεθόδου είναι η σηµαντική µείωση του υπολογιστικού κόστους, χωρίς ταυτόχρονη µείωση της αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων. Ο τρόπος εφαρµογής της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, όπως αυτός παρουσιάζεται στους αντισεισµικούς κανονισµούς (ATC-4, 1996), (FEMA-356 2), (FEMA-44, 25), (Eurocode 8, 1998) τελεί υπό συνεχή αναθεώρηση. Οι (Gupta, Kunnath 2) παρουσίασαν µία προσαρµοστική (adaptive) µέθοδο ανάλυσης στην οποία το προφίλ των εξωτερικών φορτίων µεταβάλλεται σε κάθε βήµα της ανάλυσης λαµβάνοντας υπόψη τα τρέχοντα δυναµικά χαρακτηριστικά του φορέα και χρησιµοποιούνται κατάλληλα φάσµατα για τον προσδιορισµό της σεισµικής φόρτισης. Οι (Chopra, Goel 22) ανέπτυξαν µία ιδιοµορφική pushover η οποία λαµβάνει υπόψη τη συνεισφορά των ανώτερων ιδιοµορφών της κατασκευής, διενεργώντας ανεξάρτητες αναλύσεις pushover µε προφίλ εξωτερικών φορτίων ανάλογα προς τις σηµαντικές ιδιοµορφές του φορέα και επαλληλίζοντας τα αποτελέσµατα των αναλύσεων µε τον κανόνα SRSS. Αν και όλες οι µέθοδοι pushover παρουσιάζουν σηµαντικές διαφορές στον τρόπο που αντιµετωπίζουν τα σεισµικά φορτία (µορφή και µέγεθος διανύσµατος φόρτισης, σταθερά ή αναπροσαρµοζόµενα σεισµικά φορτία) και τα δυναµικά χαρακτηριστικά της κατασκευής (συνυπολογισµός ανώτερων ιδιοµορφών), έχουν έναν κοινό παρονοµαστή: όλες οδηγούν στη δη- µιουργία της καµπύλης αντοχής της κατασκευής, η οποία είναι γνωστή ως «καµπύλη pushover». Η καµπύλη pushover είναι ένα γράφηµα της τέµνουσας βάσης συναρτήσει της οριζόντιας µετακίνησης της οροφής, όπως αυτές προκύπτουν από την βήµα προς βήµα ανάλυση pushover, και αναπαριστά την ικανότητα της κατασκευής να απορροφά ενέργεια, όταν υπόκειται σε σεισµική διέγερση. Η µετακίνηση της οροφής χρησιµοποιείται από τους Κανονισµούς ως ένα καθολικός δείκτης αντοχής της κατασκευής για σύγκριση µε τις απαιτούµενες µετακινήσεις οι οποίες προκύπτουν από κατάλληλα φάσµατα. Ενώ η χρήση της µετακίνησης οροφής ως καθολικού δείκτη αντοχής της κατασκευής στην ανάλυση pushover είναι βολική και εποπτική για τον µηχανικό, στερείται θεωρητικής τεκµηρίωσης. Επιπλέον, η περιοχή κάτω από την καµπύλη pushover αναπαριστά έργο των εξω- 2

τερικών δυνάµεων το οποίο δεν έχει φυσική σηµασία. Τα παραπάνω έχουν οδηγήσει σε παράδοξα αναλυτικά αποτελέσµατα σε µερικές περιπτώσεις. Για παράδειγµα, στην ιδιοµορφική (odal) pushover (Chopra, Goel, 22), σε ορισµένες κατηγορίες κτιρίων ή σε περίπτωση τοπικής κατάρρευσης, όταν το διάνυσµα φόρτισης αντιστοιχεί σε ανώτερη ιδιοµορφή, έχει παρατηρηθεί το φαινόµενο, ενώ η εξωτερική φόρτιση αυξάνει, η µετακίνηση της οροφής αυξάνει µε µειούµενο ρυθµό ή µειώνεται ή ακόµα λαµβάνει αρνητικές τιµές (Goel, Chopra, 25), (Hernandez-Montes, Kwon & Aschhei 24), (Tjhin, 25). Για το λόγο αυτό, προτάθηκε µια τροποποιηµένη ιδιοµορφική pushover (Chopra, Goel & Chintanapakdee, 24). Για να αποφευχθούν παρόµοιες δυσλειτουργίες της ιδιοµορφικής pushover, οι (Hernandez- Montes, Kwon & Aschhei, 24) πρότειναν µία θεώρηση της µεθόδου pushover από ενεργειακή σκοπιά. Πρότειναν τη χρήση µιας οριζόντιας µετακίνησης η οποία υπολογίζεται συναρτήσει του έργου των εξωτερικών οριζόντιων σεισµικών φορτίων τα οποία ασκούνται στην κατασκευή κατά την ανάλυση pushover, γεγονός το οποίο οδηγεί σε µία καµπύλη pushover µε φυσική σηµασία. Το εµβαδό της καµπύλης «τέµνουσας βάσης οριζόντιας µετακίνησης» πλέον ισούται µε τη συνολική σεισµική ενέργεια η οποία απορροφάται από την κατασκευή η οποία ισούται µε το συνολικό έργο των εξωτερικών φορτίων που δρουν στον φορέα. Στην παρούσα εργασία διατυπώνεται µία ενεργειακή θεώρηση της µεθόδου pushover και παρουσιάζονται αναλυτικοί τύποι υπολογισµού από τα αποτελέσµατα της ανάλυσης pushover, αφενός του έργου των φορτίων που ασκούνται στην κατασκευή, αφετέρου της ισοδύνα- µης εργικά ανταποκρινόµενης οριζόντιας µετακίνησης - για συντοµία «ενεργειακά ισοδύνα- µης µετακίνησης». Η αυθαιρεσία της χρήσης της µετακίνησης οροφής στην καµπύλη pushover υποδεικνύεται µέσω της εφαρµογής της προτεινόµενης µεθοδολογίας σε χαρακτηριστικά πολυώροφα πλαίσια οπλισµένου σκυροδέµατος και της σύγκρισης της ενεργειακής κα- µπύλης pushover «τέµνουσας βάσης ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης» µε κλασσικές καµπύλες pushover «τέµνουσας βάσης µετακίνησης µεµονωµένου ορόφου». ΑΝΑΛΥΣΗ PUSHOVER ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Θεωρούµε το Ν-ώροφο επίπεδο πλαίσιο του Σχήµατος 1 στο οποίο διενεργούµε ανελαστική στατική ανάλυση (pushover). Ο φορέας φορτίζεται στις στάθµες των ορόφων µε προφίλ εξωτερικών δυνάµεων F = [f 1,, f i,, f N ] το οποίο αυξάνει σε µέγεθος σε κάθε βήµα της ανάλυσης έως ότου ικανοποιηθεί κάποιο από τα κριτήρια αστοχίας του φορέα. Η συνήθης µορφή αστοχίας είναι η µετατροπή του φορέα σε µηχανισµό, τοπικά ή συνολικά. Η φόρτιση µε το διάνυσµα F προκαλεί οριζόντιες µετακινήσεις των ορόφων του πλαισίου οι οποίες διανυσµατικά γράφονται u = [u 1,, u i,, u N ]. Για κάθε βήµα της ανάλυσης pushover και για κάθε όροφο i της κατασκευής (i = 1, 2,,N) µπορεί να υπολογισθεί η εξωτερική δύναµη f i που ασκείται στον όροφο i, καθώς και η οριζόντια µετακίνηση u i του εν λόγω ορόφου. Συνεπώς, µπορούν να σχεδιαστούν καµπύλες pushover για κάθε όροφο i, χρησιµοποιώντας ζεύγη τιµών (u i, f i ). Το εµβαδό της κάθε κα- µπύλης αναπαριστά το έργο της εξωτερικής οριζόντιας δύναµης f i. Όπως φαίνεται από το Σχήµα 2 µπορούµε να υπολογίσουµε αυτό το έργο για κάθε βήµα της ανάλυσης, εάν θεωρήσουµε γραµµική απόκριση της κατασκευής µεταξύ δύο διαδοχικών βηµάτων. Η παραπάνω 3

θεώρηση είναι απολύτως τεκµηριωµένη, µια που η στατική ανελαστική ανάλυση βασίζεται σε αυτή την παραδοχή. Σχήµα 1. Ν-ώροφο πλαίσιο Ο/Σ µε ατενή διαφράγµατα στις στάθµες του ορόφου. Σχήµα 2. Καµπύλη οριζόντιου φορτίου που ασκείται στον όροφο i του πλαισίου µετακίνησης ορόφου i. Σηµειώνονται τα ζεύγη (f i,u i ) για τα διαδοχικά βήµατα -1 και της ανάλυσης pushover. Το έργο W i της δύναµης f i στο βήµα της ανάλυσης µπορεί να υπολογιστεί µε τη βοήθεια του Σχήµατος 2 ως συνάρτηση των τιµών της οριζόντιας δύναµης και της οριζόντιας µετατόπισης του ορόφου i για τα βήµατα -1 και της ανάλυσης. Είναι δε ίσο µε τη σκιασµένη ε- πιφάνεια κάτω από την καµπύλης του Σχήµατος 2: 1 f + i fi 1 Wi = ( ui u i ) (1) 2 4

Το έργο W του συνόλου των οριζόντιων εξωτερικών φορτίων τα οποία ασκούνται στην κατασκευή στο βήµα της ανάλυσης ισούται µε το άθροισµα των επιµέρους έργων W i : Η Εξίσωση 2 γράφεται και µε µητρωική µορφή: n n 1 f + i fi 1 W = Wi = ( ui u i ) (2) i= 1 i= 1 2 1-1 -1 W = ( F + F ) ( u - u ) (3) 2 όπου: F = f,..., f,..., f 1 i N u = u,..., u,..., u 1 i N T -1 F 1 1 1 = f,..., f,..., f 1 i N 1 1 1 T 1 i N 1 u = u,..., u,..., u Εφόσον υπολογίστηκε η ενέργεια η οποία εισήχθη στην κατασκευή µέσω του έργου των οριζόντιων εξωτερικών δυνάµεων οι οποίες ασκούνται στις στάθµες των ορόφων για το βήµα της ανάλυσης, µπορεί να υπολογιστεί και η ενεργειακά ισοδύναµη οριζόντια µετακίνηση u en του κτιρίου, µε τη βοήθεια του Σχήµατος 3. Η u en θα χρησιµοποιηθεί αντί της µετακίνησης οροφής u roof στην καµπύλη pushover του πλαισίου. Η οριζόντια µετακίνηση u en ορίζεται µε τέτοιον τρόπο ώστε το εµβαδό της καµπύλης «τέµνουσας βάσης u en» να ισούται µε το έργο των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στις στάθµες των ορόφων κατά τη διάρκεια της ανάλυσης pushover. Σχήµα 3. Καµπύλη τέµνουσας βάσης ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης. Στην καµπύλη σηµειώνονται τα ζεύγη (V b,u en ) για τα διαδοχικά βήµατα -1 και της ανάλυσης pushover. 1 ( b b ) V + V W W u u 2 = en en = 1 2 Vb + Vb (4) 5

όπου u en = u en u en -1 είναι η µεταβολή της ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης της κατασκευής η οποία αντιστοιχεί στο έργο των οριζόντιων εξωτερικών φορτίων στο βήµα της ανάλυσης. Η συνολική ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en στο τέλος του βήµατος της ανάλυσης pushover για τέµνουσα βάσης V b µπορεί να υπολογιστεί αθροίζοντας τη µεταβολή u en που αντιστοιχεί στο βήµα της ανάλυσης µε τη συνολική ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en -1 η οποία έχει επιτευχθεί από την αρχή της ανάλυσης (βήµα ) µέχρι το βήµα -1. Στην Εξίσωση 5 η u en δίνεται και σε µητρωική µορφή µε τη βοήθεια της Εξίσωσης 3. 2 W 1 u = u + u = u + = u + 1 1 1 en en en en 1 en 1 Vb + Vb Vb + Vb -1-1 ( F + F ) ( u - u ) (5) Οι Εξισώσεις 1 έως 5 ισχύουν για οποιαδήποτε µεταβολή των συνιστωσών του διανύσµατος οριζόντιων εξωτερικών φορτίων F. Στην ενότητα που ακολουθεί, η ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση υπολογίζεται µε τη βοήθεια ενός απλού µεστοσταθµικού τύπου, ο οποίος όµως ι- σχύει στην περίπτωση που οι συνιστώσες του διανύσµατος F µεταβάλλονται αναλογικά. Εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης µε τη χρήση απλής µεσοσταθµικής σχέσης Εναλλακτικά, µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια άλλη ενεργειακή µετακίνηση για να αναπαραστήσει την αντοχή της κατασκευής σε οριζόντια (π.χ. σεισµική) φόρτιση σε µία ανελαστική στατική ανάλυση. Αυτή η εναλλακτική µετακίνηση µπορεί να υπολογιστεί ως συνάρτηση των οριζόντιων φορτίων f i τα οποία ασκούνται στις στάθµες των ορόφων του κτιρίου και τις αντίστοιχες οριζόντιες µετακινήσεις u i των ορόφων, όπως παρουσιάζονται στο Σχήµα 4. Και τα δύο ζεύγη τιµών είναι διαθέσιµα για κάθε όροφο και για κάθε βήµα της ανάλυσης pushover. Σε κάθε βήµα της ανάλυσης, η τέµνουσα βάσης V b ισούται µε το άθροισµα των οριζόντιων εξωτερικών φορτίων f i. Σχήµα 4. Ν-ώροφο διατµητικό πλαίσιο Ο/Σ. Στο σχήµα παρουσιάζονται οι οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις που ασκούνται στις στάθµες των ορόφων και οι αντίστοιχες οριζόντιες µετακινήσεις που προκαλούν στις στάθµες των ορόφων κατά το βήµα της ανάλυσης pushover. 6

Ορίζουµε µία µεσοσταθµική οριζόντια µετακίνηση u av συναρτήσει των γινοµένων (u i x f i ), i = 1,2,,N, τα οποία λειτουργούν ως δείκτες του έργου των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων που ασκούνται σε κάθε όροφο i του κτιρίου, µέχρι το βήµα της ανάλυσης: u n n ( fi ui ) ( fi ui ) = = i= 1 i= 1 av Vb n i= 1 f i (6) Η Εξίσωση 6 σε µητρωική µορφή γράφεται: u av 1 ( F u ) = V b (7) Αποδεικνύεται ότι οι Εξισώσεις 6 & 7 ισχύουν για κάθε ανάλυση pushover στην οποία οι συνιστώσες του διανύσµατος φόρτισης F µεταβάλλονται αναλογικά. Υπολογισµός ελαστικού και πλαστικού έργου στην ανελαστική στατική ανάλυση Κατά τη διάρκεια µιας τυπικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης (pushover) το µαθηµατικό µοντέλο της κατασκευής υπόκειται σε οριζόντια σεισµικά φορτία στις στάθµες των ορόφων τα οποία βαθµιαία αυξάνουν σε κάθε βήµα της ανάλυσης. Κατά κανόνα, η κατανοµή των οριζόντιων φορτίων παραµένει αµετάβλητη σε µορφή καθ όλη τη διάρκεια της ανάλυσης, ενώ το µέτρο τους αυξάνει αναλογικά. Ένα µέρος της εισαγόµενης σεισµικής ενέργειας «αποταµιεύεται» από την κατασκευή µέσω της ελαστικής παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων της και το υπόλοιπο «καταναλώνεται» µέσω της πλαστικής παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων τα οποία έχουν διαρρεύσει στις κρίσιµες περιοχές τους. Όσο τα εξωτερικά φορτία είναι σχετικά µικρά σε µέγεθος, η κατασκευή παραµένει στην ελαστική περιοχή και η καµπύλη «τέ- µνουσας βάσης ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης» έχει τη µορφή του Σχήµατος 5. Σχήµα 5. Υπολογισµός ελαστικού έργου οριζόντιων εξωτερικών φορτίων συναρτήσει της ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης και της τέµνουσας βάσης, όταν ο φορέας παραµορφώνεται ελαστικά. 7

Το γραµµοσκιασµένο εµβαδό της προτεινόµενης καµπύλης (Σχήµα 5), σε αντίθεση µε την κλασική καµπύλη «τέµνουσας βάσης µετακίνησης οροφής», ισούται µε το συνολικό έργο των εξωτερικών δυνάµεων. Επειδή η κατασκευή παραµορφώνεται ελαστικά, κατά την αποφόρτιση επιστρέφει στην αρχική κατάσταση, χωρίς παραµένουσες παραµορφώσεις. Η κλίση της καµπύλης «τέµνουσας βάσης ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης» κατά την ελαστική απόκριση της κατασκευής είναι σταθερή και ισούται µε την κλίση του πρώτου βήµατος της ανάλυσης, η οποία µε τη βοήθεια του Σχήµατος 5 δίνεται από τη σχέση: K V = u 1 b el 1 en (8) όπου V b 1 και u en 1 είναι η τέµνουσα βάσης και η ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση του βήµατος 1 της ανάλυσης. Μόλις τα εσωτερικά φορτία που αναπτύσσονται στις κρίσιµες διατοµές των στοιχείων του φορέα, λόγω της βαθµιαία αυξανόµενης εξωτερικής φόρτισης, τείνουν να ξεπεράσουν σε κάποιες διατοµές το όριο διαρροής, τότε δηµιουργούνται πλαστικές αρθρώσεις στις εν λόγω διατοµές και πλέον η εισαγόµενη ενέργεια καταναλώνεται µέσω των πλαστικών παραµορφώσεων των διατοµών του φορέα που έχουν διαρρεύσει και από την ελαστική παραµόρφωση των υπόλοιπων στοιχείων. Κατά την αποφόρτιση της κατασκευής, οι πλαστικές παραµορφώσεις παραµένουν, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 6. Σχήµα 6. Υπολογισµός ελαστικού και πλαστικού έργου των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων συναρτήσει της ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης, της τέµνουσας βάσης και της ελαστικής δυσκαµψίας, κατά την ανελαστική απόκριση του φορέα. Το ελαστικό έργο των εξωτερικών φορτίων µέχρι το βήµα της ανάλυσης στην περίπτωση αποκλειστικά ελαστικής παραµόρφωσης της κατασκευής δίνεται µε τη βοήθεια του Σχήµατος 5 από την Εξίσωση 9: 8

1 Wel = Vb u en (9) 2 Στην περίπτωση που ο φορέας παρουσιάζει υστερητική συµπεριφορά, το ελαστικό έργο δίνεται µε τη βοήθεια του Σχήµατος 6 από την Εξίσωση 1: 1 1 Wel = Vb uen = 2 2 ( Vb ) K el 2 (1) Σε κάθε βήµα της ανάλυσης pushover το πλαστικό έργο W pl µπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας το ελαστικό έργο W el από το συνολικό έργο W το οποίο ισούται µε το άθροισµα των έργων W j τα οποία αντιστοιχούν σε κάθε βήµα j = 1,2,, της ανάλυσης και υπολογίζονται από τις Εξισώσεις 2 ή 3. j pl = el = + el j= 1 W W W W W (11) ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΣΕ ΠΛΑΙΣΙΑ Ο/Σ Η ενεργειακή θεώρηση της pushover εφαρµόζεται σε πλαισιακούς φορείς οπλισµένου σκυροδέµατος οι οποίοι επιλύονται µε ανελαστική στατική ανάλυση. Αναλύεται ένα 8ώροφο δίστυλο διατµητικό πλαίσιο Μοντέλο 1 (Σχήµα 7α), ένα µεικτό πλαίσιο δύο ανοιγµάτων Μοντέλο 2 (Σχήµα 7β) και ένα δοµικό σύστηµα δύο συζευγµένων τοιχωµάτων Μοντέλο 3 (Σχήµα 7γ). Οι φορείς διαστασιολογήθηκαν βάση των αµερικανικών Κανονισµών (ACI-318, 25) και (IBC-23, 24) µε το πρόγραµµα (ETABS, 25). Οι ανελαστικές ιδιότητες των κρίσιµων διατοµών των στοιχείων, δηλαδή των πιθανών σηµείων σχηµατισµού πλαστικής άρθρωσης, καθορίστηκαν σύµφωνα µε τις διατάξεις του (FEMA-356, 2). Χρησιµοποιήθηκε προφίλ οριζόντιων εξωτερικών φορτίων στις στάθµες των ορόφων του κάθε πλαισίου σύµφωνα µε τη θεµελιώδη ιδιοµορφή. Επιλέχθηκε αναλογική µεταβολή των συνιστωσών του διανύσµατος οριζόντιων εξωτερικών δυνάµεων F. Από τα δεδοµένα του προβλήµατος (ύψη ορόφων, προφίλ σεισµικών φορτίων) και τα αποτελέσµατα της ανελαστικής στατικής ανάλυσης µε το πρόγραµµα (ETABS, 25) υπολογίζεται η ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en και σχεδιάζεται συναρτήσει της τέµνουσας βάσης του κάθε µοντέλου (Σχήµα 8). Στο ίδιο διάγραµµα σχεδιάζεται και η αντίστοιχη οριζόντια µετατόπιση της οροφής u roof, η οποία χρησιµοποιείται στην κλασική καµπύλη pushover. Για δεδοµένη στάθµη της τέµνουσας βάσης, η διαφοροποίηση στην τιµή της u roof από την u en κυµαίνεται από 24% στην περίπτωση του διατµητικού πλαισίου έως 42.5% στην περίπτωση του δοµικού συστήµατος συζευγµένων τοιχωµάτων. 9

(α) (β) (γ) Σχήµα 7. Οι φορείς της εφαρµογής: (α) Οκταώροφο δίστυλο πλαίσιο, (β) Οκταώροφο µεικτό πλαίσιο δύο ανοιγµάτων µε ισχυρό τοίχωµα, (γ) οµικό σύστηµα δύο συζευγµένων τοιχωµάτων. Τέμνουσα Βάσης - Οριζόντια Μετακίνηση 8 7 Μοντέλο 2 Μοντέλο 1 -Uroof Τέμνουσα Βάσης Vb (kn) 6 5 4 3 2 1 Μοντέλο 3 Μοντέλο 1 Μοντέλο 1 -Uen Μοντέλο 2 -Uroof Μοντέλο 2 -Uen Μοντέλο 3 -Uroof Μοντέλο 3 -Uen..1.2.3.4.5 Οριζόντια μετακίνηση Ux () Σχήµα 8. Σύγκριση της ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης u en και της µετακίνησης οροφής u roof =u 8 συναρτήσει της τέµνουσας βάσης V b για τα τρία µοντέλα της εφαρµογής. 1

Τέμνουσα βάσης - Οριζόντια Μετακίνηση 14 12 1ος όροφος 2ος όρ. 3ος όρ. 4ος όρ. Uen Τέμνουσα Βάσης Vb (kn) 1 8 6 5ος 6ος 8ος 7ος 1ος 2ος 3ος 4ος Uen 4 U1 U2 U3 2 U4 U5 U6 U7 U8 (Uroof) Uen..5.1.15.2.25.3 Οριζόντια Μετακίνηση Ux () Σχήµα 9. Οριζόντια µετακίνηση ορόφων u i (i=1,2,,8), ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en συναρτήσει της τέµνουσας βάσης V b για το Μοντέλο 1. Στο Σχήµα 9 σχεδιάζονται οι οριζόντιες µετακινήσεις των ορόφων του Μοντέλου 1 συναρτήσει της τέµνουσας βάσης και συγκρίνονται µε την ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en. Είναι προφανές από ότι η µορφή της καµπύλης «τέµνουσας βάσης οριζόντιας µετακίνησης ορόφου», η οποία στην καθιερωµένη της µορφή χρησιµοποιεί τη µετακίνηση του ανώτερου ορόφου και ταυτίζεται µε τον όρο «καµπύλη pushover», εξαρτάται από τον όροφο τη µετακίνηση του οποίου επιλέγουµε να σχεδιάσουµε. Η επιλογή αυτή επηρεάζει και τις ιδιότητες του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος το οποίο προκύπτει από τη διγραµµικοποίηση της κα- µπύλης pushover του φορέα. Για τη συγκεκριµένη εφαρµογή (Μοντέλο 1) και για δεδοµένη τέµνουσα βάσης, η απόκλιση της οριζόντιας µετακίνησης u i του ορόφου i του πλαισίου από την ενεργειακά ισοδύναµη µετακίνηση u en κυµαίνεται από -68% (το αρνητικό πρόσηµο ση- µαίνει u i < u en ) έως +24% στην περίπτωση της µετακίνησης της οροφής (u 8 ). Στα Σχήµατα 1α1, β1, γ1 παρουσιάζεται το συνολικό έργο των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων, το οποίο αναλύεται σε ελαστικό και πλαστικό έργο, συναρτήσει της τέµνουσας βάσης, όπως αυτό υπολογίζεται από τα αποτελέσµατα της ανελαστικής στατικής ανάλυσης (οριζόντιες δυνάµεις και οριζόντιες µετακινήσεις ορόφων σε κάθε βήµα της ανάλυσης). Το έργο αυτό είναι ίσο µε το εµβαδό της καµπύλης «τέµνουσας βάσης ενεργειακά ισοδύναµης µετακίνησης u en» κάθε µοντέλου. Τα Σχήµατα 1α2, β2, γ2 αναφέρονται στο «έργο» το οποίο υπολογίζεται από το εµβαδό της κλασικής καµπύλης pushover «τέµνουσας βάσης µετακίνησης οροφής» για καθένα από τα 3 µοντέλα. Το «έργο» αυτό διαφέρει από το πραγµατικό έργο το οποίο υπολογίζουµε αναλυτικά και δείχνει ότι ο ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής ο ο- ποίος προκύπτει από τη διγραµµικοποίηση της καµπύλης pushover δεν είναι ενεργειακά συνεπής µε τον πολυβάθµιο φορέα. Ενισχύεται έτσι το επιχείρηµα ότι η χρήση της µετακίνησης οροφής ή της µετακίνησης οποιουδήποτε άλλου ορόφου ως καθολικού δείκτη απόκρισης της κατασκευής είναι αναξιόπιστη. 11

35 Ελαστικό και πλαστικό έργο στην ενεργειακή Pushover - Μοντέλο 1 35 Ελαστικό και πλαστικό έργο στην κλασική Pushover - Μοντέλο 1 3 25 Έργο εξωτερικών οριζόντιων φορτίων Πλαστικό Έργο Ελαστικό Έργο 3 25 Έργο οριζόντιων εξωτερικών φορτίων Πλαστικό Έργο Ελαστικό Έργο Έργο (kj) 2 15 Έργο (kj) 2 15 1 1 5 5 3 2 4 6 8 1 12 Τέµνουσα Βάσης (kn) (α1) Ελαστικό και πλαστικό έργο στην ενεργειακή Pushover - Μοντέλο 2 3 2 4 6 8 1 12 Τέµνουσα Βάσης (kn) (α2) Ελαστικό και πλαστικό έργο στην κλασική Pushover - Μοντέλο 2 25 2 Έργο οριζόντιων εξωτερικών φορτίων Πλαστικό έργο Ελαστικό έργο 25 2 Έργο εξωτερικών οριζόντιων φορτίων Πλαστικό Έργο Ελαστικό Έργο Έργο (kj) 15 Έργο (kj) 15 1 1 5 5 2 4 6 8 Τέµνουσα Βάσης (kn) (β1) Ελαστικό και πλαστικό έργο στην ενεργειακή Pushover - Μοντέλο 3 24 24 2 4 6 8 Τέµνουσα Βάσης (kn) (β2) Ελαστικό και πλαστικό έργο στην κλασική Pushover - Μοντέλο 3 Έργο (kj) 2 16 12 Έργο εξωτερικών οριζόντιων φορτίων Πλαστικό Έργο Ελαστικό Έργο Έργο (kj) 2 16 12 Έργο εξωτερικών οριζόντιων φορτίων Πλαστικό Έργο Ελαστικό Έργο 8 8 4 4 15 3 45 6 Τέµνουσα Βάσης (kn) (γ1) 15 3 45 6 Τέµνουσα Βάσης (kn) (γ2) Σχήµα 1. Σύγκριση συνολικού έργου οριζόντιων εξωτερικών φορτίων µε το «έργο» το οποίο υπολογίζεται από το εµβαδό της κλασικής καµπύλης pushover «τέµνουσα βάσης µετακίνηση οροφής» για τα τρία µοντέλα της ε- φαρµογής. 12

Σε όλες τις περιπτώσεις, πλαστικό έργο εµφανίζεται µετά το σχηµατισµό της πρώτης πλαστικής άρθρωσης στον φορέα. Μια που η σεισµική αντοχή µιας κατασκευής εξαρτάται από την ικανότητα που έχει να αποσβένει σεισµική ενέργεια, όταν υποβάλλεται σε σεισµική διέγερση, η χρήση της µετακίνησης ενός µεµονωµένου ορόφου ως καθολικού δείκτη αντοχής είναι πιθανό να οδηγήσει σε σηµαντική υπερ- ή υπο-εκτίµηση της υστερητικής της ικανότητας, όπως αυτό καταδεικνύεται στον Πίνακα 1. Για τα µοντέλα της εφαρµογής µας, η χρήση της µετακίνησης οροφής στην καµπύλη pushover υπερεκτιµά την ικανότητα απορρόφησης σεισµικής ενέργειας της κατασκευής σε ποσοστά που κυµαίνονται από 23.7% στην περίπτωση του διατµητικού πλαισίου (Μοντέλο 1) και φτάνουν έως 42.5% στην περίπτωση του δοµικού συστήµατος των δύο συζευγµένων τοιχωµάτων (Μοντέλο 3). Πίνακας 1. Απόκλιση του «έργου» που αντιστοιχεί στην κλασική καµπύλη pushover V b u roof, από το πραγµατικό έργο των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων. Απόκλιση «έργου» κλασικής καµπύλης Φορέας pushover από το πραγµατικό έργο των εξωτερικών οριζόντιων φορτίων Μοντέλο 1 ιατµητικό πλαίσιο 23.7% Μοντέλο 2 Μεικτό πλαίσιο 39.3% Μοντέλο 3 Πλαίσιο µε τοιχώµατα 42.5% ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέχρι σήµερα έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες από πολυάριθµους ερευνητές µε στόχο τη βελτίωση της αξιοπιστίας της ανελαστικής στατικής ανάλυσης (pushover). Η παρούσα εργασία, στα πλαίσια µιας ενεργειακής θεώρησης της µεθόδου, προσέφερε συνεπείς αναλυτικούς τύπους υπολογισµού του έργου των οριζόντιων εξωτερικών φορτίων που α- σκούνται στον φορέα κατά τη διάρκεια µιας ανάλυσης pushover, καθώς και σχέσεις για τον υπολογισµό µιας εναλλακτικής οριζόντιας «ενεργειακά ισοδύναµης» µετακίνησης για χρήση στην καµπύλη pushover, στη θέση της µετακίνησης οροφής. Η προτεινόµενη «ενεργειακά ι- σοδύναµη» καµπύλη pushover αποκτά φυσική σηµασία, µια που το εµβαδό της, το οποίο έ- χει µονάδες έργου, αναπαριστά µε συνέπεια το έργο των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στον φορέα. Η εφαρµογή της περιγραφείσας µεθοδολογίας σε 8ώροφα πλαίσια οπλισµένου σκυροδέµατος µε διαφορετικά δοµικά συστήµατα και η σύγκριση των κλασικών κα- µπυλών pushover (τέµνουσας βάσης µετακίνησης ορόφου) µε την ενεργειακή καµπύλη pushover, κατέδειξε την αυθαιρεσία της χρήσης της µετακίνησης µεµονωµένου ορόφου ως καθολικού δείκτη αντοχής της κατασκευής. Ακόµη, διαπιστώθηκε ότι η κλασική καµπύλη pushover υπερεκτιµά την ικανότητα της κατασκευής να αποσβέσει σεισµική ενέργεια σε ποσοστά που στην περίπτωση των κτιρίων που µελετήθηκαν έφτασαν το 42.5%. Η χρήση της ε- νεργειακής καµπύλης pushover για τον προσδιορισµό των ιδιοτήτων του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος αναµένεται να οδηγήσει σε ρεαλιστικότερη εκτίµηση της σεισµικής απόκρισης της κατασκευής, κάτι το οποίο πρέπει να αποτελέσει αντικείµενο παραπέρα διερεύνησης. 13

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Σηµαντικό τµήµα αυτής της ερευνητικής εργασίας έγινε µε την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Ένωσης και του ΥΠ.Ε.Π.Θ. στα πλαίσια του προγράµµατος Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. (πράξη Πυθαγόρας ΙΙ ). ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ACI-318, ACI Coittee 318 25, Building code requireents for structural concrete (ACI 318-5) and coentary (ACI 318R-5), Aerican Concrete Institute, Farington Hills, Mich. ATC-4, Applied Technology Council, Coartin, C.D., Niewiarowski, R.W., Rojahn, C. & California. Seisic Safety Coission 1996, Seisic evaluation and retrofit of concrete buildings, Applied Technology Council, Redwood City, Calif. Chopra, A.K. & Goel, R.K. 22, "A odal pushover analysis procedure for estiating seisic deands for buildings", Earthquake Engineering & Structural Dynaics, vol. 31, no. 3, pp. 561-582. Chopra, A.K., Goel, R.K. & Chintanapakdee, C. 24, "Evaluation of a Modified MPA Procedure Assuing Higher Modes as Elastic to Estiate Seisic Deands", Earthquake Spectra, vol. 2, no. 3, pp. 757-778. ETABS, Coputers and Structures Inc 25, Extended 3D Analysis of Building Systes, Berkeley, USA. Eurocode 8, 1998, "Design of Structures for Earthquake Resistance - Part 1: general rules, seisic actions and rules for buildings", EN, vol. 1, pp. 24. FEMA-356, Aerican Society of Civil Engineers & United States. Federal Eergency Manageent Agency 2, Prestandard and coentary for the seisic rehabilitation of buildings, Federal Eergency Manageent Agency, Washington, D.C. FEMA-44, National Earthquake Hazards Reduction Progra, Applied Technology Council. Federal Eergency Manageent Agency 25, "Iproveent of nonlinear static seisic analysis procedures (FEMA 44)", Draft caera-ready, Federal Eergency Manageent Agency, Washington, D.C. Goel, R.K., Chopra, A.K. 25, "Role of Higher "Mode" Pushover Analyses in Seisic Analysis of Buildings", Earthquake Spectra, vol. 21, pp. 127. GUPTA, B. & KUNNATH, S. 2, "Adaptive spectra-based pushover procedure for seisic evaluation of structures", Earthquake Spectra, vol. 16, no. 2, pp. 367-391. Hernandez-Montes, E., Kwon, O.S. & Aschhei, M. 24, "An energy-based forulation for first- and ultiple-ode nonlinear static (pushover) analyses.", Journal of Earthquake Engineering, vol. 8, no. 1, pp. 69-88. International Building Code 23, International Code Council 24, International Code Council, Country Club Hills, IL. Tjhin, T. 25, "Estiates of Peak Roof Displaceent Using "Equivalent" Single Degree of Freedo Systes", Journal of Structural Engineering, vol. 131, no. 3, pp. 517. 14