ασύμμετρων κτιριακών φορέων»

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων κτιριακών φορέων» Επιστημονικός Υπεύθυνος: Γ. Γεωργούσης ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Τίτλος Παραδοτέου: «Ενδιάμεση Έκθεση Interim Report» στο Πλαίσιο της ράσης: 3 Συντάκτες: 1. Γ. Γεωργούσης, μέλος ΚΕΟ, Επιστημονικός Υπεύθυνος 2. Α. Τσομπάνος, μέλος ΟΕΣ 3. Τ. Μακάριος, μέλος ΚΕΟ 4. Α. Παπαλού, μέλος ΚΕΟ

2 Πίνακας περιεχομένων Κατάλογος σχημάτων... Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Περίληψη... Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Κύριο σώμα παραδοτέου... Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Συμπεράσματα Βιβλιογραφία [1]

3 Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1 (a)τυπική διάταξη ομοιόμορφου καθ ύψος κτιρίου με (b) συμμετρική διάταξη των στοιχείων ακαμψίας στις δύο διευθύνσεις [4] Σχήμα 2 (a)τυπική παραμόρφωση 1 ης ιδιομορφής πολυώροφου κτιρίου; (b) o ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής; (c) το ισοδύναμο μονώροφο πλαίσιο [4] Σχήμα 3 (a) Ο κτιριακός φορέας που διερευνήθηκε και (b) το φάσμα σχεδιασμού [5] Σχήμα 4 Οι 4 πρώτες ιδιοπερίοδοι του φορέα του παραδείγματος [5] Σχήμα 5 Σεισμικές τέμνουσες & στρεπτικές ροπές βάσης κατά το φάσμα EC8-2004[5] [2]

4 Περίληψη Η διερεύνηση της θέσης του m-cr άξονα (του άξονα δηλ. που διέρχεται από το ιδιομορφικό κέντρο ακαμψίας m-cr) και της προσεγγιστικής μεθόδου ανάλυσης πολυώροφων κτιρίων μέσω ενός ισοδύναμου μονώροφου συστήματος (Georgoussis [1,2,3]) επεκτάθηκε σε κτίρια των οποίων η ακαμψία στηρίζεται σε εντελώς ανόμοια επιμέρους δομικά στοιχεία, όπως είναι ένας συνδυασμός από πλαίσια (διατμητικά στοιχεία) και τοιχώματα (καμπτικά στοιχεία). Η διερεύνηση στηρίχθηκε στη μέθοδο του συνεχούς μέσου, που παρέχει αναλυτικές εκφράσεις για ιδιοσυχνότητες και ενεργές ιδιομορφικές μάζες προβολικών (cantilever) συστημάτων και καθιστά εφικτή μια παραμετρική εξέταση της απόκρισης αυτών. Με την προσέγγιση αυτή προτάθηκε μια τροποποιημένη έκφραση για τον υπολογισμό των πρώτων ιδιοσυχνοτήτων ενός μικτού προβολικού συστήματος (με πλαίσια, μεμονωμένα και συζευγμένα τοιχώματα, κλπ), που παρέχει ακριβέστερη προσέγγιση απ ότι η εξίσωση του Southwell ( όπου το τετράγωνο της ιδιοσυχνότητας του κτιριακού συστήματος προσεγγίζεται ως άθροισμα των τετραγώνων των element frequencies, δηλαδή των συχνοτήτων των επιμέρους δομικών στοιχείων του κτιρίου όταν φέρουν το καθένα ξεχωριστά- το σύνολο της μάζας του κτιρίου) και καθιστά ευκρινέστερη την συνεισφορά ενός εκάστου των δομικών στοιχείων, καθόσον, το τετράγωνο της ιδιοσυχνότητας του κτιριακού συστήματος υπολογίζεται πλέον ως άθροισμα των τετραγώνων των effective element frequencies [4,5]. Η ακρίβεια της προσέγγισης αυτής ελέγχθηκε (και επιβεβαιώθηκε) και σε διακριτά κτιριακά συστήματα μέσω επιλύσεων με το ακαδημαϊκό λογιστικό πρόγραμμα SAP2000. Με βάση τα αποτελέσματα αυτά αναλύθηκαν 8-όροφα διακριτά έκκεντρα κτιριακά συστήματα, τα οποία κατά τον EC χαρακτηρίζονται ως μη κανονικά, με δύο μεθόδους: με την ακριβή μέθοδο του λογισμικού SAP2000 και την προσεγγιστική του ισοδύναμου μονώροφου με τις δύο εκδοχές της: αυτής που στηρίζεται στον τύπο του Southwell (μέσω των element frequencies) και την τροποποιημένη που λαμβάνει υπόψη τις effective element frequencies. Τα αποτελέσματα της διερεύνησης παρουσιάστηκαν στο διεθνές συνέδριο Earthquaes and Structures (ICEAS13), μέρος του World Congress Advances in Structural Engineering and echanics (ASE13), Κορέα, 9/8-12, 2013) [4] και το σύνολο της εργασίας δημοσιεύθηκε σε διεθνές επιστημονικό περιοδικό [5]. [3]

5 Κύριο Σώμα Παραδοτέου Η ανάλυση ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων, που υπόκεινται σε εδαφικές διεγέρσεις, απαιτεί δυναμικές επιλύσεις στον χώρο, που είναι πολύπλοκες, απαιτούν έμπειρο μηχανικό και επιβαρύνουν το κόστος μιας μελέτης. Στην περίπτωση όμως που ένας φορέας χαρακτηρίζεται από αναλογικότητα των μητρώων ακαμψίας των επιμέρους δομικών στοιχείων (proportionate buildings), η ανάλυση του μπορεί να επιτευχθεί με δύο απλές επιλύσεις: (α) την ανάλυση του αντίστοιχου συμμετρικού φορέα (uncoupled structure), που χαρακτηρίζεται από μεταφορική μόνο κίνηση, και (β) την ανάλυση ενός μονώροφου συστήματος. Οι συχνότητες του κτιρίου προκύπτουν ευκόλως χωρίς να απαιτείται προσφυγή σε τρισδιάστατη ανάλυση, και μέσω των φασμάτων απόκρισης (response spectra) προκύπτουν και τα βασικά μεγέθη της σεισμικής τέμνουσας και της στρεπτικής ροπής βάσης, που είναι απαραίτητα για τον αντισεισμικό σχεδιασμό ενός ασύμμετρου κτιρίου. Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι και η ανελαστική συμπεριφορά κατασκευών σε σεισμικές διεγέρσεις αντιμετωπίζεται (κατά τον Κανονισμό) με παρόμοιο τρόπο, μέσω ανελαστικών φασμάτων σχεδιασμού. Στην πραγματικότητα, οι περισσότερες διατάξεις των σύγχρονων Αντισεισμικών Κανονισμών (περί κανονικότητας κλπ) στηρίζονται σε συμπεράσματα που έχουν προκύψει από την τελευταία μεθοδολογία, που μπορεί να προσφέρει αποτελέσματα σε παραμετρική μορφή και επομένως συστάσεις (ή και διατάξεις) αντιμετώπισης των δυσμενών επιπτώσεων του σεισμού. Τα τελευταία χρόνια (Georgoussis [1,2,3]), η ως άνω απλή μεθοδολογία έχει επεκταθεί και σε πολυώροφα κτίρια που δεν χαρακτηρίζονται από αναλογικότητα των μητρώων ακαμψίας των επιμέρους δομικών στοιχείων (non-proportionate buildings). Η προσέγγιση αυτή στηρίζεται στον τύπο του Southwell (το τετράγωνο της ιδιοσυχνότητας του κτιριακού συστήματος προσεγγίζεται ως άθροισμα των τετραγώνων των element frequencies, δηλαδή των συχνοτήτων των επιμέρους δομικών στοιχείων του κτιρίου όταν φέρουν το καθένα ξεχωριστά- το σύνολο της μάζας του κτιρίου) και με απλά λόγια μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Στην περίπτωση ενός συμμετρικού, ομοιόμορφου καθ ύψος κτιρίου, όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 1, αν και διαφορετικού είδους συστήματα δυσκαμψίας παρέχουν την απαιτούμενη αντίσταση του κτιρίου στις δύο διευθύνσεις x και y, το κέντρο μάζας (C) [4]

6 συμπίπτει με το κέντρο ακαμψίας, εφόσον τα επιμέρους στοιχεία ακαμψίας είναι ζεύγη τοποθετημένα σε δύο ορθογώνιες μεταξύ τους διευθύνσεις, συμμετρικά ως προς το C. (a) Nth floor (b) Ground acceleration y i-bent 2nd floor yi C xj j-bent x 1st floor Σχήμα 1: (a)τυπική διάταξη ομοιόμορφου καθ ύψος κτιρίου με (b) συμμετρική διάταξη των στοιχείων ακαμψίας στις δύο διευθύνσεις[4] Υποθέτοντας ότι το εξεταζόμενο κτίριο υπόκειται σε μία καθαρά μεταφορική εδαφική κίνηση κατά τη διεύθυνση y, βασικά δυναμικά μεγέθη, τα οποία είναι απαραίτητα για τον σχεδιασμό ενός κτιρίου (π.χ. τέμνουσα βάσης), μπορούν να προσδιοριστούν μέσω του συνδυασμού των ιδιομορφικών αποκρίσεων. Μία τέτοια διαδικασία απαιτεί τον υπολογισμό των συχνοτήτων ω y και των ενεργών ιδιομορφικών μαζών Μ * y των -ιδιομορφών ( = 1,2, ) του υπό μελέτη συμμετρικού φορέα. Τα δύο αυτά μεγέθη χαρακτηρίζουν τον αντίστοιχο μονοβάθμιο - ταλαντωτή και είναι γνωστό ότι για μέσου ύψους οικοδομές τα χαρακτηριστικά του πρώτου (=1) ταλαντωτή παίζουν τον κυρίαρχο ρόλο στην απόκριση του συστήματος. Στο Σχήμα 2 φαίνεται (a) σε τυπική τομή το εξεταζόμενο κτίριο και (b) ο αντίστοιχος πρώτος ταλαντωτής, του οποίου η ακαμψία είναι προφανώς ίση με (1) 2 Είναι γνωστό (Georgoussis[1,2,3]) ότι η πρώτη συχνότητα ω του υπό εξέταση κτιρίου μπορεί να υπολογισθεί από τον παρακάτω τύπο του Southwell, που παρέχει ένα κάτω όριο, αλλά μεγάλης ακρίβειας, της θεμελιώδους ιδιοσυχνότητας του πραγματικού κτιρίου. Σ (2) 2 2 [5]

7 mn * * m2 m1 * 2 =ω * * j 1.. * * * ug(t) (a) ug(t) (b) (c) Σχήμα 2: (a)τυπική παραμόρφωση 1 ης ιδιομορφής πολυώροφου κτιρίου; (b) o ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής; (c) το ισοδύναμο μονώροφο πλαίσιο[4] Όπου ω είναι η πρώτη συχνότητα του εξεταζόμενου κτιρίου εάν υποτεθεί ότι η ακαμψία του σε πλευρική ώθηση κατά τη διεύθυνση y οφείλεται αποκλειστικά στο j-δομικό στοιχείο (πλαίσιο ή τοίχωμα, κλπ) που συμμετέχει στην ακαμψία του κτιρίου κατά την ίδια διεύθυνσή (Σχήμα 1(b)). Η ίδια συχνότητα μπορεί απλά να υπολογισθεί αν το j- δομικό στοιχείο (ως επίπεδο σύστημα) θεωρηθεί ότι σε κάθε όροφο φέρει την αντίστοιχη μάζα του πραγματικού κτιρίου. Η συχνότητα αυτή στο εξής θα αναφέρεται ως η πρώτη συχνότητα του j-δομικού μέλους (first element frequency). Επισημαίνεται επίσης εδώ ότι σε κτιριακά (προβολικά) συστήματα, ο τύπος του Southwell δίνει πολύ καλά αποτελέσματα και για τις δύο ανώτερες συχνότητες (Georgoussis [1]). Εισάγοντας την εξ. (2) στην (1), η ακαμψία του μονοβάθμιου ταλαντωτή του Σχήματος 2(b) παίρνει τη μορφή (3) 2 ( ) Δηλαδή στην ακαμψία του πρώτου μονοβάθμιου ταλαντωτή κατά τη διεύθυνση y, το κάθε j-δομικό στοιχείο (j=1,2,..) συμμετέχει κατά την ποσότητα (4) 2 που μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει τη δική του ακαμψία, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2(c). Με διαφορετικά λόγια, ο μονοβάθμιος ταλαντωτής του Σχήματος 2(b) μπορεί να θωρηθεί ως ένα μονώροφο πλαίσιο του οποίου η μάζα είναι ίση με και το οποίο [6]

8 στηρίζεται στα j- δομικά στοιχεία (j=1 2, ), που τα καθένα τους έχει ακαμψία ίση με. Εφόσον επομένως η πρώτη συχνότητα (αλλά και η αντίστοιχη ιδιομορφική 2 τέμνουσα βάσης) ενός συμμετρικού πολυώροφου κτιρίου, όπως αυτό του Σχήματος 1, μπορεί να υπολογισθεί από ένα ισοδύναμο (ιδιομορφικό) μονώροφο πλαίσιο με τη παραπάνω μάζα και ακαμψίες κατακόρυφων στοιχείων, η ίδια μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοσθεί και σε ένα ασύμμετρο ομοιόμορφο πολυώροφο φορέα με την εξής διαφορά: τα κατακόρυφα στοιχεία επί των οποίων στηρίζεται το ισοδύναμο μονώροφο πλαίσιο ευρίσκονται σε ασύμμετρη διάταξη, όπως ακριβώς και τα δομικά στοιχεία του πραγματικού κτιρίου. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση η μάζα του ισοδύναμου μονώροφου πλαισίου είναι ίση με (εφόσον η σεισμική διέγερση θεωρείται κατά τον ίδιο άξονα), η ακτίνα αδράνειας του ορόφου είναι ίση με αυτήν του τυπικού ορόφου του πραγματικού κτιρίου, οι ακαμψίες των κατά την δ/νση y δομικών στοιχείων δίνονται από τη εξ. (4) και, τέλος, οι ακαμψίες των δομικών κατά τη δ/νση x από τον (αντίστοιχο) τύπο (5) 2 i1 i1 Όπου ω i1, κατ αντιστοιχία προς τα παραπάνω, είναι η πρώτη συχνότητα του i-δομικού μέλους (i=1,2, ) που συμμετέχει στην ακαμψία του κτιρίου κατά την x-διεύθυνσή. Το πρόβλημα πλέον ανάγεται στην δυναμική διερεύνηση ενός μονώροφου συστήματος, όπως περιγράφεται παρακάτω για την περίπτωση ενός συστήματος με απλή ασυμμετρία (ως προς έναν μόνο άξονα, κατά τη δ/νση του οποίου επιβάλλεται η εδαφική διέγερση). Τα αποτελέσματα αυτών των επιλύσεων (συχνότητες, τέμνουσα και στρεπτική ροπή βάσης) παρουσιάζονται στην ανακοίνωση στο διεθνές συνέδριο Earthquaes and Structures (ICEAS13) [4] και στην Επιστημονική Δημοσίευση [5], από κοινού με τα ακριβή αποτελέσματα που δίνει η 3-D ανάλυση του πραγματικού πολυώροφου φορέα με το πρόγραμμα SAP2000 και η τροποποιημένη μέθοδος που περιγράφεται παρακάτω. Επισημαίνεται εδώ ότι από το παραπάνω μονώροφο πλαίσιο, που διαμορφώνεται επί των τιμών της πρώτης ενεργού ιδιομορφικής μάζας και των πρώτων συχνοτήτων ω i1 και ω, υπολογίζονται οι τρείς πρώτες συχνότητες του πραγματικού πολυώροφου κτιρίου και τα αντίστοιχα τρία πρώτα μεγέθη της τέμνουσας και στρεπτικής ροπής βάσης. Συνεπώς, το πλαίσιο αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως το πρώτο (=1) ισοδύναμο ιδιομορφικό [7]

9 πλαίσιο. Με τον ίδιο τρόπο, το μονώροφο πλαίσιο, που διαμορφώνεται επί των τιμών της δεύτερης ενεργού ιδιομορφικής μάζας y2 και των δεύτερων συχνοτήτων ω i2 και ω j2 (δεύτερο (=2) ισοδύναμο ιδιομορφικό πλαίσιο), προσδιορίζει τη δεύτερη τριάδα συχνοτήτων του πραγματικού φορέα και τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη βάσης. Στην ειδική περίπτωση που ο άξονας x του κτιρίου αποτελεί έναν άξονα συμμετρίας (όπως φαίνεται στο Σχήμα 1(b)), αλλά περί τον άξονα y, όπου και η εδαφική διέγερση, δεν υπάρχει συμμετρία, η εξίσωση κίνησης του -οστού ισοδύναμου ιδιομορφικού πλαισίου (=1, 2) ως προς το κέντρο μάζας C έχει ως εξής, αν αμεληθεί η απόσβεση του συστήματος: U K U iu g (6) όπου 1 0 y 2 0 r το μητρώο μάζας του - ισοδύναμου ιδιομορφικού πλαισίου (r: η ακτίνα αδράνειας του τυπικού ορόφου του πραγματικού κτιρίου) T U u θ το άνυσμα παραμορφώσεων, ως προς το C y yw K το μητρώο ακαμψίας wy w T T i 1 0 το άνυσμα επιρροής, και (7) y Σ j y 2 j w x 2 j j y 2 i i y 2 2 ( x j j 2 2 y ) i i yw wy x j j y x j 2 j Έχει αποδειχθεί (Georgoussis [1]), με χρήση της μεθοδολογίας του συνεχούς μέσου (continuous medium), ότι αν το κέντρο ακαμψίας (m-cr) του ως άνω πρώτου (=1) ισοδύναμου μονώροφου πλαισίου συμπίπτει με το κέντρο μάζας (C), τότε η σύζευξη της πρώτης μεταφορικής και της πρώτης στρεπτικής ιδιομορφής του πραγματικού κτιρίου είναι αμελητέα. Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση, για μεταφορική εδαφική διέγερση κατά τον άξονα y, η απόκριση του φορέα στην ουσία είναι και αυτή μεταφορική, με ελάχιστα στρεπτικά φαινόμενα. Η τροποποιημένη μέθοδος που δίνει καλύτερα αποτελέσματα στην περίπτωση που ο φορέας του κτιρίου αποτελείται από εντελώς ανόμοια δομικά στοιχεία [8]

10 παρουσιάζεται στην επιστημονική δημοσίευση [5]. Εν περιλήψει: καταδεικνύεται ότι στην περίπτωση που τα δομικά στοιχεία που παρέχουν την πλευρική ακαμψία σ ένα κτίριο είναι εξαιρετικά ανόμοια (π.χ. ένα τοίχωμα παραμορφώνεται ως ένας καμπτικός πρόβολος, ενώ, αντίθετα ένα πλαίσιο με εντελώς άκαμπτα ζυγώματα παραμορφώνεται ως ένας καθαρά διατμητικός πρόβολός), τότε η ανωτέρω απλοποιημένη μέθοδος παρέχει ακριβέστερα αποτελέσματα όταν στη θέση των συχνοτήτων ω i1 και ω των δομικών μελών (στις εξισώσεις (7) για =1) εισαχθούν οι αντίστοιχες ενεργές συχνότητες (effective element frequencies) i1 και που ορίζονται ως εξής i1 i1 i1 x1 Όπου και i1 είναι οι πρώτες (=1) ενεργές ιδιομορφικές μάζες των j- και i- δομικών στοιχείων (πλαισίων, τοιχωμάτων κλπ) που φέρουν ανά όροφο την αντίστοιχη μάζα του πραγματικού κτιρίου. Παραδείγματα εφαρμογής της απλοποιημένης μεθόδου (και στις δύο εκδοχές της) στον 8-όροφο φορέα του Σχήματος 3, για όλες τις δυνατές θέσεις του πλαισίου FR, φαίνονται στα Σχήματα 4 και 5. Οι μαύρες γραμμές αποδίδουν τα αποτελέσματα του SAP2000, οι κόκκινες γραμμές τα αποτελέσματα της απλοποιημένης μεθόδου που στηρίζεται στον τύπο του Southwell και οι πράσινες τα αποτελέσματα της τροποποιημένης μεθόδου, που διερευνήθηκε στα πλαίσια του πακέτου 3 του παρόντος Υποέργου. (a) odel structure y Wx Wa 10m 6m C Wx 4m 15m A/g Flat 1.00 FR Wb 0.75 x Linear 0.50 (b) EC spectrum Hyperbolic x 0.15 T(s) 6m Σχήμα 3 (a) Ο κτιριακός φορέας που διερευνήθηκε και (b) το φάσμα σχεδιασμού [5] [9]

11 Και τα αποτελέσματα που προέκυψαν 1 sec 0.8 2nd..mode..periods 0.6 3rd..mode. 4th..mode..periods.periods T1com T2com T3com T4com T1ea T2ea T3ea T4ea T1m T2m T3m T4m Σχήμα 4 Οι 4 πρώτες ιδιοπερίοδοι του φορέα του παραδείγματος [5] x Σχήμα 5 Σεισμικές τέμνουσες και στρεπτικές ροπές βάσης κατά το φάσμα EC [5] [10]

12 Συμπεράσματα Η μεθοδολογία που στηρίζεται στη έννοια του συνεχούς μέσου χρησιμοποιήθηκε για την διερεύνηση της ακρίβειας της απλοποιημένης μεθόδου που παρέχει βασικά δυναμικά μεγέθη ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων, των οποίων ο φορέας αποτελείται από εντελώς ανόμοια δομικά στοιχεία. Με την προσέγγιση αυτή προτάθηκε μια τροποποιημένη έκφραση για τον υπολογισμό της πρώτης ιδιοσυχνότητας ενός μικτού προβολικού συστήματος (με πλαίσια, μεμονωμένα και συζευγμένα τοιχώματα, κλπ), που παρέχει ακριβέστερη προσέγγιση απ ότι ο τύπος του Southwell και καθιστά ευκρινέστερη την συνεισφορά ενός εκάστου των δομικών στοιχείων στην συνολική ιδιομορφική ακαμψία του υπόψη φορέα. Η ακρίβεια της τροποποιημένης μεθόδου ελέγχθηκε σε 8-όροφους ασύμμετρους κτιριακούς φορείς, σε σχέση με τα αποτελέσματα που δίνει η 3D ανάλυση με το ακαδημαϊκό λογισμικό SAP2000. Βιβλιογραφία 1.Georgoussis G.K., (2009). An Alternative Approach for Assessing Eccentricities in Asymmetric ultistory Structures, 1: Elastic Systems. Struct. Design Tall Spec. Build. 18(2): Georgoussis G.K., (2010). odal Rigidity Center: Its Use For Assessing Elastic Torsion In Asymmetric Buildings. Earthquaes and Structures, An International Journal, 1(2), Georgoussis G., (2012). Seismic Analysis of Non-Proportionate Eccentric Buildings. Advanced aterials Research, Vol , G. Georgoussis, A. Tsompanos, T. aarios, A. Papalou, Optimum structural configuration of irregular buildings 1. Elastic systems. The 2013 World Congress on Advances in Structural Engineering and echanics (ASE13), Jeju Korea, 8-12 September George Georgoussis (2014), odified seismic analysis of multistory asymmetric elastic buildings and suggestions for minimizing the rotational response, Earthquaes and Structures, An Int l Journal, Vol. 7(1): [11]