Προαπαιτούμενες γνώσεις Πλεγματικά επίπεδα και ανάκλαση Bragg Μέθοδος Debye-Scerrer Κύματα de Broglie Περίθλαση ηλεκτρονίων πάνω σε κρυσταλλική ύλη Δομή γραφίτη Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος, Κ. Αλεξόπουλος, «Φυσική Στερεάς Κατάστασης». ) C. Kittel: «Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης». 3) R. Feymann: «Lectures in Pysics». 4) Κ.Αλεξόπουλος «Γενική Φυσική» (Τόμος Ατομικής και Πυρηνικής Φυσικής). Περιεχόμενο της άσκησης Είναι γνωστό ότι όταν ακτίνες Χ προσπίπτουν με ορισμένη κατεύθυνση επί της κρυσταλλικής ύλης ανακλώνται επί των πλεγματικών επιπέδων και δίνουν φαινόμενα ενισχυτικής συμβολής προς ορισμένες διευθύνσεις που καθορίζονται από την εξίσωση Bragg. Αρκεί, βεβαίως, το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας να είναι της αυτής τάξης μεγέθους με την απόσταση των πλεγματικών επιπέδων. Από την άλλη πλευρά είναι γνωστό σύμφωνα με τη θεωρία de Broglie, ότι ταχέως κινούμενα ηλεκτρόνια έχουν κυματικές ιδιότητες, με όλες τις συνέπειες που απορρέουν από τη κυματική φυσική. Η ιδέα στην οποία βασίζεται η παρούσα άσκηση είναι η εξής: Αφού τα κινούμενα ηλεκτρόνια έχουν κυματικές ιδιότητες, θα πρέπει να δίνουν παρόμοια φαινόμενα περίθλασης με ακτίνες Χ όταν προσπίπτουν επί της κρυσταλλικής ύλης. Αρκεί το αντίστοιχο μήκος κύματος de Broglie να είναι συμβατό με τις αποστάσεις πλεγματικών επιπέδων. Στη παρούσα άσκηση μέσα σε ειδική λυχνία δημιουργείται εστιασμένη δέσμη ηλεκτρονίων που επιταχύνονται σε κατάλληλη διαφορά δυναμικού και προσπίπτουν επί λεπτού στρώματος πολυκρυσταλλικής σκόνης γραφίτη. Πάνω στη φθορίζουσα οθόνη της λυχνίας εμφανίζεται εικόνα περίθλασης από ομόκεντρους δακτυλίους. Στην άσκηση αυτή μας δίνονται δύο δυνατότητες: Αφ ενός να διαπιστώσουμε τη κυματική φύση των κινουμένων ηλεκτρονίων και αφ ετέρου από μετρήσεις στην εικόνα περίθλασης να υπολογίσουμε αποστάσεις πλεγματικών επιπέδων στο γραφίτη.
1. Αρχή της μεθόδου Κατ αντιστοιχία με τη σωματιδιακή φύση του φωτονίου, ο de Broglie εφάρμοσε τη σχέση B p (όπου λ= μήκος κύματος, 34 6.65 10 J. sec σταθερά Plank, p = η ορμή του ηλεκτρονίου) σε «σωματίδια» ορμής mυ και οδηγήθηκε στη σχέση λ Β = m όπου λ Β είναι το αντίστοιχο μήκος κύματος Broglie που περιγράφει το σωματίδιο. Τα στοιχεία της κίνησης του σωματιδίου που μπορούν να παρατηρηθούν πειραματικά,υπολογίζονται από τη μελέτη της διάδοσης αυτών των κυμάτων de Broglie. Τα κύματα de Broglie ενός σωματιδίου, αφορούν σε κύμανση που δεν είναι ηλεκτρομαγνητικής φύσεως, όμως έχουν σχέση με τη κίνηση και τη θέση του σωματιδίου. Μια πολύ καλή περιγραφή της κυματικής συμπεριφοράς των κινουμένων ηλεκτρονίων μπορεί κανείς να διαβάσει στο βιβλίο Te Feymann lectures on Pysics, Vol.I, p. 37.4-37.1. To κύμα de Broglie ενός σωματιδίου του οποίου γνωρίζουμε κατά προσέγγιση τη θέση, έχει τη μορφή κυματοσυρμού. Η ταχύτητα ομάδας υ του κυματοσυρμού είναι η ταχύτητα του σωματιδίου. Η ταχύτητα φάσεως είναι μέγεθος μη μετρήσιμο και συνεπώς δεν έχει φυσική σημασία. Μια προσδοκώμενη συνέπεια των παραπάνω απόψεων της θεωρίας de Broglie είναι η εξής: Όπως η περίθλαση ακτίνων Röentgen πάνω σε κρυσταλλική σκόνη παρέχει ακτινογράφημα Debye-Scerrer, κατά παρόμοιο τρόπο αναμένεται να δρα και μια δέσμη ταχέως κινουμένων ηλεκτρονίων, αφού κατά τη θεωρία de Broglie έχει κυματικές ιδιότητες. Αρκεί το αντίστοιχο μήκος κύματος de Broglie να είναι συμβατό (της τάξης) των αποστάσεων πλεγματικών επιπέδων στο πολυκρυσταλλικό υλικό. Τα ανωτέρω επαληθεύτηκαν περιτράνως από το πείραμα: Ο G.P.Tomson (βραβείο Nobel 1937) έριξε λεπτή εστιασμένη δέσμη ηλεκτρονίων που είχαν επιταχυνθεί σε κατάλληλες ταχύτητες πάνω σε λεπτό υμένιο που περιέχει πολυκρυσταλλική σκόνη και παρατήρησαν εικόνα συμβολής από τα περιθλώμενα ηλεκτρόνια. Επειδή το υλικό είναι πολυκρυσταλλικό, η περίθλαση των ηλεκτρονίων είναι έντονη κατά κώνους, οι οποίοι σχηματίζουν σε επίπεδη οθόνη ομόκεντρους κύκλους. Στη παρούσα άσκηση χρησιμοποιείται ειδική λυχνία όπως φαίνεται στο σχήμα 1, η οποία έχει ενσωματωμένο σύστημα επιτάχυνσης και εστίασης ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια προσπίπτουν επί αντικαθόδου πλέγματος χαλκού επί του οποίου επικάθεται λεπτό υμένιο πολυκρυσταλλικού γραφίτη και περιθλώμενα επί του γραφίτη, προσβάλλουν φθορίζουσα οθόνη πίσω από την αντικάθοδο και εμφανίζουν εικόνα ομόκεντρων δακτυλίων συμβολής, σχήμα. Μετρώντας τις διαμέτρους των δακτυλίων της εικόνας συμβολής συναρτήσει του μήκους κύματος de Broglie
(λ Β ) που αντιστοιχεί στη διαφορά δυναμικού που επιταχύνονται τα ηλεκτρόνια υπολογίζονται τελικά οι αποστάσεις πλεγματικών επιπέδων. Σχήμα 1. Λυχνία περίθλασης ηλεκτρονίων. Αποτελείται από θερμαινόμενη κάθοδο, άνοδο χαλκού πάνω στην οποία βρίσκεται το πολυκρυσταλλικό δείγμα γραφίτου, και σύστημα πλεγμάτων για την εστίαση. Στο σχήμα διακρίνονται τα ηλεκτρόδια (ακροδέκτες) και οι απαραίτητες τάσεις τροφοδοσίας, για να γίνει η συνδεσμολογία. Σχήμα. Δακτύλιοι συμβολής στην φθορίζουσα οθόνη της ειδικής λυχνίας. Η ανάλυση έχει ως εξής: Σύμφωνα με όσα ειπώθηκαν προηγουμένως, για να ερμηνευθεί το φαινόμενο της περίθλασης ηλεκτρονίων, αποδίδεται στα ηλεκτρόνια ένα μήκος κύματος λ Β που εξαρτάται από την ορμή και υπακούει τη σχέση:
B p 34 (όπου λ= μήκος κύματος, 6.65 10 J. sec σταθερά Plank, p = η ορμή του ηλεκτρονίου). Η ορμή υπολογίζεται από τη ταχύτητα υ που τα ηλεκτρόνια αποκτούν υπό την επίδραση του επιταχύνοντος δυναμικού U A : 1 mv p m ev A. Αλλά p mv B m B ev B mev A (1) Η σχέση (1) μας επιτρέπει τον υπολογισμό του αντίστοιχου μήκους κύματος Broglie αν γνωρίζουμε το επιταχύνον δυναμικό ( e 1.60 10 και η μάζα (ηρεμίας) του ηλεκτρονίου αντίστοιχα). 19 Cb, m 9.109 10 31 Kgr, το φορτίο Σημείωση: Στα χρησιμοποιούμενα κατά την εκτέλεση της άσκησης δυναμικά η σχετικιστική διόρθωση της μάζας ανέρχεται περίπου στο 1-% της μάζας ηρεμίας. Σ αυτό το πείραμα κινούμενα ηλεκτρόνια προσπίπτουν σε πλέγμα γραφίτη. Σύμφωνα με τη θεωρία de Broglie, τα ηλεκτρόνια έχουν κυματικές ιδιότητες, άρα σκεδαζόμενα, λόγω του κυματικού χαρακτήρα τους δίνουν φαινόμενα περίθλασης. Η δέσμη ηλεκτρονίων προσκρούει πάνω σε φιλμ πολυκρυσταλλικού γραφίτη που είναι τοποθετημένο σε πλέγμα χαλκού και δίνει ενισχυτική συμβολή, λόγω ανάκλασης Bragg, κατά τις διευθύνσεις που ορίζονται από τιμές της γωνίας θ, σύμφωνα με την συνθήκη: () όπου d είναι η απόσταση ανάμεσα στα επίπεδα των ατόμων άνθρακα και θ είναι η γωνία ανάκλασης κατά Bragg, η οποία είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης της δέσμης επί ενός πλεγματικού επιπέδου, σχήμα 3. Τα «πλεγματικά» επίπεδα, που δεν έχουν καμιία σχέση με τα επιφανειακά επίπεδα ενός δείγματος) υποθέτουμε ότι δρουν σαν επίπεδα ανάκλασης. Η γωνία εκτροπής α, του σχήματος 1 είναι διπλάσια από τη γωνία θ ανάκλασης κατά Bragg, α=θ.
Σχήμα 3: Σχηματική απεικόνιση ανάκλασης κατά Bragg. Το κρυσταλλικό πλέγμα του γραφίτη απεικονίζεται στο σχήμα 4. Στο πολυκρυσταλλικό γραφίτη, όμως, η δέσμη των ηλεκτρονίων «βλέπει» όλους τους δυνατούς προσανατολισμούς δικτυωτών επιπέδων. Έτσι, η δέσμη των ηλεκτρονίων που σκεδάζεται κατά Bragg πάνω σ αυτά τα επίπεδα ανοίγει και «διασκορπίζεται» σε γεωμετρία κώνων και δημιουργεί αντίστοιχους προς τα πλεγματικά επίπεδα δακτυλίους συμβολής στην φθορίζουσα οθόνη. Οι δακτύλιοι της εικόνας συμβολής αντιστοιχούν σε όλους τους δυνατούς τρόπους σκέδασης πάνω στα δικτυωτά επίπεδα. Είναι προφανές ότι όλοι οι δακτύλιοι δεν έχουν την ίδια ένταση. Σχήμα 4. Κρυσταλλική δομή του γραφίτη.
Αν α είναι η γωνία απόκλισης της δέσμης, όπως συνάγεται από την γεωμετρία του σχήματος 1, θα έχουμε: r, R=65mm (η ακτίνα της σφαιρικής οθόνης) R Αλλά Για μικρές γωνίες α, το ημα ~ ημα και συνεπώς, λαμβάνοντας υπ όψιν ότι α=θ θα έχουμε: ημα = ημθ ημθ Άρα, με αυτή τη προσέγγιση: ημα ημα 4ημθ =και βάσει της σχέσης d ημθ =n λ έχουμε r=ακτίνα δακτυλίου (3) Σχήμα 5. Δυνατές αποστάσεις μεταξύ πλεγματικών επιπέδων (d 1 = 13 pm d = 13 pm d 3 =80.5 pm d 4 =59.1 d 5 =46.5pm) Η μελέτη της σχέσης (3) οδηγεί στα εξής συμπεράσματα: Για δεδομένη τάξη περίθλασης π.χ. n=1 πρώτης τάξης, n= δεύτερης τάξης, κλπ, εμφανίζεται ομάδα δακτυλίων ενισχυτικής συμβολής κυμάτων. Ο κάθε δακτύλιος συγκεκριμένης ομάδας επί της οθόνης αντιστοιχεί σε ανάκλαση Bragg επί ενός συγκεκριμένου από τα δυνατά πλεγματικά επίπεδα που μπορούμε να θεωρήσουμε, (σχήμα 5). Ο αριθμός των δακτυλίων κάθε ομάδας είναι τόσος όσες είναι οι δυνατές αποστάσεις d των πλεγματικών επιπέδων. Οι δύο εσωτερικοί δακτύλιοι σχηματίζονται από την ανάκλαση της δέσμης των ηλεκτρονίων στα πλεγματικά επίπεδα αποστάσεων d 1 και d για n=1 στην εξίσωση 3. Σχήμα 6. Ακτίνες των δύο πρώτων δακτυλίων συμβολής σαν συνάρτηση του μήκους κύματος των ηλεκτρονίων. Η ακτίνα του συγκεκριμένου δακτυλίου συγκεκριμένης τάξης βρίσκεται σε γραμμική σχέση με το μήκος κύματος λ του αντίστοιχου μήκους κύματος de Broglie, που περιγράφει τη κυματική συμπεριφορά των κινουμένων ηλεκτρονίων (σχήμα 6). Παρατηρώντας την εξίσωση (3), βγάζουμε το συμπέρασμα ότι θα μπορεί κανείς από τη κλίση Α i =R/d i των ευθειών r=f (λ) για δεδομένη τάξη περίθλασης (n=σταθερό) να προσδιορίσει τις δυνατές αποστάσεις d i των πλεγματικών επιπέδων στο γραφίτη. Σημείωση: Η ένταση των δακτυλίων υψηλότερης τάξης είναι πολύ ασθενέστερη. Έτσι, για παράδειγμα, ο δακτύλιος ης τάξης για το d 1 δεν φαίνεται ευκρινώς και ο αναμενόμενος δακτύλιος 4 ης τάξης δεν φαίνεται καθόλου. Εκτέλεση της άσκησης 1. Αναγνωρίζουμε τη πειραματική διάταξη (λυχνία, τροφοδοσίες, βολτόμετρο) και πραγματοποιούμε τις απαραίτητες συνδέσεις χωρίς το σύστημα να είναι υπό τάση.. Με την εποπτεία του επιβλέποντος τροφοδοτούμε το σύστημα και εξασκούμαστε στις απαραίτητες ρυθμίσεις των τάσεων τροφοδοσίας, ώστε να έχουμε ευκρινή εικόνα δακτυλίων περίθλασης. Το τελευταίο επιτυγχάνεται με τη κατάλληλη ρύθμιση των
τάσεων εστίασης της δέσμης. Ακολούθως ευρίσκουμε την ελάχιστη τιμή ανοδικής τάσης ούτως ώστε μόλις να διακρίνονται οι δακτύλιοι με σκότος στο δωμάτιο. Αυτή είναι περίπου στα 4 kv. Πρέπει να προσέξουμε ότι η πραγματική τιμή ανοδικής τάσης V A είναι διπλάσια της τιμής που μετράμε. 3. Δίνοντας στην ανοδική τάση αυξανόμενες τιμές από 4 έως 7 kv, όπως δείχνει ο πίνακας, μετράμε τις αντίστοιχες ακτίνες εσωτερικού και εξωτερικού δακτυλίου με διαστημόμετρο. V A (kv) 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Επειδή οι δακτύλιοι περίθλασης έχουν ένα αισθητό πάχος, για να εκτιμήσουμε όσο το δυνατόν ακριβέστερα τη διάμετρο ενός δακτυλίου, μετράμε με διαστημόμετρο τη διάμετρο του εσωτερικού και εξωτερικού περιμετρικού κύκλου σε σκοτεινό δωμάτιο και βγάζουμε το μέσο όρο. 4. Από τη σχέση: B υπολογίζουμε τα αντίστοιχα μήκη κύματος λ Β. meva Ακολούθως κατασκευάζουμε πίνακα τιμών (λ Β, r) και κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις της r συναρτήσει του λ Β, για τους δύο δακτυλίους πρώτης τάξης. Αυτές οι γραφικές παραστάσεις αναμένονται να είναι ευθείες σύμφωνα με την εξίσωση 6). Η κλίση της κάθε ευθείας δίνει την ποσότητα και d, για n=1. R d R r n (σχήμα d και από εκεί υπολογίζονται τα d 1 5. 'Όπως προκύπτει από το σχήμα 5, υπάρχουν και άλλα συστήματα παραλλήλων δικτυωτών επιπέδων, που αντιστοιχούν σε πρόσθετους δακτυλίους πρώτης τάξης στην οθόνη (για n=1). (Είναι δύσκολο να δούμε όλους τους δακτυλίους ακόμα κι αν η άσκηση γίνεται σε σκοτεινό θάλαμο. Μερικοί μόνο απ αυτούς μπορούν να παρατηρηθούν). Για να υπολογίσουμε και άλλες αποστάσεις εκτός των δύο βασικών καιγια τους δύο πρώτους δακτυλίους, εργαζόμαστε ως εξής:. Συσκοτίζουμε το δωμάτιο και δίνουμε ανοδική τάση V Α =7kV. Ύστερα από κατάλληλους χειρισμούς εστίασης της δέσμης προσπαθούμε να εντοπίσουμε και άλλους ασθενείς δακτυλίους πλην των δύο βασικών. Ακολούθως μετράμε τις ακτίνες αυτών των δακτυλίων. Από την υπολογίζουμε τα α και από την α=θ την θ, για κάθε δακτύλιο. Μετά από τη σχέση Bragg υπολογίζω το αντίστοιχο d. Το λ αντιστοιχεί στα 7 kv. Σημείωση: Επειδή η ανίχνευση των υπόλοιπων δακτυλίων πάνω στη φθορίζουσα οθόνη είναι δυσχερής, χρήσιμο είναι να συμβουλευτούμε τον παρακάτω πίνακα στον οποίον δίδονται οι ακτίνες των αναμενόμενων δακτυλίων, βάσει υπολογισμών από την εξίσωση 3, όταν η τάση είναι V A =7 kv. n=1 n= n=3 n=4
d 1 8.9 17.7 6.1 34.1 d 15.4 9.9 d 3 3. d 4 31.0 d5 38.5