Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble, οι μαθητές καλούνται να μετρήσουν την απόσταση του γαλαξία Μ100. Στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψη την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται, μπορούν να εκτιμήσουν την ηλικία του Σύμπαντος. Ταυτότητα ερευνητικής εργασίας: Η παρούσα ερευνητική εργασία έχει ως σκοπό να βοηθήσει τους μαθητές να διερευνήσουν Τον τρόπο με τον οποίο γεννώνται, αναπτύσσονται και ελέγχονται οι επιστημονικές ιδέες σε σχέση με τις κοινωνικές συνθήκες (Henrietta Leavitt, Big Bang). Τη σχέση που έχει η λαμπρότητα των αστεριών όπως την βλέπουμε από τη Γη, με την πραγματική τους λαμπρότητα. Τον τρόπο με τον οποίο η πραγματική λαμπρότητα των Κηφείδων συνδέεται με την μεταβλητότητά τους. Την απόσταση του γαλαξία Μ100 από τον δικό μας γαλαξία. Τον Νόμο του Hubble και τη σημασία της σταθεράς Η. Ποια μπορεί να είναι η τιμή της σταθεράς Η με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης τους από τον γαλαξία Μ100. Ποια μπορεί να είναι η ηλικία του Σύμπαντος με βάση την τιμή της σταθεράς Η που υπολόγισαν. Εισαγωγή Ποια είναι η ηλικία του Σύμπαντος; Πόσο γρήγορα διαστέλλεται; Μήπως κάποια μέρα θα αρχίσει να συστέλλεται; Αυτές είναι κάποιες από τις θεμελιώδεις κοσμολογικές ερωτήσεις που απασχολούν εδώ και δεκαετίες τους επιστήμονες. Η μοίρα του Σύμπαντος είναι στενά συνδεδεμένη με την εξέλιξη του ρυθμού διαστολής του. Αν η διαστολή επιβραδυνθεί αρκετά, τότε είναι πιθανόν κάποια στιγμή να αρχίσει να συστέλλεται. Οι παρατηρήσεις που έχουμε μέχρι σήμερα υποδεικνύουν ότι μάλλον θα συνεχίσει να διαστέλλεται για πάντα. Η διαστολή του Σύμπαντος κάνει όλους τους γαλαξίες να απομακρύνονται από κάθε παρατηρητή και όσο πιο μακριά βρίσκονται, τόσο πιο γρήγορα απομακρύνονται με μια ταχύτητα v που ονομάζεται ταχύτητα διαστολής. Η έκφραση που είναι γνωστή ως Νόμος του Hubble περιγράφει τη σχέση μεταξύ της απόστασης ενός δοσμένου αντικειμένου σε σχέση με την ταχύτητα διαστολής. Ο Νόμος του Hubble είναι ο εξής: v H 0 D Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 1 (1)
Αυτό που λέει ουσιαστικά είναι ότι οι γαλαξίες απομακρύνονται ο ένας από τον άλλο με μια ταχύτητα v ανάλογη με την μεταξύ τους απόσταση D. Το H 0 είναι μια Θεμελιώδης Σταθερά του Σύμπαντος που ονομάζεται σταθερά του Hubble. Η τιμή αυτής της σταθερής που είναι μέχρι και σήμερα αντικείμενο μελέτης για τους Αστροφυσικούς, έχει τεράστια σημασία για πάρα πολλά Κοσμολογικά ερωτήματα και είναι το μέτρο του πόσο γρήγορα διαστέλλεται το Σύμπαν σήμερα. Μια πολύ σημαντικά χρησιμότητα της σταθεράς του Hubble είναι ότι μέσω αυτής μπορεί να εκτιμηθεί η ηλικία του Σύμπαντος από τη σχέση: t universe 1 H 0 (2) Πώς όμως μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της σταθεράς H 0 ; Όπως εύκολα μπορούμε να δούμε από την σχέση (1), αρκεί να πάρουμε έναν συγκεκριμένο γαλαξία, να μετρήσουμε την απόστασή του από εμάς και την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται. Αυτό θα είναι και ο στόχος της παρούσας ερευνητικής εργασίας. Η ταχύτητα v με την οποία απομακρύνεται ένας γαλαξίας είναι εύκολο να υπολογιστεί μέσω του φαινόμενου Doppler. Τι είναι όμως το φαινόμενο Doppler; Το φως που παίρνουμε από κάθε αντικείμενο που παρατηρούμε μπορεί να αναλυθεί σε συχνότητες, ή ισοδύναμα σε χρώματα, όπως περίπου συμβαίνει με το ουράνιο τόξο. Η ανάλυση αυτή του φωτός ονομάζεται φάσμα. Επάνω στο φάσμα κάθε αντικειμένου υπάρχουν γραμμές οι οποίες είναι τα «δακτυλικά αποτυπώματα» των χημικών στοιχείων από τα οποία αποτελείται το αντικείμενο. Όταν ένα αντικείμενο απομακρύνεται από τον παρατηρητή τότε οι γραμμές των στοιχείων του μετατοπίζονται προς την ερυθρή περιοχή του φάσματος, ενώ όταν πλησιάζει μετατοπίζονται προς την μπλε περιοχή και μάλιστα ανάλογα προς την ακτινική τους ταχύτητα. Αυτό είναι το φαινόμενο Doppler. O Edwin Hubble παρατήρησε ότι το φάσμα όλων των μακρινών γαλαξιών παρουσιάζει μετατόπιση προς το ερυθρό (redshift). Επομένως όλοι οι μακρινοί γαλαξίες απομακρύνονται από τον δικό μας και μάλιστα όσο πιο μακριά βρίσκονται τόσο πιο γρήγορα απομακρύνονται. Έτσι διατύπωσε τον νόμο του που εκφράζεται από τη σχέση (1). Αυτός ο νόμος αποτελεί μέχρι σήμερα μια από τις καλύτερες αποδείξεις για το Big Bang. Δραστηριότητα 1 Να βρείτε και να παρουσιάσετε στην ολομέλεια πληροφορίες για τα παρακάτω: Μεταβλητοί αστέρες Κηφείδες Henrietta Leavitt Edwin Hubble Big Bang διαστολή του Σύμπαντος Απομάκρυνση των γαλαξιών, ερυθρομετατόπιση (redshift) - Νόμος του Hubble. Σταθερά H του Hubble Ηλικία του Σύμπαντος Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 2
Με ευθύνη των μελών κάθε μίας ομάδας, τα παραπάνω θέματα θα μοιραστούν στα μέλη της, έτσι ώστε όλοι να παρουσιάσουν από ένα. Εικόνα 1. Διαστολή του Σύμπαντος και απομάκρυνση των γαλαξιών. Δραστηριότητα 2: Εξοικείωση με τον Νόμο του Hubble Η διαστολή του σύμπαντος κάνει όλους τους γαλαξίες να απομακρύνονται ο ένας από τον άλλο με τον τρόπο που παρουσιάστηκε στην εισαγωγή. Για έναν παρατηρητή που βρίσκεται στη Γη φαίνεται ότι όλοι οι γαλαξίες απομακρύνονται και μάλιστα όσο πιο μακριά βρίσκεται ένας γαλαξίας, τόσο πιο γρήγορα απομακρύνεται. Αυτό το γεγονός εκφράζεται από το Nόμο του Hubble: v H 0 D όπου v η ακτινική ταχύτητα ενός γαλαξία, H 0 η σταθερά του Hubble και D η απόσταση του δεδομένου γαλαξία από τον παρατηρητή. Παρατηρήστε ότι ο Νόμος του Hubble αντιστοιχεί σε συνάρτηση της μορφής y a x η οποία μας είναι γνωστή από την Γ Γυμνασίου. Τι σχήμα έχει η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης; Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα θέτοντας a 70 στην εξίσωση y a x : x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 y Με τη βοήθεια του πίνακα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y 70 x στο σύστημα αξόνων που δίνεται παρακάτω. Από τον πίνακα μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι οι τιμές του y είναι πολύ μεγαλύτερες από τις τιμές του x. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός να χρησιμοποιήσετε τις κατάλληλες κλίμακες για τους δύο άξονες. Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 3
y x x y Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα θέτοντας a 50 στην εξίσωση y a x : x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 y Στη συνέχεια να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της y 50 x στο ίδιο σύστημα αξόνων που σχεδιάσατε και την προηγούμενη συνάρτηση. Τι παρατηρείτε;. Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 4
Δραστηριότητα 3: Μελέτη Κηφείδων στο γαλαξία Μ100 Ο γαλαξίας Μ100 είναι ένας εντυπωσιακός σπειροειδής γαλαξίας του σμήνους της Παρθένου. Το σμήνος της Παρθένου περιλαμβάνει 2500 γαλαξίες. Ο Μ100 είναι ένα περιστρεφόμενο σύστημα αερίων, σκόνης και αστέρων, και είναι παρόμοιος με τον δικό μας Γαλαξία. Το όνομά του προκύπτει από το γεγονός ότι είναι το 100 ο αντικείμενο του Καταλόγου Messier που περιέχει μη- αστρικά αντικείμενα. Ο Μ100 είναι ο πιο μακρινός γαλαξίας στον οποίο έχουν γίνει ακριβείς μετρήσεις Κηφείδων αστέρων. Όπως παρουσιάστηκε στην ολομέλεια από τις ομάδες κατά την 1 η Δραστηριότητα, οι Κηφείδες αστέρες προσφέρουν τη δυνατότητα υπολογισμού αποστάσεων με εξαιρετική ακρίβεια. Το Διαστημικό Τηλεσκόπιο Hubble εντόπισε και μελέτησε Κηφείδες αστέρες του γαλαξία Μ100. Σε αυτά τα δεδομένα και τις εικόνες θα βασιστούμε για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την απόσταση του Μ100 από το δικό μας γαλαξία. Εικόνα 2. Ο Γαλαξίας Μ100 Εικόνα 3. Εντοπισμός Κηφείδη αστέρα στον γαλαξία Μ100 από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble. Εικόνα 4. Οι 6 αυτές φωτογραφίες που τραβήχτηκαν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές παρουσιάζουν έναν μεταβλητό Κηφείδη αστέρα του Μ100. Ο Κηφείδης βρίσκεται στο κέντρο κάθε φωτογραφίας. Είναι φανερό ότι η φωτεινότητά του μεταβάλλεται με το χρόνο. Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 5
Έρευνα 3.Α: Τι είναι η φαινόμενη και τι η πραγματική λαμπρότητα ενός αστέρα; Όταν παρατηρούμε έναν αστέρα από τη γη και μας φαίνεται πολύ λαμπρός, δεν είμαστε σίγουροι ότι αυτό συμβαίνει επειδή είναι πραγματικά λαμπρός ή επειδή είναι κοντά στη γη. Παρόλα αυτά, ανάλογα με το πώς φαίνονται από τη γη (και όχι το πώς είναι στην πραγματικότητα) κατατάσσουμε τους αστέρες σε μεγέθη φαινόμενης λαμπρότητας. Όσο πιο λαμπρός είναι ένας αστέρας, τόσο πιο μικρό μέγεθος λαμπρότητας έχει. Για παράδειγμα, ένας αστέρας 3 ου μεγέθους φαίνεται από τη γη πιο λαμπρός από ένα αστέρα 5 ου μεγέθους. Η πραγματική όμως λαμπρότητα, για να μετρηθεί θα πρέπει να μπορούμε να τους παρατηρήσουμε από την ίδια απόσταση. Ορίζουμε λοιπόν ως απόλυτο μέγεθος (Μ) το φαινόμενο μέγεθος (m) που παρουσιάζει κάθε αστέρας αν τον παρατηρούμε από απόσταση 32,6 έτη φωτός. Προσοχή: Όταν λέμε μέγεθος, δεν εννοούμε τις διαστάσεις του αστέρα, αλλά τη λαμπρότητά του. Η σχέση που συνδέει το απόλυτο με το φαινόμενο μέγεθος ενός αστέρα είναι: M m 5 logd 5, όπου Μ είναι το απόλυτο μέγεθος, m το φαινόμενο μέγεθος και d η απόσταση του αστέρα από τη γη σε parsec. Έρευνα 3.Β: Τι είναι ο δεκαδικός λογάριθμος logx; Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό x 0 ορίζουμε τον δεκαδικό λογάριθμο log x ως εξής: Παράδειγμα: log100 2 διότι 10 2 100 log0,001 3 διότι 10 3 0, 001 logx y x 10 log135 2,13033 διότι 10 2, 13033 135 (με τη βοήθεια υπολογιστή) 1. Να υπολογίσετε τους παρακάτω λογάριθμους: 6 8 log10, log1000, log10, log0,000001, log10, log1......... 2. Με τη βοήθεια υπολογιστή να υπολογίσετε τους παρακάτω λογάριθμους: log 450, log2580, log0,238, log1,45...... Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 6 y
Έρευνα 3.Γ 1. Ένας αστέρας με φαινόμενο μέγεθος 4,5 βρίσκεται σε απόσταση 48 parsec από τη γη. Ποιο είναι το απόλυτο μέγεθός του; 2. Ένας αστέρας με απόλυτο μέγεθος 2,1 φαίνεται από τη γη να έχει φαινόμενο μέγεθος 5,7. Σε πόση απόσταση (σε parsec) βρίσκεται; Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 7
Έρευνα 3.Δ: Πώς σχετίζεται η περίοδος των Κηφείδων με το απόλυτο μέγεθός τους; Η σχέση Περιόδου-Λαμπρότητας για τους Κηφείδες έχει αναθεωρηθεί πολλές φορές από τότε που την διατύπωσε για πρώτη φορά to 1912 η Henrietta Leavitt. Η καλύτερη προσέγγιση που ισχύει σήμερα είναι: M 2,78 log( P) 1,35, όπου Μ είναι το απόλυτο μέγεθος του αστέρα και P είναι η περίοδός του μετρημένη σε ημέρες. Παράδειγμα. Ένας Κηφείδης παρουσιάζει περίοδο 53,5 ημερών. Ποιο είναι το απόλυτο μέγεθός του; M M M 2,78 log(53,5) 1,35 2,78 1,7284 1,35 6,15 Δραστηριότητα 4: Επεξεργασία δεδομένων Εργασία 4.Α: Υπολογισμός της περιόδου Στα παρακάτω σχήματα 5 και 6 παρουσιάζονται οι καμπύλες φωτός 12 Κηφείδων του γαλαξία Μ100. Παρατηρήστε ότι στον οριζόντιο άξονα καταγράφεται ο χρόνος t, ενώ στον κατακόρυφο το φαινόμενο μέγεθος m. Όπως είναι φανερό η λαμπρότητά τους μεταβάλλεται κυκλικά με το χρόνο. Έτσι κάθε ορισμένο χρονικό διάστημα κάποιων ημερών (διαφορετικό για κάθε αστέρα) ο αστέρας παρουσιάζει μέγιστη λαμπρότητα. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο μεγίστων (ή ισοδύναμα μεταξύ δύο ελαχίστων) είναι η περίοδος του συγκεκριμένου Κηφείδη. Σε κάθε ένα από τα 12 διαγράμματα να μετρήσετε με ακρίβεια τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2 όπου παρουσιάζονται δύο διαδοχικά μέγιστα (ή ελάχιστα, αναλόγως τι φαίνεται καλύτερα στο διάγραμμα) να τις καταγράψετε στις στήλες 2 και 3 του πίνακα 1 και να συμπληρώσετε την τέταρτη στήλη του με τη διαφορά t 2 - t 1. Αυτή η διαφορά είναι η περίοδος P κάθε κηφείδη. Παρατήρηση: Ο πίνακας 1 μπορεί να γίνει σε excel ή οποιοδήποτε άλλο λογιστικό φύλλο, ώστε κάποιοι υπολογισμοί να γίνονται αυτόματα. Ο πίνακας 1 θα πρέπει να έχει την ακόλουθη μορφή: Κηφείδης t 2 t 1 P=t 2 t 1 M m max 1 2 m min m average D (Mpc) D average (Mpc) Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 8
Για παράδειγμα οι στήλες 4, 5, 8, 9 και 10 θα μπορούσαν να συμπληρώνονται αυτομάτως από το πρόγραμμα. Εικόνα 5. Καμπύλες φωτός 6 Κηφείδων του Μ100 (από το 1 έως το 6) Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 9
Εικόνα 6. Καμπύλες φωτός 6 Κηφείδων του Μ100 (από το 6 έως το 12) Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 10
Εργασία 4.Β: Υπολογισμός του απολύτου μεγέθους Από τη σχέση που συνδέει την περίοδο P (σε ημέρες) με το απόλυτο μέγεθος M του αστέρα M 2,78 log( P) 1,35, να υπολογίσετε το απόλυτο μέγεθος κάθε κηφείδη και να συμπληρώσετε την αντίστοιχη στήλη του πίνακα (αυτό μπορεί να γίνει και αυτόματα από κατάλληλο πρόγραμμα ή φύλλο εργασίας). Εργασία 4.Γ: Υπολογισμός του φαινόμενου μεγέθους Όπως προαναφέρθηκε, οι Κηφείδες είναι αστέρες μεταβλητής λαμπρότητας. Αυτό έχει ως συνέπεια να καταγράφονται διαφορετικές τιμές φαινόμενου μεγέθους από τη γη, όπως φαίνεται και στα 12 διαθέσιμα διαγράμματα. Ποια τιμή λοιπόν θα θεωρηθεί ως φαινόμενο μέγεθος για κάθε Κηφείδη; Ο απλούστερος τρόπος είναι να καταγραφεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του φαινόμενου μεγέθους σε κάθε διάγραμμα και στη συνέχεια να βρεθεί η μέση τιμή του. Δηλαδή m m max m min 2. Με αυτή τη διαδικασία, να βρείτε το φαινόμενο μέγεθος κάθε κηφείδη και να ενημερώσετε τον πίνακα 1. Εργασία 4.Δ: Υπολογισμός των αποστάσεων Από τη σχέση που συνδέει το απόλυτο και το φαινόμενο μέγεθος με την απόσταση (σε Mpc) οποιουδήποτε αστέρα από τη γη M m 5 logd 5 να υπολογίσετε την απόσταση D για κάθε Κηφείδη. Να σημειωθεί ότι επεξηγήσεις για τις μονάδες μέτρησης δίνονται στο παράρτημα 1. Στη συνέχεια να βρείτε το μέσο όρο D (σε Mpc) αυτών των αποστάσεων. average Ως απόσταση του Μ100 από τη γη θα θεωρήσουμε αυτό το μέσο όρο. Ερώτηση 4.Ε: Γιατί υπάρχουν διαφορές ανάμεσα στις αποστάσεις των 12 Κηφείδων του Μ100; Μελετώντας τον πίνακα 1 που έχετε ήδη συμπληρώσει, θα παρατηρήσετε ότι οι αποστάσεις που έχετε βρει για κάθε έναν από τους 12 Κηφείδες διαφέρουν μεταξύ τους. Να συζητήσετε αυτό το γεγονός με τα μέλη της ομάδας σας και να αναφέρετε πιθανές απαντήσεις: Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 11
Ερώτηση 4.ΣΤ: Πιστεύετε ότι το γεγονός ότι οι 12 Κηφείδες βρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις στο εσωτερικό του Μ100, αποτελεί μια πιθανή απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα; Εργασία 4.Ζ: Βρείτε από βιβλία ή από το internet τις διαστάσεις του δικού μας γαλαξία. Θεωρήστε ότι και ο Μ100 έχει περίπου τις ίδιες διαστάσεις. Αφού λάβετε υπόψη την απόσταση D που έχετε υπολογίσει, ξανασκεφτείτε και σχολιάστε την προηγούμενη ερώτηση. Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 12
Εργασία 4.Η: Στην αυθεντική επιστημονική εργασία στην οποία χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα από το Hubble, η απόσταση του Μ100 υπολογίστηκε στα 17,1 1, 8 Mpc. Η κυριότερη διαφορά σε σχέση με τη μελέτη που κάνατε εσείς, είναι ότι ελήφθη υπόψη η μεσοαστρική σκόνη, δηλαδή η σκόνη που υπάρχει μεταξύ αστεριών στο εσωτερικό των γαλαξιών. Συγκρίνετε αυτό το αποτέλεσμα με το δικό σας και αναπτύξτε τις απόψεις σας για το αν και πώς πιστεύετε ότι η παρουσία μεσοαστρικής σκόνης επηρέασε το αποτέλεσμά σας. Δραστηριότητα 5: Υπολογισμός της σταθεράς του Hubble Από τις προηγούμενες δραστηριότητες έχει ήδη εκτιμηθεί η απόσταση D του γαλαξία Μ100. Όπως προαναφέρθηκε, οι γαλαξίες απομακρύνονται ο ένας από τον άλλο λόγω διαστολής του Σύμπαντος με τρόπο που εκφράζεται από τον Νόμο του Hubble. Η ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από εμάς το Σμήνος γαλαξιών της Παρθένου (Virgo Cluster) μέλος του οποίου είναι και ο Μ100, έχει υπολογιστεί ότι είναι v 1400 Km / s (Freedman et al., 1994). Χρησιμοποιώντας την απόσταση D του M100 και την ταχύτητα v με την οποία απομακρύνεται λόγω διαστολής του Σύμπαντος, να βρείτε την τιμή της σταθεράς του Hubble H 0. Δραστηριότητα 6: Υπολογισμός της ηλικίας του Σύμπαντος Αποδεικνύεται στην Κοσμολογία ότι η ηλικία του Σύμπαντος μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 13
t H 0 Χρησιμοποιώντας την τιμή της σταθεράς H 0 που έχετε υπολογίσει από την προηγούμενη δραστηριότητα, να εκτιμήσετε την ηλικία του Σύμπαντος (Προσέξτε να κάνετε τις μετατροπές στις κατάλληλες μονάδες). Πόσο μεγαλύτερο σε ηλικία είναι το Σύμπαν από τη Γη μας; 1 Η εργασία αυτή έχει προκύψει από επεξεργασία της αντίστοιχης που υπάρχει στο http://www.astroex.org/ Βιβλιογραφία Παράρτημα Πίνακας Μονάδων Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 14
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 15
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 16
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 17
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 18
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 19
Σωτήρης Τσαντίλας, M.Sc., Ph.D., Μαθηματικός Αστροφυσικός 20