Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Transcript

1 σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση. 3. Σ-Λ Η σχέση g με τύπο είναι συνάρτηση. 4. Σ-Λ Η σχέση f με τύπο είναι συνάρτηση. 5. Σ-Λ Η σχέση h με τύπο είναι συνάρτηση. 6. Σ-Λ Αν για τη συναρτηση ισχύει ότι, όπου, στοιχεία του πεδίου ορισμού Α, τότε οπωσδήποτε είναι. 7. Σ-Λ Αν για τη συναρτηση ισχύει ότι, όπου, στοιχεία του πεδίου ορισμού Α, τότε οπωσδήποτε είναι. 8. Σ-Λ Αν οι συναρτήσεις και ορίζονται και οι δύο στο σύνολο Α τότε ορίζεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. 9. Σ-Λ Αν οι συναρτήσεις και ορίζονται και οι δύο στο σύνολο Α τότε ορίζεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Β. Έστω συνάρτηση. Πότε η λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; Πότε ονομάζεται γνησίως μονότονη; 1. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο είναι γνησίως φθίνουσα. 2. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. Γ. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ; Πότε λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο ; Πότε λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο ; 1. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο τη τιμή -1 σε άπειρες θέσεις του πεδίου ορισμού της. 2. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. 3. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα 4. Σ-Λ Η συνάρτηση με τύπο έχει πάντοτε ένα ολικό ακρότατο: ελάχιστο αν, μέγιστο αν αν. 5. Σ-Λ Ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντοτε μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο. 6. Σ-Λ Η ιδιότητα της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται πάντοτε σε σημεία του πεδίου ορισμού της. 7. Σ-Λ Όλα τα πολυώνυμα είναι συνεχείς συναρτήσεις. 8. Σ-Λ Ισχύει ότι, 9. Σ-Λ Ισχύει ότι, 10. Σ-Λ Η συνάρτηση, είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της αν και μόνο αν.

2 σελ 2 από Σ-Λ Η παραγωγισιμότητα μιας συνάρτησης αναφέρεται πάντοτε σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Δ1. Θεωρούμε συνάρτηση και σημείο της γραφικής της παράστασης, στο οποίο η δέχεται πλάγια εφαπτομένη έστω την ευθεία ε. Να γράψετε τον τύπο του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε, ως συνάρτηση των συντεταγμένων του Μ. Δ2. Θεωρούμε συνάρτηση και. Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ; (ι) 1. Σ-Λ Ο ρυθμός μεταβολής του ως προς όταν εκφράζεται από τη παράγωγο της συνάρτησης στο. 2. Σ-Λ Η παράγωγος μιας συνάρτησης στο σημείο του πεδίου ορισμού της είναι ίση με τη κλίση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο της γραφικής της παράστασης. 3. Σ-Λ Θεωρούμε ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα η δε θέση του εκφράζεται κάθε χρονική στιγμή από μία παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή θα είναι ίση με. 4. Σ-Λ Εάν η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη, τότε ο ρυθμός μεταβολής της εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού. 5. Έστω ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα και, σε (μέτρα), είναι το διάστημα που διανύει σε χρόνο, σε (δευτερόλεπτα). Τότε: η μέση ταχύτητα του κινητού από την αρχή της κίνησής του μέχρι τη χρονική στιγμή είναι ίση με (επιλέξτε): Α. 5 Β. 10 Γ. 25 Δ.30 Ε. 50 (ιι) η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή είναι ίση με (επιλέξτε): Α. 5 Β. 10 Γ. 25 Δ.30 Ε Σ-Λ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 7. Σ-Λ Όλες οι σταθερές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες. 8. Σ-Λ Ισχύει ότι ( Δ3. Να αποδείξετε ότι καθεμία από τις συναρτήσεις: (ι) (σταθερή), (ιι) (ταυτοτική), (ιιι), είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί στη κάθε περίπτωση η παράγωγος. Δ4. Αν και είναι παραγωγίσιμες στο Δ συναρτήσεις και είναι μια σταθερά τότε (1) Να αποδείξετε ότι: (ι) η συνάρτηση με τύπο είναι επίσης παραγωγίσιμη στο Δ και να βρείτε τη παράγωγό της (ιι) η συνάρτηση με τύπο είναι επίσης παραγωγίσιμη και να βρείτε τη παράγωγό της. (2) Να γράψετε τους κανόνες παραγώγισης για το γινόμενο και το πηλίκο των καθώς και για τη σύνθεση ( εφ όσον αυτή ορίζεται. 1. Να συμπληρώσετε τα κενά: = Δ5. Να διατυπώσετε το θεώρημα (υποθέσεις και συμπεράσματα) που συνδέει το πρόσημο της παραγώγου σε διάστημα Δ μιας συνάρτησης με τη μονοτονία της συνάρτησης.

3 σελ 3 από 5 2. Σ-Λ Αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού κλειστό διάστημα Δ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, η δε παράγωγος δεν μηδενίζεται, τότε η συνάρτηση έχει ακρότατα μόνο στα άκρα του Δ. 3. Να ξαναμελετήσετε τις ερωτήσεις κατανόησης των σελίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο Α1. Τι ονομάζεται Στατιστική; (απ: σελ 56 στο μέσο. Οι τρείς κλάδοι με τη συνοπτική περιγραφή τους) και τι δημοσκόπηση; (απ: σελ 57 στίχοι 9-11) 1. Σε μια ομάδα φοιτητών του Οικονομικού Πανεπιστημίου ανατέθηκε να διερευνήσει τις προτιμήσεις του αναγνωστικού κοινού που επισκέπτονται 2 μεγάλα βιβλιοπωλεία ως προς το είδος των βιβλίων που διαβάζει. -Ο πληθυσμός είναι (επιλέξτε): Α. οι φοιτητές Β. οι πελάτες των 2 βιβλιοπωλείων Γ. τα βιβλία -Τιμή της μεταβλητής μπορεί να είναι (επιλέξτε) : Α ετών Β. 20 πελάτες Γ. «Κοινωνικοπολιτικό». 2. Σ-Λ Ο χρόνος που χρειάζεται το πρωί κάθε μαθητής για φτάσει στο σχολείο είναι μία ποσοτική διακριτή μεταβλητή. Α2. Τι ονομάζεται απογραφή; Πότε ένα δείγμα θεωρείται ότι είναι αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού; Α3. Έστω τιμή μιας μεταβλητής Χ. Τι ονομάζεται συχνότητα και τι σχετική συχνότητα ; Α4. Αν οι τιμές της μεταβλητής Χ, να αποδείξετε ότι: (1) και (2) =1 3. Σ-Λ Η αθροιστική σχετική συχνότητα εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. 4. Σ-Λ Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. 5. Σ-Λ Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Α5. Πότε χρησιμοποιείται το σημειόγραμμα; Πότε χρησιμοποιείται το χρονόγραμμα; 6. Σ-Λ Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. 7. Να αποδείξετε ότι, όπου η σχετική συχνότητα της τιμής της μεταβλητής Χ και το αντίστοιχο τόξο στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων. 8. Σ-Λ Στην ομαδοποιημένη κατανομή οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων. 9. Σ-Λ Στη περίπτωση της ομαδοποιημένης κατανομής σε κλάσεις ίσου πλάτους το εύρος R του δείγματος μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το εύρος του δείγματος πρίν την ομαδοποίηση.

4 σελ 4 από Σ-Λ Η πολυγωνική γραμμή που έχει κορυφές τα σημεία (x 0, 0), (x 1, v 1 ), (x k, v k ) (x k+1, 0), μαζί με τον οριζόντιο άξονα, ορίζει ένα πολυγωνικό χωρίο που έχει εμβαδόν ίσο με 1. Α6. Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων στη Στατιστική; 11. Σ-Λ Στη περίπτωση της αρνητικής ασυμμετρίας είναι Β1. Αν οι τιμές της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες, να αποδείξετε ότι: 1. Σ-Λ Η μέση τιμή δεν αλλάζει αν οι παρατηρήσεις ομαδοποιηθούν. 2. Σ-Λ Η μέση τιμή μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός Β2. Τι ορίζεται ως διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων; 3. Σ-Λ Η διάμεσος έχει αθροιστική σχετική συχνότητα 50%. Γ1. Τι ονομάζεται διακύμανση ; 1. Σ-Λ Η διακύμανση είναι ένα μέτρο θέσης. 2. Σ-Λ Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. 3. Σ-Λ Στη κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με 6 τυπικές αποκλίσεις. 4. Σ-Λ Ο βαθμός μεταβλητότητας των παρατηρήσεων εκφράζεται με τη τυπική απόκλιση. 5. Σ-Λ Ο συντελεστής μεταβολής συγκρίνει δύο ομάδες τιμών με σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές ή με διαφορετικές μονάδες. 6. Σ-Λ Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης. 7. Σ-Λ Αν Α και Β δυο μεταβλητές και τότε οι τιμές της μεταβλητής Α παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια από τη ματαβλητή Β. 8. Σ-Λ Αν σε κάθε τιμή προστεθεί μια σταθερά c, τότε η τυπική απόκλιση δεν μεταβάλλεται. 9. Σ-Λ Αν κάθε τιμή πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά α, τότε η τυπική απόκλιση δεν μεταβάλλεται. Απαντήσεις: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Β Λ Σ Γ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Δ2 Σ Σ Σ Σ ιγ, ιιε Λ Σ Λ Δ4 Δ5 Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο Α Β, Γ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Β Λ Σ Σ Γ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ

5 σελ 5 από 5