Θεωρητική Εξέταση. 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ»

Transcript

1 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 1

2 Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Ο διαθέσιμος χρόνος για την απάντηση των θεωρητικών προβλημάτων είναι 4 ώρες. Θα έχετε: 3 προβλήματα σύντομης ανάπτυξης (Προβλήματα 1 ως 3), 3 μεσαίας ανάπτυξης (Προβλήματα 4 έως 6) και 1 μακράς ανάπτυξης (Πρόβλημα 7). 2. Χρησιμοποιείστε μόνο μολύβια και στυλό χρώματος μαύρου ή μπλε. 3. Η αρχή και το τέλος του χρόνου της εξέτασης θα αναγγέλλεται. 4. Η τελική απάντηση σε κάθε ερώτηση πρέπει να συνοδεύεται από τις μονάδες της, οι οποίες πρέπει να είναι στο σύστημα SI ή στις μονάδες στις οποίες αναφέρεται το πρόβλημα. Αν η απάντηση δοθεί χωρίς μονάδες, ακόμη κι αν είναι σωστή, θα αφαιρεθεί ένα ποσοστό 20% από τη βαθμολογία που αναλογεί στην απάντηση. 5. Η απαιτούμενη αριθμητική ακρίβεια των απαντήσεων, εξαρτάται από το πλήθος των ψηφίων που δίνονται στα δεδομένα κάθε προβλήματος. Αν η απάντηση δοθεί χωρίς την απαιτούμενη από το πρόβλημα ακρίβεια, ακόμη κι αν είναι σωστή, θα αφαιρεθεί ένα ποσοστό 20% από την βαθμολογία που αναλογεί στην απάντηση. Χρησιμοποιείστε τις σταθερές ακριβώς όπως δίνονται στον πίνακα των σταθερών. 6. Στο τέλος της εξέτασης, βάλτε όλα τα χαρτιά σας, ακόμη και τα πρόχειρα, μέσα στον φάκελο που σας δόθηκε. 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 2

3 Πίνακας Σταθερών (όλες οι μονάδες είναι στο σύστημα SI) Σταθερά Σύμβολο Τιμή Σταθερά της βαρύτητας G 6, N m 2 kg -2 Σταθερά του Πλανκ h 6, J s Ταχύτητα του φωτός c 3, m s -1 Μάζα του Ήλιου Ακτίνα του Ήλιου Λαμπρότητα του Ήλιου 1, kg 6, m 3, w Φαινόμενο μέγεθος Ήλιου -26,8 Απόλυτο μέγεθος Ήλιου 4,82 Περίοδος περιστροφής Ήλιου ~27 ημέρες Ηλιακή σταθερά 1, w m -2 Μάζα του ατόμου υδρογόνου 1, kg Μάζα της Γης M Å 5, kg Ακτίνα της Γης R Å 6, m Μέση πυκνότητα της Γης ρ Å kg m -3 Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας Τροπικό έτος Αστρικό έτος Συνοδικό έτος Συνοδική ημέρα g 9,81 m s ,24 ημέρες 365,25 ημέρες 365,26 ημέρες s Parsec pc 3, m Έτος φωτός ly 9, m Αστρονομική Μονάδα AU 1, m Απόσταση Γης Σελήνης Απόσταση Ήλιου από το κέντρο του Γαλαξία R 3, m pc Σταθερά του Hubble H 75 km s -1 Mpc -1 Μάζα του ηλεκτρονίου me 9, kg Φορτίο ηλεκτρονίου e -1, C Μάζα του πρωτονίου mp 1, kg Μάζα πυρήνα Ηλίου 4 He Μάζα πυρήνα άνθρακα 12 C 6, kg 19, kg Σταθερά Coulomb Kc N m 2 / C 2 Σταθερά Boltzmann K 1, J/K Μέση πυκνότητα φωτόσφαιρας 4, kg/m 3 Πίεση στη βάση φωτόσφαιρας 140 N m -2 Λόγος περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρο M R L m M b π 3, ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 3

4 Σύντομης Ανάπτυξης Προβλήματα (4 μονάδες έκαστο) Πρόβλημα 1 ο (Διαφυγή γαλαξία) Ένας γαλαξίας που βρίσκεται στα όρια ενός γαλαξιακού σμήνους ακτίνας 10 Mpc αναμένεται να διαφύγει από το σμήνος αν η αρχική του ταχύτητα είναι κατ ελάχιστον 700 km/s σε σχέση με το κέντρο του σμήνους. Να υπολογιστεί η πυκνότητα του σμήνους. Πρόβλημα 2 ο (Helium flash) Να υπολογίσετε το κλάσμα Ε 1/Ε 2 όπου Ε 1 είναι η ενέργεια που θα απελευθερωθεί στον Ήλιο κατά τη φάση καύσης του Ηλίου ( 4 He) και Ε 2 είναι η ενέργεια που εκπέμπει (ο Ήλιος) κατά την διάρκεια της ζωής του στην Κύρια Ακολουθία. Να υποθέσετε ότι μάζα Ηλίου ίση με το 1% της μάζας του Ήλιου μετατρέπεται σε άνθρακα. Πρόβλημα 3 ο (Στην εποχή του Κοπέρνικου) Υποθέστε ότι ζείτε την εποχή του Κοπέρνικου και δεν γνωρίζετε τίποτε για τους νόμους του Κέπλερ και τους νόμους του Νεύτωνα. Δεχόμενοι ότι όλοι οι πλανήτες γυρίζουν γύρω από τον Ήλιο και όχι γύρω από τη Γη, κάνετε τις εξής παρατηρήσεις: (Α) μετράτε την περίοδο περιφοράς του Άρη γύρω από τον Ήλιο και τη βρίσκετε 687 μέρες. (Β) μετράτε, επίσης, το χρόνο μεταξύ αντίθεσης και τετραγωνισμού του Άρη και τον βρίσκετε ίσο με 106 ημέρες. Από αυτές και μόνο τις μετρήσεις, υπολογίστε την απόσταση Άρη Ήλιου σε αστρονομικές μονάδες (ΑU). Θεωρήστε ότι οι τροχιές είναι κατά προσέγγιση κυκλικές και ο χρόνος περιφοράς της Γης, Τ Γ = 365 μέρες. 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 4

5 Μεσαίας Ανάπτυξης Προβλήματα (8 μονάδες έκαστο) Πρόβλημα 4 ο (Χρόνος ανατολής Ήλιου) Θεωρήστε ότι η οροσειρά του Πηλίου εκτείνεται από Βορρά προς Νότο και έχει το ίδιο ύψος. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται δυτικά του Πηλίου σε γεωγραφικό πλάτος φ = 39 ο 22 και γεωγραφικό μήκος λ = 22 ο 56, βλέπει το ύψος της οροσειράς υπό γωνία 4,7 ο όταν κοιτάζει ανατολικά. (Α) Κατά την εαρινή ισημερία το ημερολόγιο αναφέρει ότι η τοπική ώρα της ανατολής του Ήλιου είναι 06:30 πμ. Ποια ώρα (τοπική) θα δει ο παρατηρητής να ανατέλλει ο Ήλιος πάνω από το Πήλιο; Αγνοήστε: φαινόμενα διάθλασης μέγεθος Ήλιου - σφαιρικότητα Γης. (Β) Να υπολογίσετε τον αστρικό χρόνο Γκρίνουιτς (GST) της ανατολής του Ήλιου την ίδια ημέρα για τον ίδιο παρατηρητή. Πρόβλημα 5 ο (Θερμοκρασία στο κέντρο του Ήλιου) Θεωρήστε ότι στο κέντρο του Ήλιου η κατανομή των ταχυτήτων των πρωτονίων είναι κατανομή Maxwell- Boltzmann. Για να συμβεί σύντηξη πρωτονίων πρέπει να υπερνικήσουν τις απωστικές δυνάμεις Κουλόμπ μεταξύ τους και να φθάσουν σε ελάχιστη απόσταση r 2 fm (για κεντρική κρούση). (Α) Αν, για να συμβεί η σύντηξη, απαιτούνται ταχύτητες περίπου 10 φορές την ενεργό ταχύτητα της κατανομής (υ rms), να εκτιμήσετε την θερμοκρασία στο κέντρο του Ήλιου και να την συγκρίνετε με την πραγματική. Αγνοήστε κβαντικά φαινόμενα. (Β) Να υπολογίσετε την πίεση στο κέντρο του Ήλιου, αν θεωρήσουμε ότι συμπεριφέρεται σαν ιδανικό αέριο και ότι η πυκνότητα στον πυρήνα είναι ρ = kg/m 3 (Γ) Να υπολογίσετε το πάχος της φωτόσφαιρας του Ήλιου, αν την θεωρήσουμε σαν ακίνητο ομογενές ρευστό. Πρόβλημα 6 ο : Το 2021 το διαστημικό τηλεσκόπιο JAMES WEBB θα τεθεί σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο στο σημείο Λαγκράνζ L2. (Α) Δείξτε ότι το σημείο βρίσκεται σε απόσταση από τη Γη τετραπλάσια εκείνης της Σελήνης. (Β) Μπορεί να διαταράξει η Σελήνη την τροχιά του; Μάζα Ήλιου= της μάζας της Γης Μάζα Σελήνης = 1,2% της μάζας της Γης 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 5

6 Μακράς Ανάπτυξης Πρόβλημα (14 μονάδες) Πρόβλημα 7 ο : Στην Εικόνα (α), έχουμε σχεδιάσει με μαύρη συνεχή γραμμή σχηματικά την παρατηρούμενη «καμπύλη περιστροφής» v(r) στο επίπεδο περιστροφής ενός δισκοειδούς γαλαξία. Με διακεκομμένη γραμμή δίνεται η αναμενόμενη «καμπύλη περιστροφής», λαμβάνοντας υπόψη την επιφανειακή λαμπρότητα του δισκοειδούς γαλαξία. Η παρατηρούμενη «καμπύλη περιστροφής» αποτελείται από δύο μέρη: Το «1» (για r < 5 kpc) και το «2» (για r 5 kpc), που σημειώνονται με αντίστοιχα βέλη. (Α) Γράψτε τη μαθηματική εξίσωση της παρατηρούμενης καμπύλης περιστροφής v(r). (Β) Σε ποια περιοχή οι αστέρες στο γαλαξιακό επίπεδο περιστρέφονται διαφορικά και σε ποια περιστρέφονται ως στερεό σώμα; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. (Γ) Να σχεδιάσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής των αστέρων Ω(r) επί του γαλαξιακού επιπέδου στο διάστημα 0 < r < 15 kpc. (Δ) Στην περιοχή του γαλαξιακού δίσκου για r > 5 kpc αναπτύσσεται ένα σπειροειδές κύμα πυκνότητας, τα μέγιστα του οποίου περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω s = 25 km/s/kpc. Σε ποια απόσταση από το κέντρο του γαλαξία αστέρες και σπείρες (δηλαδή το σπειροειδές κύμα πυκνότητας) περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα (περιοχή της συμπεριστροφής); Ποια είναι η περίοδος περιστροφής των σπειρών; (Ε) Τι υποδηλώνει η διαφορά μεταξύ παρατηρούμενης (συνεχής γραμμή) και αναμενόμενης καμπύλης περιστροφής (διακεκομμένη γραμμή); (ΣΤ) Εάν οι αστέρες περιστρέφονται σε απόσταση 15 kpc από το γαλαξιακό κέντρο σε κυκλική τροχιά με ταχύτητα 250 km/s, πόση είναι η μάζα του γαλαξία σε ηλιακές μάζες εντός αυτής της ακτίνας; 24 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας η φάση Θεωρητική Εξέταση 6