7 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

7 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1

Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 4 4 η Άσκηση... 5 5 η Άσκηση... 5 6 η Άσκηση... 7 7 η Άσκηση... 7 8 η Άσκηση... 8 9 η Άσκηση... 9 Χρηματοδότηση... 10 Σημείωμα Αναφοράς... 11 Σημείωμα Αδειοδότησης... 12 2

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 7 ης Διάλεξης 1 η Άσκηση Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα χρωματισμού του χάρτη της Αυστραλίας που αναπαριστάται από τον παρακάτω γράφο περιορισμών; W NT Q SA NSW V T Υπάρχουν 18 διαφορετικές λύσεις: Ξεκινήστε με το SA που μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα. Στη συνέχεια το WA μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 2 χρώματα. Για τους υπόλοιπους κόμβους το χρώμα είναι πια καθορισμένο (γιατί;) Η Τασμανία μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα. Επομένως: 3 2 3=18. 2 η Άσκηση Δώστε μια ακριβή διατύπωση για το παρακάτω πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών: 1. Ορθογώνιος σχεδιασμός δαπέδου: Βρείτε μη επικαλυπτόμενες θέσεις μέσα σε ένα μεγάλο ορθογώνιο για ένα δεδομένο αριθμό μικρότερων ορθογωνίων. 3

Μια διατύπωση είναι η εξής: Χρησιμοποιούμε μία μεταβλητή για κάθε μικρό ορθογώνιο. Κάθε μεταβλητή είναι ένα διάνυσμα τεσσάρων τιμών [x 1, y 1, x 2, y 2 ]. οι τιμές της είναι οι συντεταγμένες του άνω αριστερά και του κάτω δεξιά άκρου της περιοχής στον οποίο πρόκειται να τοποθετηθεί το ορθογώνιο. Το πεδίο ορισμού κάθε μεταβλητής είναι το σύνολο των διανυσμάτων που μπορεί να πάρει, δηλαδή το μέγεθος του μικρού ορθογωνίου και η θέση του πάνω στο δάπεδο. Περιορισμοί: Δύο ορθογώνια δε γίνεται να επικαλύπτονται Για παράδειγμα: Εάν η τιμή της μεταβλητής που αντιστοιχεί στο ορθογώνιο R 1 είναι [5, 8, 9, 6], τότε καμία άλλη μεταβλητή δεν μπορεί να πάρει κάποια τιμή που να επικαλύπτεται με το ορθογώνιο με συντεταγμένες [5, 8] και [9, 6] για το άνω αριστερά και το κάτω δεξιά άκρο του, αντίστοιχα. 3 η Άσκηση Δείξτε πως ένας τριαδικός περιορισμός, όπως ο A+B=C, μπορεί να μετατραπεί σε τρεις δυαδικούς περιορισμούς με τη χρήση μιας βοηθητικής μεταβλητής. Μπορείτε να θεωρήσετε τα πεδία πεπερασμένα. Υπόδειξη Σκεφτείτε μια νέα μεταβλητή που παίρνει τιμές οι οποίες είναι ζεύγη άλλων τιμών και εξετάστε περιορισμούς όπως το Χ είναι το πρώτο στοιχείο του ζεύγους Υ. Εισάγουμε μια καινούρια μεταβλητή την ΑΒ. Αν το πεδίο τιμών των Α και Β είναι το Ν, τότε το πεδίο τιμών της ΑΒ είναι το Ν Ν. Τώρα, έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς: 4

Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή Α και τη μεταβλητή ΑΒ. Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή Β και τη μεταβλητή ΑΒ. Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή ΑΒ και τη μεταβλητή C. Όλοι οι τριαδικοί περιορισμοί μπορούν να αντικατασταθούν αντίστοιχα, δηλαδή με 3 δυαδικούς περιορισμούς. 4 η Άσκηση Δείξτε πως ένας περιορισμός με τέσσερις μεταβλητές A, B, C, D, όπως ο όπως ο A+B+C=D, μπορεί να μετατραπεί σε δυαδικούς περιορισμούς (πόσους;) με τη χρήση βοηθητικών μεταβλητών. Μπορείτε να θεωρήσετε τα πεδία πεπερασμένα. Αρχικά, εισάγουμε τη μεταβλητή ΑΒ και έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς μεταξύ της ΑΒ και των μεταβλητών Α, Β και C και έναν τριαδικό μεταξύ των μεταβλητών AB, C και D. Στη συνέχεια, εισάγουμε τη μεταβλητή CD και έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς μεταξύ της CD και των μεταβλητών ΑΒ, C και D. Πόσους δυαδικούς περιορισμούς έχουμε; 6 δυαδικούς περιορισμούς 5 η Άσκηση Εξετάστε τον παρακάτω λογικό γρίφο: «Σε πέντε σπίτια, κάθε ένα με διαφορετικό χρώμα, ζουν 5 άτομα διαφορετικής εθνικότητας κάθε ένα από τα οποία προτιμά διαφορετική μάρκα τσιγάρων, διαφορετικό ποτό και διαφορετικό κατοικίδιο ζώο» Με δεδομένα τα παρακάτω γεγονότα, απαντήστε στην εξής ερώτηση: «Που ζει η ζέβρα και σε ποιο σπίτι πίνουν νερό;» Δεδομένα: Ο Άγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι Ο Ισπανός έχει το σκύλο Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι από τα αριστερά 5

Στο κίτρινο σπίτι καπνίζουν Kools Αυτός που καπνίζει Chesterfields μένει δίπλα σε εκείνον που έχει την αλεπού Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι Αυτός που καπνίζει Winston έχει τα σαλιγκάρια Αυτός που καπνίζει Lucky Strike πίνει πορτοκαλάδα Ο Ουκρανός πίνει τσάι Ο Γιαπωνέζος καπνίζει Parliaments Αυτός που καπνίζει Kools μένει δίπλα στο σπίτι που έχουν το άλογο Αυτός που πίνει καφέ μένει στο πράσινο σπίτι Το πράσινο σπίτι βρίσκεται ακριβώς δεξιά από το κρεμ σπίτι Αυτός που πίνει γάλα μένει στο μεσαίο σπίτι Προτείνετε κάποιες αποδοτικές αναπαραστάσεις για το παραπάνω πρόβλημα. 1 η αναπαράσταση Μία μεταβλητή για κάθε χρώμα, κατοικίδιο ζώο, ποτό, εθνικότητα και μάρκα τσιγάρων (συνολικά 25 μεταβλητές) Οι τιμές είναι 1...5, οι οποίες αντιστοιχούν στα σπίτια 1...5 (δείχνουν σε πιο σπίτι «ανήκει» κάθε μεταβλητή) 2 η αναπαράσταση Πέντε μεταβλητές για κάθε σπίτι Μία για το χρώμα, με πεδίο ορισμού το σύνολο των χρωμάτων Μία για την εθνικότητα, με πεδίο ορισμού το σύνολο των εθνικοτήτων Μία για το κατοικίδιο ζώο, με πεδίο ορισμού το σύνολο των κατοικίδιων Μία για το ποτό, με πεδίο ορισμού το σύνολο των ποτών Μία για τη μάρκα τσιγάρων, με πεδίο ορισμού το σύνολο των μάρκων τσιγάρων 6

6 η Άσκηση Κατασκευάστε τον υπεργράφο πρόβλημα: περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω 1. Α+Β=Γ 2. Γ Δ=Ε 3. Ε Α*Ζ Α 1 Γ 2 3 Ζ Β Δ Ε 7 η Άσκηση Κατασκευάστε τον υπεργράφο πρόβλημα: περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω 1. Κ Ν 2. Γ / Λ Σ 3. Ε*Μ Ζ 4. Κ+Μ = Χ Κ 1 Γ 2 4 Χ 3 Ε Ν Σ Λ Μ Ζ 7

8 η Άσκηση Κατασκευάστε τον υπεργράφο πρόβλημα: περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω SEND + MORE = MONEY Όλα_Διαφορετικά(D, E, M, N, O, R, S, Y) (Περιορισμός 0) D + E = Y + 10 X 1 (Περιορισμός 1) X 1 + N +R = E + 10 X 2 (Περιορισμός 2) X 2 + E + O = N + 10 X 3 (Περιορισμός 3) X 3 + S + M = O + 10 X 4 (Περιορισμός 4) X 4 =Μ (Περιορισμός 5) 0 D E Y N R O S M 1 2 3 4 5 X 3 X 1 X 2 X 4 Υπεργράφος περιορισμών 8

9 η Άσκηση Έστω ένα πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών με 5 μεταβλητές x 1, x 2, x 3, x 4 και x 5 με τους εξής περιορισμούς: x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 4 > x 5 x 4 x 1 > 1 x 2 + x 5 > 1 Όλες οι μεταβλητές έχουν πεδίο τιμών {0, 1, 2}. Εφαρμόστε συνέπεια τόξου σε αυτό το πρόβλημα. Για κάθε διαγραφή τιμής εξηγήστε το λόγο της διαγραφής. Ποια είναι τα πεδία τιμών των μεταβλητών στο τέλος της εφαρμογής της συνέπειας τόξου; Περιορισμός x 4 > x 5 : αφαιρείται το 2 από τη μεταβλητή x 5 και το 0 από τη μεταβλητή x 4. Περιορισμός x 3 x 5 : αφαιρείται το 2 από τη μεταβλητή x 3. Περιορισμός x 2 x 3 : αφαιρείται το 2 από τη μεταβλητή x 2. Περιορισμός x 1 x 2 : αφαιρείται το 2 από τη μεταβλητή x 1. Περιορισμός x 4 x 1 > 1: αφαιρείται το 1 από τη μεταβλητή x 1, αφαιρείται το 1 από τη μεταβλητή x 4. Περιορισμός x 2 + x 5 > 1: αφαιρείται το 0 από τη μεταβλητή x 2, αφαιρείται το 0 από τη μεταβλητή x 5. Περιορισμός x 2 x 3 : αφαιρείται το 0 από τη μεταβλητή x 3. Τελικά πεδία τιμών: x 1 =0 x 2 =1 x 3 =1 x 4 =2 x 5 =1 9

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 10

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 7 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt112. 11

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 12