Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός του διαγράμματος διαστήματος χρόνου s(t) ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση. Υπολογισμός της κλίσης της καμπύλης s(t) σε μια τυχαία χρονική στιγμή t και σύγκρισή της με τη θεωρητική τιμή της ταχύτητας κατά την ίδια χρονική στιγμή. Γραμμικοποίηση του διαγράμματος s(t) και υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1 και 7. 8.1 Βασικές έννοιες Ως ελεύθερη πτώση χαρακτηρίζεται η κίνηση ενός σώματος, το οποίο αφήνεται να πέσει ελεύθερα κάτω από την επίδραση του βάρους και μόνο. Αυτό σημαίνει, ότι δεν παίρνεται υπόψη τόσο η αντίσταση του αέρα όσο και η περιστροφή της Γης. Οι δύο αυτοί παράγοντες παίζουν πράγματι αμελητέο ρόλο, όταν έχουμε μικρές ταχύτητες σε συνδυασμό με μικρές μετωπικές επιφάνειες των πιπτόντων σωμάτων. Σε κάθε περίπτωση η πειραματική διάταξη, την οποία χρησιμοποιούμε κατά την παρούσα άσκηση εκπληρώνει τις προϋποθέσεις αυτές. Βάρος ενός σώματος = δύναμη βαρυτικής έλξης, την οποία δέχεται το σώμα από τη Γη. (Σύμφωνα με την Αρχή Δράσεως και Αντιδράσεως και το σώμα έλκει τη Γη με μια ίση και αντίθετη δύναμη.) Σύμφωνα με τον Νόμο της παγκόσμιας έλξης το βάρος ενός σώματος υπολογίζεται από τη σχέση (βλέπε π.χ. Serway R., Physics for Scientists & Engineers,Τόμος Ι, Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική): B = G mm r2 r (Εξίσωση 8.1) G = 6,67210 11 m 3 /kg s 2 = βαρυτική σταθερή m = μάζα του σώματος Μ = μάζα της Γης r = απόσταση των κέντρων μάζας του σώματος και της Γης r = μοναδιαίο διάνυσμα, του οποίου η αρχή συμπίπτει με το κέντρο μάζας του σώματος, η διεύθυνση με την ευθεία που ορίζουν τα κέντρα μάζας του σώματος και της Γης, και το οποίο έχει φορά προς το κέντρο μάζας της Γης. Το βάρος B ενός σώματος θα εκπληρώνει, όπως άλλωστε και κάθε άλλη δύναμη, τη Θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής: B = mg (Εξίσωση 8.2) όπου g : επιτάχυνση της βαρύτητας ή της ελεύθερης πτώσης Συγκρίνοντας τις σχέσεις (8.1) και (8.2) παίρνουμε για την επιτάχυνση της βαρύτητας την ακόλουθη έκφραση: g = G M r2 r (Εξίσωση 8.3) Από τη σχέση αυτή προκύπτει, ότι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης έχει κατεύθυνση πάντα προς το κέντρο της Γης, οπότε η τροχιά ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση (χωρίς αρχική ταχύτητα εννοείται) είναι ευθύγραμμη με κατακόρυφη διεύθυνση. 1

Το μέτρο της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης είναι συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της Γης. Η απόσταση αυτή μπορεί να γραφεί ως άθροισμα της ακτίνας R της Γης και του «ύψους» h από την επιφάνεια της Γης: r = R + h. H ακτίνα της Γης είναι μεγαλύτερη από 610 6 m. Αυτό σημαίνει, ότι, όταν κατά την ελεύθερη πτώση δεν πέφτουμε παραπάνω από μερικά μέτρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερή. Με άλλα λόγια η ελεύθερη πτώση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με την προϋπόθεση ότι η συνολική υψομετρική διαφορά είναι μικρή σε σχέση με την ακτίνα της Γης. Για το διάστημα s και (το μέτρο) της ταχύτητας v θα ισχύουν λοιπόν οι γνωστές μας, από τη μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης χωρίς αρχική ταχύτητα κίνησης, σχέσεις (βλ. και άσκηση 6): s = 1 2 gt2 (Εξίσωση 8.4) v = ds = gt (Εξίσωση 8.5) dt 8.2 Διάγραμμα διαστήματος χρόνου Σύμφωνα με τη σχέση (8.4) η γραφική παράσταση της συνάρτησης s(t) θα μας δώσει μια παραβολή (βλ. Εικόνα.1). Εικόνα 8.1 Διάγραμμα s(t). Μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε την παραπάνω γραφική παράσταση, αντικαθιστώντας την με την γραφική παράσταση της συνάρτησης s(t 2 ) (βλ. Εικόνα 8.2). Τότε παίρνουμε μια ευθεία της μορφής y = ax, όπου y s, x t 2 και κλίση α = 1 g (Εξίσωση 8.6) 2 Από την κλίση λοιπόν της παραπάνω ευθείας μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης: g = 2 κλίση (Εξίσωση 8.7) Ο υπολογισμός αυτός αποτελεί έναν από τους σκοπούς της παρούσας εργαστηριακής άσκησης. 2

Εικόνα 8.2 Γραμμικοποίηση της παραβολής του διαγράμματος της Εικόνας 8.1 s(t). Όπως εξάλλου ξέρουμε (βλ. και άσκηση 6) στην ευθύγραμμη (γενικά) κίνηση το μέτρο της ταχύτητας ισούται με την πρώτη παράγωγο του διαστήματος ως προς τον χρόνο. Η πρώτη δε παράγωγος (βλ. κεφ. 1.5.1) ισούται με την κλίση της καμπύλης s(t) κατά τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή (βλ. Εικόνα 8.3). Μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε την ταχύτητα v(t i ) σε μια τυχαία χρονική t i υπολογίζοντας την κλίση της καμπύλης s(t) στο σημείο (v(t i ), t i ). Εικόνα 8.3 Υπολογισμός της ταχύτητας v(t) ως κλίσης της καμπύλης s(t). 8.4. Πειραματική διαδικασία Animation 8.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.) Η πειραματική διαδικασία (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής) στοχεύει στη μέτρηση (μέσω ειδικού ηλεκτρονικού συστήματος χρονομέτρησης) του χρόνου, εντός του οποίου μια μπίλια πέφτει ελεύθερα κατά επιλεγμένο διάστημα. 3

Απαιτούμενα όργανα: Η διάταξη της Εικόνας 8.4, η οποία συμπεριλαμβάνει: Εικόνα 8.4 Πειραματική διάταξη. 1. Κλίμακα για τον προσδιορισμό του διαστήματος. Φέρει ζεύγος ολισθαινόντων (αρκεί να τους σύρουμε προσεκτικά) δεικτών για την ακριβέστερη ανάγνωση του διαστήματος s. 2. Ηλεκτρονικό σύστημα χρονομέτρησης αποτελούμενο από Ηλεκτρονικό χρονόμετρο (βλ. Εικόνα 8.5). Πρόκειται ουσιαστικά για έναν πολυμετρητή, ο οποίος στη συγκεκριμένη άσκηση χρησιμοποιείται ως χρονόμετρο. Εικόνα 8.5 Ηλεκτρονικό χρονόμετρο. Ηλεκτρομαγνήτη (βλ. Εικόνα 8.6). Μέγιστη επιτρεπόμενη τάση: 12 Volts. Προσέχουμε τις υποδείξεις ρύθμισης του τροφοδοτικού του! 4

Εικόνα 8.6 Ηλεκτρομαγνήτης. Τροφοδοτικό ηλεκτρομαγνήτη (βλ. Εικόνα 8.7). Ουδέποτε στρέφουμε τον διακόπτη 3 δεξιότερα από την κόκκινη γραμμή! Εικόνα 8.7 Τροφοδοτικό ηλεκτρομαγνήτη. Διακόπτη κρούσης μεταλλικό σφαιρίδιο (βλ. Εικόνα 8.8). Εικόνα 8.8 Μεταλλικό σφαιρίδιο (6) και διακόπτης κρούσης. Θέση Ι: κλειστός. Θέση ΙΙ: ανοιχτός. Διακόπτη «τύπου Μορς» (βλ. Εικόνα 8.9). Εικόνα 8.9 Διακόπτης τύπου Μορς. 5

8.4.1. Μέτρηση του διαστήματος s συναρτήσει του χρόνου t 1. Ελέγχουμε, αν ο διακόπτης κρούσης είναι κλειστός (θέση Ι, Εικόνα 8.8). Αν όχι, τον κλείνουμε πιέζοντάς τον. 2. Αν το τροφοδοτικό δεν είναι κλειστό, το κλείνουμε πιέζοντας τον διακόπτη On-Off (1, Εικόνα 8.7) στο κάτω του άκρο. 3. Αν ο πολυμετρητής δεν είναι κλειστός, τον κλείνουμε πιέζοντας τον διακόπτη On-Off (1, Εικόνα 8.5) στο κάτω του άκρο. 4. Αν ο διακόπτης 3 (Εικόνα 8.7) του τροφοδοτικού δεν βρίσκεται στο μηδέν (0), τον βάζουμε στρέφοντάς τον προς τα αριστερά. 5. Πιέζουμε το START του Πίνακα Τροφοδοσίας της εργαστηριακής τράπεζας, οπότε ανάβει η ενδεικτική λυχνία λειτουργίας του Πίνακα. 6. Ανοίγουμε το τροφοδοτικό πιέζοντας τον διακόπτη On-Off (1, Εικόνα 8.7) στο επάνω του άκρο, οπότε ανάβει η ενδεικτική λυχνία λειτουργίας του οργάνου. Στη συνέχεια στρέφουμε σιγά σιγά τον διακόπτη 3 (Εικόνα 8.7) στην κόκκινη ένδειξη, ποτέ πέραν αυτής! 7. Φέρνουμε τη μπίλια σε επαφή με τον ηλεκτρομαγνήτη και προσέχοντας να μην πέσει η μπίλια, ρυθμίζουμε μέσω της βίδας 3 (Εικόνα 8.6) την ένταση του μαγνητικού πεδίου, έτσι ώστε η μπίλια μόλις να ισορροπεί. 8. Χαλαρώνουμε τη βίδα e (Εικόνα 8.10) και μετακινούμε τον διακόπτη κρούσης, ώστε η απόσταση s (Εικόνα 8.4) να γίνει ίση προς 60 cm. (Ο προσδιορισμός της απόστασης γίνεται με την κατακόρυφη κλίμακα). Προσέχουμε η μπίλια και το με ελαστικό καλυμμένο άκρο του διακόπτη κρούσης να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Προς τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το νήμα της στάθμης (δεν φαίνεται στην Εικόνα 8.4!). Τέλος, σημειώνουμε την απόσταση s στον Πίνακα 1. Εικόνα 8.10 Ρύθμιση θέσης διακόπτη κρούσης. 6

9. Στρέφουμε τον διακόπτη 10 (Εικόνα 8.5) του πολυμετρητή στη θέση ms. Αυτό σημαίνει ότι η ένδειξη του μετρητή είναι σε χιλιοστά του δευτερολέπτου! Στη συνέχεια ανοίγουμε τον πολυμετρητή πιέζοντας τον διακόπτη On-Off. 10. Πιέζουμε και αφήνουμε αμέσως τον διακόπτη τύπου Morse, οπότε (κανονικώς εχόντων των πραγμάτων!) ελευθερώνεται η μπίλια, ξεκινάει η χρονομέτρηση, η οποία σταματάει μόλις η μπίλια χτυπήσει τον διακόπτη κρούσης. Αν δεν σταματήσει η χρονομέτρηση παρά το γεγονός ότι η μπίλια ενεργοποίησε τον διακόπτη κρούσης, πιθανότατα αργήσαμε να αφήσουμε τον διακόπτη τύπου Morse. Τότε Σταματάμε τη χρονομέτρηση πιέζοντας τον διακόπτη 4 (Εικόνα 8.5) του πολυμετρητή στη θέση STOP (δηλ. προς τα κάτω). Μηδενίζουμε την ένδειξη πιέζοντας το κουμπί 3 (Εικόνα 8.5) του πολυμετρητή Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 7 και 10. Σημειώνουμε τον χρόνο πτώσης t στον Πίνακα 1, κλείνουμε τον διακόπτη κρούσης1 και επαναλαμβάνουμε τη χρονομέτρηση άλλη μια φορά (βήματα 7 και 10) για το ίδιο διάστημα s. 11. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 8 και 10 ελαττώνοντας κάθε φορά το διάστημα s κατά 5 cm, μέχρι να συμπληρωθεί ο Πίνακας 1. 12. Κλείνουμε το τροφοδοτικό και τον πολυμετρητή 13. Πιέζουμε το STOP του Πίνακα τροφοδοσίας της εργαστηριακής τράπεζας, οπότε σβήνει η ενδεικτική λυχνία λειτουργίας του Πίνακα. 8.5 Επεξεργασία των μετρήσεων Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει: 1. στην κατασκευή του διαγράμματος s(t ), 2. στη «γραμμικοποίηση» του παραπάνω διαγράμματος μέσω χάραξης της ευθείας s(t 2 ), 3. στον υπολογισμό (του μέτρου) της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως διπλάσιο της κλίσης της ευθείας, σύμφωνα με τη σχέση (8.7), 4. στον γραφικό προσδιορισμό (του μέτρου) της στιγμιαίας ταχύτητας κατά την ελεύθερη πτώση ως κλίση της καμπύλης και στη σύγκρισή της με την υπολογισμένη από τη σχέση τιμή. Προς τον σκοπό αυτό: 5. Συμπληρώνουμε τον Πίνακα 1. 6. Σε ένα φύλλο χιλιοστομετρικό χαρτί κάνουμε τη γραφική παράσταση («Διάγραμμα 1») της συνάρτησης s(t ), ακολουθώντας τις γενικές οδηγίες του κεφαλαίου 1.5. 7. Σε ένα δεύτερο φύλλο χιλιοστομετρικό χαρτί κάνουμε τη γραφική παράσταση του διαστήματος s συναρτήσει του τετραγώνου t 2 του χρόνου πτώσεως («Διάγραμμα 2»), προκειμένου να γραμμικοποιήσουμε την παραβολή s(t ) του διαγράμματος 1. Παρατήρηση: Όπως εξηγήσαμε στην ενότητα 8.3, πρόκειται για ευθεία της μορφής y = ax, η κλίση a της οποίας ισούται με το ήμισυ της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης g (βλ. σχέση (8.7)). Η χάραξή της γίνεται σύμφωνα με το κεφάλαιο 1.5.1. Προς τον σκοπό δε αυτό συμπληρώνουμε τον Πίνακα 2. 8. Υπολογίζουμε την κλίση της παραβολής s(t ) για μια τυχαία χρονική στιγμή t (με τον τρόπο που περιγράφεται στο κεφάλαιο 1.5.2 και όπως επίσης φαίνεται στην Εικόνα 8.3) και σημειώνουμε την τιμή της στον Πίνακα 3. (Το τρίγωνο υπολογισμού καθώς και τα μήκη των πλευρών του θα πρέπει να φαίνονται στο διάγραμμα!) Παρατήρηση: Όπως εξηγήσαμε στην παράγραφο 8.3, η κλίση της καμπύλης s(t) ισούται με την ταχύτητα της μπίλιας κατά τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. 7

9. Για την ίδια χρονική στιγμή υπολογίζουμε την ταχύτητα από τη σχέση v = gt (όπου g η ευρεθείσα τιμή!) και σημειώνουμε την τιμή της στον Πίνακα 3. 10. Σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με μορφή εργασίας, η οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή. Εικόνα 8.11 Ενδεικτικός Πίνακας 1. Εικόνα 8.12 Ενδεικτικός Πίνακας 2. Εικόνα 8.13 Ενδεικτικός Πίνακας 3. Βιβλιογραφία/Αναφορές Serway R., Physics for Scientists & Engineers, Τόμοι I ως IV, 3η Έκδοση, Εκδόσεις Λ.Κ. Ρεσβάνης, 1990 8

Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α και Β, Εκδόσεις Παπαζήση,1995 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 2004 Κριτήρια αξιολόγησης Ερώτηση 1 Τι ονομάζουμε ελεύθερη πτώση και τι είδους κίνηση είναι; Απάντηση/Λύση Ως ελεύθερη πτώση χαρακτηρίζεται η κίνηση ενός σώματος, το οποίο αφήνεται να πέσει ελεύθερα κάτω από την επίδραση του βάρους και μόνο. Η ελεύθερη πτώση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με την προϋπόθεση ότι η συνολική υψομετρική διαφορά είναι μικρή σε σχέση με την ακτίνα της Γης. Ερώτηση 2 Ποια είναι η σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης της βαρύτητας και της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης και ποιες οι σχέσεις υπολογισμού τους; Απάντηση/Λύση Είναι ένα και το αυτό. g = Β = G M r m r 2 Ερώτηση 3 Από ποιες σχέσεις υπολογίζονται το διάστημα και το μέτρο της ταχύτητας κατά την ελεύθερη πτώση; Απάντηση/Λύση Διάστημα: s = 1 2 gt2. Ταχύτητα: v = gt Ερώτηση 4 Πώς πετυχαίνουμε τη «γραμμικοποίηση» μιας παραβολικής καμπύλης; Απάντηση/Λύση Αντικαθιστώντας την ανεξάρτητη μεταβλητή με το «τετράγωνό» της. 9