Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων
|
|
- Σωτηρία Θαΐς Κωνσταντόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της δύναμης, η οποία εξισορροπεί δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις και σύγκρισή της με τη συνισταμένη τους που υπολογίζεται αριθμητικά και γραφικά σύμφωνα με τους κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων. Πειραματική επαλήθευση των συνθηκών ισορροπίας τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. Βασικές γνώσεις διαφορικού λογισμού. 6.1 Βασικές έννοιες Οι δυνάμεις είναι μεγέθη διανυσματικά. Ως εκ τούτου χαρακτηρίζονται πλήρως, αν γνωρίζουμε το μέτρο τους (= αριθμητική τιμή + μονάδα μέτρησης, π.χ. 10 Ν) την κατεύθυνσή τους (διεύθυνση και φορά) το σημείο εφαρμογής τους. Μπορούν να παρασταθούν γεωμετρικά με τη βοήθεια ενός βέλους (βλ. Εικόνα 6.1): Το μήκος του βέλους (σε κατάλληλη κλίμακα!) παριστάνει το μέτρο του διανύσματος. Η αρχή του βέλους το σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ο προσανατολισμός του βέλους στον χώρο τη διεύθυνση και φορά του διανύσματος. Εικόνα 6.1 Χαρακτηριστικά ενός διανύσματος Α. Χάριν πληρότητας σημειώνουμε ακόμη, ότι η ευθεία, επί της οποίας βρίσκεται το βέλος, χαρακτηρίζεται ως ο φορέας του διανύσματος. Κάθε παράλληλη προς τον φορέα του διανύσματος ευθεία καθορίζει τη διεύθυνση, ενώ η μύτη του βέλους τη φορά του διανύσματος. Αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα Α με ένα μονόμετρο μέγεθος λ, προκύπτει ένα νέο διάνυσμα Β, του οποίου το μέτρο ισούται με το γινόμενο της απόλυτης τιμής του λ επί το μέτρο Α του διανύσματος Α : λα = Β Β = λ Α (Εξίσωση 6.1) Αν το λ είναι θετικός αριθμός, τα διανύσματα Α και Β = λα έχουν ίδια, διαφορετικά αντίθετη φορά. Από τα παραπάνω προκύπτει, ότι διαιρώντας ένα διάνυσμα Α με το μέτρο του Α προκύπτει το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα Α, το οποίο έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το Α και μέτρο ίσο με τη μονάδα: Α = Α Α Α = ΑΑ (Εξίσωση 6.2) 1
2 Βλέπουμε λοιπόν, ότι κάθε διάνυσμα μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο του μέτρου του επί το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα. 6.2 Πρόσθεση διανυσμάτων. Συνιστώσες και συντεταγμένες ενός διανύσματος Προκειμένου να προσθέσουμε δύο ομοεπίπεδα, μη παράλληλα (στα οποία και περιοριζόμαστε) διανύσματα Α και Β εφαρμόζουμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου (βλέπε π.χ. Kuchling, Taschenbuch der Physik, Serway R., Physics for Scientists & Engineers,Τόμος Ι, Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α): Μετακινούμε τα αντίστοιχα βέλη μέχρι το σημείο τομής των φορέων τους, οπότε τα δύο διανύσματα έχουν κοινή αρχή (βλ. Εικόνα. 6.2). Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το οποίο ορίζουν οι φορείς τους. Φέρουμε το διάνυσμα C, το οποίο έχει την ίδια αρχή με το Α και Β και συμπίπτει (ως προς το μήκος και τη διεύθυνσή του) με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου. Το διάνυσμα C ισούται με το άθροισμα των διανυσμάτων Α και Β και χαρακτηρίζεται ως η συνισταμένη αυτών. Συμβολικά γράφουμε: C = Α + Β (Εξίσωση 6.3) Εικόνα 6.2 Πρόσθεση διανυσμάτων με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε προφανώς (βλ. Εικόνα 6.2), αν τοποθετούσαμε τα δύο διανύσματα έτσι ώστε το τέλος του πρώτου να είναι η αρχή του δευτέρου και ενώναμε την αρχή με το τέλος τους. Μάλιστα η σειρά των δύο διανυσμάτων μπορεί να είναι τυχαία, γεγονός το οποίο χαρακτηρίζεται ως μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων: Α + Β = Β + Α (Εξίσωση 6.4) Το μέτρο και η διεύθυνση της συνισταμένης C καθορίζονται από το μήκος της διαγωνίου του παραλληλογράμμου και τη γωνία (Α, Β ) (= η μικρότερη από τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων Α και Β ) αντίστοιχα. Αμφότερα δε αυτά τα μεγέθη μπορούν να υπολογισθούν απ ευθείας από τους κανόνες της Τριγωνομετρίας. Συγκεκριμένα το μέτρο της συνισταμένης προκύπτει από τον νόμο των συνημίτονων: C = A 2 + B 2 2AB cos γ γ+(α,β )=180 cos γ= cos(α,β ) C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ) (Εξίσωση 6.5) Η διεύθυνση εξάλλου της συνισταμένης μπορεί να προσδιορισθεί από τον νόμο των ημιτόνων: C = Α = Β γ+(α,β )=180 sin γ=sin(α,β ) sin γ sin β sin α C sin(α,β = Α ) sin(b,c = ) Β (Εξίσωση 6.6) sin(α,c ) 2
3 όπου (I, J) η (μικρότερη) γωνία μεταξύ των διανυσμάτων I και J. Προβάλλοντας ένα διάνυσμα Α επί μιας τυχαίας ευθείας ε (βλ. Εικόνα 6.3), παίρνουμε ένα νέο διάνυσμα Α ε, το οποίο καλείται η συνιστώσα του διανύσματος Α ως προς την ευθεία ε. Εικόνα 6.3 Συνιστώσα διανύσματος ως προς τυχαία ευθεία ε. Πολύ διαδεδομένη είναι η ανάλυση (όπως λέγεται) ενός διανύσματος σε συνιστώσες ως προς τους άξονες ενός ορθοκανονικού (καρτεσιανού) συστήματος συντεταγμένων. Όπως δε φαίνεται από την Εικόνα 6.4, όπου έχουμε περιορισθεί χάριν απλότητας στο επίπεδο, το διάνυσμα Α ισούται με το άθροισμα των συνιστωσών του Α x και Α y : Α = Α x + Α y (Εξίσωση 6.7) (Η γενίκευση στις τρεις διαστάσεις του χώρου συνεπάγεται προφανώς την άθροιση και της συνιστώσας ως προς τον άξονα z, Α z.) Εικόνα 6.4 Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες. Αν x και ŷ είναι τα μοναδιαία διανύσματα επί του άξονα x και y αντίστοιχα, τότε η σχέση (6.7) γράφεται: Α = Α x + Α y = A x x + A y ŷ (Εξίσωση 6.8) Τα μεγέθη A x και A y καλούνται (ορθοκανονικές ή καρτεσιανές) συντεταγμένες του διανύσματος Α και ισούνται με τα θετικά ή αρνητικά μέτρα των συνιστωσών Α x και Α y, εφόσον αυτές έχουν φορά προς τα θετικά ή αρνητικά των αξόνων αντίστοιχα. Για δοσμένο σύστημα αξόνων το διάνυσμα Α περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια των συντεταγμένων του. Γράφουμε δε συμβολικά Α = (A x, A y ) = ( A x A y ) (Εξίσωση 6.9) Όπως προκύπτει από την εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στην Εικόνα 6.4, για το μέτρο του διανύσματος ισχύει η σχέση: 3
4 Α = Α x 2 + Α y 2 (Εξίσωση 6.10) Αν προβάλλουμε τα διανύσματα Α, Β και C = Α + Β επί μιας τυχαίας ευθείας ε (βλ. Εικόνα 6.5), διαπιστώνουμε ότι η προβολή C ε της συνισταμένης ισούται με το άθροισμα των προβολών των συνιστωσών: C ε = A ε + B ε. Επειδή δε η ευθεία ε θα μπορούσε να είναι κάλλιστα ο άξονας x ή y (ή και z στον χώρο), προκύπτει ότι οι συντεταγμένες της συνισταμένης δύο διανυσμάτων ισούνται με το άθροισμα των αντιστοίχων συντεταγμένων των δύο συνιστωσών: C x = A x + B x C = Α + Β { ή ( C x C ) = ( A x + B x C y = A y + B y A y + B ) (Εξίσωση 6.11) y y Εικόνα 6.5 Για την επαλήθευση της σχέσης Συνθήκες ισορροπίας τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων, οι οποίες ασκούνται επί ενός υλικού σημείου Σύμφωνα με τη Θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής (βλ. κεφάλαιο 4) προϋπόθεση για την ισορροπία ενός υλικού σημείου είναι ο μηδενισμός της συνισταμένης όλων των δυνάμεων, οι οποίες δρουν επ αυτού. Στην ειδική λοιπόν περίπτωση της Εικόνας 6.6 θα πρέπει η δύναμη F να είναι ίση και αντίθετη με τη συνισταμένη των δυνάμεων F 1 και F 2 : F 1 + F 2! = F (Εξίσωση 6.12) Εικόνα 6.6 Ισορροπία τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων. (6.5): Για το μέτρο λοιπόν της F (ίδιο με εκείνο της συνισταμένης F 1 + F 2 ) θα ισχύει σύμφωνα με τη σχέση 4
5 F = F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ) (Εξίσωση 6.13) και για τη διεύθυνσή της (ίδια με εκείνη της συνισταμένης F 1 + F 2 ) σύμφωνα με τη σχέση (6.6): F sin(α 1 +α 2 ) = F 1 sin(α 2 ) = F 2 sin(α 1 ) (Εξίσωση 6.14) Η πειραματική επαλήθευση των ανωτέρω σχέσεων, οι οποίες είναι αποτέλεσμα των κανόνων πρόσθεσης διανυσμάτων, είναι ουσιαστικά ο σκοπός της παρούσας άσκησης Υπολογισμός του μεγίστου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος της συνισταμένης F Η σχέση (6.13) μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε τη συνισταμένη F συναρτήσει των άμεσα μετρούμενων μεγεθών F 1, F 2, α 1 και α 2. Επομένως τα σφάλματα, τα οποία υπεισέρχονται κατά τον υπολογισμό αυτό, καθορίζονται από τις σχέσεις, οι οποίες διέπουν τα σφάλματα συναρτήσεων και τις οποίες αναπτύξαμε στο κεφάλαιο 1.4 και Συμβολίζοντας λοιπόν με ΔF το μέγιστο σφάλμα της συνισταμένης F ΔF 1, ΔF 2, Δα 1 και Δα 2 τα εκτιμηθέντα σφάλματα των αντιστοίχων μεγεθών έχουμε για το μέγιστο σφάλμα της συνισταμένης F (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής): F = F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ) [F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 {1} {1} F = (F 1, F 2, α 1, α 2 ) (1.8) ΔF = ± ( F F 1 ΔF 1 + F F 2 ΔF 2 + F α 1 Δα 1 + F α 2 Δα 2 ) {2} {1} F = 1 [F F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 [2F 1 + 2F 2 cos(α 1 + α 2 )] {3} F 1 {1} F = 1 [F F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 [2F 2 + 2F 1 cos(α 1 + α 2 )] {4} F 1 α1 cos(α 1+α 2 )= sin(α 1 +α 2 ) {1} F α 1 = [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] {5} α 1 cos(α 1 +α 2 )= sin(α 1 +α 2 ) {1} F α 2 = [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] {6} Αντικαθιστούμε στην {2} και παίρνουμε: 1 [F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] F 1 [F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 F 1 ΔF = ± ( 1 2 F 1 [2F 1 + 2F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF F 1 [2F 2 + 2F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF F 1 [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα F 1 [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 ) F>0 5
6 ΔF ± F 1 { [F 1 + F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 1 + [F 2 + F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 1 + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 } {7} Από τη σχέση αυτή παίρνουμε για το μέγιστο σχετικό επί τοις εκατό σφάλμα: ΔF F = ± F 2 { [F 1 + F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 1 + [F 2 + F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 1 + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 } 100% 6.4. Πειραματική διαδικασία (Εξίσωση 6.15) Animation 6.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.) Η πειραματική διαδικασία στοχεύει Απαιτούμενα όργανα: 1. Στη μέτρηση (μέσω δυναμομέτρου) του βάρους δύο σωμάτων μάζας 100 g και 150 g. 2. Στη μέτρηση (μέσω δυναμομέτρου) του μέτρου της συνισταμένης F δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων F 1 και F 2 (πρόκειται ουσιαστικά για τα δύο βάρη της προηγούμενης παραγράφου), καθώς και των γωνιών (μέσω ειδικού γωνιομετρικού κύκλου) α 1 και α 2 μεταξύ της συνισταμένης F και των συνιστωσών F 1 και F 2. Η διάταξη της Εικόνας 6.7, η οποία συμπεριλαμβάνει: Εικόνα 6.7 Πειραματική διάταξη. 1. Πλήρη γωνιομετρικό κύκλο βαθμονομημένο σε μοίρες (), ο οποίος φέρει νήμα της στάθμης για τον ακριβή προσανατολισμό του (βλ. Εικόνα 6.8) βαρίδια των 50 g 6 έκαστο. 2. Δυναμόμετρο ακριβείας (βλ. Εικόνα 6.9) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Μέγιστη φόρτιση 2 Ν 200g: Δεν επιτρέπεται να την ξεπεράσουμε ποτέ! Φέρει υποδιαιρέσεις ανά 20 mn. Ακρίβεια (Σχετικό επί τοις % σφάλμα): 0,5% της ενδεικνύμενης τιμής. 6
7 Φέρει δρομέα προσαρμογής της μηδενικής ένδειξης. Εικόνα 6.8 Πλήρης γωνιομετρικός κύκλος. Εικόνα 6.9 Δυναμόμετρο ακριβείας (Με το δυναμόμετρο μετράμε δυνάμεις. Αν αναρτήσουμε ένα βαρίδιο μάζας 50 g, θα μετρήσουμε το βάρος του, δηλαδή τη δύναμη με την οποία η Γη έλκει το βαρίδιο.) Μετρήσεις: α) Προσδιορισμός του βάρους βαριδίων συνολικής μάζας 100 και 150 g 1. Έχοντας το δυναμόμετρο να κρέμεται ελεύθερα κατακόρυφα προς τα κάτω, μετακινούμε πολύ προσεκτικά τον Δρομέα (βλ. Εικόνα 6.9) προσαρμογής μηδενικής ένδειξης, ώστε το άκρο του 0 να μας δείχνει το μηδέν της κλίμακας. 2. Στη συνέχεια κρεμάμε διαδοχικά, πρώτα δύο και μετά τρία βαρίδια των 50g και σημειώνουμε τις ενδείξεις στον Πίνακα 1. (Τα βάρη των παραπάνω βαριδίων θα παίξουν τον ρόλο των δυνάμεων F 1 και F 2, των οποίων τη συνισταμένη F θέλουμε να προσδιορίσουμε). 7
8 Εικόνα 6.10 Ενδεικτικός Πίνακας 1, καταχώρησης του βάρους (= δύναμη!) για βαρίδια μάζας 100 και 150 g. β) Μέτρηση της κατακόρυφης δύναμης F, η οποία εξισορροπεί τις δυνάμεις F 1 και F 2 (βλ. Εικόνα 6.6) 3. Σε κάθε άκρο του νήματος κρεμάμε από τρία βαρίδια των 50 g. (Επομένως και οι δύο δυνάμεις F 1 και F 2 είναι ίσες με το βάρος των 150g του Πίνακα 1). 4. Στρέφουμε προσεκτικά το δυναμόμετρο, έτσι ώστε το ελεύθερο άκρο του να δείχνει κατακόρυφα προς τα επάνω και, εφόσον χρειάζεται, ξαναρρυθμίζουμε τη μηδενική ένδειξη, μετακινώντας τον Δρομέα του. 5. Τραβάμε το νήμα από το μέσον του a (βλ. Εικόνα 6.7) προσεκτικά προς τα κάτω και χωρίς να το αφήσουμε, το περνάμε στο γαντζάκι του δυναμομέτρου. 6. Αφήνουμε σιγά σιγά το νήμα ελεύθερο μέχρι να ισορροπήσει κάτω από την επίδραση του δυναμομέτρου. 7. Με τη βοήθεια του νήματος της στάθμης του γωνιομετρικού κύκλου φροντίζουμε ώστε το δυναμόμετρο να είναι σε κατακόρυφη θέση, μετακινώντας προσεκτικά τον κρίκο c του σχήματος 7 προς την κατάλληλη μεριά. 8. Χαλαρώνοντας προσεκτικά τον σφιχτήρα b (βλ. Εικόνα 6.11) ρυθμίζουμε το ύψος του γωνιομετρικού κύκλου, έτσι ώστε το κέντρο του να συμπέσει με το σημείο a της Εικόνας Αν χρειαστεί, χαλαρώνοντας προσεκτικά τον σφιχτήρα d (βλ. Εικόνα 6.11) ρυθμίζουμε με τη βοήθεια του νήματος της στάθμης του γωνιομετρικού κύκλου, έτσι ώστε η γραμμή 0-0 να είναι ακριβώς κατακόρυφα. Αφού τελειώσουμε, σφίγγουμε και πάλι τον σφιχτήρα όχι όμως υπερβολικά. 10. Μετράμε τις γωνίες α 1 και α 2 και τις σημειώνουμε μαζί με την ένδειξη F του δυναμομέτρου στον Πίνακα 2 (βλ. Εικόνα 6.12). 11. Κρατώντας το αριστερό άκρο του νήματος αφαιρούμε από την αριστερή πλευρά ένα βαρίδιο και αφήνουμε το νήμα σιγά - σιγά, μέχρι να επέλθει κατάσταση ισορροπίας. (Επομένως η αριστερή δύναμη γίνεται ίση με το βάρος των 100g του Πίνακα 1). 12. Επαναλαμβάνουμε όσα από τα βήματα 5-7 είναι απαραίτητα. 13. Μετράμε τις γωνίες α 1 και α 2 και τις σημειώνουμε μαζί με την ένδειξη F του δυναμομέτρου στον Πίνακα 2. Εικόνα 6.11 Ρύθμιση ύψους γωνιομετρικού κύκλου. 8
9 Εικόνα 6.12 Ενδεικτικός Πίνακας Επεξεργασία των μετρήσεων Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει F 1. στην πειραματική επαλήθευση του νόμου των ημιτόνων, = F 1 = F 2 sin(α 1 +α 2 ) sin(α 2 ) sin(α 1 ) 2. στον γραφικό προσδιορισμό μέσω του κανόνα του παραλληλογράμμου της συνισταμένης δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων, 3. στον υπολογισμό της συνισταμένης των δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων και με τη βοήθεια του νόμου των συνημίτονων, F = F F F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ), καθώς και στον υπολογισμό του αντίστοιχου μέγιστου επί τοις εκατό σφάλματος. Προς τον σκοπό αυτό 4. Σε (δύο φύλλα, ένα για κάθε περίπτωση) χιλιοστομετρικό χαρτί DINA4, αφού επιλέξουμε κατάλληλη κλίμακα για τα μέτρα των δυνάμεων (την οποία και σημειώνουμε στην επάνω δεξιά γωνία) χαράσσουμε με μολύβι τα διανύσματα F 1, F 2 και F, έτσι ώστε η κοινή αρχή τους να συμπίπτει με το κέντρο του χιλιοστομετρικού χαρτιού, ενώ ο προσανατολισμός τους θα είναι ο ίδιος με εκείνον της Εικόνας 6.6. (Τα μήκη των διανυσμάτων προκύπτουν από τα μέτρα των δυνάμεων του Πίνακα 2, παίρνοντας υπόψη την κλίμακα που επιλέξαμε). 5. Επί του χιλιοστομετρικού χαρτιού βρίσκουμε τη συνισταμένη F 12 των δυνάμεων F 1 και F 2 με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου (βλ. Εικόνα 6.2) και σημειώνουμε το μέτρο της στον Πίνακα 3. (Το μέτρο της συνισταμένης προσδιορίζεται από το μήκος της διαγωνίου του παραλληλογράμμου παίρνοντας υπόψη την κλίμακα που επιλέξαμε). 6. Στον Πίνακα 3 καταχωρούμε το μέτρο της συνισταμένης, όπως προκύπτει και υπολογιστικά από την εξίσωση Τέλος ολοκληρώνουμε τη συμπλήρωση του Πίνακα 3, σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με μορφή εργασίας, η οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή. 9
10 Εικόνα 6.13 Ενδεικτικός Πίνακας 3 (Προσέχουμε όσα αναφέρονται στο κεφάλαιο για τον τρόπο γραφής των σφαλμάτων και των αποτελεσμάτων: μη μηδενικά ψηφία, στρογγυλοποίηση κ.λπ.). Βιβλιογραφία/Αναφορές Kuchling, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch, Thun - Frankfurt 1979 Serway R., Physics for Scientists & Engineers, Τόμοι I ως IV, 3η Έκδοση, Εκδόσεις Λ.Κ. Ρεσβάνης, 1990 Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α και Β, Εκδόσεις Παπαζήση,1995 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 2004 Κριτήρια αξιολόγησης Ερώτηση 1 Ποια είναι τα τρία χαρακτηριστικά ενός διανύσματος; Απάντηση/Λύση Το μέτρο (= αριθμητική τιμή + μονάδα μέτρησης, π.χ. 10 Ν), η κατεύθυνση (=διεύθυνση και φορά) και το σημείο εφαρμογής. Ερώτηση 2 Πώς ορίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα;; Απάντηση/Λύση Α = Α Α 10
11 Ερώτηση 3 Εξηγείστε με ένα σχήμα τον υπολογισμό της συνισταμένης δύο διανυσμάτων βάσει του κανόνα του παραλληλογράμμου. Γράψτε και τις σχέσεις υπολογισμού του μέτρου της συνισταμένης και των γωνιών που σχηματίζει η διεύθυνσή της με τις διευθύνσεις των δύο δυνάμεων. Απάντηση/Λύση Ο υπολογισμός της συνισταμένης αποδίδεται σχηματικά στην Εικόνα 6.2. C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ), C sin(α,β = Α ) sin(b,c = Β ) sin(α,c ) Ερώτηση 4 Δίδονται τα διανύσματα Α = ( 1 2 ) και Β = ( 2 ). Να υπολογίσετε τα μέτρα τους, το μέτρο της 2 συνισταμένης τους, καθώς και τη γωνία μεταξύ τους. Απάντηση/Λύση Α = Α x 2 + Α y 2 = = 5, Β = Β x 2 + Β y 2 = = 8, C x = A x + B x = = 3, C y = A y + B y = = 4, C = C x 2 + C y 2 = = 25 = 5, C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ) cos(α, Β ) = C2 A 2 B 2 = 0,9486 (Α, Β ) = 18,43 2AB 11
Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής
Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής Σύνοψη Προσδιορισμός των συντελεστών στατικής και δυναμικής τριβής με τη βοήθεια του κεκλιμένου επιπέδου. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση
Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός του διαγράμματος διαστήματος χρόνου s(t) ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση. Υπολογισμός της κλίσης της καμπύλης s(t) σε μια τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής
Κεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής Σύνοψη Διερεύνηση με τη βοήθεια της μηχανής του Atwood της σχέσης μεταξύ δύναμης και επιτάχυνσης, καθώς και προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Προαπαιτούμενη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7: Ευθύγραμμη oμαλά επιταχυνόμενη κίνηση
Κεφάλαιο 7: Ευθύγραμμη oμαλά επιταχυνόμενη κίνηση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και επαλήθευση της σχέσης που ισχύει θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10: Νόμος του Hooke-Αρμονική ταλάντωση σπειρoειδούς ελατηρίου
Κεφάλαιο 1: Νόμος του Hooke-Αρμονική ταλάντωση σπειρoειδούς ελατηρίου Σύνοψη Πειραματική επαλήθευση του νόμου του Hooke, προσδιορισμός της σταθερής k του ελατηρίου μέσω μέτρησης της περιόδου αρμονικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές
Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Σύνοψη Προσδιορισμός της έντασης του γήινου βαρυτικού πεδίου μέσω μέτρησης της περιόδου απλών αρμονικών ταλαντώσεων ενός απλού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9: Προσδιορισμός της ροπής αδράνειας με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων
Κεφάλαιο 9: Προσδιορισμός της ροπής αδράνειας με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της ροπής αδράνειας μέσω μέτρησης της περιόδου στροφικών ταλαντώσεων. Προαπαιτούμενη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 22: Νόμος του Joule
Κεφάλαιο 22: Νόμος του Joule Σύνοψη Πειραματική επαλήθευση του νόμου του Joule. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. Στοιχειώδεις γνώσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. 22.1 Ενέργεια και ισχύς συνεχούς ρεύματος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13: Ο πυκνωτής σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος (Κύκλωμα RC συνεχούς)
Κεφάλαιο 13: Ο πυκνωτής σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος (Κύκλωμα RC συνεχούς) Σύνοψη Καταγραφή της καμπύλης φόρτισης του πυκνωτή κυκλώματος, κύκλωμα RC σε σειρά, προσδιορισμός της χωρητικότητας του πυκνωτή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 8 9. Ιδια με την άσκηση 8, αλλά τώρα η συνισταμένη έχει αντίθετη κατεύθυνση.
1. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: Η συνισταμένη δύο δυνάμεων είναι μία δύναμη που a. έχει μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων των δύο δυνάμεων. b. έχει μέτρο πάντα μεγαλύτερο από το μέτρο της κάθε επί μέρους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΤοπικός Διαγωνισμός EUSO2019 Πειραματική δοκιμασία Φυσικής
ΕΚΦΕ Νέας Ιωνίας ΕΚΦΕ Χαλανδρίου Τοπικός Διαγωνισμός EUSO2019 Πειραματική δοκιμασία Φυσικής Ένα «ακατάλληλο» δυναμόμετρο! 8 Δεκεμβρίου 2018 ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1) 2). 3).. Τα δυναμόμετρα Το
Διαβάστε περισσότερα1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,
Διαβάστε περισσότεραΕπιπρόσθετα για την δύναμη. Από το βιβλίο «Concepts in Physics CRM Books Del Mar California 1973. Επιλογή μόνον για την εκπαίδευση των φοιτητών
Επιπρόσθετα για την δύναμη Από το βιβλίο «Concepts in Physics CRM Books Del Mar California 1973 Επιλογή μόνον για την εκπαίδευση των φοιτητών Εικόνα : Τα πόδια της κοπέλας σπρώχνουν κάτω καθώς πατάει πάνω
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότερα8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων
8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς
Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5: Συντελεστής γραμμικής θερμικής διαστολής
Κεφάλαιο 5: Συντελεστής γραμμικής θερμικής διαστολής Σύνοψη Προσδιορισμός του συντελεστή θερμικής γραμμικής διαστολής δύο ράβδων από διαφορετικά υλικά. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. 5.1 Βασικές έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ
ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 12: Νόμος του Ohm
Κεφάλαιο 12: Νόμος του Ohm Σύνοψη Ποσοτική διερεύνηση της χαρακτηριστικής καμπύλης έντασης - τάσης διαφόρων ωμικών αγωγών, η οποία οδηγεί στη διατύπωση του νόμου του Ohm, καθώς και καταγραφή της χαρακτηριστικής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 19: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή αυτεπαγωγή
Κεφάλαιο 19: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή αυτεπαγωγή Σύνοψη Μελέτη του φαινομένου της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής και αυτεπαγωγής. Μέτρηση της επαγόμενης τάσης στα άκρα πηνίου, το οποίο ευρίσκεται εντός χρονικώς
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014
Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.
Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 16: Γήινο μαγνητικό πεδίο
Κεφάλαιο 16: Γήινο μαγνητικό πεδίο Σύνοψη Προσδιορισμός της έντασης του γήινου μαγνητικού πεδίου και της μαγνητικής έγκλισης με τη βοήθεια του φαινομένου της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής. Προαπαιτούμενη
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου
Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: από την κλίση της (πειραματικής) ευθείας
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ
ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Συνισταμένη δυο ή περισσοτέρων δυνάμεων οι οποίες ενεργούν ταυτόχρονα σε ένα σώμα λέγεται η δύναμη που επιέρει τα ίδια μηχανικά αποτελέσματα που επιέρουν όλες μαζί Τις δυνάμεις,f,...
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης
Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου
Διαβάστε περισσότεραΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή στην Κινητική
1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς
Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα
Διαβάστε περισσότεραΜεταβολές της Δυναμικής Ενέργειας στην κατακόρυφη κίνηση σώματος εξαρτημένου από ελατήριο. Με τη βοήθεια λογισμικού LoggerProGR
Μεταβολές της Δυναμικής Ενέργειας στην κατακόρυφη κίνηση σώματος εξαρτημένου από ελατήριο. Με τη βοήθεια λογισμικού LoggerProGR τόχοι Οι μαθητές να υπολογίζουν το έργο δύναμης που το μέτρο της δεν μένει
Διαβάστε περισσότεραΑγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :
Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων
Κεφάλαιο 3: Σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων Σύνοψη Μελέτη της σύνθεσης δύο (ηλεκτρικών) αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας ή κάθετης μεταξύ τους διεύθυνσης με τη βοήθεια του παλμογράφου. Προαπαιτούμενη γνώση
Διαβάστε περισσότερα2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων
2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραγια να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:
α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΘέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού
ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας
Διαβάστε περισσότεραΠαρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με
2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων Έστω και δυο μη μηδενικά διανύσματα. Για να τα προσθέσουμε κάνουμε τα εξής: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου και γράφουμε το διάνυσμα συνέχεια με αρχή το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 15: Προσδιορισμός της βαρυτικής σταθερής
Κεφάλαιο 15: Προσδιορισμός της βαρυτικής σταθερής Σύνοψη Προσδιορισμός της βαρυτικής σταθερής με τη βοήθεια του βαρυτικού ζυγού στρέψης κατά Cavendish. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1, 4 & 10. 15.1 Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ισορροπίας Δυνάμεων. Μεθοδολογία ασκήσεων
Μεθοδολογία ασκήσεων Όταν έχουμε προβλήματα στο οποία ένα σώμα ισορροπεί, η μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε έχει ως εξής: 1. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Το πλήθος των δυνάμεων που σχεδιάζουμε
Διαβάστε περισσότεραAB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή
1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:
ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική
Διαβάστε περισσότερα1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠερί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων
Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.
Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ.
ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή οι φοιτητές εκπαιδεύονται επάνω στη χρήση
Διαβάστε περισσότερα