3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Στη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο και στην ίδια διεύθυνση, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : (δ) αρµονική συνάρτηση του χρόνου. Α.2. Σε µια ϕθίνουσα µηχανική ταλάντωση µε δύναµη απόσβεσης της µορ- ϕής F = bυ: (δ) η περίοδος της ταλάντωσης παραµένει σταθερή. Α.3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιας εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο. Αν διπλασιάσουµε τη συχνότητα της δύναµης αυτής το πλάτος της ταλάντωσης ϑα : (ϐ) µειωθεί Α.4. Μικρό σώµα δεµένο στο ένα άκρο ελεύθερου ιδανικού ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο ακλόνητα. Εκτοξεύουµε το σώµα από την ϑέση ισορροπίας του µε οριζόντια αρχική ταχύτητα υ 1 και αυτό εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο T 1. Αν εκτοξεύαµε το σώµα µε ταχύτητα υ 2 = 2υ 1, τότε η περίοδος της ταλάντωσης του ϑα ήταν ίση µε : (α) T 2 = T 1 1
Α.5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασµένη. [5 1 = 5 µονάδες] (α) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση αυξάνεται το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το µέτρο της δύναµης επαναφοράς. (ϐ) Η σταθερά απόσβεσης b σε µία ϕθίνουσα ταλάντωση εξαρτάται και από τις ιδιότητες του µέσου. (γ) Ενα σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν διπλασιάσουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήµατος, τότε η συχνότητα ταλάντωσης του ϑα διπλασιαστεί. (δ) Τα αµορντισέρ ενός καινούργιου αυτοκινήτου έχουν µεγαλύτερη στα- ϑερά απόσβεσης σε σχέση µε ένα παλαιότερο αυτοκίνητο. (ε) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η Κινητική και η υναµική Ενέργεια είναι ίσες 2 ϕορές στην διάρκεια µιας πλήρους ταλάντωσης. του διεγέρτη. Θέµα Β Β.1. Το πλάτος µιας ϕθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση A = A 0 e Λt. Β.1.1. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να γίνει η µισή της αρχικής (E = E 0 ln2 )είναι : ϐ. t = 2 2Λ E = 1 2 DA2 = E 0 e 2Λt = E 0 2 1 2 = e 2Λt 2Λt = ln2 t = ln2 2Λ http://www.perifysikhs.com 2
Β.1.2. Το έργο της δύναµης απόσβεσης F στο παραπάνω χρονικό διάστηµα ισούται µε : α. E 0 2 W F = E E 0 = E 0 2 E 0 = E 0 2 Β.2. Σώµα Σ 1 µάζας m έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωµένο στο δάπεδο. Το ελατήριο συσπειρώνεται και το Σ 1 ισορροπεί µε την ϐοήθεια µη εκτατού νήµατος. Το µέτρο της τάσης του νήµατος είναι διπλάσιο του ϐάρους του σώµατος Σ 1. Κόβουµε το νήµα και το Σ 1 εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους A 1. Από ύψος h πάνω από την αρχική ϑέση του Σ 1 αφήνεται σώµα Σ 2 µάζας m που συγκρούεται πλαστικά µε το Σ 1 καθώς αυτό περνά από τη ϑέση ισορ- ϱοπίας του ανερχόµενο. Μετά την κρούση το συσσωµάτωµα ακινητοποιείται στιγµιαία και κατόπιν αρχίζει να εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους A 2. Ο λόγος A 1 ισούται µε : A 2 ΘΦΜ Δl2 1 1 Δl1 1,2 Δl3 ϐ. 2 Στην αρχική ϑέση, που είναι και η ακραία ϑέση της ταλάντωσης του Σ 1, πριν κοπεί το νήµα ϑα ισχύει : http://www.perifysikhs.com 3
ΣF = 0 F ελ = w + T k l 1 = 3w Για την Θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του Σ 1 ϑα ισχύει : ΣF = 0 F ελ = w k l 2 = w Αρα το πλάτος της ταλάντωσης A 1 ϑα δίνεται από την απόσταση των δύο παραπάνω ϑέσεων : A 1 = l 1 l 2 = 2w k Για το συσσωµάτωµα η Θέση ισορροπίας ϑα είναι : ΣF = 0 F ελ = W k l 3 = 2w Η κρούση πραγµατοποιείται στην Θέση ισορροπίας του Σ 1, η οποία µετά την κρούση ϑα είναι η ακραία ϑέση ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Αρα το πλάτος A 2 ϑα είναι : A 2 = l 2 l 3 = w k Από τα παραπάνω προκύπτει ο Ϲητούµενος λόγος : A 1 A 2 = 2 Β.3. Ενα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο αρµονικές ταλαντώσεις (1) και (2) οι οποίες πραγµατοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια ϑέση ισορροπίας. Οι χρονικές εξισώσεις της αποµάκρυνσης από τη ϑέση ισορροπίας των δυο ταλαντώσεων στο S.I. είναι της µορφής : x 1 = 0, 4ηµ(200πt) και x 2 = 0, 4ηµ(204πt) Το ελάχιστο χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί ανάµεσα σε ένα µέγιστο και σε ένα ελάχιστο του πλάτους της συνισταµένης ταλάντωσης ισούται µε : http://www.perifysikhs.com 4
ϐ. 0, 25s Ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους ϑα είναι :. T δ = Ο Ϲητούµενος χρόνος ϑα είναι : 1 f 1 f 2 = 2π = 0, 5s ω 1 ω 2 t = T δ = 0, 25s 2 Να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας[2+5=7 µονάδες] Θέµα Γ Ενα σώµα Σ 1 µάζας m 1 = 2kg ισορροπεί όπως στο σχήµα, όπου η τάση του νήµατος έχει µέτρο T = 50N. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 200N/m, το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο µε κλίση θ = 30 o και το νήµα είναι παράλληλο προς το επίπεδο. Σε µια στιγµή κόβουµε το νήµα και το σώµα κινείται. Γ.1 Να αποδείξτε ότι το σώµα ϑα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση. Στην Θέση ισορροπίας του σώµατος, το ελατήριο είναι συσπειρωµένο κατά l o και ισχύει : http://www.perifysikhs.com 5
ΘΦΜ Δl1 ΘΙΤ Δlo Δl2 Νέα ΘΙΤ x ΣF = 0 k l o = m 1 gηµθ l o = 0, 05m Σε µια τυχαία ϑέση κάτω από την ΘΙΤ που απέχει x από αυτή : ΣF = m 1 gηµθ k( l o + x) = m 1 gηµθ k l o kx ΣF = kx Αρα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε D = k Γ.2 Να ϐρεθεί το πλάτος και η ενέργεια της ταλάντωσης. Στην αρχική ϑέση ισορροπεί πριν κοπεί το νήµα µε το ελατήριο παραµορ- ϕωµένο (σε επιµήκυνση) κατά l 1 http://www.perifysikhs.com 6
ΣF = 0 T = k l 1 + m 1 gηµθ 200 l 1 = 40 l 1 = 0, 2m Οταν το νήµα κοπεί το σώµα ξεκινά ταλάντωση χωρίς αρχική ταχύτητα, άρα η αρχική ϑέση είναι και η ακραία ϑέση της ταλάντωσης που απέχει Α από την ϑέση ισορροπίας. A = l o + l 1 = 0, 25m Η ενέργεια της ταλάντωσης ϑα είναι : E = 1 2 DA2 = 6, 25J Αφού το σώµα συµπιέσει το ελατήριο, κινείται προς τα πάνω. Τη στιγµή που απέχει 10cm από την αρχική του ϑέση, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε ένα δεύτερο σώµα Σ 2, µάζας m 2 = 3kg, το οποίο κατέρχεται κατά µήκος του επιπέδου. Το συσσωµάτωµα αµέσως µετά την κρούση έχει µηδενική ταχύτητα. Γ.3 Ποια η ταχύτητα του Σ 2, ελάχιστα πριν την κρούση ; Οταν το σώµα απέχει 10cm = 0, 1m από την αρχική του ϑέση ϑα ϐρίσκεται σε ϑέση µε αποµάκρυνση x = 0, 25 0, 1 = 0, 15m πάνω από την Θέση ισορροπίας του. Αρα η ταχύτητα εκείνη την στιγµή ϑα υπολογιστεί µε την Α..Ε.Τ. 1 2 DA2 = 1 2 m 1υ1 2 + 1 2 Dx2 υ 1 = 2m/s Για την κρούση των δύο σωµάτων ϑα εφαρµόσω την Αρχή ιατήρησης της Ορµής. Τα δύο σώµατα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και µετά την κρούση το συσσωµάτωµα ακινητοποιείται στιγµιαία. m 1 υ 1 m 2 υ 2 = 0 υ 2 = 4 3 m/s http://www.perifysikhs.com 7
Γ.4 Να ϐρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που ϑα πραγµατοποιήσει το συσσωµάτωµα. Το συσσωµάτωµα ϑα έχει νέα Θέση Ισορροπίας στην οποία το ελατήριο ϑα είναι συσπειρωµένο κατά l 2 : ΣF = 0 k l 2 = (m 1 + m 2 )gηµθ l 2 = 0, 1m Η διάρκεια της κρούσης είναι αµελητέα, οπότε το σώµα απέχει 0, 15m από την Θέση ισορροπίας του Σ 1. Μετά την κρούση η ϑέση ϑα είναι η ακραία ϑέση της ταλάντωσης. Αρα το πλάτος ϑα είναι : ίνεται ότι : g = 10m/s 2 A = l 2 l o + x = 0, 2m Θέµα [6+7+5+7 µονάδες] Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = 300N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωµένο στο δάπεδο. Στο άνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώµα Σ 1 µάζας m 1 = 2kg που ισορροπεί. Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 αφήνεται πάνω στο σώµα Σ 1, χωρίς αρχική ταχύτητα, ένα άλλο σώµα Σ 2 µάζας m 2 = 1kg. Θεωρούµε την κατακόρυφη προς τα πάνω ϕορά, ως ϑετική και την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s 2..1 Να αποδείξετε ότι το σύστηµα των δύο σωµάτων εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση η οποία ϑα έχει πλάτος A = 1 30 m. Το Σ 1 ισορροπεί µε το ελατήριο συσπειρωµένο κατά d 1 εφαρµόζω την συνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 kd 1 = m 1 g d 1 = m 1g k http://www.perifysikhs.com 8
Το συσσωµάτωµα ϑα ισορροπεί στην ΘΙΤ µε το ελατήριο συσπειρωµένο κατά d 2. Εφαρµόζω την συνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 kd 2 = (m 1 + m 2 )g d 2 = (m 1 + m 2 )g k Σε µια τυχαία ϑέση που απέχει x κάτω από την ΘΙΤ ισχύει : ΣF = (m 1 + m 2 )g k(d 2 + x) ΣF = kx Αρα το σώµα εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά επαναφοράς την σταθερά του ελατηρίου. Η αρχική ϑέση είναι η ακραία ϑέση της ταλάντωσης, αφού το Σ 2 αφήνεται εκεί χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα. Αρα το πλάτος της ταλάντωσης από την ΘΙΤ ϑα είναι η διαφορά των δύο συσπειρώσεων. A = d 2 d 1 = m 2g k A = 1 30 m.2 Την εξίσωση της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο U = f(t) Αφού για t o = 0 το σώµα είναι στην ακραία ϑετική ϑέση (Aηµ(0 + φ 0 ) = +A ηµφ 0 = 1 φ 0 = π ). Επίσης η γωνιακή συχνότητα για την 2 k ταλάντωση του συστήµατος ϑα είναι ω = = 10rad/s. Η m 1 + m 2 δυναµική Ενέργεια ταλάντωσης ϑα είναι : U = 1 2 Dx2 = 1 2 300( 1 30 )2 ηµ 2 (10t + π 2 ) U = 1 6 ηµ2 (10t + π 2 ) (S.I.).3 Την δύναµη επαφής N που ασκείται από το Σ 2 στο σώµα Σ 1 σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση από την Θέση Ισορροπίας. Να κατασκευαστεί το αντίστοιχο διάγραµµα N = f(x) Σε µια τυχαία ϑέση κάτω από την ΘΙΤ η δύναµη επαναφοράς για το Σ 2 ϑα είναι : http://www.perifysikhs.com 9
ΣF = D 2 x N m 2 g = m 2 ω 2 x N = 10 100x 1 30 x 1 30 (S.I.) N (N ) 0-0,0 4-0,0 2 0,0 0 0,0 2 0,0 4-5 -1 0 Οπου ϐέβαια η N είναι η δύναµη που ασκεί το Σ 1 στο Σ 2, οπότε σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Νεύτωνα η Ϲητούµενη δύναµη ϑα είναι η N = N N = 100x 10 x (m ) 1 30 x 1 30 (S.I.).4 Να εξετάσετε αν τα δύο σώµατα ϑα παραµένουν σε επαφή σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης. Για να µην χάνει επαφή το σώµα πρέπει N 0 10 100x 0 x 0, 1m Αρα δεν ϑα χάσει επαφή αφού το πλάτος της ταλάντωσης είναι µικρό σε σχέση µε το παραπάνω x. Πραγµατοποιούµε ένα νέο πείραµα µε την χρήση του παραπάνω ελατηρίου και µιας µάζας M = 3m 2. Το νέο µας σύστηµα εκτελεί περιοδική κίνηση µε την αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας να δίνεται από την σχέση : x = 0, 4ηµ(ωt) + 0, 4συν(ωt) (S.I.) http://www.perifysikhs.com 10
.5 Να υπολογισθεί ο ϱυθµός µεταβολής της Κινητικής Ενέργειας Ταλάντωσης του παραπάνω συστήµατος την χρονική στιγµή t = π 10 s. Η δοσµένη σχέση αντιστοιχεί σε µια σύνθεση ταλαντώσεων Α είδους µε διαφορά ϕάσης φ = π 2 µε ω = k M = 10rad/s. A = A 2 1 + A2 2 A = 0, 4 2m και ɛφθ = A 2 = 1 θ = π A 1 4 Αρα η σύνθετη κίνηση ϑα περιγράφεται από την x = 0, 4 2ηµ(10t + π 4 ) και ο Ϲητούµενος ϱυθµός µεταβολής ϑα είναι : dk dt = ΣF υ = Dxυ = kωa2 ηµ(ωt + θ)συν(ωt + θ) dk dt = 480J/s Επιµέλεια : Μιχάλης Καραδηµητρίου http://www.perifysikhs.com 11