ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου 1ο Επαναληπτικό ιαγώνισµα Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

Transcript

1 ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου 1ο Επαναληπτικό ιαγώνισµα Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Μικρό σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ και πλάτος Α. Μεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της κινητικής του ενέργειας : (γ) διανύει απόσταση Α σε χρόνο T Α.. Σε µια ϕθίνουσα ταλάντωση επιδρά δύναµη απόσβεσης της µορφής F bυ. Ο ϱυθµός µείωσης του πλάτους ταλάντωσης : (δ) εξαρτάται από τις ιδιότητες του µέσου ταλάντωσης και το σχήµα του ταλαντούµενου σώµατος. Α.3. Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η απο- µάκρυνση του υλικού σηµείου από την Θέση ισορροπίας δίνεται σε συνάρτηση µε τον χρόνο από την εξίσωση : x = Aηµ(ωt) + Aσυν(ωt) Το έργο της δύναµης επαναφοράς που δέχεται το υλικό σηµείο στο χρονικό διάστηµα [0, T ], όπου Τ η περίοδο της ταλάντωσης, είναι : 8 (α) 1 mω A 1

2 Α.4. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Π 1 και Π ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού µε το ίδιο πλάτος Α παράγοντας κύµατα µε µήκος κύµατος λ. Αν η απόσταση των δύο πηγών ισούται µε λ, τότε µεταξύ των πηγών διέρχονται : (δ) 3 υπερβολές ενίσχυσης και 4 υπερβολές απόσβεσης Α.5. (α) Οταν µια σφαίρα συγκρούεται πλάγια και ελαστικά µε κατακόρυφο τοίχο, τότε το µέτρο της ορµής της σφαίρας παραµένει σταθερό. Σωστό (ϐ) Το ϕαινόµενο της παλίρροιας στον κόλπο του Fundy στον Καναδά οφείλεται στην εξαναγκασµένη ταλάντωση της µάζας του νερού στην επι- ϕάνεια της γης εξαιτίας της ϐαρυτικής έλξης της σελήνης. Σωστό (γ) ύο σηµεία ενός ελαστικού µέσου στο οποίο έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα και ανάµεσα τους παρεµβάλλονται 3 δεσµοί, ϑα έχουν σε κάθε χρονική στιγµή αντίθετες αποµακρύνσεις. Σωστό (δ) Φαινόµενα Συµβολής παρατηρούνται µόνο από κυµατικές πηγές µε ίδιες συχνότητες ταλάντωσης. Σωστό (ε) Ο ήχος είναι ένα εγκάρσιο κύµα. Λάθος Θέµα Β Β.1. Ενα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε εξισώσεις : x 1 = Aηµ(πf 1 t) x = Aηµ(πf t) Οι συχνότητες f 1, f των δύο ταλαντώσεων είναι είναι παραπλήσιες. Α- νάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους της συνιστάµενης ταλάντωσης, το σώµα έχει εκτελέσει N ταλαντώσεις. ιπλασιάζουµε ταυτόχρονα τις συχνότητες των δύο επιµέρους ταλαντώσεων, οι οποίες εξακολουθούν

3 να παραµένουν παραπλήσιες. Για την νέα συνιστάµενη ταλάντωση ο αριθ- µός των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώµα, ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους ϑα είναι N. Ο λόγος N N ισούται µε : (ϐ) 1 Από την αρχή της επαλληλίας ϑα προκύψει : ( ) ( ) ω1 ω ω1 + ω x = x 1 + x = Aσυν t ηµ t Η περίοδος της ταλάντωσης ϑα είναι : T = 1 f =. f 1 + f 1 Η περίοδος διακροτήµατος ϑα είναι : T δ = f 1 f. Ο αριθµός των ταλαντώσεων που ϑα εκτελεί το σώµα ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους ϑα είναι : N = T δ T = f 1 + f f 1 f Μετά τον διπλασιασµό των δύο συχνοτήτων ο αριθµός ϑα είναι : N = T δ = f 1 + f T f 1 f N = f 1 + f f 1 f = N Β.. Σε λείο οριζόντιο δάπεδο ισορροπούν δύο σώµατα Σ 1 και Σ µε µάζες m 1 = m και m = m αντίστοιχα. Τα δύο σώµατα ϕέρουν σηµειακούς ανιχνευτές ηχητικών κυµάτων A 1 και A αντίστοιχα και µπορούν να κινούνται πάνω σε διεύθυνση που διέρχεται από σηµειακή ηχητική πηγή. Την χρονική στιγµή t 1 εκτοξεύω το Σ 1 µε ταχύτητα µέτρου υ o όπως ϕαίνεται στο σχήµα και οι ανιχνευτές καταγράφουν συχνότητες f A1 και f A για τις οποίες ισχύει ότι : f A1 f A = 3 4. Στην συνέχεια τα σώµατα ϑα συγκρουστούν κεντρικά και ελαστικά µε την διάρκεια της κρούσης να ϑεωρείται αµελητέα. Σε µια χρονική στιγµή 3

4 A Uο Α1 S t αµέσως µετά την κρούση οι ανιχνευτές ϑα καταγράψουν νέες συχνότητες f A1 και f A για τις οποίες ϑα ισχύει : (α) f A1 f A = Πριν την κρούση ο ακίνητος ανιχνευτής ϑα αντιλαµβάνεται συχνότητα f A = f s και ο κινούµενος ανιχνευτής 1 ϑα αντιλαµβάνεται συχνότητα f A1 = υ ηχ υ o υ ηχ f s, άρα προκύπτει : f A1 f A = 3 4 υ ηχ υ o υ ηχ = 3 4 υ o = υ ηχ 4 Μετά την ελαστική κρούση οι ανιχνευτές ϑα αποκτούν ταχύτητες υ 1 και υ για τις οποίες ισχύει : υ 1 = m 1 m υ o = υ o m 1 + m 3 = υ ηχ 1 υ = m 1 υ o = υ o m 1 + m 3 = υ ηχ 6 Για τον Ϲητούµενο λόγο προκύπτει : f A1 f A = υ ηχ +υ 1 υ ηχ f s υ ηχ υ = 13 υ ηχ f s

5 Β.3. Αρµονικό Κύµα, µήκους κύµατος λ και πλάτους A = λ 4, διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου, το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα x Ox προς την ϑετική ϕορά του άξονα. Το υλικό σηµείο Ο (x = 0) ϑα εκτελεί ταλάντωση της µορφής y o = Aηµ(ωt). Η µέγιστη απόσταση των υλικών σηµείων K και Λ του µέσου, των οποίων οι ϑέσεις ισορροπίας έχουν τετµηµένες x K και x Λ = x K + λ ϑα είναι : (α) λ Τα σηµεία Κ και Λ απέχουν x = λ άρα ϑα ϐρίσκονται σε αντίθεση ϕάσης ( φ = ω t = π), δηλαδή σε κάθε χρονική στιγµή ϑα έχουν αντίθετες απο- µακρύνσεις. Θα ϐρίσκονται στην µέγιστη δυνατή απόσταση την στιγµή που ϑα είναι στις ακραίες τους ϑέσεις. Η µέγιστη απόσταση ϑα είναι : d max = ( (A) + ( x) = λ ) ( ) λ + = λ 4 Θέµα Γ Σε ένα γραµµικό ελαστικό µέσο που ταυτίζεται µε τον οριζόντιο άξονα x Ox, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα προς την ϑετική ϕορά. Κάθε υλικό σηµείο του µέσου που διεγείρεται ξεκινά την ταλάντωση του από την ϑέση ισορροπίας µε ταχύτητα µέτρου π m/s και διέρχεται από αυτή 0 ϕορές κάθε δευτερόλεπτα. ίνεται επίσης ότι η ελάχιστη απόσταση δύο σηµείων του ελαστικού µέσου που ταλαντώνονται σε αντίθεση ϕάσης είναι ίση µε 1m Γ.1 Να υπολογίσετε το µήκος κύµατος, την συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. Το σώµα διέρχεται από την ϑέση ισορροπίας ϕορές σε κάθε ταλάντωση, άρα εκτελεί 10 ταλαντώσεις κάθε δευτερόλεπτα, οπότε f = 5Hz. Η ταχύτητα διέλευσης από την ΘΙΤ ϑα είναι v max = ωa π = πfa A = 0, m. Η ελάχιστη απόσταση δύο σηµείων που ταλαντώνονται σε 5

6 αντίθεση ϕάσης είναι λ = 1m λ = m. Αρα η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος ϑα είναι υ δ = λf = 10m/s. Ενα δεύτερο πανοµοιότυπο κύµα διαδίδεται στο ίδιο µέσο διάδοσης µε αντίθετη ϕορά, έτσι ώστε την χρονική στιγµή t o = 0 να συναντιέται µε το πρώτο στο υλικό σηµείο Ο (x = 0). Γ. Να γραφτούν οι εξισώσεις των δύο κυµάτων. y 1 = 0, ηµπ(10t x) (S.I) y 1 = 0, ηµπ(10t + x) (S.I) Γ.3 Να γραφτεί η εξίσωση του στάσιµου κύµατος. y = 0, 4συν (πx) ηµ (10πt) (S.I) Γ.4 Να ϐρεθεί το πλήθος των σηµείων του ελαστικού µέσου που ϑα παρα- µένουν ακίνητα εξαιτίας της συµβολής των δύο κυµάτων µέχρι και την χρονική στιγµή t 1 = 0, s Μέχρι την χρονική στιγµή t 1 έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα στην περιοχή : υ δ t x υ δ t m x m Τα ακίνητα σηµεία στην περιοχή ϑα είναι : (κ + 1) λ 4 (κ + 1)1, 5 κ 1, 5 Αφού το κ είναι ακέραιος αριθµός έχω 4 σηµεία που παραµένουν α- κίνητα. 6

7 Γ.5 Να σχεδιαστεί η µορφή του ελαστικού µέσου την χρονική στιγµή t = 0.3s στην περιοχή 5m x 5m. Την χρονική στιγµή t = 0, 3s έχω στάσιµο κύµα στην περιοχή 3m x 3m και στο υπόλοιπο τµήµα της περιοχής έχω τα δύο τρέχοντα κύµατα. Για την περιοχή που έχω στάσιµο κύµα όλα τα σηµεία ϑα ϐρίσκονται στην Θέση ισορροπίας αφού t = T + T Γ.6 Να ϐρεθεί η αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας την χρονική στιγ- µή t 1 = 0, s για το υλικό σηµείο Κ (x k =, 5m) του µέσου. Την Ϲητούµενη χρονική στιγµή το στάσιµο κύµα έχει δηµιουργηθεί στην περιοχή m x m, άρα το σηµείο Κ ϑα ταλαντώνεται µόνο εξαιτίας του κύµατος που οδεύει προς την αρνητική κατεύθυνση. y k = y = 0, ηµπ(10 0, +, 5) = 0, 1 m Θέµα Σώµα Σ 1 µάζας m 1 = 1kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεµένο στα ελεύθερα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων µε σταθερές k 1 = k = k = 50N/m τα οποία έχουν το ένα άκρο τους ακλόνητα στερεωµένο και ϐρίσκονται στο ϕυσικό τους µήκος. 7

8 Εκτρέπω το σώµα από την ισορροπία, έτσι ώστε η ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του κάθε ελατηρίου να γίνει 1J και την χρονική στιγµή t o = 0 το αφήνω ελεύθερο από την ϑέση αυτή..1 Να δείξετε ότι το σώµα ϑα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του σε συνάρτηση µε τον χρόνο, ϑεωρώντας ως ϑετική την ϕορά της αρχικής εκτροπής. Σε µια τυχαία ϑέση που απέχει x από την ϑέση ισορροπίας που είναι k ΘΙΤ (ΘΦΜ) x και ϑέση ϕυσικού µήκους σχεδιάζω τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα από τα ελατήρια. Σ1 ΣF = k 1 x k x = kx Αρα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D = k = 100N/m Η αρχική εκτροπή είναι ίση µε το πλάτος της ταλάντωσης : U ελ = 1 k( l) l = 0, m k1 t = 0 x = +A φ o = π 8

9 ω = D m = 10rad/s Άρα η εξίσωση της ταλάντωσης στο (S.I.) ϑα είναι : ( x = 0, ηµ 10t + π ). Να ϐρεθεί ο ϱυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέργειας ταλάντωσης σε µια χρονική στιγµή για τον οποία το σώµα διέρχεται επιταχυνόµενο από την ϑέση x 1 = 0, 1m. Εφαρµόζω την Α ΕΤ 1 DA = 1 mυ + 1 DA υ = ± 3m/s Αφού διέρχεται επιταχυνόµενο από µια αρνητική ϑέση, ϑα πρέπει να κινείται προς την ΘΙΤ, άρα η ταχύτητα ϑα είναι ϑετική. Ο Ϲητούµενος ϱυθµός µεταβολής ϑα είναι : du dt = dk dt = ΣF υ = +D x υ = 10 3J/s k Σ h Σ1 k1 εύτερο σώµα Σ µάζας m = 3kg αφήνεται να πέσει από ύψος h και πέφτει πάνω στο Σ 1, χωρίς να αναπηδήσει, όταν εκείνο διέρχεται από την ϑέση ισορ- ϱοπίας του κινούµενο κατά την ϑετική ϕορά. Το σύστηµα των δύο σωµάτων συνεχίζει να εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. 9

10 .3 Να ϐρεθεί το πλάτος και η περίοδος της νέας ταλάντωσης. Για την κρούση εφαρµόζω την Αρχή ιατήρησης της Ορµής στον οριζόντιο άξονα, την στιγµή που το Σ 1 διέρχεται από την ΘΙΤ: 0 + m 1 υ max = (m 1 + m )υ max m 1 ωa = (m 1 + m )ω A D Επειδή ω = = 5rad/s, προκύπτει ότι το νέο πλάτος ταλάντωσης ϑα είναι A = 0, 1m και η περίοδος T = m 1 + m π/5sec.4 Να ϐρεθεί η εξίσωση του ϱυθµού µεταβολής της ορµής του συστήµατος των δύο σωµάτων σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Να ϑεωρήσετε ϑετική την ϕορά προς τα δεξιά και t o = 0 την στιγµή µετά την κρούση. dp dt = ΣF = Dx = DA ηµ (ω t + φ o) Η κρούση γίνεται στην ΘΙΤ και η ταχύτητα είναι ϑετική την t = 0,άρα φ o = 0, οπότε προκύπτει ο Ϲητούµενος ϱυθµός σε συνάρτηση µε τον χρόνο : dp dt = ΣF = 10ηµ (5t) (S.I.).5 Να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή του συντελεστή στατικής τριβής ανάµεσα στα δύο σώµατα, ώστε να παραµένουν σε επαφή σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης τους. Το Σ ϑα εκτελεί ταλάντωση µε σταθερά επανα- ϕοράς D = m ω. Η στατική τριβή ϑα παίζει τον ϱόλο της δύναµης επαναφοράς. ΣF = D x T s = m ω x Για να µην ολισθαίνει σε σχέση µε το Σ 1 πρέπει : 10

11 k Ts k1 Σ1 T s µ s N µ s T s N µ s m ω A µ s(min) = 0, 5 m g Επιµέλεια : ρ. Μιχάλης Καραδηµητρίου, Φυσικός N 11