ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

Σχετικά έγγραφα
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Πλάτους

T b. x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) ... x 100 (t) x(t, φ) = A cos (2πf 0 t + φ) (6.3)

MAJ. MONTELOPOIHSH II

Στοχαστικές Ανελίξεις

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Πλάτους - 1

SOURCE. Transmitter. Channel Receiver

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson

Διαλείψεις & Χαρακτηρισμός Ασύρματου Διαύλου 2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2)

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

Στοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

h(t τ k ) X (t) = X (t) = (shot noise). 3/28 4/28

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

4 4 2 = 3 2 = = 1 2

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Πλάτους - 1

Εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1

Συστήματα Επικοινωνιών ΙI

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

X(t) = sin(2πf t) (1)

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Stationary Stochastic Processes Table of Formulas, 2017

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

ΕΑΠ/ΠΛΗ-22/ΑΘΗ.3 1 η τηλεδιάσκεψη 03/11/2013. επικαιροποιημένη έκδοση Ν.Δημητρίου

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Στο Κεφάλαιο 9 παρουσιάζεται μια εισαγωγή στις ψηφιακές ζωνοπερατές επικοινωνίες.

Δέκτες ΑΜ ΘΟΡΥΒΟΣ ΣΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ CW

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Stationary Stochastic Processes Table of Formulas, 2016

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Θεώρημα δειγματοληψίας

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε.

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Πλάτους - 2

E(X(t)) = 1 k + k sin(2π) + k cos(2π) = 1 k + k 0 + k 1 = 1

Probability and Random Processes (Part II)

Συστήματα Επικοινωνιών ΙI

9 ΠΕΔΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥ: ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Μετασχηματισμός Fourier 2-Διαστάσεων

x(n) h(n) = h(n) x(n)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

Στοχαστικό Σήμα. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις:

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Μορφοποίηση και ιαµόρφωση Σηµάτων Βασικής Ζώνης

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Ο μετασχηματισμός Fourier

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Εφαρμογή στις ψηφιακές επικοινωνίες

A 1 y 1 (t) + A 2 y 2 (t)

a n n! = ea e y2 2 y 0 10E(n A) = = 100 E(k) = n p = = 4.6

Γραμμικό και Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα σε καθοριστική και τυχαία πρόκληση (8.1.3)

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος

Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Διαμόρφωση Παλμών κατά Πλάτος

Δομή της παρουσίασης

y(t) = x(t) + e x(2 t)

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Transcript:

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής Ανέλιξης μέσω Γραμμικού Φίλτρου 5.8: Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr www.netmode.ntua.gr Τρίτη 2/5/2017, Παρασκευή 5/5/2017

5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes) (επανάληψη) Στοχαστική ή Τυχαία Διαδικασία - Ανέλιξη (Stochastic Process - SP ή Random Process) Τυχαίο πείραμα με Υλοποιήσεις (Δείγματα) s j Χρονικές Συναρτήσεις ή Χρονοσειρές (Time-Series), στοιχεία Δειγματικού Χώρου S Παραδείγματα: Επικοινωνιακά σήματα σε χρονικό διάστημα παρατήρησης [ T, T] του Δέκτη Τυχαίες παρεμβολές, Θόρυβος Ορισμός: Η Στοχαστική Ανέλιξη (SP) X(t) ορίζεται σαν ένα σύνολο χρονικών συναρτήσεων (κυματομορφών) που αντιστοιχούν σε τυχαίες υλοποιήσεις (δείγματα) ενός τυχαίου πειράματος Υλοποιήσεις (δείγματα) του SP {X t, s } X(t): s j X t, s j x j t, T t T Τιμές δειγμάτων s j κατά τη χρονική στιγμή t k : Τυχαίες Μεταβλητές (Random Variables, RV) X t k, s j x 1 t k, x 2 t k,, x n t k = {X t k, s 1, X t k, s 2,, X t k, s n }

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (1/6) Μέση Τιμή της X t τη χρονική στιγμή t (Ensemble Average): μ X t = E X t = xf X t x dx 1 st Order Stationarity (SP στατικό 1 ης τάξης): F X t1 x = F X t2 x (t 1, t 2 ) μ X t = μ X, t και γενικά η ροπή E X n t είναι ανεξάρτητη της χρονικής στιγμής t Αυτοσυσχέτιση (Autocorrelation): R X t 1, t 2 = E X t 1 X t 2 = x 1 x 2 f X t1,x t 2 x 1, x 2 dx 1 dx 2 2 nd Order Stationarity (SP στατικό 2 ης τάξης): F X t1,x t 2 x 1, x 2 = F X t1 +Δt,X t 2 +Δt x 1, x 2, (t 1, t 2, Δt) R X t 1, t 2 = R X t 2 t 1 = R X τ, τ = (t 2 t 1 ), (t 1, t 2 ) Αυτοδιασπορά (Autocovariance): C X t 1, t 2 = E (X t 1 μ X )(X t 2 μ X ) = R X t 2 t 1 μ X 2 Wide-sense Stationarity (Στατική Στοχαστική Ανέλιξη με την Ευρεία Έννοια): μ X t = μ X, t, R X t 1, t 2 = R X t 2 t 1 = R X τ, τ = (t 2 t 1 ), (t 1, t 2 ) Strict-sense Stationarity (Στατική Στοχαστική Ανέλιξη με τη Στενή Έννοια): F X t1,x t 2,,X t n x 1, x 2,, x n = F X t1 +Δt,X t 2 +Δt,,X t n +Δt x 1, x 2,, x n, n, t 1, t 2,, t n, Δt

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (2/6) Ιδιότητες Αυτοσυσχέτισης Wide-sense Stationary SP: R X τ = E X t + τ X t = E X(t)X t τ R X 0 = E X 2 t > 0 R X τ = R X τ (αρτιότητα της Αυτοσυσχέτισης) R X τ R X 0 (η μέγιστη τιμή της Αυτοσυσχέτισης προκύπτει για τ = 0) : 2 E X t + τ ± X t 0, E X 2 t + τ ± 2E X t + τ X t + E X 2 t = 2R X 0 ± 2R X τ 0 R X 0 ±R X τ Η Αυτοσυσχέτιση δίνει μια μετρική του βαθμού εξάρτησης των τιμών της X t σαν συνάρτηση της χρονικής τους απόστασης ή της επιρροής της X t στην X t + τ

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (3/6) Παράδειγμα: Ημιτονοειδές Σήμα Τυχαίας Φάσης X t = Acos(2πf c t + Θ) όπου A, f c σταθερές και Θ RV ομοιόμορφα κατανεμημένη στο ( π, π) R X τ = E X t + τ X t = E[A 2 cos (2πf c t + 2πf c τ + Θ)cos(2πf c t + Θ)] = A2 2 π π 1 2π = A2 2 E[A2 cos (4πf c t + 2πf c τ + 2Θ)]+ A2 2 cos 2πf cτ cos (4πf c t + 2πf c τ + 2θ)dθ + A2 cos 2πf 2 cτ = 0 + A2 cos 2πf 2 cτ R X τ = A2 cos 2πf 2 cτ cos x cos y = 1 [cos x y + cos x + y ] 2

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (4/6) Παράδειγμα: Τυχαίο Δυαδικό Σήμα Ψηφιακή Ακολουθία 0,1 οδηγεί Στοχαστική Ανέλιξη X t ορθογωνίων παλμών με τιμές ±A σε σταθερά διαστήματα T Τα 0,1 αντιστοιχούν σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με ίσες πιθανότητες 1 2 Οι μεταβάσεις ξεκινούν με τυχαία αρχική καθυστέρηση t d, ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ [0, T]: 1 f Td t d =, 0 t T d T 0, t d > T Εφόσον οι παλμοί παίρνουν τις τιμές ±A με ίσες πιθανότητες, E X t = A 2 A 2 = 0 Αν τ > T τότε οι X t, X t + τ μπορεί να ανήκουν σε διαφορετικούς ανεξάρτητους παλμούς ±A: R X t, t + τ = E X t X t + τ = E X t E[X t + τ ] = 0, τ > T Αν τ T τότε οι X t, X t + τ μπορεί να ανήκουν στην ίδιο παλμό και να δίνουν γινόμενο A 2 εφόσον t d < T τ, αλοιώς ανήκουν σε διαδοχικούς ανεξάρτητους παλμούς με γινόμενο 0: E X t X t + τ t d = A2, t d < T τ 0, t d T τ και R T τ X t, t + τ = A 2 f Td t d dt d = A 2 (1 τ ), τ T 0 T

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (5/6) Συναρτήσεις Αλληλοσυσχέτισης (Cross-correlation Functions) X t, R X t, u και Y t, R Y t, u : R XY t, u = E[X t Y t ] Αν οι X t, Y t στατικές με την ευρεία έννοια και συνδυαστικά (jointly) στατικές με την ευρεία έννοια: R XY t, u = R XY t u = R XY τ Ιδιότητα: R XY τ = R YX ( τ) (δεν ισχύουν κατανάγκη οι ιδιότητες αρτιότητας και μέγιστου για τ = 0) Παράδειγμα: Ορθογωνικά Διαμορφωμένες Ανελίξεις (Quadrature-Modulated Processes) σε Φέρουσα f c X 1 t = X t cos 2πf c t + Θ X 2 t = X t sin 2πf c t + Θ όπου Θ ομοιόμορφα κατανεμημένη RV στο (0,2π): f Θ θ = 1, 0 θ < 2π και ανεξάρτητη του X t Έχουμε R 1,2 τ = E X 1 t X 2 t τ = E[X t X t τ cos 2πf c t + Θ sin 2πf c t 2πf c τ + Θ ] και R 1,2 τ = 1 2 R X τ E sin 4πf c t 2πf c τ + 2Θ sin 2πf c τ 2π = 1 2 R X τ sin 4πf c t 2πf c τ + 2θ 1 2π dθ sin 2πf c τ 0 2π = 1 2 R X τ sin (2πf c τ) R 1,2 0 = E X 1 t X 2 t = 0 ή οι X 1 t και X 2 t είναι ορθογώνιες κατά την ίδια χρονική στιγμή t cos x sin y = 1 [sin x + y sin x y ] 2

5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance) (6/6) Εργοδικότητα ως προς την Μέση Τιμή (Mean-Ergodic Stochastic Process) Η τιμή της X t για την στιγμή t = t k αποτελεί τυχαία μεταβλητή X t k x i (t k ) με μέσο όρο μ X t k = E X t k που υπολογίζεται ως ensemble average των εμφανίσεων x i (t k ) της X t 1 n μετρούμενων στο χρόνο t k : E X t k = μ X t k = lim x n n i=1 i (t k ) Ανέλιξη στατική με την ευρεία έννοια είναι εργοδική ως προς την μέση τιμή (Mean-Ergodic) αν η μ X συγκλίνει με τον χρονικό μέσο (time average) μοναδικής εμφάνισης της X t : 1 E X t = μ X t = μ X = lim T 2T T T x t dt

5.7: Μετάδοση Στοχαστικής Ανέλιξης μέσω Γραμμικού Φίλτρου μ X t, R X t, u μ Y t, R Y t, u μ Y t = E Y t = E h τ X t τ dτ αν E X t < t Αν η X t είναι στατική με την ευρεία έννοια: = h τ E[X t τ ]dτ = h τ μ X t τ dτ μ Y t = μ X h τ dτ = μ X H(0) και R Y t, u = E Y t Y u = E h τ 1 X t τ 1 dτ 1 h τ 2 X u τ 2 dτ 2 h τ 1 h(τ 2 )E[X t τ 1 X u τ 2 ]dτ 1 dτ 2 = h τ 1 h τ 2 R X t τ 1, u τ 2 dτ 1 dτ 2 αν E X 2 t < t = Αν η X t είναι στατική με την ευρεία έννοια, τότε: R Y τ = h τ 1 h τ 2 R X τ τ 1 + τ 2 dτ 1 dτ 2 και η Y t είναι επίσης στατική με την ευρεία έννοια

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (1/7) Ορισμός Για Στοχαστική Ανέλιξη X(t) Wide-Sense Stationary (WSS) με Μέσο Όρο μ X και Αυτοσυσχέτιση R X (τ) ορίζεται η σχέση Wiener-Khinchin σαν το ζεύγος μετασχηματισμών Fourier: Αυτοσυσχέτιση (Autocorrelation) R X (τ) S X f Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) Ιδιότητες: S X f = R X τ exp j2πfτ dτ, R X τ = S X f exp j2πfτ df S X 0 = R X τ dτ, εμβαδόν κάτω από την R X τ E[X 2 t ] = R X 0 = S X f df, εμβαδόν κάτω από την S X f (μέση στιγμιαία ισχύς στοχαστικού σήματος) S X f = S X f R X τ άρτια πραγματική συνάρτηση R X τ = R X τ S X f = S X f και από τον τύπο του Euler exp jx = cos (x) + jsin(x) S X f = R X τ cos (2πfτ) dτ, R X τ = S X f cos (2πfτ)df S X f 0 f : H S X f είναι η κατανομή ανά συχνότητα f της στιγμιαίας ισχύος E[X 2 t ] στοχαστικού σήματος X t και άρα μη αρνητική (δείτε περισσότερα στη 18 η διαφάνεια)

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (2/7) Παράδειγμα: Ημιτονοειδές Σήμα Τυχαίας Φάσης (συνέχεια) X t = Acos(2πf c t + Θ) όπου A, f c σταθερές και Θ RV ομοιόμορφα κατανεμημένη στο ( π, π) R X τ = E X t + τ X t = A2 2 cos 2πf cτ και S X f = A2 4 [δ f f c + δ f + f c S X f df = A2 2 = R X(0)

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (3/7) Παράδειγμα: Τυχαίο Δυαδικό Σήμα (συνέχεια) Ψηφιακή Ακολουθία 0,1 οδηγεί Στοχαστική Ανέλιξη X t παλμών με τιμές ±A σε σταθερά διαστήματα T Τα 0,1 αντιστοιχούν σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με ίσες πιθανότητες 1 2 Οι μεταβάσεις ξεκινούν με τυχαία αρχική καθυστέρηση t d, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0, T]: 1 f Td t d =, 0 t T d T 0, t d > T E X t X t + τ t d = A2, t d < T τ 0, t d T τ και R T τ X t, t + τ = A 2 f Td t d dt d = A 2 (1 τ ), τ T 0 T T R X (τ) S X f = A 2 τ (1 T )exp j2πfτ dτ = A2 Tsinc 2 (ft) T S X f df = A 2 = R X (0) Η ενέργεια ορθογώνιου παλμού E = A 2 T/2 T = g t 2 dt = G f 2 df T/2 (Θεώρημα Rayleigh) : g t = A, T 2 t T 2 0, t > T 2 G f = ATsinc(fT) κατανέμεται στο χρόνο σύμφωνα με την στιγμιαία ισχύ g t 2 = A 2, T t T, και σε συχνότητες 2 2 σύμφωνα με την Energy Spectral Density ε g (f) = G f 2 = A 2 T 2 sinc 2 (ft) Power Spectral Density ακολουθίας παλμών: S X f = A 2 Tsinc 2 ft = ε g(f) Energy Spectral Density Παλμού = T Διάρκεια Παλμού

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (4/7) Παράδειγμα: Μείξη (Πολλαπλασιασμός) Στοχαστικής Ανέλιξης με Ανεξάρτητη Ημιτονοειδή Ανέλιξη Y t = X t cos 2πf c t + Θ όπου X t WSS και Θ ανεξάρτητη RV ομοιόμορφα κατανεμημένη στο (0,2π) R Y τ = E Y t + τ Y t = E X t + τ X t E cos 2πf c t + 2πf c τ + Θ cos 2πf c t + Θ = 1 2 R X τ E cos 2πf c t) + cos(4πf c t + 2πf c τ + 2Θ = 1 2 R X τ cos (2πf c τ) S Y f = 1 4 [S X f f c + S X f + f c ] cos x cos y = 1 [cos x y + cos x + y ] 2

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (5/7) Σχέση Εισόδου Εξόδου Power Spectral Densities σε Γραμμικά Σταθερά Φίλτρα S Y f = R Y τ exp j2πfτ dτ = h τ 1 h τ 2 R X τ τ 1 + τ 2 exp j2πfτ dτ 1 dτ 2 dτ Με τ 0 = τ τ 1 + τ 2 έχω S Y f = h τ 1 h τ 2 R X τ 0 exp[ j2πf(τ 0 + τ 1 τ 2 )]dτ 0 dτ 2 dτ 1 και E[Y 2 t ] = R Y 0 = H f 2 S X f df S Y f = H f H f S X f = H f 2 S X f μέση στιγμιαία ισχύς στοχαστικού σήματος Y t μ X, R X τ S X f h t, H f μ Y = μ X H(0), R Y τ S Y f = H f 2 S X f

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (6/7) Εντοπισμός Φάσματος Ισχύος Ανέλιξης WSS σε Συχνότητα f 0 Το X t περνάει από Band-Pass Filter ενέργειας h τ 2 dτ = H f 2 df = 1 2 2B + 2B = 1 2 B X t Y t, S Y f = 1 4B S X f για f 0 B f f 0 + B και S Y f = 0 για κάθε άλλη τιμή της f Για B πολύ μικρό απομονώνουμε την στιγμιαία ισχύ S Y f 0 = S X f 0 στη συχνότητα f 0 : E[Y 2 t ] = R Y 0 = H f 2 S X f df S X f 0 0 για αυθαίρετη συχνότητα f 0 (απόδειξη ιδιότητας μη αρνητικής τιμής της Πυκνότητας Φάσματος Ισχύος, από την 10 η διαφάνεια) 1 2 B μ X, R X τ S X f h t, H f μ Y = μ X H(0), R Y τ S Y f = H f 2 S X f

5.8 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Density) (7/7) Παράδειγμα: Περιοδικό Φίλτρο Κτένι (Comb Filter) Αποτελείται από γραμμή καθυστέρησης (delay line) και διάταξη αθροιστή (summing device): H f = 1 exp 2jπfT = 1 cos 2πfT + jsin(2πft) H f 2 = 2 1 cos 2πfT = 4 sin 2 (πft) S Y f = H f 2 S X f = 4 sin 2 πft S X f 4π 2 f 2 T 2 S X f για f 1/T