A 1 y 1 (t) + A 2 y 2 (t)

Transcript

1 5. ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΑΙ XΡONIKA AMETABΛHTO ΣΥΣΤΗΜΑ 5.. Γενικά περί γραμμικών και χρονικά αμετάβλητων συστημάτων 5... Ορισμός Γραμμικό είναι ένα σύστημα το οποίο, όταν στην είσοδό του εμφανιστεί ένα σήμα Α x (t) + Α x (t), η απόκρισή του (δηλαδή το σήμα εξόδου του) είναι το σήμα Α y (t) + Α y (t) όπου y (t), y (t) οι αποκρίσεις του συστήματος στα μεμονωμένα σήματα x (t) και x (t). A x (t) + A x (t) Γραμμικό σύστημα A y (t) + A y (t) Χρονικά αμετάβλητο είναι ένα σύστημα του οποίου η συμπεριφορά δεν μεταβάλλεται από το χρόνο. Σε ένα τέτοιο σύστημα, αν y(t) είναι η απόκριση σε σήμα εισόδου x(t), η απόκριση στο χρονικά μετατοπισμένο σήμα x(tt o ) είναι το σήμα y(tt o ). Βασική (και πολύ χρήσιμη) ιδιότητα των γραμμικών και χρονικά αμετάβλητων συστημάτων είναι ότι η απόκρισή τους σε ημιτονοειδές σήμα εισόδου είναι, επίσης, ημιτονοειδές σήμα και μάλιστα της ίδιας συχνότητας. Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκτελέσει πρόσθεση και αφαίρεση σημάτων, πολλαπλασιασμό σήματος επί σταθερά, παραγώγιση και ολοκλήρωση Απόκριση γραμμικού και χρονικά αμετάβλητου συστήματος Γενικά Η απόκριση ενός γραμμικού και χρονικά αμετάβλήτου συστήματος προσδιορίζεται για συγκεκριμένα σήματα εισόδου. Έτσι: Αν το σήμα εισόδου είναι ο κρουστικός παλμός δ(t), η απόκριση χαρακτηρίζεται ως «κρουστική». Αν το σήμα εισόδου είναι το βηματικό σήμα u(t), η απόκριση χαρακτηρίζεται ως «βηματική». Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.

2 Αν το σήμα εισόδου είναι το παλμικό σήμα p(t), η απόκριση χαρακτηρίζεται ως «παλμική». Αν το σήμα εισόδου είναι το ημιτονοειδές σήμα c(t), η απόκριση χαρακτηρίζεται ως «αρμονική». Κρουστική απόκριση συνάρτηση μεταφοράς Έστω h(t) η απόκριση (σήμα εξόδου) του συστήματος όταν στην είσοδό του εφαρμοστεί ό κρουστικός παλμός δ(t). Η h(t) ονομάζεται «κρουστική απόκριση» του συστήματος. «κρουστική» είσοδος δ(t) h(t) «κρουστική» απόκριση Η κρουστική απόκριση h(t) ενός συστήματος μπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος «απόκρισης αναφοράς», υπό την έννοια ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της απόκρισης y(t) του συστήματος για οποιοδήποτε σήμα εισόδου x(t). Πράγματι, μπορεί να αποδειχθεί ότι y(t) = h(t τ).x(τ).dτ = h(t)x(t) (5.) δηλαδή η απόκριση y(t) δίνεται από τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h(t) και του σήματος εισόδου x(t). x(t) h(t) y(t) = h(t)x(t) Πεδίο t Ο μετασχηματισμός Fourier Η(f) της κρουστικής απόκρισης h(t) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) του συστήματος. Με βάση τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier, προκύπτει ότι Η(f) = h(t).e j.πf.t. (5.) Οι όροι «κρουστική», «βηματική», «παλμική» και «αρμονική» συνιστούν χαρακτηρισμό με βάση το σήμα εισόδου (δ(t), u(t), p(t) και c(t), αντίστοιχα). Εξυπακούεται ότι τα σήματα εισόδου δεν είναι, κατ ανάγκη, «κρουστικά», «βηματικά», «παλμικά» ή «αρμονικά». Η σχέση (5.) προκύπτει με βάση τον εξής συλλογισμό. To συνεχές σήμα x(t) μπορεί να προσεγγιστεί από ένα κλιμακωτό σήμα στο οποίο η εκάστοτε τιμή x(τ) διαρκεί για πολύ μικρό (απειροστό) χρονικό διάστημα dτ. Αυτό σημαίνει ότι τη χρονική στιγμή τ, η είσοδος του συστήματος είναι η x(τ)dτ.δ(tτ), άρα η απόκριση του συστήματος (λόγω της γραμμικότητας και της χρονικής του αμεταβλητότητας) είναι η x(τ)dτ.h(tτ). Ολοκληρώνοντας (ώστε να συμπεριληφθεί ολόκληρη η διάρκεια του σήματος x(t)) προκύπτει η σχέση (5.). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.

3 και, αντίστροφα, ότι h(t) = H(f).e j.πf.t. (5.3) Κάνοντας χρήση της εξίσωσης (.33) (μετασχηματισμός Fourier συνέλιξης σημάτων), προκύπτει ότι Y(f) = H(f).X(f) (5.4) δηλαδή προκύπτει ότι, στο πεδίο της συχνότητας, η απόκριση ενός συστήματος είναι απλώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς του και του σήματος εισόδου. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα ακόμη επιχείρημα υπέρ της χρήσης του πεδίου συχνότητας για τη μελέτη των γραμμικών συστημάτων. X(f) H(f) Y(f) = Η(f).X(f) Πεδίο f Δεδομένου ότι η φασματική πυκνότητα ενέργειας και η φασματική πυκνότητα ισχύος ενός σήματος m(t) δίνονται (αντίστοιχα) από τις σχέσεις G E (f) = M(f) και G P (f) = M(f), αποδεικνύεται εύκολα ότι, αν G E,x (f), G E,y (f) oι φασματικές πυκνότητες T ενέργειας και G P,x (f), G P,y (f) οι φασματικές πυκνότητες ισχύος (για τα σήματα εισόδου x(t) και εξόδου y(t)), τότε G E,y (f) = Η(f) G E,x (f) (5.5) G P,y (f) = Η(f) G P,x (f) (5.6) 3 Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι η συμπεριφορά ενός γραμμικού συστήματος μπορεί γενικά να προσδιοριστεί με δύο ισοδύναμους τρόπους: Στο πεδίο του χρόνου t, μέσω της κρουστικής του απόκρισης h(t). Στο πεδίο της συχνότητας f, μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Η(f). Σημειώνεται ότι η Η(f) είναι γενικά μιγαδική συνάρτηση, επομένως για την πλήρη γραφική αναπαράστασή της απαιτούνται δύο γραφικές παραστάσεις, του μέτρου H(f) (άρτια συνάρτηση) και της φάσης φ(f) (περιττή συνάρτηση). Συνήθως δίνεται μόνον η παράσταση της H(f). Απόκριση σε ημιτονοειδές σήμα εισόδου 3 To αν θα ισχύσει η (5.5) ή η (5.6) εξαρτάται από το αν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι σήματα ενέργειας ή σήματα ισχύος. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.3

4 Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής Ν ν0 ν Κ κ d y(t) d x(t) b ν ν a κ (5.7) κ κ0 όπου x(t), y(t) τα σήματα εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Θεωρώντας ότι το σήμα εισόδου x(t) είναι ένα ημιτονοειδές σήμα που, στην εκθετική του μορφή, γράφεται ως x(t) = A x e jπf ο t κ d x(t) (jπf κ ο ) κ A x e jπf ο t (5.8) και ότι, λόγω της γραμμικότητας, το σήμα εξόδου y(t) είναι και αυτό ημιτονοειδές της ίδιας συχνότητας, τότε y(t) = A y e jπf ο t ν d y(t) (jπf ν ο ) ν A y e jπf ο t (5.9) οπότε, με αντικατάσταση στην (5.7), προκύπτει ότι A y e jπf ο t = άρα A y = Κ κ0 Ν ν0 a b Κ κ0 Ν ν0 κ ν a b κ ν (jπf (jπf (jπf (jπf o o ) ) κ ν o o ) ) κ ν A x e jπf ο t A x = Η(f o )A x (5.0) Aπό τη σχέση (5.0) προκύπτει ότι αν στην είσοδο του συστήματος εφαρμοστεί περιοδικό σήμα x(t) = Σ (,) X n.e j.π.nf o.t, τότε στην έξοδο του συστήματος εμμφανίζεται ένα επίσης περιοδικό σήμα y(t) = Σ (,) Y n.e j.π.nf o.t και, μάλιστα, Y n = Η(f n ).X n y(t) = Σ (,) Η(f n ).X n.e j.π.nf o.t (5.) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.4

5 5.. Φίλτρα 5... Ορισμός Τα φίλτρα είναι γραμμικά συστήματα τα οποία επιτρέπουν τη διέλευση συγκεκριμένης ζώνης συχνοτήτων ενώ αποκόπτουν (στην πραγματικότητα εξασθενούν ισχυρά) τις υπόλοιπες. Ένα φίλτρο χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς του H(f) Σημαντικοί τύποι φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό (low-pass) φίλτρο Το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση συχνοτήτων που είναι χαμηλότερες από μια χαρακτηριστική συχνότητα (συχνότητα αποκοπής) B. H συνάρτηση μεταφοράς Η(f) ενός τέτοιου φίλτρου δίνεται από τη σχέση Η(f) = (B < f < B) και Η(f) = 0 (αλλού) (5.) Η(f) B 0 B f Η κρουστική απόκριση του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου προκύπτει με εφαρμογή της (5.3) (και της ιδιότητας της φασματικής αναπαράστασης ενότητα 3.3.3) και μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι η Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.5

6 sin(πbt) h(t) = B. πbt (5.3) 4 δ(t) h(t) B Φίλτρο 0 t /B 0 /B Η φυσική σημασία της (5.8) είναι η ακόλουθη: Εάν το φίλτρο είχε άπειρο εύρος ζώνης, τότε η έξοδος h(t) θα ήταν «πιστό αντίγραφο» της εισόδου δ(t). Όμως, επειδή το φίλτρο έχει πεπερασμένο εύρος ζώνης Β, αδυνατεί να παρακολουθήσει τις απότομες μεταβολές του κρουστικού παλμού εισόδου δ(t), οπότε στην έξοδό του εμφανίζεται ένα σήμα h(t) με «ομαλότερη» μεταβολή. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου σε βηματική είσοδο της μορφής x(t) = Α.u(t) δίνεται από τον τύπο y(t) = Α.(e t/rc ) (5.4) όπου η «προοδευτική» αύξηση του y(t) (αντιπαραβαλλόμενη με την απότομη μετάβαση, από την τιμή 0 στην τιμή Α, του x(t)) είναι συνέπεια του πεπερασμένου εύρους του φίλτρου και της αδυναμίας του να «παρακολουθήσει» τις απότομες μεταβολές (δηλαδή τις μεταβολές υψηλής συχνότητας) που υφίσταται τα σήματα εισόδου του. y(t)= Α.u(t) Α 0 t X(f) R Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η(f) C Y(f) y(t) Α 0 t Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο H συνάρτηση μεταφοράς Η(f) ενός τέτοιου φίλτρου δίνεται από τη σχέση 4 Επισημαίνεται ότι η κρουστική απόκριση h(t), έτσι όπως δίνεται από τη σχέση (5.3), υπονοεί ότι, αν και το σήμα εισόδου δ(t) εφαρμόζεται τη χρονική στγμή t=0, το σήμα εξόδου h(t) υφίσταται και για t<0 (πριν δηλαδή την εφαρμογή του σήματος εισόδου δ(t)). Προφανώς, αυτό είναι αδύνατο, γεγονός που υποδηλώνει και την αδυναμία υλοποίησης του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.6

7 H(f) = (5.5) f j B Ισχύει ότι: H(f) = f B (5.6) H max (f) = H(0) = (5.7) H(B) = 0,7 (5.8) Η σχέση (5.8) δηλώνει ότι ως εύρος ζώνης Β του βαθυπερατού φίλτρου, μπορεί να θεωρηθεί η συχνότητα Β κατά την οποία η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου μειώνεται στο / 70% της μέγιστης τιμής της. Για συχνότητες f > B, το φίλτρο θεωρείται ότι εισάγει μη αποδεκτή απόσβεση στα διερχόμενα σήματα (πρακτικά τα «αποκόπτει»). Υπό την έννοια αυτή, για το βαθυπερατό φίλτρο, το εύρος ζώνης Β του σήματος ταυτίζεται με τη συχνότητα αποκοπής. Η(f) / -B B f Το «πραγματικό» βαθυπερατό φίλτρο που περιγράφηκε παραπάνω μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση μιας ευρύτερης «οικογένειας» φίλτρων που ονομάζονται φίλτρα Butterworth. Τα φίλτρα αυτά έχουν συνάρτηση μεταφοράς της μορφής H(f) = f ( j B n ) (5.9) της οποίας το μέτρο ισούται με H(f) = f ( B n ) (5.0) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.7

8 όπου Β η συχνότητα αποκοπής. Η παράμετρος n αποτελεί την τάξη του φίλτρου και, όσο μεγαλύτερη είναι τόσο η συνάρτηση μεταφοράς προσεγγίζει αυτήν του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου (για n, προκύπτει η ιδανική συνάρτηση μεταφοράς (5.)). Το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο αποτελεί, ουσιαστικά, «οριακή κατάσταση» του πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου. Παράδειγμα πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου Στο κύκλωμα του σχήματος, αν Z C = /πf.c η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή, με εφαρμογή διαίρεσης τάσης προκύπτει οπότε Z Y(f) = X(f). Z Y(f) H(f) = = X(f) C C R =... = X(f). j.f.πrc j.f.πrc ( 5 ) Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με την εξίσωση (5.5) προκύπτει ότι Β = πrc R X(f) Y(f) C Εργαστηριακός υπολογισμός συχνότητας αποκοπής (εύρους ζώνης) Β βαθυπερατού φίλτρου ος τρόπος Η είσοδος και η έξοδος του φίλτρου διασυνδέονται σε παλμογράφο. Στην είσοδο του φίλτρου, εφαρμόζεται ημιτονειδές σήμα x(t) = A x cos(π.ft) = t A x cos(π. ). Δεδομένου ότι το φίλτρο είναι παθητικό, το σήμα εξόδου είναι T 5 Η μορφή της συγκεκριμένης συνάρτησης μεταφοράς είναι χαρακτηριστική των φίλτρων ου βαθμού (ο παρονομαστής είναι πολυώνυμο ου βαθμού). Φίλτρα με περισσότερο «απότομες» χαρακτηριστικές (που προσομοιάζουν καλύτερα στο ιδανικό φίλτρο) έχουν συναρτήσεις μεταφοράς με παρονομαστή υψηλότερου βαθμού βλ. εξίσωση (5.0). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.8

9 ημιτονοειδές ίδιας συχνότητας (και περιόδου) και διαφέρει από το σήμα εισόδου t μόνον ως προς το πλάτος. Συνεπώς, y(t) = A y cos(π.ft) = A y cos(π. ) T Η περίοδος Τ του σήματος εισόδου μειώνεται προοδευτικά από το χρήστη (το πλάτος Α x παραμένει αμετάβλητο). Για κάθε τιμή της περιόδου Τ, καταγράφεται το πλάτος A y του σήματος εξόδου. Αν Τ c η τιμή της περιόδου για την οποία Α y Ax 0,707.A x, τότε Β ος τρόπος Στο φίλτρο, εφαρμόζεται βηματική είσοδος (της μορφής x(t) = Α.u(t)). Στην απόκριση y(t) του φίλτρου, μετριέται ο χρόνος ανόδου (rise time) τ r (ορίζεται ως το χρονικό διάστημα ώστε το σήμα εξόδου y(t) να αυξηθεί από το 0% στο 90% της τιμής του). Ισχύει η παρακάτω προσεγγιστική σχέση: 0,35 Β τ r. T c (5.) Ιδανικό ζωνοπερατό (band-pass) φίλτρο H συνάρτηση μεταφοράς Η(f) ενός τέτοιου φίλτρου δίνεται από τη σχέση Η(f) = ( f L < f < f H ) και Η(f) = 0 (αλλού) (5.) A H(f) f H f L f L f H Πραγματικό ζωνοπερατό φίλτρο Το ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο αποτελεί «οριακή κατάσταση» του πραγματικού ζωνοπερατού φίλτρου. Η συνάρτηση μεταφοράς H(f) του τελευταίου φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. H(f) A Α/ f H f L f L f H Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.9

10 5.3. Άλλα γραμμικά κυκλώματα Διαφοριστής (differentiator) dx(t) Πεδίο χρόνου: y(t) = K (5.3) Πεδίο συχνότητας: Y(f) = K(j.πf).X(f) (5.4) (βλ. εξίσωση 3.3) Y(f) H(f) = = K(j.πf) (5.5) X(f) Ολοκληρωτής (integrator) Πεδίο χρόνου: y(t) = K x(t). (5.6) Πεδίο συχνότητας: K Y(f) = X(f) (5.7) jπf (βλ. εξίσωση 3.33) Y(f) K H(f) = = X(f) jπf (5.8) 5.4. Συστήματα που δεν εισάγουν παραμόρφωση Ένα σύστημα που δεν εισάγει παραμόρφωση, απλώς πολλαπλασιάζει το σήμα εισόδου επί μια σταθερά και το μετατοπίζει χρονικά. Ισχύει δηλαδή ότι y(t) = K.x(t t o ) (5.9) Με χρήση των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Fourier, προκύπτει ότι Y(f) = K.X(f).e jπ f t o (5.30) Συνεπώς η συνάρτηση μεταφοράς ενός τέτοιου συστήματος δίνεται από τον τύπο Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.0

11 Y(f) H(f) = = Ke jπ f t o (5.3) X(f) Η εξίσωση (5.3) δηλώνει ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος που δεν εισάγει παραμόρφωση έχει σταθερό μέτρο H(f) = K (για όλες τις συχνότητες) και φάση φ(f) = π.f.t o που είναι γραμμική συνάρτηση της συχνότητας f. Με βάση τα παραπάνω, ένα ιδανικό βαθυπερατό, υψιπερατό ή ζωνοπερατό φίλτρο δεν εισάγει παραμόρφωση όταν ολόκληρο το εύρος ζώνης του προς επεξεργασία σήματος είναι εντός της ζώνης διέλευσης του φίλτρου Οι τηλεπικοινωνιακές ζεύξεις ως ζωνοπερατά συστήματα Κάθε τηλεπικοινωνιακή ζεύξη επιτρέπει τη διέλευση μιας συγκεκριμένης ζώνης συχνοτήτων. Υπό την έννοια αυτή, οι ζεύξεις συμπεριφέρονται ως (πραγματικά) ζωνοπερατά φίλτρα και χαρακτηρίζονται από ένα εύρος ζώνης λειτουργίας Β = f Η f L (5.3) όπου f L, f H η χαμηλή και υψηλή συχνότητα αποκοπής. Η ιδιότητα αυτή των τηλεπικοινωνιακών ζεύξεων υποδηλώνει απλώς την αδυναμία τους να «παρακολουθούν» τις πολύ αργές και τις πολύ γρήγορες μεταβολές των μεταδιδόμενων σημάτων. Η αδυναμία αυτή εκδηλώνεται με την εισαγωγή απόσβεσης στις χαμηλότερες και τις υψηλότερες αρμονικές των σημάτων, γεγονός που οδηγεί στην παραμόρφωση των σημάτων καθώς αυτά μεταδίδονται μέσω της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης. x(t) πομπός μέσο δέκτης y(t) H(f) H(f) A Α/ -f H -f L f L f H Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.

12 5.5. Ασκήσεις Άσκηση Να εξεταστεί αν τα συστήματα που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις είναι γραμμικά ή/και χρονικά αμετάβλητα. dx(t) (α) y(t) = x(t) + (β) y(t) = x (t) (γ) y(t) = t.x(t) Λύση (α) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είναι ίση με d[a x(t) A x (t)] [A x (t) + A x (t)] + = dx(t) dx (t) [A x (t) + A ] + [A x (t) + A ] = A y (t) + A y (t) Άρα το σύστημα είναι γραμμικό. Το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο γιατί αν, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είναι το y(tτ) (β) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είναι ίση με [A x (t) + A x (t)] = A x (t) + A x (t) + A A x (t)x (t) A y (t) + A y (t) (αφού y (t) = x (t) και y (t) = x (t)) Άρα το σύστημα δεν είναι γραμμικό. Το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο γιατί αν, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είναι το y(tτ) (γ) Θεωρώ ως είσοδο το σήμα A x (t) + A x (t). Τότε, η έξοδος είναι ίση με t.[a x (t) + A x (t)] = A.tx (t) + A.tx (t)= A y (t) + A y (t) Άρα το σύστημα είναι γραμμικό. Το σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο γιατί αν, στο σήμα εισόδου x(t), τεθεί t tτ, τότε το σήμα εξόδου είναι το t.x(tτ) y(tτ) (αφού y(tτ) = (tτ).x(tτ)) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.

13 Άσκηση Ένα γραμμικό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς την H(f) = τ.sa(πfτ).e jπfτ. Να υπολογιστεί η απόκρισή του σε είσοδο δ(t). Λύση x(t) = δ(t) Μ i (f) = Δ(f) = Συνεπώς Y(f) = H(f).X(f) = τ.sa(πfτ).e jπfτ = P(f).e jπfτ y(t) = p(tτ) όπου έγινε χρήση της ιδιότητας 4 του μετασχηματισμού Fourier. y(t) τ/ 3τ/ t Άσκηση 3 Τόσο η κρουστική απόκριση h(t) όσο και η είσοδος x(t) ενός συστήματος έχουν τη μορφή ορθογωνικού παλμού ύψους Α= V και διάρκειας τ (από τ/ έως +τ/). Να αποδειχθεί ότι η έξοδός του είναι της μορφής y(t) = τ t ( t τ) y(t) = 0 ( t > τ) Λύση y(t) = h(t)x(t) = h(τ).x(tτ).dτ Στα δύο σήματα παρουσιάζεται επικάλυψη μόνον για τ t τ: Συνεπώς: Για t < τ και t > τ: y(t) = 0 Για τ t τ: To εμβαδόν της επικάλυψης είναι μηδενικό για t = τ, αυξάνεται για τ t 0, μεγιστοποιείται για t = 0 (τότε ισούται με Ατ =.τ = τ) και μειώνεται για 0 t τ μέχρι που μηδενίζεται για t = τ. Συνεπώς γ(t) = τ+t (τ t 0) και γ(t) = τt (0 t τ) ή, σε συνεπτυγμένη μορφή, γ(t) = τ t (τ t τ) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.3

14 Άσκηση 4 Η φασματική πυκνότητα ενέργειας ενός σήματος X(t) δίνεται από τον τύπο G x (f) = 60 f (J/Hz) ενώ το σήμα καταλαμβάνει το φάσμα 0 0 khz. (α) Να υπολογιστεί η ενέργεια Ε του σήματος x(t). (β) Το σήμα διέρχεται από γραμμικό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 0 6 Η(f) =.e jπfτ (τ χρονική σταθερά) το οποίο λειτουργεί στις συχνότητες f 0 5 khz. Να υπολογιστεί η ενέργεια Ε ο του σήματος εξόδου. Απαντήσεις (α) Ε = [0-0 khz] G x (f) df = [0-0 khz] 60 f df = 0 f kHz = 8 Joule (β) G o (f) = H(f) 0 6 G x (f) =.e jπfτ 60 f 0 = 60 f = 6 (J/Hz) f f Ε o = [0-5 khz] 6df = f = 60 4 Joule 0 5kHz 5.6. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Αράκυνθος, 007: Ενότητες.5,.9.7. Κωττής Π., Διαμόρφωση και Μετάδοση Σημάτων, Εκδ. Τζιόλα 003: Κεφάλαιο. Taub H., Schilling D. L., Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα, Εκδ. Τζιόλα 997: Κεφάλαιο. Haykin S., Συστήματα Επικοινωνίας, Εκδ. Παπασωτηρίου 995: Κεφάλαιο. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 5.4