Στοχαστικές Ανελίξεις

Transcript

1 Ντετερμινιστικά Σήματα - Τυχαία Σήματα Ταξινόμηση των σημάτων ανάλογα με τη βεβαιότητα όσο αφορά την τιμή τους κάθε χρονική στιγμή. Τα ντετερμινιστικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν σαν πλήρως καθορισμένες συναρτήσεις του χρόνου. Ένα τυχαίο σήμα μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει σε μια συλλογή ή σύνολο σημάτων, όπου κάθε σήμα του συνόλου είναι διαφορετικό. Γ. Αθανασιάδου Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα, το λαμβανόμενο σήμα συνήθως αποτελείται από: μια συνιστώσα σήματος πληροφορίας (ormato-bearg sgal μια συνιστώσα τυχαίας παρεμβολής (tererece και από θόρυβο (ose. Μια σημαντική πηγή θορύβου είναι ο θερμικός θόρυβος (thermal ose που προκαλείται από την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων στους αγωγούς και στις διατάξεις στην είσοδο του δέκτη. Ο θόρυβος είναι ένα τυχαίο σήμα. Η περιγραφή ενός τυχαίου σήματος γίνεται χρησιμοποιώντας τις στατιστικές του ιδιότητες, όπως είναι η μέση ισχύς του τυχαίου σήματος ή η φασματική κατανομή αυτής της μέσης τιμής της ισχύος. Θεωρία Πιθανοτήτων 3 Τα τυχαία σήματα στις τηλεπικοινωνίες έχουν δύο ιδιότητες: / Τα σήματα είναι χρονικές συναρτήσεις που ορίζονται σε κάποιο διάστημα παρατήρησης. / Τα σήματα είναι τυχαία με την έννοια ότι πριν τη διενέργεια ενός πειράματος δεν είναι δυνατό να περιγράψουμε ακριβώς τις κυματομορφές που θα παρατηρηθούν. Ορίζουμε μια στοχαστική ανέλιξη σαν ένα σύνολο χρονικών συναρτήσεων μαζί με έναν πιθανοτικό κανόνα που αποδίδει μία πιθανότητα σε κάθε σημαντικό γεγονός συνδεόμενο με την παρατήρηση μίας από αυτές τις συναρτήσεις. Ένα σύνολο από συναρτήσεις δείγματα: Συνεπώς κάθε δείγμα στο χώρο δειγμάτων είναι μια χρονική συνάρτηση. Έστω στοχαστική ανέλιξη Χ(t που παριστάνεται από το σύνολο των συναρτήσεων δειγμάτων (sample uctos {x j (t}, j,,.,. Ο χώρος δειγμάτων ή το σύνολο που περιλαμβάνει τις χρονικές συναρτήσεις ονομάζεται τυχαία διαδικασία ή στοχαστική ανέλιξη (radom or stochastc process. 4 Η συνάρτηση δείγμα ή κυματομορφή x j (t με πιθανότητα εμφάνησης P(s j, αντιστοιχεί στο δείγμα s j του χώρου δειγμάτων. 5 6

2 Σε κάποια χρονική στιγμή tt, κάθε δείγμα s j του χώρου δειγμάτων έχει συνδεδεμένο με αυτό έναν αριθμό x j (t και μια πιθανότητα P(s j. Το προκύπτον σύνολο αριθμών (t {x j (t } αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή (radom varable. Η διαφορά μεταξύ μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας στοχαστικής ανέλιξης είναι ότι: για μια τυχαία μεταβλητή η έκβαση ενός πειράματος απεικονίζεται με έναν αριθμό, ενώ για μια στοχαστική ανέλιξη η έκβαση απεικονίζεται με μια κυματομορφή που είναι χρονική συνάρτηση. 7 F (t (x συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής (t. Από κοινού συνάρτηση κατανομής (jot dsrtbuto ucto: F (t,(t, (t (x,x,...,x ή αλλιώς F (t (x P((t x,(t x,, (t x Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τυχαίου διανύσματος (t: r r x x... x ( ( x F ( ( x r r r t t (μη αρνητική, με συνολικό όγκο ένα r 8 Παράδειγμα: Εύρεση της πιθανότητας να λάβουμε μια συνάρ-τηση δείγμα ή κυματομορφή x(t της στοχαστικής ανέλιξης Χ(t που διέρχεται από ένα σύνολο παραθύρων. Θέλουμε δηλαδή να βρούμε την πιθανότητα του συνδυασμένου γεγονότος: P { a < ( t b },,,..., b b (... r ( ( x r t a a b 3 a 3 r dx dx... dx 9 - Στατικότητα Η στοχαστική ανέλιξη (t είναι αυστηρά στατική (strctly statoary ή στατική με την στενή έννοια (statoary the strct sese αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παραμένει αμετάβλητη σε μετατοπίσεις της αρχής του χρόνου, δηλαδή αν ισχύει η ισότητα: (t (x (t+ (x για κάθε πεπερασμένο σύνολο χρονικών στιγμών {t j }, j,,, για κάθε χρονική μετατόπιση Τ και διάνυσμα x. μη στατικές (ostatoary στοχαστικές ανελίξεις. Παράδειγμα: Απεικόνιση της έννοιας της στατικότητας Έστω σ.α. Χ(t αυστηρά στατική. Μια επίπτωση της στατικότητας είναι ότι η πιθανότητα ένα σύνολο συναρτήσεων δειγμάτων αυτής της διαδικασίας να διέρχεται μέσα από τα παράθυρα του πάνω σχήματος είναι ίση με την πιθανότητα ένα σύνολο συναρτήσεων δειγμάτων να διέρχεται μέσα από τα αντίστοιχα χρονικά μετατοπισμένα παράθυρα του κάτω σχήματος. Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις δεν είναι δυνατό να καθορίσουμε τη συνάρτηση κατανομής μιας στοχαστικής ανέλιξης και περιοριζόμαστε σε μια μερική περιγραφή (partal descrpto της κατανομής, χρησιμοποιώντας τη μέση τιμή, τις συναρτήσεις συσχέτισης και συμμεταβλητότητας. Μέση τιμή: m ( t E[ ( t ] m ( t x ( ( x dx t

3 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelato ucto της στοχαστικής ανέλιξης (t, συναρτήσει δύο χρονικών μεταβλητών t και t : ( t, t E[ ( t ( t ] ( t, t xy ( t ( ( x y, t dxdy, Συνάρτηση αυτομεταβλητότητας (autocovarace ucto της στοχαστικής ανέλιξης (t: K ( t, t E[ ( ( t m ( t ( ( t m ( t ] K ( t, t ( t, t m ( t m ( t Η στοχαστική ανέλιξη (t είναι ευρείας έννοιας στατική (wdesese statoary ή στατική με την ευρεία έννοια (statoary the wde sese αν ικανοποιούνται οι συνθήκες: ( t m m για όλα τα t ( t, t ( t t ( τ ( t, t K ( t t K ( τ K 3 4 όπου τ t t 5 ( τ E[ ( t τ ( τ ] + Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μιας στατικής ανέλιξης (t: [ ] ( E ( t ( τ ( τ ( τ ( 6 Απεικόνιση των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης μιας αργά και μιας απότομα ταλαντούμενης στοχαστικής ανέλιξης: 7 Παράδειγμα: Ημιτονική κυματομορφή με τυχαία φάση Έστω ημιτονικό σήμα με τυχαία φάση: ( t cos ( π t + Θ όπου Α και c σταθερές, και Θ τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα εως π, δηλ.:, θ π Θ ( θ π, αλλο ύ Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Χ(t είναι: ( τ Ε[ ( t + τ ( t ] Ε cos ( π ( t + τ + Θ cos ( π t + Θ [ ] { Ε[ cos ( 4π t + π τ + Θ ] + Ε[ cos ( π τ ]} π cos π ( 4π t + π τ + θ dθ + cos( π τ 8 3

4 Παράδειγμα: (συνέχεια ( τ cos ( π τ Συναρτήσεις συσχέτισης (crosscorrelato uctos των στοχαστικών ανελίξεων (t και Υ(t: ( t, u E[ ( t ( u ] ( t, u E[ ( t ( u ] Οι στοχαστικές ανελίξεις (t και Υ(t είναι από κοινού στατικές με την ευρεία έννοια όταν: ( t u ( t u, ( t u ( t u ( ( t u t u Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ημιτονικής κυματομορφής με τυχαία φάση είναι μια άλλη ημιτονική κυματομορφή της ίδιας συχνότητας στο τ-πεδίο αντί στο πεδίο του χρόνου. 9 Πίνακας συσχέτισης (correlato matrx των (t και Υ(t: ( t, u ( t, u ( t, u ( ( t, u t, u Ισχύει: ( τ ( τ x Χρονικήμέσητιμή(tme-averaged mea value της συνάρτησης δείγματος x(t μιας στοχαστικής ανέλιξης (t: x ( t lm x( t Χρονικόμέσοτηςσυνάρτησηςαυτοσυσχέτισης(tme-averaged autocorrelato ucto της συνάρτησης δείγματος x(t μιας στοχαστικής ανέλιξης (t: ( t + τ x( t lm x( t + τ x( t dt lm x( t x( t τ dt dt - Εργοδικότητα Mια στοχαστική ανέλιξη (t λέγεται ότι είναι εργοδική (ergotc process, στην πιο γενική μορφή, αν όλες οι στατιστικές της ιδιότητες μπορούν να καθοριστούν από μία συνάρτηση δείγμα που παριστάνει μια δυνατή εμφάνιση της ανέλιξης. Είναι απαραίτητο για μια στοχαστική ανέλιξη να είναι στατική με τη στενή έννοια για να είναι εργοδική, αλλά το αντίθετο δεν είναι πάντα αληθές. 3 - Εργοδικότητα Μια στοχαστική ανέλιξη (t είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή (ergodc the mea αν, με πιθανότητα ένα, ισχύει: x ( t lm x( t dt m Μια στοχαστική ανέλιξη (t είναι εργοδική ως προς τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ergodc the autocorrelato ucto αν, με πιθανότητα ένα, ισχύει: x + ( t τ x( t lm x( t + τ x( t dt ( τ 4 4

5 - Εργοδικότητα Εκτός από συγκεκριμένες απλές περιπτώσεις, είναι συνήθως πολύ δύσκολο να αποδείξουμε αν μια στοχαστική ανέλιξη ικανοποιεί τα κριτήρια για την εργοδικότητα. Συχνά αναγκαζόμαστε να θεωρήσουμε τη φυσική προέλευση της στοχαστικής ανέλιξης και συνεπώς να κάνουμε μια κατά κάποιο τρόπο διαισθητική κρίση για το κατά πόσο είναι λογικό να εναλλάξουμε το χρονικό μέσο με το μέσο συνόλου. 5 Παράδειγμα: Ημιτονική κυματομορφή με τυχαία φάση (συνέχεια Έστω το ημιτονικό σήμα με τυχαία φάση:, ( t cos ( π t + Θ Θ ( θ π, Η μέση τιμή της σ.α. Χ(t είναι: π Α m Αcos Θ π θ π αλλο ύ ( π t + θ ( θ dθ cos( π t + θ dθ Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Χ(t: ( τ cos ( π τ Έστω x(t μια συνάρτηση δείγμα της σ.α. (t: x ( t ( t Παράδειγμα: (συνέχεια Η χρονική μέση τιμή της x(t είναι: x( t lm cos ( + π t θ dt O χρονικός μέσος της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι: x ( t + τ x( t lm lm cos ( π ( t + τ + θ cos ( π t + θ [ cos ( π τ + cos ( 4π t + π t + θ ] ( π τ 6 7 cos π + θ cos dt dt Η σ.α. είναι συνεπώς εργοδική τόσο ως προς τη μέση τιμή όσο και ως προς τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. m Μετάδοση Στοχαστικής Ανελίξης Μέσω Γραμμικού Φίλτρου Έστω ότι στατική με την ευρεία έννοια στοχαστική ανέλιξη (t εφαρμόζεται σαν είσοδος σε ΓΧΑ φίλτρο με κρουστική απόκριση h(t, παράγοντας μια στοχαστική ανέλιξη (t στην έξοδο του φίλτρου. m ( t E[ ( t ] E h( τ Χ( t τ dτ Δεδομένου ότι η αναμενόμενη τιμή Ε[(t] είναι πεπερασμένη για όλα τα t και το σύστημα είναι σταθερό: ( t h( τ E[ Χ( t τ ] dτ h( τ m ( t τ dτ m h( τ dτ m Μετάδοση Στοχαστικής Ανελίξης Μέσω Γραμμικού Φίλτρου Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της στοχαστικής ανέλιξης εξόδου (t: ( t, u E[ ( t ( u ] E h( τ Χ( t τ dτ h( τ Χ( u τ dτ m H ( 8 9 Δεδομένου ότι το Ε[ (t] είναι πεπερασμένο για όλα τα t και το σύστημα είναι σταθερό: ( t, u h( τ dτ h( τ dτ E[ Χ( t τ Χ( u τ ] ( τ dτ h( τ dτ ( t τ u h, τ Μετάδοση Στοχαστικής Ανελίξης Μέσω Γραμμικού Φίλτρου Δεδομένου ότι η (t είναι στατική, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισής της είναι συνάρτηση μόνο της διαφοράς μεταξύ των χρόνων παρατήρησης: dτ dτ ( τ h( τ h( τ ( τ τ + τ Άρα, αν η είσοδος σε ένα σταθερό γραμμικό χρονικά αμετάβλητο φίλτρο είναι μία στατική με την ευρεία έννοια στοχαστική ανέλιξη, τότε η έξοδος του φίλτρου είναι επίσης μία στατική με την ευρεία έννοια στοχαστική ανέλιξη. 3 5

6 E Μετάδοση Στοχαστικής Ανελίξης Μέσω Γραμμικού Φίλτρου dτ dτ ( τ h( τ h( τ ( τ τ + τ [ ( t ] ( τ h( τ h( τ ( τ + τ dτ dτ ct Η μέση τετραγωνική τιμή της στοχαστικής ανέλιξης εξόδου Υ(t είναι μία σταθερά. 3 Γ. Αθανασιάδου Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Χαρακτηρισμός των στοχαστικών ανελίξεων στο πεδίο της συχνότητας. E [ ( t ] ( τ h ( τ h( τ ( τ + τ d τ d τ H ( exp ( j π τ d h( τ ( τ + τ dτ d τ H ( d h( τ d τ ( τ + τ exp ( j π τ d τ H ( d h( τ exp ( j π τ d τ ( τ exp ( j π τ d τ H * ( [ ( t ] H ( d ( τ exp ( j π τ E d τ 3 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος ( ( τ exp( j πτ dτ x ( πυκνότητα φάσματος ισχύος (power spectral desty ή φάσμα ισχύος (power spectrum (Watt/Hertz E [ ( t ] H ( ( d Η μέση τετραγωνική τιμή της εξόδου ενός σταθερού, γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου (ΓΧΑ φίλτρου σε απόκριση στατικής με την ευρεία έννοια στοχαστικής ανέλιξης είναι ίση με το ολοκλήρωμα πάνω από όλες τις συχνότητες της πυκνότητας φάσματος ισχύος της στοχαστικής ανέλιξης εισόδου πολλαπλασιασμένης με το τετράγωνο του μέτρου της 33 συνάρτησης μεταφοράς του φίλτρου. Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Ιδιότητες της πυκνότητας φάσματος ισχύος μιας στατικής με την ευρεία έννοια στοχαστικής ανέλιξης: Η πυκνότητα φάσματος ισχύος x ( και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης x (τ μιας στατικής με την ευρεία έννοια σ.α. αποτελούν ζευγάρι ΜΣ Fourer. ( ( τ ( ( τ dτ E ( t [ ] ( ( d ( ( ( 34 Παράδειγμα: Ημιτονική κυματομορφή με τυχαία φάση Έστω το ημιτονικό σήμα με τυχαία φάση: (συνέχεια, θ π ( t cos ( π t + Θ Θ ( θ π, αλλο ύ Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Χ(t: ( τ cos ( π τ Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της σ.α Χ(t (ΜΣ Fourer της x (τ: + 4 ( [ δ ( + δ ( ] Επαλήθευσε τη σχέση: ( ( d 35 Παράδειγμα: Μίξη στοχαστικής ανέλιξης με ημιτονική κυματομορφή Θέλουμε να βρούμε την πυκνότητα φάσματος ισχύος της σ.α.: ( t ( t cos ( π t + Θ Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Υ(t: ( τ Ε ( t + τ ( t [ ] Ε[ ( t + τ cos ( π ( t + τ + Θ ( t cos ( π t + Θ ] Ε[ ( t + τ ( t ] Ε[ cos ( π ( t + τ + Θ cos ( π t + Θ ] ( ( τ Ε[ cos ( 4π t + π τ + Θ + cos ( π τ ] ( ( τ cos ( π τ Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της σ.α Υ(t (ΜΣ Fourer της Υ (τ: ( [ ( ( ] 36 6

7 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Σχέση μεταξύ των πυκνοτήτων φάσματος ισχύος των στοχαστικών ανελίξεων εισόδου και εξόδου: ( H ( ( Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της εξόδου ισούται με την πυκνότητα φάσματος ισχύος της εισόδου πολλαπλασιασμένης με το τετράγωνο του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς του φίλτρου. 37 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος - Ετεροφασματικές πυκνότητες Οι ετεροφασματικές πυκνότητες παρέχουν ένα μέτρο της συσχέτισης συχνότητας μεταξύ δύο στοχαστικών ανελίξεων. Έστω Χ(t και Υ(t δύο από κοινού στατικές με την ευρεία έννοια στοχαστικές ανελίξεις, με συναρτήσεις συσχέτισης (τ και (τ. Οι ετεροφασματικές πυκνότητες (cross-spectral destes ( και ( είναι οι ΜΣ Fourer των αντιστοίχων συναρτήσεων συσχέτισης. * ( ( ( 38 Παράδειγμα: Άθροισμα στοχαστικών ανελίξεων Έστω οι σ.α. (t και Υ(t με μηδενικές μέσες τιμές και η καθεμία στατική με την ευρεία έννοια. Η σ.α. του αθροίσματος είναι: ( t ( t ( t Z + Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Ζ(t: ( t, u Ε[ Z ( t Z ( u ] ( t, u + ( t, u + ( t, u + ( t u Z, Ορίζοντας τ t-u: Z ( τ ( τ + ( τ + ( τ ( τ + Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της σ.α Z(t (ΜΣ Fourer της Z (τ: Z ( τ ( τ + ( τ + ( τ ( τ + Όταν οι (t και Υ(t είναι ασυσχέτιστες: Z ( τ ( τ ( τ + 39 Στοχαστική Ανέλιξη Gauss g ( t ( t H ονομάζεται γραμμική συναρτησιακή (lear uctoal της Χ(t. H ανέλιξη (t είναι ανέλιξη Gauss αν κάθε γραμμική συναρτησιακή της (t είναι τυχαία μεταβλητή Gauss. H τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ εξαρτάται από τη συνάρτηση όρισμα g(t(t στο διάστημα παρατήρησης ως Τ. Το πεδίο τιμών μιας συναρτησιακής είναι ένα σύνολο ή χώρος επιτρεπτών συναρτήσεων παρά μια περιοχή ενός χώρου συντεταγμένων. dt 4 Στοχαστική Ανέλιξη Gauss Η τυχαία μεταβλητή Υ έχει κατανομή Gauss αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής έχει τη μορφή: ( y m y ( y exp πσ Υ σ Υ Mια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Gauss είναι πλήρως καθορισμένη αν καθορίσουμε το μέσο όρο της και τη μεταβλητότητά της. (θεώρημα κεντρικού ορίου Κανονικοποιημένη κατανομή Gauss: 4 Στοχαστική Ανέλιξη Gauss Iδιότητες μιας ανέλιξης Gauss: Ιδιότητα : Εάν μια ανέλιξη Gauss (t εφαρμόζεται σε γραμμικό, σταθερό φίλτρο, τότε η στοχαστική ανέλιξη Υ(t που εμφανίζεται στην έξοδο του φίλτρου, είναι επίσης Gauss. Ιδιότητα : Θεωρείστε ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών ή δειγμάτων Χ(t, Χ(t,, Χ(t, που λαμβάνονται παρατηρώντας μία στοχαστική ανέλιξη Χ(t τις χρονικές στιγμές t, t,, t. Εάν η ανέλιξη Χ(t είναι Gauss, τότε αυτό το σύνολο των τυχαίων μεταβλητών είναι από κοινού Gauss για κάθε, με τη -διάστατη από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας να είναι πλήρως καθορισμένη από το σύνολο των μέσων τιμών m (t E[(t ],,,, και το σύνολο των συναρτήσεων αυτομεταβλητότητας Κ x (t, t E[((t -m (t ((t -m (t ],,,,. 4 7

8 Στοχαστική Ανέλιξη Gauss Ιδιότητα 3: Εάν η ανέλιξη Gauss είναι στατική με την ευρεία έννοια, τότε η ανέλιξη είναι επίσης στατική με τη στενή έννοια. Ιδιότητα 4: Εάν το σύνολο των τυχαίων μεταβλητών Χ(t, Χ(t,, Χ(t, που λαμβάνονται με δειγματοληψία της στοχαστικής ανέλιξης Gauss Χ(t τις χρονικές στιγμές t, t,, t, είναι ασυσχέτιστες, δηλαδή E[((t -m (t ((t -m (t ], τότε αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι στατικά ανεξάρτητες. 43 Θόρυβος Ο όρος θόρυβος (ose χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τις ανεπιθύμητες κυματομορφές που τείνουν να ενοχλούν τη μετάδοση και την επεξεργασία των σημάτων στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα και πάνω στις οποίες δεν έχουμε πλήρη έλεγχο. Θόρυβος βολής Ο θόρυβος βολής εμφανίζεται στις ηλεκτρονικές διατάξεις εξ αιτίας της διακριτής φύσης της ροής του ρεύματος στη διάταξη. Έχει κατανομή Gauss με μηδενική μέση τιμή. 44 Θερμικός θόρυβος Θόρυβος Ο θερμικός θόρυβος είναι το όνομα που δίνεται στον ηλεκτρικό θόρυβο που εμφανίζεται κατά την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων σε ένα αγωγό. Η μέση τετραγωνική τιμή της τάσης/έντασης θερμικού θορύβου που εμφανίζεται στα άκρα αντίστασης, μετρούμενη σε εύρος ζώνης Δ hertz δίνεται από: [ V ] 4 volt E Δ [ I ] E[ ] E V σταθερά Boltzma.38x -3 joule ανά βαθμό Kelv Από το θεώρημα κεντρικού ορίου συνεπάγεται ότι ο θερμικός θόρυβος έχει κατανομή Gauss με μηδενική μέση τιμή. 45 Λευκός Θόρυβος Λευκός Θόρυβος Λευκός Θόρυβος Η ανάλυση θορύβου στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα βασίζεται σε μια ιδανική μορφή του θορύβου που καλείται λευκός θόρυβος (whte ose, η πυκνότητα φάσματος ισχύος του οποίου είναι ανεξάρτητη της συχνότητας λειτουργίας. ( W Ο παράγοντας / έχει περιληφθεί για να δείξει ότι το μισό της ισχύος συνδέεται με θετική συχνότητα και το μισό με αρνητική. 46 Η παράμετρος Ν (Watt/Hertz μπορεί να εκφραστεί σαν: σταθερά Boltzma e e Ισοδύναμη θερμοκρασία θορύβου (equvalet ose temperature στο δέκτη, δηλαδή η θερμοκρασία στην οποία πρέπει να διατηρηθεί μια αντίσταση θορύβου έτσι ώστε, συνδέοντας την αντίσταση στην είσοδο μιας χωρίς θόρυβο μορφής του συστήματος, να παράγει την ίδια διαθέσιμη ισχύ θορύβου στην έξοδο του συστήματος με αυτήν που παράγεται από όλες τις πηγές θορύβου στο πραγματικό σύστημα. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του λευκού θορύβου: ( τ δ ( τ W Επομένως, οποιοδήποτε δύο διαφορετικά δείγματα λευκού θορύβου, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά στο χρόνο λαμβάνονται, είναι ασυσχέτιστα. Αν ο λευκός θόρυβος w(t είναι επίσης Gauss, τότε τα δύο δείγματα είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Η 47 e εξαρτάται μόνο από τις παραμέτρους του συστήματος. 48 8

9 Λευκός Θόρυβος Λευκός Θόρυβος Παράδειγμα: Ιδανικός βαθυπερατός λευκός θόρυβος Χαρακτηριστικές λευκού θορύβου: Ο λευκός θόρυβος έχει άπειρη ισχύ, και σαν τέτοιος δεν είναι φυσικά πραγματοποιήσιμος. Όσο όμως το εύρος ζώνης μιας στοχαστικής ανέλιξης θορύβου στην είσοδο ενός συστήματος είναι αισθητά μεγαλύτερο από αυτό του ίδιου του συστήματος, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε το λευκό θόρυβο σα μοντέλο της ανέλιξης θορύβου στην είσοδο. Έστω λευκός θόρυβος Gauss w(t μηδενικής μέσης τιμής και πυκνότητας φάσματος ισχύος Ν / εφαρμόζεται σε ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο εύρους ζώνης Β και απόκρισης πλάτους στη ζώνη διέλευση ίση με ένα. Η θόρυβος (t στην έξοδο έχει τις εξής χαρακτηριστικές: Παράδειγμα: (συνέχεια Αφού η είσοδος είναι Gauss, και η έξοδος του φίλτρου είναι Gauss. Αν λαμβάνονται δείγματα του (t με ρυθμό Β φορές ανά δευτερόλεπτο, τα δείγματα είναι ασυσχέτιστα, και όντας Gauss είναι και στατιστικά ανεξάρτητα. Συνεπώς η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συνόλου αυτών των δειγμάτων είναι ίση με το γινόμενο των ξεχωριστών συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας. (Σημειώστε ότι κάθε τέτοιο δείγμα θορύβου έχει μηδενική μέση τιμή και μεταβλητότητα Ν Β. Στην είσοδο του δέκτη πρακτικών τηλεπικοινωνιακών συστημάτων συνήθως υπάρχει ένα φίλτρο στενής ζώνης, δηλαδή η συχνότητα στο μέσο της ζώνης είναι μεγάλη συγκρινόμενη με το εύρος ζώνης του. Η στοχαστική ανέλιξη θορύβου που εμφανίζεται στην έξοδο ενός τέτοιου φίλτρου ονομάζεται θόρυβος στενής ζώνης. H συνάρτηση δείγμα (t μιας τέτοιας ανέλιξης εμφανίζεται περίπου παρόμοια με μια ημιτονική κυματομορφή συχνότητας c, που κυματώνεται αργά τόσο σε φάση όσο και σε πλάτος. Ν ( - c -Β - c - c +Β c -Β c c +Β Συνάρτηση δείγμα θορύβου στενής ζώνης: (t t 5 53 /Β / c 54 9

10 Έστω θόρυβος (t που παράγεται στην έξοδο ενός φίλτρου στενής ζώνης, σε απόκριση της συνάρτησης δείγματος w(t μιας ανέλιξης λευκού θορύβου Gauss με m w και w (. Θεωρούμε ότι το φάσμα ισχύος του (t είναι κεντραρισμένο γύρω από την c : ~ + ( t ( t + jˆ ( t ( t ( t exp( jπ t + Αναπαράσταση του θορύβου στενής ζώνης (t σε κανονική μορφή: ( t ( t cos( π t ( t s ( π t Ιδιότητα : Εάν ο θόρυβος στενής ζώνης (t, έχει μηδενική μέση τιμή, τότε η (t και η (t έχουν επίσης μηδενική μέση τιμή. ( H ( ~ ( t ( t j ( t c + s Ιδιότητα : Εάν ο θόρυβος στενής ζώνης (t είναι Gauss, τότε η (t και η (t είναι από κοινού Gauss. Οποιοσδήποτε θόρυβος στενής ζώνης που συναντιέται στην πράξη μπορεί να μοντελοποιηθεί εφαρμόζοντας λευκό θόρυβο σε κατάλληλο φίλτρο. 55 ( t ( t cos ( π t + ˆ ( t s ( π t ( t ˆ ( t cos( π t ( t s ( π t 56 Ιδιότητα 3: Εάν ο θόρυβος στενής ζώνης (t είναι στατικός με την ευρεία έννοια, τότε η (t και η (t είναι από κοινού στατικές με την ευρεία έννοια. 57 Ιδιότητα 4: Η (t και η (t έχουν την ίδια πυκνότητα φάσματος ισχύος: ( (, ( + ( +, αλλού B B Ιδιότητα 6: Οι ετεροφασματικές πυκνότητες των (t και (t είναι καθαρά φανταστικές: ( ( j, [ ( + ( ], αλλού B B Παράδειγμα: Ιδανικός ζωνοπερατός λευκός θόρυβος Έστω λευκός θόρυβος Gauss w(t μηδενικής μέσης τιμής και πυκνότητας φάσματος ισχύος Ν / εφαρμόζεται σε ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο εύρους ζώνης Β, κεντρική συχνότητα και απόκρισης πλάτους στη ζώνη διέλευση ίση με ένα. Ιδιότητα 5: Εάν ο θόρυβος στενής ζώνης (t, έχει μηδενική μέση τιμή, τότε η (t και η (t έχουν την ίδια μεταβλητότητα με αυτή του (t. 58 Ιδιότητα 7: Εάν θόρυβος στενής ζώνης (t είναι Gauss με μηδενική μέση τιμή και η πυκνότητα φάσματος ισχύος ( αυτού είναι τοπικά συμμετρική γύρω από την ± τότε η (t και η (t είναι στατιστικά ανεξάρτητες. 59 6

11 Παράδειγμα: (συνέχεια + B ( τ exp( jπτ d + exp( jπτ B Bs c ( Bτ cos( π τ + B B d Από την πυκνότητα φάσματος ισχύος της συμφασικής και της ορθογωνικής υπολογίζεται εύκολα ότι: ( τ ( τ Bsc( Bτ 6 Αναπαράσταση του θορύβου στενής ζώνης συναρτήσει της περιβάλλουσας και της φάσης: ( t r( t cos[ π t + ( t ] ψ r [ ] c + s ( t ( t ( t ψ ( t ta ( t ( s c t 6 Οι τυχαίες μεταβλητές και Ψ είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Η Ψ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη μέσα στο διάστημα ως π: Ψ ( ψ, π, ψ π αλλο ύ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της είναι: ( r r r r σ exp, σ, αλλο ύ 63 Για ευκολία στη γραφική παράσταση, έστω: υr/σ και V (υσ ( Κανονικοποιημένη κατανομή aylegh: V υ υ exp, ( υ υ, αλλού 64