1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας Καθηγητής Εφαρμογών Άρτα, 2015
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 3 3
4 Χρηματοδότηση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Ηπείρου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
Κλειστές Πράξεις Συνόλων Οι πράξεις της ένωσης και της τομής στο δυναμοσύνολο P(S) είναι κλειστές: Α P(S), Β P(S) Α Β P(S) Α P(S), Β P(S) Α Β P(S) 5 5
Παράδειγμα S={a, b, c} P(S) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, c}, {a, b, c} = S} 6 6
Πράξεις Συνόλων-Συμπλήρωμα Αν B= ισχύει B = Αν Β Α, τότε το σύνολο Α - Β συμβολίζεται με και ονομάζεται συμπληρωματικό (complement) του Β ως προς το Α (Το Α συνήθως το ονομάζουμε σύμπαν) Ιδιότητες Β Β = Α Β Β = Β = Β = Α Α = 7 7
Συμπλήρωμα S 8 8
Νόμοι του De Morgan (De Morgan s laws) Πρώτος νόμος De Morgan: B B Δεύτερος νόμος De Morgan: B B 9 9
1 Θεωρία Υπολογισμού Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Κάποιες Επιπλέον Ιδιότητες 10 Ø Ø U U Ø Ø U U B B U Ø Ø U B) ( B) (
Διατεταγμένο Ζεύγος (ordered pair) Ζεύγος στοιχείων που είναι τοποθετημένα με συγκεκριμένη σειρά: (a, b) (a, b) = (a, b ) a = a, b = b 11 1
Καρτεσιανό Γινόμενο (Cartesian product) Ακολουθία Κατάλογος αντικειμένων με καθορισμένη σειρά Παράδειγμα: (3, 6,9 ) Προσοχή: (3, 6, 9) (3, 9, 6), (3, 6,6, 9) (3, 6, 9) Ακολουθία με k αντικείμενα λέγεται k-άδα Ακολουθία με 2 αντικείμενα λέγεται δυάδα ή ζεύγος 12 1
Καρτεσιανό Γινόμενο (Cartesian product) Το σύνολο το οποίο αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a και b B x B= {(a, b) : a, b B} Αν το σύνολο έχει n στοιχεία και το σύνολο B έχει m στοιχεία, τότε τα σύνολα B και B έχουν n m στοιχεία 13 1
Καρτεσιανό Γινόμενο Συντομογραφία (Cartesian product) Όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών γράφονται 14 1
B = {a, b, c} Γ = {1, 2, 3} Παράδειγμα Β x Γ= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2),(c, 3)}} Α={1,2} Β={x, y, z} B={(1, x),(1, y),(1, z),(2, x),(2, y),(2, z)} 15 1
Καρτεσιανό Γινόμενο Πολλών Συνόλων 16 1
Αν B = { 0, 1 } τότε Παράδειγμα n-άδες της μορφής (0, 1, 1, 0, 0,..., 1) 17 1
Σύνολα = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} = 5 B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} B = {1, 3, 5} B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5),, (5, 5), (5, 7), (5, 9)} B = {2, 4} 2 = {, {1}, {2},, {1, 2}, {1, 3},, {1, 2, 3, 4, 5}} (δυναμοσύνολο) 18 1
Σχέση (Relation) Σχέση (relation) R από το σύνολο S στο σύνολο T: Ένα υποσύνολο του S T R S x T, (s, t) R το στοιχείο s σχετίζεται με το στοιχείο t srt Αν S=T, οπότε R S 2 : Σχέση στο σύνολο S 19 1
Παράδειγμα S = {s 1, s 2, s 3, s 4 } T= {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 } R = {(s 1,, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2,, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s 4,, t 1 ), (s 4, t 4 ), (s 4, t 5 )} S x T T Πίνακας της σχέσης R t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 s 1 0 1 0 0 0 S s 2 1 1 0 0 1 s 3 0 0 0 0 0 s 4 1 0 0 1 1 20 2
Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Κερδίζει ΠΕΤΡΑ ΨΑΛΙΔΙ ΧΑΡΤΙ ΠΕΤΡΑ Ψ Α Ψ ΨΑΛΙΔΙ Ψ Ψ Α ΧΑΡΤΙ Α Ψ Ψ Η σχέση Κερδίζει (τυχαίνει να είναι και συνάρτηση) αναπαρίσταται από το σύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)} Εκεί που γίνεται αληθές δηλαδή 21 2
2 Ανακλαστικότητα R σχέση στο σύνολο S Ανακλαστική (reflexive) σχέση: Για κάθε x S, ισχύει (x, x) R Ισοδύναμα: xrx
2 Συμμετρικότητα R σχέση στο σύνολο S Σχέση συμμετρική (symmetric): Η παρουσία του (x, y) στo R συνεπάγεται και την παρουσία του (y, x) στo R, για κάθε x, y R (x, y)r (y, x)r ή xry yrx
2 Μεταβατικότητα R σχέση στο σύνολο S Σχέση μεταβατική (transitive): H ταυτόχρονη παρουσία τω (x, y) και (y, z) στο R συνεπάγεται την παρουσία του στο R για κάθε x, y,z R (x, y)r και (y,z) R (x,z)r xry και yrz xrz
2 Θεωρία Υπολογισμού Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παραδείγματα Ανακλαστική-Συμμετρική-Μεταβατική R 1 a,b a b R 2 a,b a b R 3 a,b a b ή a b R 4 a,b a b Α Σ Μ R 5 a,b a b 1 Α Μ Μ Α Σ Μ R 6 a,b a b 3 Σ
2 Συναρτήσεις (1/5) Συνάρτηση Ένα αντικείμενο που ορίζει έναν συσχετισμό μεταξύ ενός συνόλου «εισόδων» και ενός συνόλου «εξόδων» Δέχεται μια είσοδο και παράγει μια έξοδο: f(a) = b Γράφουμε f : D R για να δείξουμε ότι η συνάρτηση f έχει ως σύνολο δυνατών εισόδων το D (πεδίο ορισμού) και ως σύνολο δυνατών εξόδων το R (πεδίο τιμών)
2 Συναρτήσεις (2/5) Συμβολισμός f : S T, t εικόνα (image) του στοιχείου s κάτω από τη συνάρτηση f S πεδίο ορισμού (domain) T πεδίο τιμών (range) f (s) t
2 Συναρτήσεις (3/5) Συμβολισμός f t s Τ S
2 Συναρτήσεις (4/5) Παραδείγματα: Απόλυτο, : Z Z -2 = 2, 64 = 64 Πρόσθεση, + : Z Z Z +(2, 48) = 50
3 Συναρτήσεις (5/5) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το 1... k... k, τότε κάθε είσοδος της συνάρτησης είναι μια k-άδα (a 1,,α k ), όπου για κάθε i, a i i είναι οι παράμετροι της συνάρτησης. Μία συνάρτηση ονομάζεται διπαραμετρική, αν οι είσοδοι της είναι ζεύγη Αναπαράσταση διπαραμετρικών συναρτήσεων: Ενθηματική, π.χ. α + β Προθηματική, π.χ. +(α,β)
3 Παράδειγμα S {s 1, s 2, s 3, s 4 } T {t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } f {(s 1, t 5 ), (s 2, t 3 ), (s 3, t 2 ), (s 4, t 3 )} S T S s 1 s 2 s 3 s 4 T t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
3 Κατηγόρημα ή Ιδιότητα Συνάρτηση με πεδίο τιμών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥΔΕΣ} Αν το πεδίο ορισμού είναι ένα σύνολο k-άδων τότε λέγεται k-μελής σχέση. Τα κατηγορήματα P:D {Α,Ψ} μπορούμε να τα αναπαριστούμε και με σύνολα αντί για συναρτήσεις
3 Κατηγόρημα ή Ιδιότητα Συνάρτηση με πεδίο τιμών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥΔΕΣ} Αν το πεδίο ορισμού είναι ένα σύνολο k-άδων τότε λέγεται k-μελής σχέση. Τα κατηγορήματα P:D {Α,Ψ} μπορούμε να τα αναπαριστούμε και με σύνολα αντί για συναρτήσεις
3 Βιβλιογραφία H.R. Lewis, Χ. Παπαδημητρίου, "Στοιχεία θεωρίας υπολογισμού", 1η έκδοση/2005, Εκδόσεις Κριτική, ISBN: 978-960-218-397-7 Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11776 2. M. Sipser, "Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού", 1η έκδοση/2009, Εκδόσεις ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ISBN: 978-960-524-243-5 Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 257 Επιπλέον συνιστώμενη βιβλιογραφία E. Rich, "utomata, Computability and Complexity: Theory and pplications", 1st edition/2007, Prentice Hall, ISBN: 978-0132288064 J. E. Hopcroft, R. Motwani, J. D. Ullman, "Introduction to utomata Theory, Languages, and Computation", 3rd edition/2006, Prentice Hall, ISBN: 978-0321455369 J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman, Intoduction to utomata Theory, Languages and Computation, 2nd ed., Pearson - ddison Wesley, 2003 M. Sipser, Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007
3 35 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου. Αλέξανδρος Τζάλλας. Θεωρία Υπολογισμού. Έκδοση: 1.0 Άρτα, 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.teiep.gr/courses/comp112/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.el 3
3 Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Ευάγγελος Καρβούνης Άρτα, 2015
3 Τέλος Ενότητας Σύνολα & Σχέσεις (2/2)