Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Ο Winr εξέτασε το προβλημα της εκτίμησης μίας επιθυμητής κυματομορφής σήματος s παρουσία προσθετικού θορύβου n, βάση του λαμβανόμενου σήματος r = s + n. Ο Winr προσδιόρισε το γραμμικό φίλτρο του οποίου η έξοδος είναι η βέλτιστη, κατά μέση-τετραγωνική τιμή, προσέγγιση στο επιθυμητό σήμα s. Το φίλτρο που προκύπτει καλείται βέλτιστο γραμμικό φίλτρο ή φίλτρο Winr.
Εκπεμπόμενο σήμα s Κανάλι Λαμβανόμενο σήμα r s n Σύστημα ΓΧΑ Hω y s n o o Θόρυβος n ε s y s Καθυστέριση s Μοντέλο για τη λήψη σήματος μέσα από AWGN κανάλι Φίλτρο Winr. Επιλέγουμε το φίλτρο Hω έτσι ώστε η έξοδός του y να είναι η καλύτερη δυνατή εκτίμηση του σήματος εισόδου τη χρονική στιγμή, δηλαδή, του σήματος s. Επειδή το σήμα s αποτελεί δείγμα συνάρτησης τυχαίας διαδικασίας, είναι αδύνατο να υπολογίσουμε την τιμή του σήματος s σε κάποια χρονική στιγμή με απόλυτη ακρίβεια. Το μόνο που θα προσπαθούμε να κάνουμε είναι να προσδιορίζουμε το φίλτρο Hω το οποίο ελαχιστοποιεί μία κατάλληλα ορισμένη μέση τιμή του σφάλματος ε. 6-3
Εκπεμπόμενο σήμα s Κανάλι Λαμβανόμενο σήμα r s n Σύστημα ΓΧΑ Hω y s n o o Θόρυβος n ε s y s Καθυστέριση s Μοντέλο για τη λήψη σήματος μέσα από AWGN κανάλι Φίλτρο Winr. Ο Winr προσδιόρισε το γραμμικό φίλτρο Hω του οποίου ελαχιστοποιεί τη μέση τιμή του τετραγωνικού σφάλματος Ε[ε ]. Y Y Y Y YY 6-4
Περιγραφή του λαμβανόμενου σήματος στο πεδίο του χρόνου και συχνότητας Εκπεμπόμενο σήμα s Κανάλι Λαμβανόμενο σήμα r s n Θόρυβος n Επίσης το σήμα r αποτελεί δείγμα συνάρτησης τυχαίας διαδικασίας, της οποίας η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι και η συνάρτηση φασματικής πυκνότητας ισχύος είναι NN N N NN N 6-5
Φασματική Πυκνότητα Ισχύος του Αθροίσματος Διαδικασιών Δίνονται οι W τυχαίες διαδικασίες X και Y και ορίζεται η τυχαία διαδικασία Z X Y Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Z είναι ZZ XX YY XY YX και η φασματική πυκνότητα ισχύος της Z είναι Z f f f f Αν οι δύο διαδικασίες είναι ασυσχέτιστες τότε XY τ = m X m Y και αν μία τουλάχιστον από τις διαδικασίες έχει μέση τιμή ίση με το μηδέν τότε Z X f f f X Y Y XY 6-6
Μελέτη του συστήματος στο πεδίο του χρόνου και συχνότητας n s r n s y o o ΓΧΑ σύστημα, Hω r y Y Y j j j H j Για τη συνάρτηση διασυσχέτισης μεταξύ των διαδικασιών Y και έχουμε Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-7
Τυχαίες Διαδικασίες και Γραμμικά Συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς X Y X Για τη συνάρτηση διασυσχέτισης εισόδου-εξόδου έχουμε XY, X Y X X s s us X X s s XX XX s s XX u u u u u s s s u XY XX Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση διασυσχέτισης εξαρτάται μόνο από το τ. 6-8
Η συνάρτηση διασυσχέτισης μεταξύ των διαδικασιών και Y είναι, Y Y N N N N N Y N u u u u u u N u Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-9
και συνάρτηση διαφασματικής πυκνότητας ισχύος είναι H H N Y N Y Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-
n s r n s y o o ΓΧΑ σύστημα, Hω r y Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εισόδου s έχουμε F j Η τιμή της τ για τ =, δηλαδή, η ισχύς του σήματος s έχουμε H j F j YY YY YY Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξόδου y έχουμε H YY Η τιμή της YY τ για τ =, δηλαδή, η ισχύς του σήματος y έχουμε Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-
Ο Winr προσδιόρισε το γραμμικό φίλτρο Hω του οποίου ελαχιστοποιεί τη μέση τιμή του τετραγωνικού σφάλματος Ε[ε ]. Y Y YY όπου YY Y H H j Η μέση τιμή του τετραγωνικού σφάλματος γράφεται j H H 6-
αποδεικνύεται ότι το βέλτιστο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας βελτ. j H H H j,, y y y y y y x f x y y x f x Αν χρησιμοποιηθεί ο κανόνας του Libniz Το ακρότατο της [ε ] προσδιορίζεται αν η παράγωγός ως προς τη απόκριση συχνότητας τεθεί ίση με μηδέν, δηλαδή, H Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-3
Για την περίπτωση όπου το σήμα και ο θόρυβος είναι ασυσχέτιστες τυχαίες διαδικασίες έχουμε δείξει ισχύει επίσης ισχύει πράγματι NN, N N N και επειδή [N] = έχουμε Επομένως το βέλτιστο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας H βελτ. j H βελτ. NN j 6-4
Έχουμε δείξει ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι j H H Για την περίπτωση όπου το σήμα και ο θόρυβος είναι ασυσχέτιστες τυχαίες διαδικασίες έχουμε και ότι η απόκριση συχνότητας του βέλτιστου φίλτρου είναι H βελτ. min Το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα το οποίο επιτυγχάνεται με το H βελτ. ω είναι τελικά min * j j j min NN NN Σεραφείμ Καραμπογιάς 6-5
Τέλος Ενότητας Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-6
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-7
Σημειώματα Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-8
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-9
Σημείωμα Αναφοράς Copyrig Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Επεξεργασία στοχαστικών σημάτων. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: p://opncourss.uoa.gr/courss/di3. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Craiv Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] p://craivcommons.org/licnss/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα 6-